七年级下册期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（11类题型）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

七年级下册期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（11类题型） 苏科版七下解答题具有知识点覆盖全面、注重基础与综合应用、强调数学思维与方法、联系生活实际四大方面特点，本专题结合江苏地区题型特点精选细编出两大部分十二类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【基础夯实+综合提升】 【题型一】幂的运算+整式的乘法运算化简单求值（5题）..................................................................1 【题型二】解二元一次方程组（5题）....................................................................................................2 【题型三】解一元一次不等式（5题）....................................................................................................3 【题型四】作图+求值+证明（4题）........................................................................................................4 【题型五】几何推理与证明（6题）........................................................................................................5 【题型六】二元一次方程组的应用（5题）............................................................................................7 【题型七】一元一次不等式的应用（5题）............................................................................................8 【拓展延升+压轴培优】 【题型八】命题的证明+反证法（3题）..................................................................................................9 【题型九】整式的乘法与图形面积综合题（5题）..............................................................................10 【题型十】一元一次不等式与二元一次方程组综合压轴题（4题）..................................................14 【题型十一】图形的轴对称与旋转压轴题（5题）..............................................................................15 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【基础夯实+综合提升】 【题型一】幂的运算+整式的乘法运算化简单求值（5题） ★1．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）以下是小明计算的解答过程： 解：原式． 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． ★★2．（22-23七年级下·浙江丽水·期末）已知，． （1）当时，求的值； （2）当时，且是整数，试说明的值是偶数． ★★3．（20-21七年级下·广东深圳·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． ★★4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值： （1），其中． （2）已知，求的值． ★★5．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）比较与的大小． （1）尝试（用“>”，“<”，“”，“”或“=”填空）： ①当时，______；②当时，______；③当时，______；④当时，______； （2）归纳：与有怎样的大小关系？请说明理由． 【题型二】解二元一次方程组（5题） ★1．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解下列方程组： （1）； （2）． ★2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解方程： （1） （2） ★3．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①，解得；乙看错了②，解得，求a、b值． ★★4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组． （1）方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． ★★★5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用若干块如左图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． （1）如图1，若，，则_____，_____； （2）如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为26，，求的值． （3）如图2，若的长度为6，的长度为． ①当_____，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 【题型三】解一元一次不等式（5题） ★1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在数轴上，点A，B分别表示数，． （1）x的取值范围是______． （2）若点C表示的数为，且点C在线段上，求x的取值范围． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的不等式组． （1）当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来； （2）若不等式组只有2个整数解，求的取值范围． ★3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解不等式（组）： （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． ★★4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，当m为何整数时，不等式的解集为？ ★★5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知关于a、b的方程组． （1）若，求m的值； （2）已知a为负数，b为非正数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若m为整数，则当m为何值时，不等式的解集为． 【题型四】作图+求值+证明（4题） ★★1．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． （1）根据题意，补全图形； （2）图中和的数量关系是 ； （3）在上画出一点P，使得． ★2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸中，的三个顶点和点都在小方格的顶点上．将绕点按顺时针方向旋转，在图上画出旋转后的． ★★3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为，； （1）线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、； （2）线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）． ★★4．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 【题型五】几何推理与证明（5题） ★1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）在中，，，点D为内一点，连接、． （1）把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° （2）延长交于F，交于M，求证：． ★2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿折叠后，点的对应点为点，交于点． （1）判断和的大小关系，并说明理由； （2）连结，若平分，，求的度数． ★3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，再把折叠，使点C、D分别落在点的位置，折痕为，与在同一条直线上． （1）分别直接写出与，与之间所满足的数量关系； （2）与之间什么关系？ （3）是什么角？ ★★4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知中，，，，，点在边上，．   （1）如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； （2）如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． ★★5．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）如图，规定：在网格中每个小格的边长为1个单位长度，作三角形，其顶点都在网格顶点上，将三角形绕点顺时针旋转，得到三角形，点的对应点为，点在上，旋转后对应点为点，连接 （1）如图1，三角形绕点顺时针旋转得到三角形． ①旋转角为___________；在图1中画出点，并连接； ②若，则___________； （2）某同学发现，在旋转过程中会存在一个时刻，使是的平分线，如图2，求此时的度数 【题型六】二元一次方程组的应用（3题） ★1．（2024七年级下·全国·专题练习）某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． ★★2．（2024七年级下·江苏·专题练习）某物流公司将一批猪肉运往某地，现有A，B两种型号的运输车可供调用，已知2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉． （1）一辆A型车与一辆B型车一次各运猪肉多少吨？ （2）该物流公司决定派出A，B两种型号的运输车共18辆参与猪肉运输，若每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ ★★3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． （1）求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ （2）若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． ★★4．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 （1）若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； （2）若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． ★★5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． （1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； （2）在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？ （3）若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果） 【题型七】一元一次不等式的应用（3题） ★1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． （1）求这两种图书的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． ★★2．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． ★★3．（2025·江西抚州·一模）某花店计划在国庆节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2枝康乃馨和3枝百合共需40元；购买3枝康乃馨和1枝百合共需25元． （1）求每枝康乃馨和百合花的价格分别是多少元？ （2）若该花店准备同时购进这两种花共360枝，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． ★★4．（安徽省蚌埠市2024-2025学年下学期期中学情调研监测七年级数学试题）为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． （1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； （2）若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ （3）在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ ★★5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【拓展延升+压轴培优】 【题型八】命题的证明+反证法（3题） ★★1．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． ★★2．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： ★★3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【题型九】整式的乘法与图形面积综合题（5题） ★★1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． ★★2．（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； （3）若，则的值为______． ★★★3．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）阅读与思考 仔细阅读下列材料并完成相应任务． 利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2． 任务： （1）代数式的最小值为 ． （2）求代数式的最大值，并写出相应的x的值． （3）小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？ ★★★3．（22-23七年级下·山西太原·阶段练习）【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 （2）根据图2，可以得到等式：______； （3）①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； （4）画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 （5）①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． （6）图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． ★★★4．（24-25七年级下·山东济南·期中）（1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得． 若，则该大正方形的边长为___________； （2）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点在一条直线上，点为的中点，若，求图中阴影部分的面积； （3）【知识拓展】如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． 若已知，则___________． （4）【民族骄傲】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． 下列说法：正确的有 ①展开式各项系数之和为64； ②展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项； ③； ④若，则； ⑤能被28整除． 【题型十】一元一次不等式与二元一次方程组综合压轴题（4题） ★★★1．（21-22七年级下·福建泉州·期末）已知是关于 x，y 的二元一次方程组． （1）求方程组的解（用含 a 的代数式表示）； （2）若 x - 3y = 10，求 a 的值； （3）若 x，y 之间（不含 x，y）有且只有一个整数，求 a 的取值范围． ★★★2．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” （1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； （2）若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值． （3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． ★★★3．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． ★★★4．（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组． （1）二元一次方程组是______系方程组． （2）关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围． （3）关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围． 【题型十一】图形的轴对称与旋转压轴题（5题） ★★★1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． ★★★2．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． ★★★3．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． （3）在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． ★★★4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． ★★★5．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下册期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（11类题型） 苏科版七下解答题具有知识点覆盖全面、注重基础与综合应用、强调数学思维与方法、联系生活实际四大方面特点，本专题结合江苏地区题型特点精选细编出两大部分十二类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【基础夯实+综合提升】 【题型一】幂的运算+整式的乘法运算化简单求值（5题）..................................................................1 【题型二】解二元一次方程组（5题）...................................................................................................4 【题型三】解一元一次不等式（5题）.................................................................................................10 【题型四】作图+求值+证明（4题）.....................................................................................................14 【题型五】几何推理与证明（6题）.....................................................................................................18 【题型六】二元一次方程组的应用（5题）.........................................................................................23 【题型七】一元一次不等式的应用（5题）.........................................................................................28 【拓展延升+压轴培优】 【题型八】命题的证明+反证法（3题）...............................................................................................33 【题型九】整式的乘法与图形面积综合题（5题）.............................................................................36 【题型十】一元一次不等式与二元一次方程组综合压轴题（4题）..................................................46 【题型十一】图形的轴对称与旋转压轴题（5题）..............................................................................52 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【基础夯实+综合提升】 【题型一】幂的运算+整式的乘法运算化简单求值（5题） ★1．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）以下是小明计算的解答过程： 解：原式． 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见分析 【分析】先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答． 解：小明的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： ． 【点拨】本题考查了整式的混合运算，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． ★★2．（22-23七年级下·浙江丽水·期末）已知，． （1）当时，求的值； （2）当时，且是整数，试说明的值是偶数． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）把与代入中，根据整式的加减运算法则进行化简，再根据求出值即可； （2）已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，再利用幂相等的条件得到与的关系式，根据与为整数，表示出值，即可作出判断． 解：（1）解：∵，， ∴ ， 把代入得， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴的值是偶数． 【点拨】此题考查了整式的加减—化简求值，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ★★3．（20-21七年级下·广东深圳·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）先根据完全平方公式得出，再求出答案即可； （2）先根据同底数幂的除法进行变形，再根据幂的乘方进行变形，最后求出答案即可． 本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． 解：（1）∵， ∴， （2）∵， ∴． ★★4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值： （1），其中． （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2），11 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）先进行平方差公式和单项式乘多项式的运算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先进行多项式乘多项式和完全平方差运算，再合并同类项，最后整体代入求值即可． 解：（1）解： 当时， 原式； （2）解： ． 当时，原式． ★★5．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）比较与的大小． （1）尝试（用“>”，“<”，“”，“”或“=”填空）： ①当时，______；②当时，______；③当时，______；④当时，______； （2）归纳：与有怎样的大小关系？请说明理由． 【答案】（1），，，；（2），理由见分析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）分别计算、，再比较大小，即可； （2）根据即可得到结论 解：（1）解：①当时，， ∴； ②当时，，； ∴； ③当时，，； ∴； ④当时，， ∴； 故答案为：，，， （2）解：，理由如下： ∵， ∵ ∴ 【题型二】解二元一次方程组（5题） ★1．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并根据方程特点灵活选用是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 解：（1）解：， 将②代入①中，得，解得， 将代入②中，得， ∴该方程组的解为； （2）解： 得，解得， 将代入①中，得， ∴该方程组的解为． ★2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，会熟练运用代入消元法与加减消元法解方程组是解决问题的关键． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 解：（1）解： 得，， 将代入①得， 解得： 所以原方程组的解为：； （2）解： 原方程组整理为： 得， 解得：， 将代入①得， 解得： 所以原方程组的解为： ★3．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①，解得；乙看错了②，解得，求a、b值． 【答案】， 【分析】把代入方程②得③．把代入方程①得④，联立方程③④解方程组即可． 解：把代入方程②得③． 把代入方程①得④， 联立方程③④可得方程组， 解得：． ∴，． 【点拨】此题主要是考查了二元一次方程组的解法，能够根据题意列出关于，的方程组是解答此题的关键． ★★4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组． （1）方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键． （1）求出二元一次方程的正整数解即可； （2）解得到，再代入即可求出答案； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解． 解：（1）解：一个正整数解为， 故答案为： （2）由题知， 解得， 将代入， 解得 （3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解， ∴与的取值无关，则， 则 ∴ 故答案为． ★★★5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用若干块如左图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． （1）如图1，若，，则_____，_____； （2）如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为26，，求的值． （3）如图2，若的长度为6，的长度为． ①当_____，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 【答案】（1）4，3；（2）；（3）①4，12；②， 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的边长与a、b之间的关系是关键．讨论方程组的解情况是本题的难点． （1）根据图（1）长方形的边长组成列方程即可解答； （2）由图（1）中空白部分面积＝大长方形面积－阴影部分面积＝5个小长方形面积，可得，再结合完全平方公式可得，即可得； （3）由长方形的长和宽可列出关于a、b的方程组，解关于a、b即可解答． 解：（1）解：由图得， 解得：； （2）由图可得：5个小长方形面积＝长方形的面积－阴影部分的面积， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为26， ∴， ∴ ∴，又， ∴； （3）由图（2）得： ， 由①得，③ 将③代入②得， ∴， ∴当 时，a，b的解有无数组； 即时，a，b的值有无数组； 当时，方程组无解， 即时，a，b的值不存在 故答案为：①4，12；②，． 【题型三】解一元一次不等式（5题） ★1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在数轴上，点A，B分别表示数，． （1）x的取值范围是______． （2）若点C表示的数为，且点C在线段上，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了数轴的运用、不等式的应用等知识点，掌握数形结合是解题的关键． （1）根据点B在点A 的右侧，据此列出不等式求解即可； （2）利用（1）的结果可判断的位置，并列出不等式组求解即可． 解：（1）解：根据题意得：，解得． （2）解：∵C表示的数为，且点C在线段上， ∴，解得：． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的不等式组． （1）当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来； （2）若不等式组只有2个整数解，求的取值范围． 【答案】（1），作图见分析；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能求出关于a的不等式或不等式组的解集是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解得出，求出a的范围即可． 解：（1）解：， 解不等式①，得， 当时，由②可得，解得：， 所以不等式组的解集是； 在数轴上表示如下： ． （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组只有2个整数解， ∴，即． ★3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解不等式（组）： （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． 【答案】（1），数轴见分析；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是： （1）根据一元一次不等式的解法进行解答即可； （2）根据解一元一次不等式组的方法求出不等式组的解集即可． 解：（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：， 不等式的解集表示在数轴上，如图所示： （2）解不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集是． ★★4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，当m为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用加减消元解法方程组； （2）利用方程组的解得到，然后解关于的m不等式组； （3）利用不等式性质得到，即，加上（2）的结论得到，然后写出此范围内的整数即可， 本题考查了，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的整数解，解题的关键是：熟练掌握相关解法． 解：（1）解： ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为； （2）解：∵，， ∴， 解得：， （3）解：， ∵原不等式的解集是， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． ★★5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知关于a、b的方程组． （1）若，求m的值； （2）已知a为负数，b为非正数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若m为整数，则当m为何值时，不等式的解集为． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，利用同时除以一个负数不等号要改变方向，求出a的取值范围是解此题的关键． （1）两式相加即可求解； （2）将m当作常数，解二元一次方程组，用m表示a、b，根据a为负数，b为非正数可以列出不等式组，从而求出m的范围； （3）将不等式进行求解，要得到解集为，则必须使，可以求出m的范围，结合（2）中m的范围，即可求解． 解：（1）解：两式相加得：， ， ， 解得：； （2）解：解方程组得： ∵a为负数，b为非正数 ∴， 解得：； （3）解： ∵要使不等式的解集为 必须 解得： ∵，m为整数 ∴ ∴当时，不等式的解集为． 【题型四】作图+求值+证明（4题） ★★1．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． （1）根据题意，补全图形； （2）图中和的数量关系是 ； （3）在上画出一点P，使得． 【答案】（1）图见分析；（2）互补；（3）见分析 【分析】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据的位置，确定平移规则，据此画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质即可作答； （3）根据网格特点，过点 作，交于点P，则点P即为所求作． 解：（1）解：如图，，，即为所求作； （2）解：由平移的性质可知：， ∴， 即：和互补， 故答案为：互补； （3）解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 由平移的性质可知：， ∴． ★2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸中，的三个顶点和点都在小方格的顶点上．将绕点按顺时针方向旋转，在图上画出旋转后的． 【答案】图见分析 【分析】本题考查旋转作图，根据旋转的性质，画出即可． 解：如图，即为所求； ★★3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为，； （1）线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、； （2）线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）． 【答案】（1）画图见分析；（2） 【分析】（）根据轴对称图形和旋转的性质作图即可； （）根据题意画出图形，进而根据图形解答即可求解； 本题考查了作轴对称图形，旋转作图，掌握轴对称图形和旋转的性质是解题的关键． 解：（1）解：如图所示，、即为所求； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴与的关系为． ★★4．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，根据两点之间线段最短，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，根据两点之间线段最短，则的周长最小； 本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型 解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； 【题型五】几何推理与证明（5题） ★1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）在中，，，点D为内一点，连接、． （1）把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° （2）延长交于F，交于M，求证：． 【答案】（1）C；90；（2）见分析 【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． （1）根据图形旋转的定义求出结果即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证． 解：（1）解：由逆时针旋转得到了可知：点是的旋转中心，旋转角为． （2）证明： 由逆时针旋转得到了可知，， 在中，， 在中，， 而 ， 即． ★2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿折叠后，点的对应点为点，交于点． （1）判断和的大小关系，并说明理由； （2）连结，若平分，，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】本题考查了长方形与折叠性质，平行线的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）由折叠性质可得，再由两直线平行内错角相等即可得出结论； （2）根据角平分线定义以及平行线性质可得，结合即可求出结果． 解：（1）解：，理由如下： ∵长方形纸片沿折叠， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ★3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，再把折叠，使点C、D分别落在点的位置，折痕为，与在同一条直线上． （1）分别直接写出与，与之间所满足的数量关系； （2）与之间什么关系？ （3）是什么角？ 【答案】（1），；（2）与互余；（3）是直角 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，邻补角的性质，互余的定义等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据邻补角的性质可得答案； （2）由轴对称的性质可得，，进而可得，于是可得答案； （3）由轴对称的性质可得，，进而可得，然后根据即可得出答案． 解：（1）解： 由邻补角的性质可得： ，； （2）解：由轴对称的性质可得：，， ∴， ∴， 答：与互余； （3）解：由轴对称的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， 答：是直角． ★★4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知中，，，，，点在边上，．   （1）如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； （2）如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查的是轴对称的性质，旋转的性质，整式的乘法运算； （1）根据旋转与轴对称的性质先判断，可得旋转角，再证明是轴对称图形，是轴对称图形，进一步可得的长度； （2）由旋转可得：，，，，证明，求解，再进一步求解三角形的面积即可． 解：（1）解：∵绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角是， ∵，， ∴是轴对称图形， 由旋转可得：， ∴是轴对称图形， ∴， ∵， ∴； （2）解：由旋转可得： ，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ★★5．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）如图，规定：在网格中每个小格的边长为1个单位长度，作三角形，其顶点都在网格顶点上，将三角形绕点顺时针旋转，得到三角形，点的对应点为，点在上，旋转后对应点为点，连接 （1）如图1，三角形绕点顺时针旋转得到三角形． ①旋转角为___________；在图1中画出点，并连接； ②若，则___________； （2）某同学发现，在旋转过程中会存在一个时刻，使是的平分线，如图2，求此时的度数 【答案】（1）①90，见分析；②58.4；（2） 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）①利用旋转变换的性质判断即可；根据，画出图形； ②根据，计算即可； （2）判断出，可得结论． 解：（1）解：①由图可得， ∴旋转角为， 如图，，点即为所求； 故答案为：90； ②∵，， ∴， 故答案为：58.4； （2）解：∵平分， ∴， ∴． 【题型六】二元一次方程组的应用（3题） ★1．（2024七年级下·全国·专题练习）某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． 【答案】调动前甲工地有78人，乙工地有42人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设调动前甲工地有人，乙工地有人，根据“工程队共有120人，调动之后人数相等”列方程组求解即可． 解：设调动前甲工地有人，乙工地有人．根据题意，得 ， 解得． 答：调动前甲工地有78人，乙工地有42人． ★★2．（2024七年级下·江苏·专题练习）某物流公司将一批猪肉运往某地，现有A，B两种型号的运输车可供调用，已知2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉． （1）一辆A型车与一辆B型车一次各运猪肉多少吨？ （2）该物流公司决定派出A，B两种型号的运输车共18辆参与猪肉运输，若每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 【答案】（1）一辆A型车一次运猪肉9吨，一辆B型车一次运猪肉6吨；（2）派出2辆B型车，16辆A型车或派出3辆B型车，15辆A型车 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设一辆A型车一次运猪肉x吨，一辆B型车一次运猪肉y吨，根据题意列出二一元一次方程组求解即可； （2）设B型车a辆，则A型车辆，根据题意列出一元一次不等式组，求出，然后根据a为整数求解即可． 解：（1）设一辆A型车一次运猪肉x吨，一辆B型车一次运猪肉y吨， 由题意可得：， 解得：， 答：一辆A型车一次运猪肉9吨，一辆B型车一次运猪肉6吨； （2）设B型车a辆，则A型车辆， 由题意可得：， 解得：， ∵a为整数， ∴或3， 答：派出2辆B型车，16辆A型车或派出3辆B型车，15辆A型车． ★★3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． （1）求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ （2）若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 【答案】（1）“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元；（2）3种，方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组，是解题的关键： （1）设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，根据4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，根据题意，列出二元一次方程，结合“哪吒”的购进数量不低于30只，求出正整数解即可． 解：（1）解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得： ，解得：， 答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且； ∴， ∴或或， 故共有3种购买方案： 方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只； 方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只； 方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只． ★★4．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 （1）若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； （2）若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】（1）；；（2）甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 解：（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． ★★5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． （1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； （2）在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？ （3）若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果） 【答案】（1）A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元；（2）有4种购买方案：①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯；②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯；③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯；④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯；；（3）B款加料的奶茶买了8杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了268元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 解：（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 解得：， 、n均为正整数， ，，，， ∴有4种购买方案： ①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯； ②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯； ③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯； ④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ，，均为正整数， ， ， 解得：， ，， ， 答：B款加料的奶茶买了8杯． 【题型七】一元一次不等式的应用（3题） ★1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． （1）求这两种图书的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】（1）“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元；（2）①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 解：（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． ★★2．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据程序流程图列出不等式组，然后再解不等式组即可． 解：依题意，得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 故x的取值范围为． ★★3．（2025·江西抚州·一模）某花店计划在国庆节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2枝康乃馨和3枝百合共需40元；购买3枝康乃馨和1枝百合共需25元． （1）求每枝康乃馨和百合花的价格分别是多少元？ （2）若该花店准备同时购进这两种花共360枝，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）每枝康乃馨5元，每枝百合10元；（2）购买康乃馨240枝，百合120枝，理由见分析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用． （1）根据购买2支康乃馨和3支百合共需40元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意，先设出购买康乃馨m支，费用为w元，即可得到w关于m的函数式，再根据康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，可以求得m的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最省钱的方案． 解：（1）解：设每枝康乃馨x元，每枝百合y元， 根据题意得：， 解得， 答：每枝康乃馨5元，每枝百合10元； （2）解：最省钱的购买方案是购买康乃馨240枝，百合120枝，理由如下： 设购买康乃馨m枝，则购买百合枝，费用为W元， ， ， ， ∵， ∴当时，W取得最小值，此时， 即最省钱的购买方案是购买购买康乃馨240枝，百合120枝． ★★4．（安徽省蚌埠市2024-2025学年下学期期中学情调研监测七年级数学试题）为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． （1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； （2）若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ （3）在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 【答案】（1）购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元；（2）共有7种购买方案；（3）在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元，利用总价单价数量，结合“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，利用总价单价数量，结合总价不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出购买方案的个数； （3）根据题意甲种纪念品数量越少，总费用越少，则购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，进而计算花费资金，即可求解． 解：（1）解：设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元． （2）解：设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为34，35，36，37，38，39，40， 共有7种购买方案． （3）解：∵购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 ∴甲种纪念品数量越少，总费用越少， ∴购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 设所花资金最小为． 答：在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为670元． ★★5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】（1）A型50元，B型100元；（2）A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 解：（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 【拓展延升+压轴培优】 【题型八】命题的证明+反证法（3题） ★★1．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 解：（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． ★★2．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见分析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． ★★3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见分析 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见分析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 【题型九】整式的乘法与图形面积综合题（5题） ★★1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 【答案】教材呈现：；活动内容：（1），理由见分析；（2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，结合图形得出关系式是解题的关键． 教材呈现：先用大小正方形的面积差表示第一个图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二个图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可； 活动内容：（1）根据大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可； （2）用及求得，再由求得，进而由平方差公式求得结果． 解：教材呈现：第一个图的阴影部分面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， ∴重要的结论为：， 故答案为：； 活动内容：（1），理由如下： ，或， ， ， ； （2）由题意知：， ， ， ， ， ， ． ★★2．（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； （3）若，则的值为______． 【答案】（1）8；（2）22；（3）13 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 解：（1）解：∵，， ∴， 解得：． （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． （3）解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． ★★★3．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）阅读与思考 仔细阅读下列材料并完成相应任务． 利用因式分解解决代数式的最值问题 我们把形如的式子称为完全平方式，除了利用完全平方式进行多项式的因式分解外，也可以将一个多项式进行局部因式分解从而解决代数式的最值问题． 例如：． ∵，∴，∴， ∴当时，取得最小值，最小值为2． 任务： （1）代数式的最小值为 ． （2）求代数式的最大值，并写出相应的x的值． （3）小明的爸爸计划用一段长为8米的篱笆围成一个长方形的小型宠物围栏，请你帮助小明的爸爸规划一下怎样围面积才最大，最大面积为多少？ 【答案】（1）；（2）代数式的最大值为，对应x的值为1；（3）小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用等知识点，利用完全平方公式确定最值问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）先把原式变形为，再根据非负数的性质即可解答； （3）设当小型宠物围栏的长为x，则宽为，然后列出小型宠物围栏的面积，然后运用配方法求最值即可． 解：（1）解：∵， ∴ ∴代数式的最小值为． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∴当时，代数式的最大值为． （3）解：设当小型宠物围栏的长为x米，则宽为米， 则小型宠物围栏的面积为， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值为4． ∴小明的爸爸规划一个边长为2的正方形宠物围栏，面积才最大，最大面积为8平方米． ★★★3．（22-23七年级下·山西太原·阶段练习）【知识生成】 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）： A．分类讨论        B．转化        C．由特殊到一般        D．数形结合 （2）根据图2，可以得到等式：______； （3）①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______； ②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______； （4）画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【知识迁移】 （5）①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______． （6）图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______． 【答案】（1）D；（2）；（3）①；②29；（4）见分析；（5）①；②35；（6） 【分析】（1）体现的数学思想是数形结合； （2）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； （3）①先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论； ②利用①中的等式直接代入求得答案即可； （4）根据长方形的长和宽即可画出图形，将展开即可； （5）①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （6）根据两个图形体积相等即可列出恒等式． 解：（1）解：这体现的数学思想是数形结合； 故选：D； （2）解：由题意得阴影部分的面积． 故答案为：； （3）解：①∵正方形面积为， 小块四边形面积总和为， ∴由面积相等可得：； 故答案为：； ②由①可知， ∵，， ∴， 故答案为：29； （4）解：面积为的长方形如图所示： ∴； （5）解：①用不同的方法表示这个大正方体的体积， 得到的等式为； ②∵，， ∴ ． 故答案为：；35； （6）解：左边体积大正方体的体积小长方体的体积； 右边体积长方体的体积； ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方式的几何背景，掌握完全平方公式的几个特征是正确判断的前提，用代数式表示图形的面积、体积是解决问题的关键．注意应用数形结合思想． ★★★4．（24-25七年级下·山东济南·期中）（1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得． 若，则该大正方形的边长为___________； （2）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点在一条直线上，点为的中点，若，求图中阴影部分的面积； （3）【知识拓展】如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到． 若已知，则___________． （4）【民族骄傲】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． 下列说法：正确的有 ①展开式各项系数之和为64； ②展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项； ③； ④若，则； ⑤能被28整除． 【答案】（1）8；（2）45；（3）95；（4）①②③⑤ 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形的应用，多项式乘多项式的规律应用，注意数形结合． （1）由，把整体代入即可求解； （2）根据阴影部分面积等于两个正方形面积和分别减去的面积即可，再由已知求出，整体代入即可． （3）由，再整体代入即可求解； （4）根据（为正整数）的展开式的系数规律，逐个判断即可． 解：（1）， 由于，则； 故答案为：8． （2）∵，点为的中点， ∴； 阴暗部分面积 ； ∵， ∴， 即； 阴暗部分面积； 答：图中阴暗部分面积为45； （3）∵ 又， 即， ∴； 故答案为：95； （4）的各项系数分别为1，6，15，20，15，6，1， 其和为； 故①正确； 展开式各项中，各系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1，系数最大的项是第四项和第五项； 故②正确； ； 故③正确； ， 上式中取，得；取，得 则； 故④错误； ∵， 而， ∴ 即 ∴能被28整除； 故⑤正确； 综上，正确的有①②③⑤． 【题型十】一元一次不等式与二元一次方程组综合压轴题（4题） ★★★1．（21-22七年级下·福建泉州·期末）已知是关于 x，y 的二元一次方程组． （1）求方程组的解（用含 a 的代数式表示）； （2）若 x - 3y = 10，求 a 的值； （3）若 x，y 之间（不含 x，y）有且只有一个整数，求 a 的取值范围． 【答案】（1）；；（2）a=-2；；（3）-≤a≤且a≠0． 【分析】（1）①+②得到x+y=6③，①-③求得x，②-③求得y； （2）将方程组的解代入，可求a的值； （3）分a＞0和a＜0两种情况，根据x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，列出不等式组求解即可． 解：（1）解：， ①+②得：3x+3y=18， ∴x+y=6③， ①-③得：x=3-2a， ②-③得：y=3+2a， ∴方程组的解为； （2）解：∵x-3y=10， ∴3-2a-3（3+2a）=10， ∴a=-2； （3）解：①当a＞0时，x=3-2a＜3，y=3+2a＞3， ∴， ∴0＜a≤； ②当a＜0时，x=3-2a＞3，y=3+2a＜3， ∴， ∴-≤a＜0； 综上，-≤a≤且a≠0． 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，列出不等式组是解题的关键． ★★★2．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” （1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； （2）若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值． （3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 【答案】（1）是不等式③的“梦想解”；（2）m为14或15；（3）m的取值范围是 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解一元一次方程（组）， （1）先求出方程的解和不等式的解集，即可判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出． 解：（1）解方程得， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”； （2）解方程组 得： ∴ ∵方程组的解是不等式组的梦想解 ∴ ∴ m为整数， ∴m为14或15； （3）解不等式组得：， 不等式组的整数解有7个， 令整数的值为，，，，，， 则有：，． 故， 且， ， ， ， ， 解方程得：， 方程是关于的不等式组的“梦想解”， ， 解得， 综上的取值范围是． ★★★3．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 解：（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． ★★★4．（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组． （1）二元一次方程组是______系方程组． （2）关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围． （3）关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1；（2）或；（3）或 【分析】（1）代入消元法解方程组得，则在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数，然后作答即可； （2）加减消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或，当整数为时，则，计算求解即可；当整数为时，则，计算求解即可； （3）代入消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数，则，即，计算求解即可． 解：（1）解：， ②代入①得，， 解得，， ∴， ∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数， ∴二元一次方程组是1系方程组， 故答案为：1； （2）解；， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， ∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或， 当整数为时，则， 解得，； 当整数为时，则， 解得，； 综上所述，或； （3）解：， 将②代入①得，， 解得，， ∴， 由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数， ∴，即， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，或 ． 【点拨】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用等知识．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【题型十一】图形的轴对称与旋转压轴题（5题） ★★★1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． ★★★2．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】 （2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】 （3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见分析 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的性质，角平分线的性质，平行线的判定及性质． （1）根据折叠的性质得，，，进而得，由平角的性质即可得解； （2）先由平行线的性质得，再由角平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理可得答案； （3）过点作平分，过点作平分，先由角平分线的性质和平角的性质得出，，进而得，过点作，得，根据两直线平行内错角相等得，，再结合角平线的性质，即可得出结论． 解：（1）根据折叠的性质得，，， ∴，即， 故答案为：； （2）解：， ， ，分别平分和， ，， ． ， ； （3）解：，证明如下： 如图，过点作平分，过点作平分， 平分，平分， ，， ， ， 同理可得：， ， 过点作， ， ，， ， 平分，平分， ，， ． ★★★3．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． （3）在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【答案】（1）垂直；；平行；（2）①；②；（3）10或85或130；55或或145 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案； ②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和垂直的定义，列出方程，解题方程即可． 解：（1）解：如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10或85或130时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当为55或或145时，两灯的光束互相垂直． 【点拨】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． ★★★4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】本题考查平行线的性质，三角尺中的角度计算，角的和差定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）根据（1）可得，，，进而分类讨论，分别表示出旋转秒后和的角度，根据平行线的性质，建立方程，解方程即可求解． 解：（1）如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）可得，，， 当时，，当时， ①当时，如图，设直线分别交于点，过点作 ∵ ∴ ∴ 又∵，则 ∵ ∴ ∴ 解得： ②当时，如图， ∵， ∴ 当时，， ∴ 解得： ③当时，如图， 当时，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： 综上所述，或或 ★★★5．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）（2）①3 ②（3）或 【分析】（1）由计算即可得到答案； （2）①由（1）得，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此； ②先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解； （3）分两种情况：①边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案． 解：（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：①由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为每秒， ， 故答案为：3； ②当平分时，图如图所示， 边平分， ， 旋转角度为， ， 故答案为：； （3）解：由（1）可知两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， ①边与边相遇前，可得：， 解得：； ②边与边相遇后，可得：， 解得：， 为或秒时，． 【点拨】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、旋转的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$