期末考试必考题型（二）——二元一次方程组与分式方程的应用（2大考点10类题型）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

**基本信息** 聚焦二元一次方程组与分式方程实际应用，以“解题步骤+题型分类”构建方法体系，逻辑递进覆盖10类必考题型，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二元一次方程组应用|5类题型（每类6题）|审设列解验答六步流程，针对和差倍分、行程等题型提炼等量关系模型|从概念（方程组构建）到应用（实际问题转化），体现数学建模过程| |分式方程应用|5类题型（每类6题）|双重检验（增根+实际意义），强化行程、工程等问题的分式等量关系构建|在整式方程基础上进阶，突出分式方程特殊性，培养严谨运算能力|

期末考试必考题型（二）——二元一次方程组与分式方程的应用（2大考点10类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】二元一次方程组实际应用 1 【考点二】分式方程应用题解题步骤及常见的等量关系 2 二.必考题型精析 3 【考点一】二元一次方程组实际应用 3 【题型 1】和差倍分问题（6题） 3 【题型 2】行程问题（6题） 4 【题型 3】工程问题（6题） 5 【题型 4】分配与方案问题（6题） 6 【题型 5】利润与计费问题（6题） 8 【考点二】可化为一元二次方程的分式方程的实际应用 9 【题型 6】行程问题（6题） 9 【题型 7】工程问题（6题） 10 【题型 8】利润与计费问题（6题） 12 【题型 9】和差倍分问题（6题） 13 【题型 10】其他问题（6题） 15 一.必考点知识回顾 【考点一】二元一次方程组实际应用 1、 解题步骤： （1）审：审题，找已知量、未知量；（2）设：设未知数；（3）列：根据等量关系列方程组；（4）解：解方程组；（5）验：检验结果合理性；（6）答：规范作答。 2、高频经典题型 （1）和差倍分问题：利用数量之间和、差、倍数关系列式； （2）行程问题：相遇、追及、航行问题（路程 = 速度 × 时间）； （3）工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常设总工作量为1； （4）配套问题：根据部件配比关系建立等量关系； （5）利润与计费问题：结合单价、数量、总价、分段收费列式。 【考点二】分式方程应用题解题步骤及常见的等量关系 1、解题步骤 （1）：审：分析题意，找出已知量、未知量，梳理数量关系 （2）：设：设未知数（直接设 / 间接设，注意单位统一） （3）：列：根据等量关系列出分式方程 （4）：解：去分母化为一元一次方程，求解方程 （5）：验：双重检验（①检验是否为分式方程增根；②检验解是否符合实际题意） （6）：答：规范作答，带单位 【要点提示】分式方程应用题必须检验，这是得分关键点，增根、不符合实际的解都要舍去。 2、常见等量关系模型 （1）：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （3）：路程 = 速度 × 时间 （3）：总价 = 单价 × 数量 （4）：利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价 二.必考题型精析 【考点一】二元一次方程组实际应用 【题型 1】和差倍分问题（6题） 1．（2026·浙江丽水·模拟预测）现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是______岁． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有________人，女生有________人． 5．（2026·重庆·二模）列方程解下列问题： 随着机器人技术的飞速发展，智能机器人在我们的生产生活中发挥着越来越重要的作用．某工厂引入A、B两种类型的智能搬运机器人共同完成仓库货物的搬运任务．已知1台A型机器人和2台B型机器人每小时一共可搬运货物300箱，每台A型机器人比每台B型机器人每小时多搬运货物30箱． （1）求每台A型机器人和B型机器人每小时分别搬运多少箱货物； （2）工厂仓库现有3240箱货物需要紧急搬运，计划安排A、B两种共15台机器人共同完成搬运任务．当所有机器人同时开始到同时完成搬运任务时，所有A型机器人搬运的货物量是仓库货物总量的，则机器人完成这次搬运任务用了多少小时？ 6．（2026·江西九江·二模）某校利用体育大课间抽查七年级学生体育项目练习情况，共进行了两次抽查（每名学生只抽查一个项目），两次抽查合格率相同，跳绳为，排球为．第一次抽查跳绳和排球共44人合格，第二次抽查跳绳和排球共100人合格，且第二次抽查跳绳的人数是第一次抽查跳绳人数的2倍，第二次抽查排球的人数是第一次抽查排球人数的3倍． （1）求学校第一次抽查的学生总人数． （2）若八年级进行了一次跳绳抽查，跳绳的合格人数与七年级两次抽查的跳绳合格总人数相同，且合格率为，求八年级跳绳抽查的学生人数． 【题型 2】行程问题（6题） 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学所用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长米，火车的速度米秒，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶______． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是__________千米． 5．（24-25七年级下·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． （1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ （2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 6．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． （1）每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ （2）如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【题型 3】工程问题（6题） 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 3．（24-25七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件． 4．（24-25七年级下·四川德阳·期末）市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进______米． 5．（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． （1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ （2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 6．（24-25七年级下·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， （1）小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． （2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【题型 4】分配与方案问题（6题） 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 2．（24-25七年级下·吉林·阶段检测）某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某学校租车接送6名教师和164名学生参加校外活动，现有大巴和中巴两种车型可以租用，已知除司机外，每辆大巴的载客量为35人，每辆中巴的载客量为15人，若要求每辆车上至少有一名教师，且租用车辆恰好坐满，则租车方案为______． 4．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）春节将至，各家各户都在准备年货．小花准备购买A，B两种不同规格的盒子将自家灌制的30斤香肠包装后出售，其中A种包装盒子单价为10元个，每个盒子包装4斤香肠，B种包装盒子单价为12元/个，每个盒子包装6斤香肠．现A种包装盒正在做促销活动：购买三个及以上可在总价的基础上便宜8元．若购买的盒子能将30斤香肠刚好装下，则购买包装盒子所需的最少费用为______元． 5．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 6．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨． （1）求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？ （2）现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案； （3）若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用． 【题型 5】利润与计费问题（6题） 1．（24-25七年级下·重庆南川·期末）七年级一班的同学去电影院看电影，接受正能量教育．已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张25元，七年级一班的42名同学购买电影票共用去1350元；求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 3．（24-25七年级下·河南新乡·期末）端午节前后，“我们的节日•端午”主题文化活动在全国各地开展，龙舟竞渡、舞龙舞狮、经典诵读、文艺表演……各地因地制宜，突出当地文化特色，开展了喜闻乐见、生动鲜活的节日文化活动．小张为了迎接端午节，购买了许多粽子，他发现若购买4个豆沙粽和2个蜜枣粽需要25元，若购买1个豆沙粽和3个蜜枣粽刚好也需要25元，则购买1个豆沙粽和1个蜜枣粽共需要_______元． 4．（24-25九年级上·重庆荣昌·期末）某公司经营甲、乙两种产品，每件甲产品利润率为，每件乙产品的利润率为，当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为；要使该公司销售这两种产品获得总利润为，则该公司销售的甲、乙两种产品的数量比为________________（利润率利润成本）． 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）某中学为奖励在“科技创意展览”活动中表现优秀的同学，计划购买A、B两种奖品共100件．已知A种奖品标价每件10元，B种奖品标价每件6元，购买这批奖品一共花费780元． （1）请问学校购买两种奖品各多少件？ （2）若学校计划用700元采购这两种奖品共100件，该方案是否可行？请说明理由． 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元．销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元． （1）求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车（两种汽车都要买），请你帮助该公司设计共有几种购买方案．并通过计算说明哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【考点二】可化为一元二次方程的分式方程的实际应用 【题型 6】行程问题（6题） 1．（2026·河北邯郸·二模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东菏泽·一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 3．（25-26八年级上·北京·阶段检测）甲和乙计划前往距学校的图书馆，甲先出发步行前往，乙在30分钟后骑自行车前往，最终甲和乙同时抵达图书馆．若将甲和乙的运动过程看作匀速运动，已知乙的速度比甲的速度快，求甲的速度．设甲的速度为，请根据题意列出方程___________． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有_______m． 5．（25-26八年级下·河南周口·期中）在国家发展的新时期，河南省将加快建设内联外通、立体高效的快速交通网，其中要新建或续建一批高速公路项目．已知、两市原国道长为，经过改修高速公路后，长度比原来缩短了．高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上的行驶速度提高了，从市到市在高速公路上行驶的时间是在原国道上行驶时间的． （1）设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，根据题意解答下列问题： ①该长途汽车在高速公路上行驶的速度为________； ②该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为________ ； ③根据题意列出关于的方程为________________________，解方程得________，经检验，的值是原方程的解且符合题意； ④答：________________________________________________________________________． （2）若设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为，据此请你列出方程并解决这个问题． 6．（25-26八年级上·湖南常德·期末）湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力． 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． （1）求小张跑步的平均速度； （2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由． 【题型 7】工程问题（6题） 1．（2026·安徽池州·二模）近日，秋浦西路（虎泉路−−长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“原计划修剩余路程的时间减去提速后修剩余路程的时间等于提前的2天”找等量关系列方程即可． 解：∵原计划每天维修x米，已修200米，剩余路程为米， ∴按原效率修完剩余路程的时间为天， ∵效率提升后，每天维修长度为米， ∴提速后修完剩余路程的时间为天， ∵最终提前2天完成任务，因此原时间比提速后时间多2天， ∴列方程得． 2．（2026·河南周口·模拟预测）我国JX-300型道路抢修车，采用智能施工技术，能快速修复破损路面．该抢修车每小时修复路面的速度是一名工人人工修复速度的3倍，它修复120公里路面比一名工人修复90公里路面所用时间少10个小时，求该型号道路抢修车每小时修复路面多少公里．设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）请根据所给方程，联系生活实际，编写一道应用题________． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案： ①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； ③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是______． 5．（2026·重庆·二模）为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的计划的施工量比乙工程队每月的计划的施工量多200米． （1）甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ （2）在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 6．（2026·广东汕尾·模拟预测）近年来，海丰县城中山中路片区城镇老旧小区改造工程有序推进，通过基础设施升级与环境整治，让承载城市记忆的街巷焕发新生．某施工队承担了一处总面积为960平方米的外墙翻新任务，安排甲、乙两名工人分别使用A，B两种外墙涂料，各完成总粉刷任务的一半．经测算，完成该任务共需要A，B两种涂料各200千克，采购两种涂料的总费用为9400元．已知A种涂料每千克的售价比B种涂料每千克多3元． （1）求A，B两种外墙涂料每千克的售价各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷的外墙面积是甲每小时粉刷面积的，乙完成自己的粉刷任务比甲多用4小时．求甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【题型 8】利润与计费问题（6题） 1．（2026·贵州六盘水·二模）某文创商店推出甲、乙两款书签，已知乙书签的单价是甲书签的倍，且用100元购买甲书签的数量比用126元购买乙书签的数量多4个，求甲、乙两款书签的单价．若设甲书签的单价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为________． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）某水果店计划购进两种热销的水果．下面是该店店员小李与小文的对话： 小李：水果的进价比水果的进价每件贵元． 小文：花费元购进水果的数量比花费元购进水果数量少． 若设水果的进价为元，则所列方程为_______________． 5．（2026·河南安阳·二模）中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． （1）求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． （2）若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 6．（2026·重庆武隆·一模）列方程解下列问题： 校门口的创新文具店，售卖，两款中考专用套装文具，款的售价比款的售价高8元，3套款文具与5套款文具的销售总金额相同． （1）求，两款套装文具的售价分别是多少元？ （2），两款套装文具的进价都比它们各自售价的一半要高，其中款高出部分的金额比款高出部分金额的还少1元．文具店老板用3200元购进款套装文具的数量比用2400元购进款套装文具的数量少100套．求款套装文具的进价是多少元？ 【题型 9】和差倍分问题（6题） 1．（2026·广东广州·二模）为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线．优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同．设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏无锡·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·一模）为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国生态文明建设不断迈出坚实步伐，绿色发展成就举世瞩目．在今年的植树造林活动期间，某苗圃园第一天卖出一批雪松收款11000元；第二天又卖出一批雪松收款23000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元．第二天每棵雪松售价_______元． 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）为了了解某池塘里背蛙的数量，先从池塘里捕捞30只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，估计这个池塘里大约有 _____只青蛙． 5．（25-26九年级下·重庆巫山·阶段检测）列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． （1）求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； （2）12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： （1）甲、乙两公司分别有多少人？ （2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 【题型 10】其他问题（6题） 1．（2024·辽宁阜新·一模）某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多300元，所有房屋的租金第一年为1.2万元，第二年为1.56万元．设第一年每间房屋的租金为 x元，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期中）数学的美无处不在．数学家研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：，则x的值是（   ） A．20 B．12 C．10 D．8 3．（2025·甘肃白银·二模）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声、、．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，则的值是___________． 4．（24-25八年级上·北京顺义·阶段检测）数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为____． 5．（2026·重庆沙坪坝·一模）列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． （1）求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ （2）实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 6．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）某校举办阳光体育运动会，为表彰运动会获奖的优秀学生，学校拟采购A、B两种奖品，若购买50件A奖品，40件B奖品共需1100元；若购买40件A奖品，30件B奖品共需850元． （1）求A、B两种奖品的单价分别是多少元？ （2）恰逢商店打折促销，学校购买A、B两种奖品，各花了810元．A奖品每件降价元，B奖品每件降价元，结果购买A奖品的数量比B奖品的数量多30件，求m的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（二）——二元一次方程组与分式方程的应用（2大考点10类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】二元一次方程组实际应用 1 【考点二】分式方程应用题解题步骤及常见的等量关系 2 二.必考题型精析 3 【考点一】二元一次方程组实际应用 3 【题型 1】和差倍分问题（6题） 3 【题型 2】行程问题（6题） 6 【题型 3】工程问题（6题） 10 【题型 4】分配与方案问题（6题） 15 【题型 5】利润与计费问题（6题） 19 【考点二】可化为一元二次方程的分式方程的实际应用 23 【题型 6】行程问题（6题） 23 【题型 7】工程问题（6题） 27 【题型 8】利润与计费问题（6题） 31 【题型 9】和差倍分问题（6题） 34 【题型 10】其他问题（6题） 39 一.必考点知识回顾 【考点一】二元一次方程组实际应用 1、 解题步骤： （1）审：审题，找已知量、未知量；（2）设：设未知数；（3）列：根据等量关系列方程组；（4）解：解方程组；（5）验：检验结果合理性；（6）答：规范作答。 2、高频经典题型 （1）和差倍分问题：利用数量之间和、差、倍数关系列式； （2）行程问题：相遇、追及、航行问题（路程 = 速度 × 时间）； （3）工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常设总工作量为1； （4）配套问题：根据部件配比关系建立等量关系； （5）利润与计费问题：结合单价、数量、总价、分段收费列式。 【考点二】分式方程应用题解题步骤及常见的等量关系 1、解题步骤 （1）：审：分析题意，找出已知量、未知量，梳理数量关系 （2）：设：设未知数（直接设 / 间接设，注意单位统一） （3）：列：根据等量关系列出分式方程 （4）：解：去分母化为一元一次方程，求解方程 （5）：验：双重检验（①检验是否为分式方程增根；②检验解是否符合实际题意） （6）：答：规范作答，带单位 【要点提示】分式方程应用题必须检验，这是得分关键点，增根、不符合实际的解都要舍去。 2、常见等量关系模型 （1）：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （3）：路程 = 速度 × 时间 （3）：总价 = 单价 × 数量 （4）：利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价 二.必考题型精析 【考点一】二元一次方程组实际应用 【题型 1】和差倍分问题（6题） 1．（2026·浙江丽水·模拟预测）现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲袋原有银子比乙袋多6两，可得第一个等量关系：，从甲袋取7两放入乙袋后，甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两，根据“此时乙袋银子是甲袋的2倍”，可得第二个等量关系：；联立得到方程组即可 解：∵甲袋原有银子比乙袋多6两， ∴ 变形得； ∵从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍， 此时甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两， ∴； 可得 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是______岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据题意得，解方程即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 解：设小雅爷爷是岁，小雅是岁， 依题意得， 解得， ∴小雅的年龄是岁， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在校外劳动实践中，某班男生、女生共有15人搬运稻谷．已知男生1人搬2袋稻谷，女生2人搬1袋稻谷，共搬了15袋稻谷，则男生有________人，女生有________人． 【答案】 5 10 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设男生有x人，女生有y人，然后根据题意可得方程组，进而求解即可． 解：设男生有x人，女生有y人，由题意得： ， 解得：， ∴男生有5人，女生有10人； 故答案为5；10． 5．（2026·重庆·二模）列方程解下列问题： 随着机器人技术的飞速发展，智能机器人在我们的生产生活中发挥着越来越重要的作用．某工厂引入A、B两种类型的智能搬运机器人共同完成仓库货物的搬运任务．已知1台A型机器人和2台B型机器人每小时一共可搬运货物300箱，每台A型机器人比每台B型机器人每小时多搬运货物30箱． （1）求每台A型机器人和B型机器人每小时分别搬运多少箱货物； （2）工厂仓库现有3240箱货物需要紧急搬运，计划安排A、B两种共15台机器人共同完成搬运任务．当所有机器人同时开始到同时完成搬运任务时，所有A型机器人搬运的货物量是仓库货物总量的，则机器人完成这次搬运任务用了多少小时？ 【答案】（1）每台A型机器人每小时搬运120箱，每台B型机器人每小时搬运90箱；（2）机器人完成这次搬运任务用了2小时 【分析】（1）设每台型机器人每小时搬运箱货物，每台型机器人每小时搬运箱货物，列出二元一次方程组，即可得到答案； （2）设安排型机器人台，则安排型机器人台，搬运时间为小时，根据A、B两种机器人搬运的货物量分别列出方程，联立方程组求解即可得到答案． 解：（1）解：设每台型机器人每小时搬运箱货物，每台型机器人每小时搬运箱货物， ， 解得， 答：每台A型机器人每小时搬运120箱，每台B型机器人每小时搬运90箱； （2）解：设安排型机器人台，则安排型机器人台，搬运时间为小时， ， 解得， 答：机器人完成这次搬运任务用了2小时． 6．（2026·江西九江·二模）某校利用体育大课间抽查七年级学生体育项目练习情况，共进行了两次抽查（每名学生只抽查一个项目），两次抽查合格率相同，跳绳为，排球为．第一次抽查跳绳和排球共44人合格，第二次抽查跳绳和排球共100人合格，且第二次抽查跳绳的人数是第一次抽查跳绳人数的2倍，第二次抽查排球的人数是第一次抽查排球人数的3倍． （1）求学校第一次抽查的学生总人数． （2）若八年级进行了一次跳绳抽查，跳绳的合格人数与七年级两次抽查的跳绳合格总人数相同，且合格率为，求八年级跳绳抽查的学生人数． 【答案】（1）学校第一次共抽查了56名学生；（2）八年级跳绳抽查了100名学生 【分析】（1）设第一次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，则第二次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）由（1）可知七年级跳绳抽查合格的总人数为，设八年级抽查了名学生，依题意得，进而求解即可． 解：（1）解：设第一次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，则第二次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为． 依题意得，解得， ∴（名）． 答：学校第一次共抽查了56名学生． （2）解：由（1）可知，第一次抽查跳绳的人数为40，第二次抽查跳绳的人数为80， ∴七年级跳绳抽查合格的总人数为． 设八年级抽查了名学生， 依题意得，解得． 答：八年级跳绳抽查了100名学生． 【题型 2】行程问题（6题） 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学所用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题（二元一次方程组的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长米，火车的速度米秒，则可得方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 设火车长米，火车的速度米秒，根据题意列出二元一次方程组即可． 解：设火车长米，火车的速度米秒， 根据题意得，． 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废，根据通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 解：设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废， 根据题意得：， 解得：， ∴（）， ∴这对新轮胎一共能支持自行车行驶． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两地之间的路段由若干段坡路组成，小明爸爸开车从甲地去往乙地办事，从甲地到乙地用了小时，返回时用了小时．已知汽车在上坡时速度为28千米/小时，下坡时速度为42千米/小时，则从甲地到乙地的总路程是__________千米． 【答案】154 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，根据题意可得，再进一步解方程组即可． 解：设从甲地到乙地的上坡路程为千米，下坡路程为千米，则 ， 整理得：， 解得：； ∴， ∴从甲地到乙地的总路程是154千米． 5．（24-25七年级下·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行． （1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ （2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】（1）甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时；（2）小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 解：（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 6．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． （1）每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ （2）如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】（1）每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹；（2）快递车的总配送路程是千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 解：（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 【题型 3】工程问题（6题） 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件． 【答案】 320 360 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 4．（24-25七年级下·四川德阳·期末）市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进______米． 【答案】12.2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，弄清题意挖掘题目蕴含的相等关系，据此列出方程组是解题的关键． 设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米，根据“甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米”列方程组求解可得． 解：设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米．根据题意得： ，解得：． 答：甲班组平均每天掘进12.2米、乙班组平均每天掘进9.8米． 故答案为：12.2 5．（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． （1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ （2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】（1）甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米；（2）按此施工进度，还需要200天完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 解：（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． 6．（24-25七年级下·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， （1）小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． （2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】（1） ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间；（2）甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 解：（1）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学： 设整治任务完成后，表示甲工程队工作的时间，表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得：． 故答案为： ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； （2）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 小华同学： 设整治任务完成后，甲工程队工作了天，乙工程队工作了天， 根据题意，得， 解之，得， ，． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【题型 4】分配与方案问题（6题） 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可． 解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 根据题意，得方程组：， 得， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 故选：A． 2．（24-25七年级下·吉林·阶段检测）某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题关键．根据题意，找出等量关系，列出二元一次方程组即可． 解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意，得：， 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某学校租车接送6名教师和164名学生参加校外活动，现有大巴和中巴两种车型可以租用，已知除司机外，每辆大巴的载客量为35人，每辆中巴的载客量为15人，若要求每辆车上至少有一名教师，且租用车辆恰好坐满，则租车方案为______． 【答案】租用4辆大巴，2辆中巴 【分析】本题考查二元一次方程解决实际问题．设租用x辆大巴，y辆中巴，根据“租用车辆恰好坐满”列出方程，结合x，y均为非负整数，且得到方程的解，即可解答． 解：设租用x辆大巴，y辆中巴，根据题意，得 ， 化简得， ∵x，y均为非负整数，且， ∴， ∴租用4辆大巴，2辆中巴． 故答案为：租用4辆大巴，2辆中巴 4．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）春节将至，各家各户都在准备年货．小花准备购买A，B两种不同规格的盒子将自家灌制的30斤香肠包装后出售，其中A种包装盒子单价为10元个，每个盒子包装4斤香肠，B种包装盒子单价为12元/个，每个盒子包装6斤香肠．现A种包装盒正在做促销活动：购买三个及以上可在总价的基础上便宜8元．若购买的盒子能将30斤香肠刚好装下，则购买包装盒子所需的最少费用为______元． 【答案】58 【分析】设购买A种盒子x个，B种盒子y个，根据能将30斤香肠刚好装下列出方程，求出非负整数解，再分别计算可得结果． 解：设购买A种盒子x个，B种盒子y个， 由题意可得：， 整理得：， 非负整数解：，，，共三种情况， 第一种情况：元； 第二种情况：元； 第三种情况：元； 即购买3个A盒子，3个B盒子花费最少，费用为58元， 故答案为：58． 【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程，求出所有非负整数解． 5．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；（2）共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 解：（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 6．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨． （1）求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？ （2）现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案； （3）若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用． 【答案】（1）辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货4吨；（2）共有种租车方案，方案：租用辆甲型车，辆乙型车；方案：租用辆甲型车，辆乙型车；（3）最省钱的租车方案为：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，列方程组求解即可； （2）根据共需要运送吨施工材料，可列二元一次方程，整理可得：，根据，均为正整数且，得到共有种方案； （3）分别计算两种方案所需费用，通过比较选择费用较少的方案． 解：（1）解：设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 解得：， 答：辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨； （2）解：由（1）可知辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 整理得：， ，均为正整数， 解得：或或或， 又， 共有种租车方案， 方案1：租用4辆甲型车，12辆乙型车， 方案2：租用8辆甲型车，9辆乙型车； （3）解：方案所需租金为（元）， 方案所需租金为（元）， ， 最省钱的租车方案是：租甲型车辆，乙型车辆， 答：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元． 【题型 5】利润与计费问题（6题） 1．（24-25七年级下·重庆南川·期末）七年级一班的同学去电影院看电影，接受正能量教育．已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张25元，七年级一班的42名同学购买电影票共用去1350元；求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题，列方程组，根据甲种票每张35元，乙种票每张25元，七年级一班的42名同学购买电影票共用去1350元，列出方程组即可． 解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，由题意，得：； 故选B． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）为了表彰优秀，七年级（6）班用一笔钱购买奖品．若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份奖品；则这笔钱全部用来买钢笔或日记本可买多少？（   ） A．钢笔200支，笔记本300本 B．钢笔300支，笔记本100本 C．钢笔100支，笔记本200本 D．钢笔100支，笔记本300本 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是这笔钱的总金额为，解关于，的方程组． 设钢笔每支元，日记每本元，这笔钱的总金额为，根据题意可得，进而求出，即可求出答案． 解：设钢笔每支元，日记本每本元，这笔钱的总金额为 a 元  ，由题意可知 ， 解关于，的方程组得： ， ∴这笔钱全部用来买钢笔可买100支，全部用来买日记可买300本． 故选：D 3．（24-25七年级下·河南新乡·期末）端午节前后，“我们的节日•端午”主题文化活动在全国各地开展，龙舟竞渡、舞龙舞狮、经典诵读、文艺表演……各地因地制宜，突出当地文化特色，开展了喜闻乐见、生动鲜活的节日文化活动．小张为了迎接端午节，购买了许多粽子，他发现若购买4个豆沙粽和2个蜜枣粽需要25元，若购买1个豆沙粽和3个蜜枣粽刚好也需要25元，则购买1个豆沙粽和1个蜜枣粽共需要_______元． 【答案】10 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组即可求解． 解：设购买1个豆沙粽x元，1个蜜枣粽y元， 根据题意，得， 两个方程相加，得， 解得， 故购买1个豆沙粽和1个蜜枣粽共需10元， 故答案为：10． 4．（24-25九年级上·重庆荣昌·期末）某公司经营甲、乙两种产品，每件甲产品利润率为，每件乙产品的利润率为，当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为；要使该公司销售这两种产品获得总利润为，则该公司销售的甲、乙两种产品的数量比为________________（利润率利润成本）． 【答案】 【分析】本题考查了含参的二元一次方程的应用， 设甲产品的进价为x元，乙产品的进价为y元，根据“当售出的甲产品的件数与乙产品的件数比为时，该超市出售这两种产品的总利润率是”列出二元一次方程可求出，然后再根据“出售这两种产品获得的总利润率为”列二元一次方程求解即可，能够根据题意列出二元一次方程是解题的关键． 解：设甲产品的进价为x元，乙产品的进价为y元， ∵当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为， ∴可设此时售出的甲产品的件数与乙产品的件数分别为，， 由题意得：， 整理得：， 设售出的甲产品件数与乙产品件数分别为a，b时，获得的总利润率为， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∴即售出的甲产品件数与乙产品件数的比应为：， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）某中学为奖励在“科技创意展览”活动中表现优秀的同学，计划购买A、B两种奖品共100件．已知A种奖品标价每件10元，B种奖品标价每件6元，购买这批奖品一共花费780元． （1）请问学校购买两种奖品各多少件？ （2）若学校计划用700元采购这两种奖品共100件，该方案是否可行？请说明理由． 【答案】（1）购买A种奖品45件，B种奖品55件；（2）可行，购买A种奖品25件，则购买B种奖品75件，理由见分析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程组和方程是解题的关键． （1）设A种奖品件，B种奖品件，根据题意得，然后解方程组即可； （2）设A种奖品件，则B种奖品件，根据题意得，然后解方程并检验即可． 解：（1）解：设A种奖品件，B种奖品件， 根据题意得， 解得， 答：A种奖品件，B种奖品件； （2）解：设购买A种奖品件，则购买B种奖品件， 根据题意得， 解得， ∴购买B种奖品件， 答：该方案可行，购买A种奖品25件，则购买B种奖品75件 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元．销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元． （1）求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车（两种汽车都要买），请你帮助该公司设计共有几种购买方案．并通过计算说明哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1）型汽车进价为万元，型汽车进价为万元；（2）共有种方案，其中购买型汽车辆，型汽车辆利润最大，最大利润为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的整数解及方案选择，熟练运用方程思想和利润计算公式是解答本题的关键． （1）利用题目中给出的两组采购总价信息，建立关于、两种型号汽车进价的二元一次方程组，通过解方程组求出两种型号汽车的进价； （2）根据总采购金额列出二元一次方程，结合正整数条件确定所有采购方案，再代入利润公式计算并比较，确定利润最大的方案及最大利润． 解：（1）解：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元，根据题意得： 解得， 答：型汽车进价为万元，型汽车进价为万元； （2）解：设型汽车购买了辆，型汽车购买了辆， ，整理得 均为正整数，或或 共种购买方案，当时：（万元）， 当时：（万元）， 当时：（万元）， ，故时利润最大（其它作法得第三个方案利润最大也可以） 答：共有种方案，其中购买型汽车辆，B型汽车辆利润最大，最大利润为万元． 【考点二】可化为一元二次方程的分式方程的实际应用 【题型 6】行程问题（6题） 1．（2026·河北邯郸·二模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相同时间内路程比等于速度比的关系，先推导得到两人的速度比，再结合追上时的路程关系列方程即可. 解：由题意可知，当走路快的人走100里时，走路慢的人总共走了里，减去慢的人先走的10里，可得在相同时间内，慢的人走了里； ∵相同时间内，两人的速度比等于路程比， ∴快、慢两人的速度比为， 当快的人走x里追上慢的人时，慢的人在相同追及时间内走了里，速度比不变，因此可列方程： . 2．（2026·山东菏泽·一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【答案】C 【分析】设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过路段时的速度． 解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 ∴路段的速度是米/秒． 3．（25-26八年级上·北京·阶段检测）甲和乙计划前往距学校的图书馆，甲先出发步行前往，乙在30分钟后骑自行车前往，最终甲和乙同时抵达图书馆．若将甲和乙的运动过程看作匀速运动，已知乙的速度比甲的速度快，求甲的速度．设甲的速度为，请根据题意列出方程___________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 甲先出发30分钟，乙后出发同时到达，即甲所用时间比乙多0.5小时，根据速度和时间关系列方程 解：∵甲的速度为 ，乙的速度比甲的速度快， ∴乙的速度为 ， ∴甲行驶所用时间为 小时，乙行驶所用时间为 小时， ∵由于甲先出发30分钟（即0.5小时），且两人同时到达， ∴甲所用时间比乙多0.5小时， 根据题意可列方程： ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有_______m． 【答案】1600 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据“结果甲同学比乙同学晚到”列出分式方程，求解并检验即可得到甲同学步行的速度，进而求出公交车所走的路程即可所求． 解：设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据题意，得 ， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意． 所以． 故乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有． 故答案为：1600 5．（25-26八年级下·河南周口·期中）在国家发展的新时期，河南省将加快建设内联外通、立体高效的快速交通网，其中要新建或续建一批高速公路项目．已知、两市原国道长为，经过改修高速公路后，长度比原来缩短了．高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上的行驶速度提高了，从市到市在高速公路上行驶的时间是在原国道上行驶时间的． （1）设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，根据题意解答下列问题： ①该长途汽车在高速公路上行驶的速度为________； ②该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为________ ； ③根据题意列出关于的方程为________________________，解方程得________，经检验，的值是原方程的解且符合题意； ④答：________________________________________________________________________． （2）若设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速公路上行驶的时间为，据此请你列出方程并解决这个问题． 【答案】（1）①；②；③，；④该长途汽车在原国道上行驶的速度为；（2），该长途汽车在原国道上行驶的时间为 【分析】（1）本题是分式方程的应用问题，解题核心是根据 “路程、速度、时间” 的关系，用含的代数式表示各量，再根据时间关系列方程求解； （2）本题同样考查分式方程的应用，解题思路是设原国道行驶时间为，用y表示出高速公路行驶时间、速度，再根据速度关系列方程求解． 解：（1）解：设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，则长途汽车在高速公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的时间为，根据题意列出方程： 解得 经检验，是原分式方程的解， 答：该长途汽车在原国道上行驶的速度为； （2）公路长度：国道，高速． 则可得， 解得 经检验，是原方程的解， 答：该长途汽车在原国道上行驶的时间为． 【点拨】本题是分式方程在行程问题中的应用，解题的核心是抓住 “路程、速度、时间” 三者的关系，根据题目中的等量关系列方程求解． 6．（25-26八年级上·湖南常德·期末）湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力． 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． （1）求小张跑步的平均速度； （2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由． 【答案】（1）小张跑步的平均速度为180米/分；（2）小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由见分析 【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为米/分，根据时间路程速度结合骑车的时间比跑步的时间少用了5分钟，列出分式方程，解方程即可； （2）根据时间路程速度可求出小张跑步及骑车的时间，再求出总耗时29分钟，然后与30分钟比较后即可得出结论． 解：（1）解：设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：小张跑步的平均速度为180米/分； （2）解：小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由如下： 小张跑步的时间为：（分钟），骑车的时间为：（分钟）， ∵（分钟），， ∴小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场． 【题型 7】工程问题（6题） 1．（2026·安徽池州·二模）近日，秋浦西路（虎泉路−−长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“原计划修剩余路程的时间减去提速后修剩余路程的时间等于提前的2天”找等量关系列方程即可． 解：∵原计划每天维修x米，已修200米，剩余路程为米， ∴按原效率修完剩余路程的时间为天， ∵效率提升后，每天维修长度为米， ∴提速后修完剩余路程的时间为天， ∵最终提前2天完成任务，因此原时间比提速后时间多2天， ∴列方程得． 2．（2026·河南周口·模拟预测）我国JX-300型道路抢修车，采用智能施工技术，能快速修复破损路面．该抢修车每小时修复路面的速度是一名工人人工修复速度的3倍，它修复120公里路面比一名工人修复90公里路面所用时间少10个小时，求该型号道路抢修车每小时修复路面多少公里．设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，先根据抢修车速度得到工人的修复速度，再利用公式表示出两者的用时，最后根据时间差列出方程． 解：∵设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，则一名工人每小时修复速度为公里．依题意得：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）请根据所给方程，联系生活实际，编写一道应用题________． 【答案】一项工作，甲乙合作需6天完成，乙单独做比甲单独做多用5天，则甲单独做需几天？（答案不唯一） 【分析】本题主要考查分式方程的结构特征，根据分式方程定义x的意义是解题的关键． 首先根据方程结构，结合生活中的工程问题情景，确定工作总量、工作时间和工作效率的关系，即可编写应用题． 解：根据方程，将x解释为甲单独完成工程所需时间（单位：天），则乙单独完成所需时间为天， ∴方程左边表示甲工作6天完成的工作量为和乙工作6天完成的工作量为，两者之和等于1（即整个工程）， 故答案为：一项工作，甲乙合作需6天完成，乙单独做比甲单独做多用5天，则甲单独做需几天？ 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案： ①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； ③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是______． 【答案】甲乙合作了4天 【分析】本题考查分式方程的应用，解答此类题目的关键是明确题意，根据方程可以推测出空白处应填写的内容，注意要联系实际情况． 根据题意和方程，可知甲干了4天，乙干了x天，从而可以得到③后面应填入的内容，本题得以解决． 解：∵某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：， ∴甲工作了4天，乙工作了x天， 即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工， ∴可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天， 故答案为：甲乙合作了4天． 5．（2026·重庆·二模）为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的计划的施工量比乙工程队每月的计划的施工量多200米． （1）甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ （2）在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 【答案】（1）甲工程队计划施工280米，乙工程队计划施工80米；（2）50 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，能够正确把握题目中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意可设乙工程队计划每月施工米，则甲工程队计划每月施工米，根据工作总量=工作时间工作效率，即可列式求解； （2）根据题意可设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元，根据工作时间=工作总量工作效率，即可列式求解． 解：（1）解：设乙工程队计划每月施工米，则甲工程队计划每月施工米， 由题意得，， 解得， ， 则甲工程队计划每月施工280米，乙工程队计划每月施工80米； （2）解：设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元， 由题意得，， 解得， 经检验符合题意， 则， 即甲工程队每月施工费用为50万元． 6．（2026·广东汕尾·模拟预测）近年来，海丰县城中山中路片区城镇老旧小区改造工程有序推进，通过基础设施升级与环境整治，让承载城市记忆的街巷焕发新生．某施工队承担了一处总面积为960平方米的外墙翻新任务，安排甲、乙两名工人分别使用A，B两种外墙涂料，各完成总粉刷任务的一半．经测算，完成该任务共需要A，B两种涂料各200千克，采购两种涂料的总费用为9400元．已知A种涂料每千克的售价比B种涂料每千克多3元． （1）求A，B两种外墙涂料每千克的售价各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷的外墙面积是甲每小时粉刷面积的，乙完成自己的粉刷任务比甲多用4小时．求甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】（1）种外墙涂料每千克的售价为25元，B种外墙涂料每千克的售价为22元；（2）甲每小时粉刷外墙的面积是24平方米 【分析】（1）设A种外墙涂料每千克的售价为元，则B种外墙涂料每千克的售价为元，根据采购两种涂料的总费用为9400元建立方程求解，即可解题； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米，根据乙完成自己的粉刷任务比甲多用4小时，建立分式方程求解，即可解题． 理解题意建立方程是解本题的关键． 解：（1）解：设A种外墙涂料每千克的售价为元，则B种外墙涂料每千克的售价为元， ， 解得， ， 种外墙涂料每千克的售价为25元，B种外墙涂料每千克的售价为22元． （2）解：设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米， ， 解得， 经检验：是原方程的根，且符合题意， 甲每小时粉刷外墙的面积是24平方米． 【题型 8】利润与计费问题（6题） 1．（2026·贵州六盘水·二模）某文创商店推出甲、乙两款书签，已知乙书签的单价是甲书签的倍，且用100元购买甲书签的数量比用126元购买乙书签的数量多4个，求甲、乙两款书签的单价．若设甲书签的单价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据设出的甲单价表示出乙的单价，再结合“购买甲的数量比购买乙的数量多4个”的等量关系列方程即可． 解：设甲书签单价为元，则乙书签单价为元， 根据题意得： ． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可． 解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍， ∴绘画本的单价为元． ∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本， ∴笔记本数量为本，绘画本数量为本． ∵笔记本比绘画本多本， ∴可列方程为． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．设B型号毛笔单价为x元/支，则A型号毛笔单价为元/支；根据总花费和单价，可求出A、B型号毛笔的数量，再根据总数量为500支列方程． 解：A型号毛笔数量为，B型号毛笔数量为，总数量为500支， 故列分式方程为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）某水果店计划购进两种热销的水果．下面是该店店员小李与小文的对话： 小李：水果的进价比水果的进价每件贵元． 小文：花费元购进水果的数量比花费元购进水果数量少． 若设水果的进价为元，则所列方程为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键．设A水果的进价为x元，则B水果的进价为元．根据购进金额和进价，可求得A和B水果的数量。再根据A水果数量比B水果数量少的关系，列出方程． 解：设A水果的进价为x元，则B水果的进价为元． 花费元购进A水果的数量为件，花费元购进B水果的数量为件． 由题意，A水果数量比B水果数量少，即A水果数量是B水果数量的，因此有：． 故答案为：． 5．（2026·河南安阳·二模）中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． （1）求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． （2）若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 【答案】（1）青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元；（2）当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算 【分析】（1）设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元，由题意得到分式方程，然后进行求解即可； （2）设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中，根据题意分别得出方案一和方案二的价格，然后问题可求解． 解：（1）解：设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元， 由题意得， 解得， 经检验是方程的解， ∴； 答：青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元． （2）解：设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中， 由题意得： 方案一所需金额元； 方案二所需金额元； ∴当方案一和方案二相等时，则有， 解得， 答：当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算． 6．（2026·重庆武隆·一模）列方程解下列问题： 校门口的创新文具店，售卖，两款中考专用套装文具，款的售价比款的售价高8元，3套款文具与5套款文具的销售总金额相同． （1）求，两款套装文具的售价分别是多少元？ （2），两款套装文具的进价都比它们各自售价的一半要高，其中款高出部分的金额比款高出部分金额的还少1元．文具店老板用3200元购进款套装文具的数量比用2400元购进款套装文具的数量少100套．求款套装文具的进价是多少元？ 【答案】（1）款套装文具的售价是20元，款套装文具的售价是12元；（2）16元 解：（1）设款套装文具的售价是元，则款套装文具的售价是元， 由题意列方程， 解得， 则． 答：款套装文具的售价是20元，款套装文具的售价是12元； （2）设款套装文具的进价中超出其售价一半的部分为元， 由题意列方程， 解得． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ． 答：款套装文具的进价是16元． 【题型 9】和差倍分问题（6题） 1．（2026·广东广州·二模）为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线．优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同．设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则优化后A生产线每小时组装块，找到“A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同”这一等量关系，分别表示出两个时间即可列出方程． 解：优化后A生产线组装900块太阳能板所用时间为， 优化后B生产线组装600块太阳能板所用时间为， 根据题意可列方程为：． 故选：B． 2．（2026·江苏无锡·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 3．（2025·山东青岛·一模）为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国生态文明建设不断迈出坚实步伐，绿色发展成就举世瞩目．在今年的植树造林活动期间，某苗圃园第一天卖出一批雪松收款11000元；第二天又卖出一批雪松收款23000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元．第二天每棵雪松售价_______元． 【答案】115 【分析】设第一天每棵雪松售价x元，则第二天每棵雪松售价（x+5）元，由题意：某苗圃园第一天卖出一批雪松收款11000元；第二天又卖出一批雪松收款23000元，所卖数量是第一天的2倍，列出分式方程，解方程即可． 解：设第一天每棵雪松售价x元，则第二天每棵雪松售价（x+5）元， 由题意得：， 解得：x＝110， 经检验，x＝110是原方程的解， 则x+5＝115， 即第二天每棵雪松售价115元， 故答案为：115． 【点拨】本题考查了分式方程的应用；找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）为了了解某池塘里背蛙的数量，先从池塘里捕捞30只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，估计这个池塘里大约有 _____只青蛙． 【答案】300 【分析】设池塘大约有x只，根据题意，得到，计算即可． 解：设池塘大约有x只，根据题意，得到 ， 解得 x=300， 经检验,x=300是原方程的根， 故答案为：300． 【点拨】本题考查了分式方程的应用，正确列出分式方程是解题的关键． 5．（25-26九年级下·重庆巫山·阶段检测）列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． （1）求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； （2）12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 【答案】（1）杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份；（2）杂酱小面每小时增产25份 【分析】（1）设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份，根据“2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份”列方程解答即可． （2）设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份，根据“完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的”列方程解答即可． 解：（1）解：设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份， 根据题意可得， ∴， ∴， 答：杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份． （2）解：设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份， ∴， ∴， 经检验知：是原方程的解， 答：杂酱小面每小时增产25份． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： （1）甲、乙两公司分别有多少人？ （2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 【答案】（1）甲公司有人，乙公司有人；（2）有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有x人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合且m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 解：（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人． 由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司有人，乙公司有人． （2）（2）设购买A种物资箱，购买B种物资箱， 由题意，得， 整理，得． 又，且为正整数， ∴，． 答：有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资． 【题型 10】其他问题（6题） 1．（2024·辽宁阜新·一模）某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多300元，所有房屋的租金第一年为1.2万元，第二年为1.56万元．设第一年每间房屋的租金为 x元，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据出租房屋的总间数不变，列方程解答即可． 解：∵ 第一年总租金为1.2万元，即12000元，第二年总租金为1.56万元，即15600元， 设第一年每间房屋的租金为元，则第二年每间房屋的租金为元， ∵出租房屋总间数不变， ∴可得方程 ． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期中）数学的美无处不在．数学家研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：，则x的值是（   ） A．20 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据调和数的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． 解：一组调和数：、6、， ， 解得， 经检验：是原分式方程的解． 故选：B． 3．（2025·甘肃白银·二模）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声、、．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，则的值是___________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义列出分式方程是解答本题的关键． 由调和数的定义列分式方程求解即可． 解：根据调和数的定义可得： ， 解得：， 经检验：是分式方程的解． 故答案为20． 4．（24-25八年级上·北京顺义·阶段检测）数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为____． 【答案】15或或 【分析】本题考查分式方程，根据题意分3种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 解：分三种情况： 当时，x，5，3这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 当时，5，x，3这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 当时，5，3，x这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 综上所述，或或， 故答案为：15或或． 5．（2026·重庆沙坪坝·一模）列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． （1）求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ （2）实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 【答案】（1）该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元；（2）2万元 【分析】（1）设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元，根据“改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元”列方程求解即可； （2）设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元，根据“180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同”列分式方程求解即可． 解：（1）解：设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 则改造1条乙类生产线需投入（万元）． 答：该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元； （2）解：设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：实际改造1条乙类生产线增加的费用是2万元． 6．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）某校举办阳光体育运动会，为表彰运动会获奖的优秀学生，学校拟采购A、B两种奖品，若购买50件A奖品，40件B奖品共需1100元；若购买40件A奖品，30件B奖品共需850元． （1）求A、B两种奖品的单价分别是多少元？ （2）恰逢商店打折促销，学校购买A、B两种奖品，各花了810元．A奖品每件降价元，B奖品每件降价元，结果购买A奖品的数量比B奖品的数量多30件，求m的值． 【答案】（1）A奖品单价10元，B奖品单价15元；（2） 【分析】本题主要考查二元一次方程组、分式方程的应用． （1）通过设未知数，根据两种购买方案的总费用建立二元一次方程组，求解得到两种奖品的单价； （2）结合第一问结果，根据打折后的单价、总花费和数量关系建立分式方程，检验后得到m的值，考查二元一次方程组和分式方程的实际应用． 解：（1）解：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元， 根据题意可得 ， 解这个方程组得， 答：A奖品单价为10元，B奖品单价为15元； （2）解：由（1）可知A原价10元，B原价15元，打折后A单价为元，B单价为元， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时， ， 即是原方程的解， 答：m的值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $