期末考试必考题型（三）—— 平行线、图形变换与命题证明综合压轴（4大考点5类题型）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（三）—— 平行线、图形变换与命题证明综合压轴（4大考点5类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】平行线的判定与性质 1 【考点二】图形的变换（折叠、平移、旋转） 1 【考点三】定义、命题与证明 1 【考点四】综合应用 —— 几何推理与角度计算（压轴题） 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】 平移与平行线拐点模型综合题（6题） 2 【题型 2】折叠（轴对称）与平行线综合压轴题（6题） 4 【题型 3】旋转与平行线动态综合题（6题） 6 【题型 4】命题证明与几何推理综合题（6题） 8 【题型 5】图形变换中的线段或角度最值问题（6题） 9 一.必考点知识回顾 【考点一】平行线的判定与性质 性质定理：（1）同位角（内错角）相等，两直线平行；（2）同旁内角互补，两直线平行。 判定定理：（1）两直线平行，同位角（内错角）相等；（2）两直线平行，同旁内角互补。 主要模型：铅笔头模型、拐点模型、锯齿模型、双平行线模型。 【考点二】图形的变换（折叠、平移、旋转） 平移：平移前后图形全等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等；平移距离的计算。 折叠（轴对称）：折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线；利用折叠构造等腰三角形。 旋转：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；结合平行线的旋转动态问题。 【考点三】定义、命题与证明 命题结构：区分题设与结论，判断真假命题（反例法）。 证明的格式规范：“∵... ∴ ...” 的推理形式。 三角形与多边形定理：三角形内角和、外角定理；多边形内角和与外角和定理（辅助证明工具）。 【考点四】综合应用 —— 几何推理与角度计算（压轴题） 1、平行线性质 + 图形变换的角度推导。 2、多拐点平行线模型 + 角平分线的综合角度计算。 3、动态变换（平移或旋转）中的不变量探究（角度、线段关系）。 二.必考题型精析 【题型 1】 平移与平行线拐点模型综合题（6题） 考法：单（多）拐点平行线模型，结合角平分线、对顶角、邻补角进行角度计算或关系探究。 1．（25-26七年级下·天津宝坻·期中）如图，，直线a平移后得到直线b，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，直线与的一边相交，，向上平移直线得到直线，与的另一边相交，则____________． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为_____． 5．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） （1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； （2）最短，说明理由． 6．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点． （1）知识初探： 勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______： （2）深入探究： 智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． （3）拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______． 【题型 2】折叠（轴对称）与平行线综合压轴题（6题） 考法：长方形与三角形纸片折叠，结合平行线的性质，探究折叠前后的角度关系、线段位置关系。 1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，把一张长方形的纸条沿折叠，若比多，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃武威·三模）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点分别折叠至点的位置，若，则的度数为__________． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，则________ 度，_______ 度． 5．（25-26七年级下·广西崇左·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． （1）如果，求的度数； （2）如果，则                  ； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点． （1）①若，则_____________． ②若，则____________（用含的式子表示）． （2）如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________． 【题型 3】旋转与平行线动态综合题（6题） 考法：将含 30°、45° 的三角板绕顶点旋转，结合平行线的判定与性质，探究角度变化或平行条件。 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，当的对应边所在直线与垂直时，旋转时间为（   ） A．15秒 B．秒 C．10秒 D．5秒 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 3．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为___________． 5．（25-26八年级下·广东茂名·期中）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． （1）如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； （2）如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 6．（25-26七年级下·广西南宁·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】如图1，将一个含角的直角三角尺的一边与直线重合，其中，．将该三角尺绕点逆时针旋转，如图2所示，过点作直线，的角平分线与直线交于点． （1）当时，求的度数； （2）当为多少度时，？请说明理由． （3）【拓展探究】如图3，延长得射线，与的角平分线交于点．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用含的代数式表示；若不会，求出的度数． 【题型 4】命题证明与几何推理综合题（6题） 考法：以平行线、三角形为载体，考查完整的证明过程书写，或判断命题真假并说明理由。 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 2．（2024八年级上·全国·专题练习）用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 4．（2026九年级下·北京·专题练习）能说明命题“若，，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____（填序号）． 6．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【题型 5】图形变换中的线段或角度最值问题（6题） 考法：结合平移、折叠、旋转，探究线段长度的最值或角度的取值范围，常结合平行线的距离、点到直线的距离求解。 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 3．（24-25七年级下·河南·期末）如图，在中，，是边上一点，，，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点，之间的距离的最小值是______，点，之间的距离的最大值是______． 4．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是_____． 5．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】作图见分析 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（三）—— 平行线、图形变换与命题证明综合压轴（4大考点5类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】平行线的判定与性质 1 【考点二】图形的变换（折叠、平移、旋转） 1 【考点三】定义、命题与证明 1 【考点四】综合应用 —— 几何推理与角度计算（压轴题） 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】 平移与平行线拐点模型综合题（6题） 2 【题型 2】折叠（轴对称）与平行线综合压轴题（6题） 10 【题型 3】旋转与平行线动态综合题（6题） 17 【题型 4】命题证明与几何推理综合题（6题） 24 【题型 5】图形变换中的线段或角度最值问题（6题） 27 一.必考点知识回顾 【考点一】平行线的判定与性质 性质定理：（1）同位角（内错角）相等，两直线平行；（2）同旁内角互补，两直线平行。 判定定理：（1）两直线平行，同位角（内错角）相等；（2）两直线平行，同旁内角互补。 主要模型：铅笔头模型、拐点模型、锯齿模型、双平行线模型。 【考点二】图形的变换（折叠、平移、旋转） 平移：平移前后图形全等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等；平移距离的计算。 折叠（轴对称）：折叠前后对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线；利用折叠构造等腰三角形。 旋转：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；结合平行线的旋转动态问题。 【考点三】定义、命题与证明 命题结构：区分题设与结论，判断真假命题（反例法）。 证明的格式规范：“∵... ∴ ...” 的推理形式。 三角形与多边形定理：三角形内角和、外角定理；多边形内角和与外角和定理（辅助证明工具）。 【考点四】综合应用 —— 几何推理与角度计算（压轴题） 1、平行线性质 + 图形变换的角度推导。 2、多拐点平行线模型 + 角平分线的综合角度计算。 3、动态变换（平移或旋转）中的不变量探究（角度、线段关系）。 二.必考题型精析 【题型 1】 平移与平行线拐点模型综合题（6题） 考法：单（多）拐点平行线模型，结合角平分线、对顶角、邻补角进行角度计算或关系探究。 1．（25-26七年级下·天津宝坻·期中）如图，，直线a平移后得到直线b，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直线，求得，根据，求得，得到，据此求解即可． 解：作直线， ∴， ∴，即， ， ∴， ∴， ∴． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ∴， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴ ， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如图，直线与的一边相交，，向上平移直线得到直线，与的另一边相交，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 作，利用平移的性质得到，可判断，根据平行线的性质得，，从而得到的度数． 解：如图，作． ∵向上平移直线得到直线， ， ， ，． ， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解，且当点E在线段上，或当点E在外时，过点C作，然后进行分类讨论且作图，运用数形结合思路，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答． 解：E在线段上，过点C作，如下图： ， ， ， ，， ，， ∴， ； ， ，， 即 ； （2）点E在外时，过点C作，如下图： ， ， ，， ，， ， 即； ， 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或． 故答案为：或或． 5．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） （1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； （2）最短，说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短； （2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解． 解：（1）解：如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可， ； （2）解：如图，另任意作桥，连接，，， ， 由平移的性质可得：，，， 故转化为， 而转化为， 在中，， ∴， 故最短． 6．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，，，，过点作，是线段上一定点，过点作交于点． （1）知识初探： 勤奋小组求出了的度数，请你直接写出______： （2）深入探究： 智慧小组将线段沿射线的方向平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为），连接，并提出以下两个问题．请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． （3）拓展延伸： 创新小组提出问题：在上述平移过程中，当时，请直接写出的度数为_______． 【答案】（1）60；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），结合已知的的度数，直接求出的度数． （2）① 过点作，由得，利用平行线的性质将转化为，再通过与的差求解． ② 同理过点作，利用平行线的性质，通过与的差，得到的度数，即为的度数． （3）分两种情况（点在线段上、点在线段上），根据的关系列方程求解，得到的度数． 解：（1）解：， ． ， ， ； （2）解：①过点作， 则， ，， ， 线段是由线段平移得到， ， ， ； ②过点作， 则， ，， ， 线段是由线段平移得到， ， ， ； （3）解：如图2， 当时， 由（2）①知， 即， ∴ ， ； 如图3， 当时， 由（2）②知， 即， ∴， ． 【题型 2】折叠（轴对称）与平行线综合压轴题（6题） 考法：长方形与三角形纸片折叠，结合平行线的性质，探究折叠前后的角度关系、线段位置关系。 1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，把一张长方形的纸条沿折叠，若比多，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，设， 则，然后根据邻补角与互补出方程求解即可． 解：设，则， ∴， ∴根据折叠的性质可知：， ∴邻补角互补可得：， 解得， ∴． 2．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平行线的性质可得，由折叠的性质可知，．从而可利用x表示出，再根据，列出等式，解出x即可． 解：设， ∵， ∴ 由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴， 解得：， ∴． 3．（2026·甘肃武威·三模）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点分别折叠至点的位置，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】设由折叠可得，再根据列方程求解即可． 解：∵长方形纸条沿折叠， ∴， ∵，设 ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴， 解得， ∴． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，则________ 度，_______ 度． 【答案】 120 45 【分析】由折叠性质和平行可得，从而求得，再由与即可求解． 解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·广西崇左·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． （1）如果，求的度数； （2）如果，则                  ； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）30；（3），理由见分析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可； （2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； （3）设，然后类似（2）的方法求解即可． 解：（1）解：根据题意，得， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴. （3）解： 理由：设， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点． （1）①若，则_____________． ②若，则____________（用含的式子表示）． （2）如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________． 【答案】（1）①；②；（2），理由见分析；（3）． 【分析】（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得 ，则 ，由平行线的性质得 ，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得 ， ，由平行线的性质得 ，推出 ，即可得出； （3）先证 ，再证 ，最后根据平角可得度数，即可得解． 解：（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； 故答案为：； ②由题意得： ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得： ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，即交于点， 由折叠的性质得到： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在平角上，则有， ， ． 故答案为：． 【题型 3】旋转与平行线动态综合题（6题） 考法：将含 30°、45° 的三角板绕顶点旋转，结合平行线的判定与性质，探究角度变化或平行条件。 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，当的对应边所在直线与垂直时，旋转时间为（   ） A．15秒 B．秒 C．10秒 D．5秒 【答案】A 【分析】设直线与直线交点为点H，与交点为K，求出，进而求出的度数即可得到答案． 解：如图，当时，设直线与直线交点为H，与交点为K， ∴， ∵，（因为）， ∴， ∴， ∴旋转时间为． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 【答案】D 【分析】设，，由题意可得，，由旋转的性质可得，，，，则，连接，则，利用完全平方公式求出，即可得出结果． 解：设，， 由题意可得：，， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， 如图，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 3．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，由平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，最后根据求解即可． 解：是由绕点逆时针旋转而得，， ，， ， ， 平分， ， ， ． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为___________． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论，，，再根据平行线的性质求解即可． 解：当时，如图， 则， 则的值为； 当时，如图，则， ， ， 的值为． 当时，如图， 则的值为（不符合题意）． 综上，若与的某一边平行（不共线）时，的值为或． 5．（25-26八年级下·广东茂名·期中）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． （1）如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； （2）如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； 解：（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴， 即至少旋转75度，才能使落在上； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·广西南宁·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】如图1，将一个含角的直角三角尺的一边与直线重合，其中，．将该三角尺绕点逆时针旋转，如图2所示，过点作直线，的角平分线与直线交于点． （1）当时，求的度数； （2）当为多少度时，？请说明理由． （3）【拓展探究】如图3，延长得射线，与的角平分线交于点．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用含的代数式表示；若不会，求出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3）不会， 【分析】（1）求得，再利用平行线的性质可得，即可解答； （2）利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义推出，即可解答； （3）过点作，可得，再推出，利用平行线的性质即可解答． 解：（1）解：，， ，   ， ，    ； （2）解：，理由如下： 当时， ， ， ，    平分， ， ． . （3）解：不会，，理由如下： 过点作， ，      ，， 为的角平分线， ， 由对顶角相等得：， 为的角平分线， ， ， ． 【题型 4】命题证明与几何推理综合题（6题） 考法：以平行线、三角形为载体，考查完整的证明过程书写，或判断命题真假并说明理由。 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、内错角、对顶角、平方根以及等式性质等知识．依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可． 解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意； B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意； C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意： D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意． 故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤； 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况． 在这个问题中，结论是“a， b 中至少有一个为0”，其反面就是“a， b 都不为0”． 故选：A． 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 【答案】3 【分析】根据对顶角的性质，平行线的判定与性质，逐个判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可． 解：①对顶角相等，是真命题； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题未说明两条直线平行，是假命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题； ④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，是真命题． 综上，真命题共有个． 4．（2026九年级下·北京·专题练习）能说明命题“若，，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 【答案】 2（答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】由可知，、同正或同负；由可知，，若要命题是假命题，只需找到时，，此时、同正，据此取、值即可． 解：当，时，，，， 此时满足，，但，则命题是假命题． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____（填序号）． 【答案】①②③；④，证明见分析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 6．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 解：（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 【题型 5】图形变换中的线段或角度最值问题（6题） 考法：结合平移、折叠、旋转，探究线段长度的最值或角度的取值范围，常结合平行线的距离、点到直线的距离求解。 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为． 过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 连接，过点O作交的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点P与点H重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 解：如图，连接，过点O作交的延长线于H，    ∵，且， ∴， ∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故选：B． 3．（24-25七年级下·河南·期末）如图，在中，，是边上一点，，，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点，之间的距离的最小值是______，点，之间的距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，掌握垂线段最短是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，，推出，，三点共线，得到，进而得到当最小时，最小，当最大时，最大，进行求解即可． 解：连接，，， 点和点关于对称， ，， 点和点关于对称， ，， ， ， ， ，，三点共线， ， 当最小时，最小． 是上一点， 时，最小， 此时， ， ， 的最小值为 是上一点， 点与点重合时，最大， 的最大值为， 故点，之间的距离最小值是，点，之间的距离最大值是， 故答案为：； 4．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见分析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】作图见分析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间线段最短以及平移的性质．作关于直线的对称点，根据轴对称的性质可知，再将转化为，根据两点之间线段最短，得出的最小值为的长度；在问题拓展中，通过平移的方法，将桥的长度固定，把问题转化为求两点之间的最短路径问题，利用了平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置的性质即可画出此时桥的位置． 解：根据轴对称的性质可知，， ， 根据两点之间线段最短， 故选①， 最小值为， 故答案为：， ① ，； 桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $