专题06正方形性质与判定期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题06正方形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记正方形定义：既是矩形又是菱形的平行四边形，是最特殊的平行四边形。 2.全面掌握正方形性质：兼具平行四边形、矩形、菱形所有性质，四边相等、四角直角、对角线相等垂直且互相平分、平分一组对角。 3.熟练掌握正方形四种判定方法，理清判定逻辑：先证矩形再证邻边相等、先证菱形再证有直角、平行四边形升级、四边形直接判定。 4.掌握正方形对称性（4 条对称轴）、面积两种求法、特殊几何结论。 1.能综合运用矩形、菱形、正方形性质，快速完成边长、角度、对角线、面积的计算。 2.能根据题目条件灵活选择最简判定方法，规范完成正方形证明大题。 3.具备平行四边形 — 矩形 — 菱形 — 正方形层层递进的图形辨析能力。 4.能解决正方形折叠、旋转、动点、几何综合压轴题型，熟练转化直角三角形、等腰三角形模型。 1.基础题型：准确区分三种特殊四边形性质，杜绝概念混淆失分。 2.中档题型：熟练掌握正方形判定套路，证明步骤严谨、不跳步、不缺条件。 3.期末压轴：搞定正方形综合题、对角线模型、折叠题型，掌握必考解题模板，实现大题稳得分。 题型01.正方形性质理解 题型02.正方形性质求角度 题型03.正方形性质求线段长 题型04.正方形性质求面积 题型05.正方形中的折叠问题 题型06.正方形性质证明 题型07.正方形判定定理理解 题型08.添条件使四边形是正方形 题型09.证明四边形是正方形 题型10.正方形性质与判定求角度 题型11.正方形性质与判定求线段长 题型12.正方形性质与判定求面积 题型13.正方形性质与判定证明 题型14.正方形中的动点问题. 题型15.正方形中的最值问题 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.正方形多结论判断题 题型18.正方形中的旋转问题 题型19.正方形与中位线综合 题型20.四边形其他综合问题 知识点01:正方形的定义 三种等价定义（课本核心） 定义 图示 从平行四边形出发：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从矩形出发：一组邻边相等的矩形是正方形。 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 深层考点： 正方形是矩形与菱形的交集图形，是特殊四边形中性质最全、约束最强的图形。 所有正方形 → 一定是矩形、一定是菱形、一定是平行四边形 反之不成立。 知识点02:性质（集齐平行四边形、矩形、菱形全部性质） 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 特殊性质（拓展） ➽一条对角线将正方形分成2 个全等的等腰直角三角形。 ➽两条对角线将正方形分成4 个全等的小等腰直角三角形。 ➽周长相等的四边形中，正方形面积最大。 知识点03:面积双公式 S=a2（a为边长） S= d2（d为对角线长，由菱形面积公式推导而来） 周长：C=4a 知识点04:判定四种思路（考试实用） 1.平行四边形起步 ①平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角＝正方形 ②平行四边形＋对角线相等且垂直＝正方形 2.矩形升级（常用） 矩形＋一组邻边相等＝正方形；矩形＋对角线互相垂直＝正方形 3.菱形升级（高频） 菱形＋一个内角为 90°＝正方形；菱形＋对角线相等＝正方形 4.任意四边形 四边相等＋四个角都是直角＝正方形 知识点05:从属关系 知识点06:易错汇总表 错误表述 正确结论 错因 对角线垂直且相等的四边形是正方形 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 缺少平行前提，不规则四边形不成立 邻边相等的矩形是菱形 邻边相等的矩形是正方形 混淆图形从属 矩形、菱形都有 4 条对称轴 正方形 4 条，矩形、菱形各 2 条 对称轴记忆错误 对角线垂直平分的四边形是正方形 对角线垂直平分只能判定菱形，再加对角线相等才是正方形 判定条件不全 题型01.正方形性质理解 1．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的基本性质，只需对比各图形的性质，找出四个图形共同具备的性质即可. 【详解】解：∵ 平行四边形的对角线互相平分，对角线不相等也不垂直，四条边不都相等； 菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，四个角不都相等； 矩形的对角线相等且互相平分，对角线不垂直，四条边不都相等； 正方形的对角线互相垂直平分且相等，四条边相等，四个角相等； ∴ 四个图形都具有的性质只有对角线互相平分，因此选项A正确. 2．正方形具有，而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线垂直 B．对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形与菱形的性质，解题关键是熟记两种图形的性质，对比即可找出正方形有而菱形不具有的性质． 【详解】解：∵ 正方形的性质为：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质为：四条边都相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，菱形的对角线不一定相等； ∴ 正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 3．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，含的直角三角形的性质等知识，掌握正方形的性质及勾股定理是解题关键． 证明得；过点作，解三角形即可得出的长，进而可求出的长． 【详解】解：在正方形中，和为对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 过点作，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 题型02.正方形性质求角度 4．如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的外角性质． 根据正方形的性质求得，根据三角形的外角性质求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，点在对角线上， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 5．如图，在正方形中，为对角线，为上一点，连接、，延长交于．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质，可得，，，证明，可得，由三角形的内角和定理，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，连接． (1)求证： (2)若等于___________度 【答案】(1)见解析 (2)65 【分析】（1）由正方形可知，，，进而可证； （2）由可知，由三角形外角的性质可知，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∵ ∴． （2）解：∵， ∴， ∵正方形中，， 又∵， ∵ ∴． 题型03.正方形性质求线段长 7．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去． 8．着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： (1)化简： ； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (2)求黄金矩形的长； (3)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用分母有理化，进行化简即可； （2）根据黄金矩形的定义，进行求解即可； （3）求出新的矩形的宽与长的比，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， 黄金矩形的长为． （3）证明：由裁剪可知：； 由（2）可知：， ， ， ∴矩形是黄金矩形． 9．在正方形中，是对角线上一点，是的中点，以为一边作正方形，点恰好在边所在的直线上，连接． (1)如图1，当点在边上时，连接，． ①求证：， ②试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)当是的三等分点，时，请直接写出的长． 【答案】(1)①证明见解析；②与的数量关系为，位置关系为，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①由四边形、四边形是正方形，可得，，，进而可证明，利用全等三角形的性质即可得证；②延长至点，使，连接，分别与，交于点，，由①可知，，，可证明，得出，，在与中，利用三角形内角和可得，即，然后由为中点，是的中点，得出是的中位线，从而得出，； （2）由（1）得：，，，线段的三等分点有两个，所以要进行分类讨论：当时，延长至点，使，连接，，在中，求出，然后由即可求出结果；当时，如图所示，延长至点，使，连接，，在中，，然后由即可求出结果，最后综合两种情况即可． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形、四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， 在与中 ∴， ∴； ②与的数量关系为，位置关系为，理由如下： 如图所示，延长至点，使，连接，分别与，交于点，， 由①可知，，， 又∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴在与中，，即， ∵，即为中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴与的数量关系为，位置关系为． （2）解：∵是的三等分点，而线段的三等分点有两个， ∴当时，如图所示，延长至点，使，连接，， 由（1）得：，，， ∴， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴当时，如图所示，延长至点，使，连接，， 同理由（1）得：，，， ∴， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 综上：或． 题型04.正方形性质求面积 10．如图，正方形的边长为2，是等边三角形，则阴影部分的面积等于________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，根据阴影部分的面积=正方形的面积的面积的面积计算即可． 【详解】解：如图，过点E作于点F,于点G，则四边形为矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， 又正方形的面积为，的面积，的面积， ∴阴影部分的面积=正方形的面积的面积的面积=， 故答案为． 11．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 E．17 【答案】E 【分析】先根据勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 12．如图，在正方形中，点E是射线上的一点，连接，以为边，在右侧作正方形，连接． (1)如图1，点E在线段上，证明：； (2)如图2，点E在的延长线上，与相交于点H，若正方形的边长为4，设的面积为，的面积为，在点E的运动过程中，发现：，中有一个是定值，请把它找出来，并求出这个定值； (3)当点E在的延长线上时，设正方形和正方形的对称中心分别是P、Q，连接． ①证明：； ②连接，探索线段、、之间的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1)见解析； (2)是定值，定值为8； (3)①见解析；②． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题关键． （1）根据正方形的性质证明全等即可； （2）同（1）理可证，，进而得出，即可得解； （3）①过点作的延长线于点，根据正方形的性质，证明，得到，从而推出，即可证明； ②由①可知，，得出，是等腰直角三角形，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形、是正方形， ，，， ，即， ； （2）解：同（1）理可证，， ， ， ， 即是定值，定值为8； （3）解：①如图，过点作的延长线于点， 四边形、是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； ②，证明如下： 由①可知，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 题型05.正方形中的折叠问题 13．如图，先将正方形沿对折，再把点B折叠到上，折痕为，点B在上的对称点为H，沿和剪下，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查翻折图形的性质，解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移．翻折后的图形与翻折前的图形是全等图形，利用折叠的性质，正方形的性质，以及图形的对称性特点解题． 【详解】解：由折叠可知：，点，是关于的对称， ∴， ∵正方形， ∴， ∴． 故选：A． 14．如图，已知正方形的边长为6，点为边的中点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②的周长是10；③；④五边形的面积为30．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，根据正方形的性质和折叠的性质可得 ，于是根据“”判定依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，进而可得的周长，再进而根据求出五边形的面积解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 由折叠可知：， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵正方形边长是，点是的中点， ∴， 设， 则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得： ， ∴，，， ∴的周长是， 故②错误； ， ， 由折叠可得，， ，故③正确； ，故④正确． 故答案为： ①③④． 15．【教材重现】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形． 【教材拓展】一个点把一条线段分为两段，如果其中较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为（约为0.618） (1)【概念理解】一条线段有 个黄金分割点； (2)【操作探究】如图1，先将边长为2的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，连接，继续沿过点C的直线折叠，使点E落在的延长线上的点G处，得到折痕，把纸片展开，连接，求证点P为线段的黄金分割点． (3)【操作探究】如图2，矩形纸片是黄金矩形（满足，，将矩形纸片的边沿向内折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，纸片展开后，连接，得到正方形和新矩形，连接，求线段的长（结果保留根号） 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由黄金分割点的定义即可得出结果； （2）利用折叠的性质并结合勾股定理计算后，根据黄金分割点的定义，即可得出结果； （3）根据黄金分割矩形的定义，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，一条线段有2个黄金分割点； （2）证明：∵边长为2的正方形纸片， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 故点P为线段的黄金分割点． （3）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴． 题型06.正方形性质证明 16．如图所示，是正方形对角线上任意一点，过点作，垂足分别为、，连接，给出下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论有(填序号)___________． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正确证明，以及理解的任意性是解决本题的关键．连接，根据正方形的对角线平分一组对角可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，对应角相等可得，再根据矩形的对角线相等可得，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接，在正方形中，，， 在和中， ， ， ，， 又，， 四边形是矩形， ，， ，，故①②正确； 是正方形对角线上任意一点，是正方形的边长， 不一定成立，故③错误， 故答案为：①②． 17．如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转． （1）________； （2）用和的代数式表示：________． 【答案】 / / 【分析】（1）根据正方形的性质可证，，，利用可证，根据全等三角形的性质可证； （2）根据可知，可证，根据勾股定理可知，根据，，可得． 【详解】（1）解：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接，，设与交于点M ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ． 18．如图，一大一小两个正方形与，与，分别交于，．下列结论：①是的中点；②与成正比例函数关系；③的面积与两个正方形的大小均相关；④与两个正方形边长之比有关．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①正确添加辅助线，由正方形的性质，可证得四边形是矩形，得到相等的角和边，再由三角形的全等证得； ②构造直角三角形，由勾股定理表示出与，即可得证； ③由四边形是矩形和正方形的性质，可以表示出与边上的高，即可得到的面积； ④正确添加辅助线，构造平行四边形，由两直线平行，得到相等角，可证得． 【详解】解：①设正方形与的边长分别为、， 如图，连接，，交于点，过点作交的延长线于点， 因为四边形、是正方形， 所以，， 所以， 所以四边形是矩形， 所以， 所以， 在与中， ， 所以， 所以， 结论①正确； ②如图，延长、交于点， 则四边形是矩形， 在中，， 在中，， ， 结论②正确； ③由结论①的证明可知，，， ，， ， 结论③错误； ④如图，在上截取，连接， 所以， 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 所以，即， 所以是等腰直角三角形，， 四边形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以， 结论④错误． 19．如图，在正方形中，点E在上，连结，过点A作于点F，过点C作于点G．延长至点P，使，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用正方形的性质结合垂线的定义可证，，，证明，即可得出结论； （2）先求出 ，根据，，得到 ，．由勾股定理得，进而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴ ． ∵，， ∴ ，，， ∵， ∴． 由勾股定理得． ∵， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴． ∴． 题型07.正方形判定定理理解 20．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 【答案】C 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，∴A选项说法错误； B选项，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，∴B选项说法错误； C选项，∵矩形本身对角线相等，对角线互相垂直的矩形符合正方形判定定理，∴对角线互相垂直的矩形是正方形，C选项说法正确； D选项，∵矩形四个角都是直角，任意邻边本来就互相垂直，因此有一组邻边互相垂直的矩形仍是矩形，不一定是正方形，∴D选项说法错误． 21．如图，已知四边形的对角线，相交于点，则下列能判定四边形是正方形的条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，根据正方形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：A、，四边形是菱形，不一定是正方形，故不符合题意； B、，四边形是矩形，不一定是正方形，故不符合题意； C、，，四边形是正方形，故不符合题意； D、，，四边形不是正方形，故符合题意； 故选：C． 22．在的方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，至少要去掉（    ）枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了正方形与网格问题，掌握正方形的判定是解题的关键．通过观察已知图形，分析可知第一行去掉一个，第二行去掉两个，第三行去掉一个才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点，据此即可解答． 【详解】解：设白圆圈表示去掉的棋子， ①图1是一个的方格网，每个小方格的中心都放有一枚棋子，以棋子为顶点的正方形共有6个，图2每个小方格中的整数表示以此方格的棋子为1个顶点和其他3个棋子为顶点构成的正方形的个数．标有数字3和4的方格有2个公共的正方形；标有数字2和4的方格有1个公共的正方形；都标有数字3的两个方格至少有1个公共的正方形．所以，如果从图1左边的网格中，只去掉2枚棋子，则网格中必定仍然有4枚棋子可以构成一个正方形． ②从图3的方格网中，如果只去掉3枚棋子，由①可知，不能从第1列和第4列中去掉棋子，只能从第2和第3列中，但是不能从同一列中去掉这3枚棋子，其中有2枚从同一列中去掉，除对称情况外，这两枚棋子只有图4和图5两种去掉的方式．显然，对图4和5，无论以什么方式去掉1枚棋子，仍然有4枚棋子可以构成一个正方形． ③如图6，去掉4枚棋子，留下的任意4枚棋子都不构成正方形的4个顶点，所以至少要去掉4枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点． 故选：C． 题型08.添条件使四边形是正方形 23．如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（    ）    A． B．平分 C． D．是等边三角形 【答案】D 【分析】根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A选项，添加，满足“对角线互相垂直的矩形是正方形”，不合题意； B选项，平分，则，，，，，，是正方形，不合题意； C选项，添加，满足“有一组邻边相等的矩形是正方形”，不合题意； D选项，是等边三角形，则，不满足，不能使矩形成为正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，能熟记正方形的判定定理是解题的关键． 24．如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是________．    【答案】且 【分析】依据条件先判定四边形为平行四边形，再根据又，，得出四边形为菱形，再根据，即可得到菱形是正方形． 【详解】应满足的条件是：且， 理由：、、、分别是、、、的中点， 在中，是的中位线， ，， 同理，， 同理，， 则且， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 菱形为正方形， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 25．如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴，，， ∵， ∴, ∴四边形是菱形， 故A不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故B不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故C符合题意； 当E为的中点时，得到 无法判定菱形是正方形， 故D不符合题意； 故选：C． 题型09.证明四边形是正方形 26．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 27．如图，在中，的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． (2)证明：过点D作于点H，如图所示： ∵分别平分，且，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据“有三个角是直角的四边形是矩形”进行求证即可； （2）过点D作于点H，根据角平分线的性质定理可得，则有，然后问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 28．如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形中位线，利用平行四边形的定义证明即可； （2）先证明四边形是一个菱形．再证明四边形是一个矩形，即可得到四边形是一个正方形． 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点，即，， ∴， 同理，可得， ∴四边形是一个平行四边形． （2）证明：∵、分别是边、上的中线，并交于点G， ∴点G是的重心． ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是一个平行四边形， ∴四边形是一个菱形， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是一个矩形， ∴四边形是一个正方形． 题型10.正方形性质与判定求角度 29．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积， ∴S阴＝S正方形ABCD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 30．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 31．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论； （2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 题型11.正方形性质与判定求线段长 32．如图，在中，若，，，，________． 【答案】 【分析】先根据，，得出；再根据对称的性质得到，从而说明四边形是正方形，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出的长即可． 【详解】解：分别以为对称轴，画出的轴对称图形，D点的对称点分别为E、F，延长相交于G点， 由题意可得：，． ∴，，又． ∴． 又∵， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定、图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用． 33．如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作，证得四边形是正方形，再利用正方形的性质求得，，最后利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点E， ∵，是直角， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 如图可得，，， 在中，根据勾股定理可得，． 34．推理能力【几何探究】综合与实践． 【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解决问题】 （3）如图①，若，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形．理由见解析；（2），证明见解析；（3）的长为 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形 （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； （3）作于G，根据勾股定理求出，由（2）可得，，进而求出，根据勾股定理计算的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形．理由如下： 由旋转的性质，得， ， ， ∴四边形是矩形． 又， ∴四边形是正方形． （2）．证明如下： 如图①，过点D作于点． ， ． 四边形是正方形， ， ， ． 又， ， ． 将绕点B按顺时针方向旋转得到． 四边形是正方形， ， ， ． （3）如图②，过点D作于点H． 四边形是正方形，． 四边形是正方形， ． 在中，由勾股定理，得， ． 同（2）可得，， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 题型12.正方形性质与判定求面积 35．如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，比的应用，根据相相邻两边长之比和矩形纸片的面积求得矩形相邻两边的长是解答关键． （1）利用相邻两边长之比为，设长与宽分别为，根据矩形纸片的面积为，列出方程求解； （2）先求出正方形的边长和正方形的边长，再利用面积公式求解． 【详解】（1）解：设长与宽分别为 ， ， 解得，（不符合题意舍去）， ，． 则相邻的两边长分别为． （2）解： ． 36．如图，在正方形中，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法） (1)在图①中，作出边的中点P； (2)在图②中，作出一个面积等于正方形面积的一半的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点O，连接并延长交于点P即可； （2）在（1）的基础上，连接交于点H，作直线分别交于点G，点F，依次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示点P为所求： ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵在正方形中，，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P为边的中点； （2）解：如图所示，正方形为所求： 由（1）知四边形是矩形，是的中位线， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴所在直线垂直平分， ∵， ∴所在直线垂直平分，所在直线垂直平分， ∴所在直线是正方形的对称轴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是正方形，且边长都相等， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为，则，正方形的面积为， ∴， ∴正方形的面积为， ∴正方形的面积等于正方形面积一半． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质以及判定等知识，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质，线段垂直平分线的性质以及判定是解题的关键． 37．如图1，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O． (1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)正方形，见解析 (2)1 【分析】（1）先证明全等，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形是正方形． （2）根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（因为正方形的对角线翻到了外边，做了新拼成的正方形的边长），利用勾股定理求出和的长，所的面积是10减去4个四边形的面积就是阴影部分的面积． 【详解】（1）解：四边形是正方形． 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 全等， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵， ∴， ∵由（1）知，四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定的综合运用． 题型13.正方形性质与判定证明 38．如图，已知，若四边形的面积为，则长是__________． 【答案】 【分析】由“”可证，可得与的面积相等，由面积关系可求解． 【详解】解：如图，作，交的延长线于点， 则， ， ∴四边形为矩形，， ， ， 在与中， ， ， ∴与的面积相等， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积正方形的面积， 由勾股定理得：， ∵四边形的面积为， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 39．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（ ） A．36 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线，运用转化思想是解题的关键． 过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故选：C． 40．如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在，上，点G在的延长线上，且 (1)直接写出和的数量关系及位置关系； (2)尺规作图：以线段为边作出正方形（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； (3)连接（2）中的，猜想并写出四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想： 【答案】(1)， (2)作图见解析 (3)四边形为平行四边形，证明见解析 【分析】（1）通过已知条件证明据此判断即可； （2）①用弧线表示边相等，直接画图即可； ②找到一组对边平行且相等来证明平行四边形即可． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图所示： （3）解：四边形是平行四边形， 证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是通过证三角形全等得出结论． 题型14.正方形中的动点问题. 41．如图，在正方形中，是上一点，是上一动点，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由正方形性质可知两点关于对称，则，根据两点之间线段最短可知，连接，其与的交点为，此时的值最小． 【详解】解：连接，交于点，连接， . 由题意，、两点关于对称，故， ，此时的值最小，最小值为的长； ，， ，， ∴，即则的最小值是5． 42．如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据题意分四种情况画出图形，然后根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图： ① 当时，，即，解得：； ② 当时，，即，解得：； ③ 当时，，此时，解得：； ④ 当时，，此时P与重合，，解得：． 综上，C选项符合题意． 故选C． 43．如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质可得，得到，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，点到点的距离不变，再根据两点之间线段最短得，当点，，三点共线时最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，即， 取的中点，连接，， ， ， ， 当点，，三点共线时，取最小为， 的最小值为． 44．如图，在正方形中，，分别为边，上的动点，且，连接，交于点． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），连接．若平分，求证：； (3)如图（3），连接，，若为的中点，请直接写出的最大值． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 即； (2)证明：过点作于点，作交的延长线于点， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴， ∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明，再由全等三角形的性质求证； （2）过点作于点，作交的延长线于点，先证明四边形是矩形，然后证明，即可等量代换证明； （3）取的中点，连接，取的中点，连接，根据直角三角形的性质可得，而，再由斜边中线的性质得到，然后由三角形中位线可得，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：取的中点，连接，取的中点，连接， ∵正方形 ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵，点为的中点 ∴， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴ ∵ ∴当点落在线段上时，取得最大值为． 题型15.正方形中的最值问题 45．如图所示，在正方形中，E是上一点， ，P是上一动点，则的最小值是（    ） A．10 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称，“两点之间，线段最短”，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，证明，得到，求出，则，得到的最小值为10，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是正方形， ∴B，D关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故选A． 46．如图，正方形的面积是8，N，M，P分别是，，上的动点，则的最小值等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质及轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质及轴对称的性质是解题的关键；由题意易得，设点M关于线段的对称点为E，连接，则有，根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当点E、P、N三点共线时，取最小值，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且面积为8， ∴， 设点M关于线段的对称点为E，连接，如图所示： ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当点E、P、N三点共线时，取最小值， 根据点到直线垂线段最短可知：当时，取得最小值，即为线段与间的距离， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故选B． 47．如图所示，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，则周长的最小值为______cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】由于点B与点D关于对称，连接，交于点P，那么的周长最小，此时的周长．在中，由勾股定理先计算出的长度，再得出结果． 【详解】解：如图所示,连接， 当点三点共线时,的周长最小, 即当点在处时,的周长最小. 因为为的中点, 所以在Rt中, 连接, 因为四边形是正方形, 所以垂直平分, 所以, 所以周长的最小值的周长 ． 48．如图，E为正方形中边上的一点，M、N分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形和四边形是平行四边形得到，，，由得当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长，证明得到，进而利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长， ∵四边形是正方形，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在，， 即的最小值为． 题型16.正方形与坐标系综合 49．在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在轴的上方，其中，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，根据正方形的性质可证，，再根据三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，， ， ，． 四边形是正方形， ，， ． 又， ． 又， ， ，， ． 同理可证， ，， ， ． 50．如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作轴于点H，先根据平移的性质证明四边形是平行四边形，结合，，得出四边形是正方形，再证，推出，，即可求解． 【详解】解：点，， ，， 如图，过点D作轴于点H， 线段平移到线段， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， 点的坐标是． 51．如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为_________． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特点，勾股定理．过作 于，得到正方形，利用正方形的性质可得结论；过作 于，利用角平分线的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ，，，， ，， 四边形是正方形， 连接，则， ，重合时，有， 点的坐标为； 如图，过作 于， ，， ， ，， ， ， 由三角形内角和定理可得：， ，， ， 设， 则，，， ，， ， 解得，， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 52．如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． (1)直接写出点的坐标_____； (2)求证：； (3)如图2，若点的坐标为，试在上找一点，使四边形为平行四边形，求点的坐标； (4)如图3，连接交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质求得点C的坐标； （2）在上取，连接，只要证明即可． （3）如图，作于F，只要证明即可求得点N的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P的坐标． （4）将绕点D顺时针方向旋转得，得，证明，得，进一步得出，得平分，由平分可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上取，连接， ，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，作于F， ∵ ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 点N坐标， 四边形是平行四边形，，，由平移知识可知： ； （4）证明：将绕点D顺时针方向旋转得， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， ， 即平分． 又平分， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ． 题型17.正方形多结论判断题 53．如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ）；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先证明，再利用角的关系求得，即可判断；沿对折，得到，利用角的关系求出，从而判断；设，则，，利用勾股定理可得，即，解得，从而判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 所以，正确； 根据折叠的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； 设，则， ∵， ∴， 在中，利用勾股定理可得， 即， 解得，即，正确， 综上可得：正确，共个． 54．如图，E、F在正方形边、的延长线上，且，连接、交于点O，点为中点，在结论：①；②；③；④若，则的最小值为中，正确的有________________． 【答案】①②④ 【分析】先证明，得出，，即可判断①正确；证明出，再结合直角三角形的性质即可判断②正确；连接，证明，得出，再求出，即可判断③错误；取的中点，连接、，则，由勾股定理可得，再结合，即可判断④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，即， ∵点为中点， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 取的中点，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 55．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有（      ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点作于点，根据角平分线的性质可得，证，得，证，得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：垂直平分， ，故结论①正确； ， 四边形是正方形， ，，，， ， ， 平分，故结论②正确； 如图，过点作于点， 平分，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 点是的中点， ， 假设点是的中点，则， ， ， ， 与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时点不是的中点，故结论④错误； 综上所述，结论①②③正确． 故选：C． 题型18.正方形中的旋转问题 56．如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则．在中，由勾股定理得，，进而可得答案． 【详解】解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，． 57．如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，易得为等边三角形，再利用勾股定理求． 【详解】解：连接， 由旋转可知，， 为等边三角形， ， 在正方形中，， 则，解得． 58．如图，E为正方形的边上一点，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点G．，． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）若H是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 3 【分析】（Ⅰ）过点作交延长线于点，证明和全等，得到，再根据等腰直角三角形性质解答； （Ⅱ）作，结合第一问结论判定等腰直角三角形，得到、长度；再证四边形为正方形，利用中点求，最后由勾股定理算出． 【详解】解：过点作交延长线于点， ， 四边形是正方形， ，， 绕点逆时针旋转，得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ． 过点F作于点， ， 四边形是正方形， ， 又∵， 四边形是矩形， ∵, ∴四边形是正方形， ， ∵，H是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 59．在正方形中，，将绕点顺时针旋转（）得到线段，的平分线所在直线交射线于点． 【特例研究】 (1)当时，如图，点与点重合．的度数是________，和的数量关系是________． 【类比探究】 (2)当时，如图，（）中的两个结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出正确结论并进行证明． 【应用拓展】 (3)若在旋转的过程中，满足，直接写出此时的长． 【答案】(1)，； (2)成立，证明如下： 如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∵， ∴，， 在正方形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)或． 【分析】由旋转性质可得，，所以，，则，又四边形是正方形，所以，则，从而有； 过点作于点，过点作交的延长线于点，所以，又，由旋转可知，，，在正方形中，，则有，可求得，所以，再证明，所以，可得，在中，，所以，即，从而可证； 分为当时，当时，两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点与点重合， ∴， 故答案为：，； （2）证明：略； （3）解：当时，如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∵， ∴，， 在正方形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴，解得（负值已舍去）， ∴； 当时，如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，则，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴，解得（负值已舍去）， ∴； 综上可得：的长为或． 题型19.正方形与中位线综合 60．如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 61．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 【答案】 / 【分析】先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形的性质构造等腰直角三角形，最后用勾股定理求出的长度，进而得到的值． 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，，四边形是正方形， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ∵在正方形中，， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ． 62．如图，四边形与四边形都是正方形，且． (1)如图，连接，则 ； (2)将图中的正方形绕着点按顺时针方向旋转一定的角度，得到正方形． 如图，过点作，交于点，求证：； 如图，正方形的对角线，相交于点，与相交于点，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析；的长为． 【分析】（）由四边形与四边形都是正方形，三点共线，则，，所以，然后通过勾股定理即可求解； （）由四边形是正方形，得，，由题意可得，则，然后通过对顶角相等，等角的余角相等得出，再由等角对等边得； 过点作于点，交于点，连接，，，同理可得，又四边形，是正方形，则，，，平分，平分，证明，故有，，再证明，所以，，然后证明，所以，则有，即为中点，可得是的中位线，然后通过中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形都是正方形，三点共线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵正方形绕着点按顺时针方向旋转一定的角度，得到正方， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：如图，过点作于点，交于点，连接，，， 同理可得：， ∵四边形，是正方形， ∴，，，平分，平分， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即为中点， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 题型20.四边形其他综合问题 63．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE、BF．下列说法： ①四边形DEBF为平行四边形 ②若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形 ③若AE＝5，则四边形DEBF为菱形 ④若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形 正确的有：_____（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵O为BD的中点， ∴OB=OD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠CDO=∠EBO，∠DFO=∠OEB， ∴△FDO≌△EBO（AAS）， ∴OE=OF， ∴四边形DEBF为平行四边形，故①正确； ∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝6， ∴， 假设DE⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴当AE=3.6时，DE⊥AB， ∴四边形DEBF为矩形，故②正确； ∵AB=10，AE＝5，AD⊥BD， ∴ED=BE=AE， ∴四边形DEBF为菱形，故③正确； 由③得，当AE＝5时，四边形DEBF为菱形， ∴当AE＝4.8时，四边形DEBF不为菱形， ∴若AE＝4.8，四边形DEBF不可能为正方形，故④错误； 故答案为：①②③ ． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，正方形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 64．如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【分析】（1）先利用证明，再根据全等性质的得出，然后证明，再根据垂美四边形的定义得出结论； （2）先证明，再利用勾股定理列出式子：，，，，然后分别求出，，证明； （3）先利用邻补角的意义求出，再利用三角形面积公式分别求得， ，再求出四边形的面积． 【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下： 如图，连接、交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ∴四边形是垂美四边形； 性质探究：； 证明如下： 记和交于点， 由题可知， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； 问题解决： 如图，连接，过作于点， ， ， 在中，， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的新定义问题，利用证明三角形全等，全等三角形的性质，勾股定理，求三角形的面积，求四边形的面积等知识，解题的关键理解新定义，再根据新定义推理论证． 65．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②12； (2)①当时，四边形是正方形；②不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查平行四边形性质，全等三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识； （1）①由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再证，可得，即可得结论； ②由全等三角形的性质和矩形的性质可得，由勾股定理可求的长，可求，即可求解； （2）①由题意可证四边形是矩形．由正方形的性质可得，可得，可得，即可求解； ②由，可得结论． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②在矩形中，， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴四边形的周长； （2）①∵， ∴． ∵． ∴． ∴四边形是矩形． 要使四边形是正方形，必须． ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06正方形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记正方形定义：既是矩形又是菱形的平行四边形，是最特殊的平行四边形。 2.全面掌握正方形性质：兼具平行四边形、矩形、菱形所有性质，四边相等、四角直角、对角线相等垂直且互相平分、平分一组对角。 3.熟练掌握正方形四种判定方法，理清判定逻辑：先证矩形再证邻边相等、先证菱形再证有直角、平行四边形升级、四边形直接判定。 4.掌握正方形对称性（4 条对称轴）、面积两种求法、特殊几何结论。 1.能综合运用矩形、菱形、正方形性质，快速完成边长、角度、对角线、面积的计算。 2.能根据题目条件灵活选择最简判定方法，规范完成正方形证明大题。 3.具备平行四边形 — 矩形 — 菱形 — 正方形层层递进的图形辨析能力。 4.能解决正方形折叠、旋转、动点、几何综合压轴题型，熟练转化直角三角形、等腰三角形模型。 1.基础题型：准确区分三种特殊四边形性质，杜绝概念混淆失分。 2.中档题型：熟练掌握正方形判定套路，证明步骤严谨、不跳步、不缺条件。 3.期末压轴：搞定正方形综合题、对角线模型、折叠题型，掌握必考解题模板，实现大题稳得分。 题型01.正方形性质理解 题型02.正方形性质求角度 题型03.正方形性质求线段长 题型04.正方形性质求面积 题型05.正方形中的折叠问题 题型06.正方形性质证明 题型07.正方形判定定理理解 题型08.添条件使四边形是正方形 题型09.证明四边形是正方形 题型10.正方形性质与判定求角度 题型11.正方形性质与判定求线段长 题型12.正方形性质与判定求面积 题型13.正方形性质与判定证明 题型14.正方形中的动点问题. 题型15.正方形中的最值问题 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.正方形多结论判断题 题型18.正方形中的旋转问题 题型19.正方形与中位线综合 题型20.四边形其他综合问题 知识点01:正方形的定义 三种等价定义（课本核心） 定义 图示 从平行四边形出发：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从矩形出发：一组邻边相等的矩形是正方形。 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 深层考点： 正方形是矩形与菱形的交集图形，是特殊四边形中性质最全、约束最强的图形。 所有正方形 → 一定是矩形、一定是菱形、一定是平行四边形 反之不成立。 知识点02:性质（集齐平行四边形、矩形、菱形全部性质） 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 特殊性质（拓展） ➽一条对角线将正方形分成2 个全等的等腰直角三角形。 ➽两条对角线将正方形分成4 个全等的小等腰直角三角形。 ➽周长相等的四边形中，正方形面积最大。 知识点03:面积双公式 S=a2（a为边长） S= d2（d为对角线长，由菱形面积公式推导而来） 周长：C=4a 知识点04:判定四种思路（考试实用） 1.平行四边形起步 ①平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角＝正方形 ②平行四边形＋对角线相等且垂直＝正方形 2.矩形升级（常用） 矩形＋一组邻边相等＝正方形；矩形＋对角线互相垂直＝正方形 3.菱形升级（高频） 菱形＋一个内角为 90°＝正方形；菱形＋对角线相等＝正方形 4.任意四边形 四边相等＋四个角都是直角＝正方形 知识点05:从属关系 知识点06:易错汇总表 错误表述 正确结论 错因 对角线垂直且相等的四边形是正方形 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 缺少平行前提，不规则四边形不成立 邻边相等的矩形是菱形 邻边相等的矩形是正方形 混淆图形从属 矩形、菱形都有 4 条对称轴 正方形 4 条，矩形、菱形各 2 条 对称轴记忆错误 对角线垂直平分的四边形是正方形 对角线垂直平分只能判定菱形，再加对角线相等才是正方形 判定条件不全 题型01.正方形性质理解 1．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 2．正方形具有，而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线垂直 B．对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 3．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型02.正方形性质求角度 4．如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 5．如图，在正方形中，为对角线，为上一点，连接、，延长交于．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，连接． (1)求证： (2)若等于___________度 题型03.正方形性质求线段长 7．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 8．着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： (1)化简： ； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (2)求黄金矩形的长； (3)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形． 9．在正方形中，是对角线上一点，是的中点，以为一边作正方形，点恰好在边所在的直线上，连接． (1)如图1，当点在边上时，连接，． ①求证：， ②试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)当是的三等分点，时，请直接写出的长． 题型04.正方形性质求面积 10．如图，正方形的边长为2，是等边三角形，则阴影部分的面积等于________． 11．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 E．17 12．如图，在正方形中，点E是射线上的一点，连接，以为边，在右侧作正方形，连接． (1)如图1，点E在线段上，证明：； (2)如图2，点E在的延长线上，与相交于点H，若正方形的边长为4，设的面积为，的面积为，在点E的运动过程中，发现：，中有一个是定值，请把它找出来，并求出这个定值； (3)当点E在的延长线上时，设正方形和正方形的对称中心分别是P、Q，连接． ①证明：； ②连接，探索线段、、之间的数量关系，直接写出结论． 题型05.正方形中的折叠问题 13．如图，先将正方形沿对折，再把点B折叠到上，折痕为，点B在上的对称点为H，沿和剪下，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，已知正方形的边长为6，点为边的中点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②的周长是10；③；④五边形的面积为30．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 15．【教材重现】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形． 【教材拓展】一个点把一条线段分为两段，如果其中较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为（约为0.618） (1)【概念理解】一条线段有 个黄金分割点； (2)【操作探究】如图1，先将边长为2的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，连接，继续沿过点C的直线折叠，使点E落在的延长线上的点G处，得到折痕，把纸片展开，连接，求证点P为线段的黄金分割点． (3)【操作探究】如图2，矩形纸片是黄金矩形（满足，，将矩形纸片的边沿向内折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，纸片展开后，连接，得到正方形和新矩形，连接，求线段的长（结果保留根号） 题型06.正方形性质证明 16．如图所示，是正方形对角线上任意一点，过点作，垂足分别为、，连接，给出下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论有(填序号)___________． 17．如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转． （1）________； （2）用和的代数式表示：________． 18．如图，一大一小两个正方形与，与，分别交于，．下列结论：①是的中点；②与成正比例函数关系；③的面积与两个正方形的大小均相关；④与两个正方形边长之比有关．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，在正方形中，点E在上，连结，过点A作于点F，过点C作于点G．延长至点P，使，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型07.正方形判定定理理解 20．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 21．如图，已知四边形的对角线，相交于点，则下列能判定四边形是正方形的条件是（    ） A． B． C．， D．， 22．在的方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，至少要去掉（    ）枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点． A．2 B．3 C．4 D．5 题型08.添条件使四边形是正方形 23．如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（    ）    A． B．平分 C． D．是等边三角形 24．如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是________．    25．如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 题型09.证明四边形是正方形 26．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 27．如图，在中，的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是正方形． 28．如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 题型10.正方形性质与判定求角度 29．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 30．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 31．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 题型11.正方形性质与判定求线段长 32．如图，在中，若，，，，________． 33．如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 34．推理能力【几何探究】综合与实践． 【问题情境】如图，E为正方形内一点，．将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C）．延长交于点F，连接． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【解决问题】 （3）如图①，若，请直接写出的长． 题型12.正方形性质与判定求面积 35．如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 36．如图，在正方形中，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写作法） (1)在图①中，作出边的中点P； (2)在图②中，作出一个面积等于正方形面积的一半的正方形． 37．如图1，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O． (1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为 ． 题型13.正方形性质与判定证明 38．如图，已知，若四边形的面积为，则长是__________． 39．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（ ） A．36 B．32 C．16 D．8 40．如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在，上，点G在的延长线上，且 (1)直接写出和的数量关系及位置关系； (2)尺规作图：以线段为边作出正方形（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； (3)连接（2）中的，猜想并写出四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想： 题型14.正方形中的动点问题. 41．如图，在正方形中，是上一点，是上一动点，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 42．如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 43．如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 44．如图，在正方形中，，分别为边，上的动点，且，连接，交于点． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），连接．若平分，求证：； (3)如图（3），连接，，若为的中点，请直接写出的最大值． 题型15.正方形中的最值问题 45．如图所示，在正方形中，E是上一点， ，P是上一动点，则的最小值是（    ） A．10 B． C．8 D． 46．如图，正方形的面积是8，N，M，P分别是，，上的动点，则的最小值等于（   ）． A． B． C． D． 47．如图所示，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，则周长的最小值为______cm．（结果保留根号） 48．如图，E为正方形中边上的一点，M、N分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为______． 题型16.正方形与坐标系综合 49．在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在轴的上方，其中，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 50．如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 51．如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为_________． 52．如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． (1)直接写出点的坐标_____； (2)求证：； (3)如图2，若点的坐标为，试在上找一点，使四边形为平行四边形，求点的坐标； (4)如图3，连接交于点，连接，求证：． 题型17.正方形多结论判断题 53．如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ）；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．如图，E、F在正方形边、的延长线上，且，连接、交于点O，点为中点，在结论：①；②；③；④若，则的最小值为中，正确的有________________． 55．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有（      ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 题型18.正方形中的旋转问题 56．如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的长为（   ） A． B． C．4 D． 57．如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（   ） A． B．2 C． D． 58．如图，E为正方形的边上一点，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点G．，． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）若H是的中点，连接，则的长为________． 59．在正方形中，，将绕点顺时针旋转（）得到线段，的平分线所在直线交射线于点． 【特例研究】 (1)当时，如图，点与点重合．的度数是________，和的数量关系是________． 【类比探究】 (2)当时，如图，（）中的两个结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出正确结论并进行证明． 【应用拓展】 (3)若在旋转的过程中，满足，直接写出此时的长． 题型19.正方形与中位线综合 60．如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 61．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 62．如图，四边形与四边形都是正方形，且． (1)如图，连接，则 ； (2)将图中的正方形绕着点按顺时针方向旋转一定的角度，得到正方形． 如图，过点作，交于点，求证：； 如图，正方形的对角线，相交于点，与相交于点，求的长． 题型20.四边形其他综合问题 63．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE、BF．下列说法： ①四边形DEBF为平行四边形 ②若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形 ③若AE＝5，则四边形DEBF为菱形 ④若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形 正确的有：_____（填序号）． 64．如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 65．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $