8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 这份同步练习通过“例题精练-基础达标-能力提升”三层设计，以空间几何证明与计算为主线，覆盖平面与平面垂直性质定理的理解、应用及综合拓展，培养学生空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|性质定理直接应用|4道例题从菱形、直角梯形等基础几何体到含参数正方形四棱锥，逐步渗透线面垂直证明思路| |A组基础达标|概念辨析、基本计算与证明|单选（6题）、多选（2题）聚焦性质定理条件判断，填空（2题）结合折叠问题，解答题（2题）强化线面垂直证明规范| |B组能力提升|跨知识点综合应用|含折成直二面角的动态问题、外接球表面积计算、正方体中轨迹问题，提升空间几何直观与综合推理能力|

8.6.3　平面与平面垂直 （第2课时　平面与平面垂直的性质定理） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得是等边三角形，从而可得，,再由面面垂直的性质定理即可得证. 【详解】因底面是边长为2的菱形，且， 则是等边三角形， 又因是的中点， 则， 因，则， 因平面平面， 平面平面，平面， 故直线平面． 【例2】如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． 证明：； 【详解】因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. 【例3】如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，. 证明：； 【详解】因为，所以为中点， 因为侧面是正三角形，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面， 所以 【例4】如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设E，F分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，由面面，可得，则有面，可证得平面⊥平面；     （2）求点E到面的距离和的长，可直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）在△中，，， 由，可得，           ． 由平面平面，平面平面， ，平面，可得平面， 又面，则，                ． 又，，面， 则平面，又平面， 则平面⊥平面； （2）取中点S，中点T，连接，又E，F分别为的中点， 则，，，， 又，则， 则四边形为平行四边形，则， 连接，中，，则， 又面⊥面，面面，面， 则平面，则为点P到平面的距离， 又E为的中点，则点E到平面的距离为， 又△中，，，， 则，，则点E到面的距离为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 又，则，则直线与平面所成角的大小为．． 【A组基础达标】 一、单选题 1．若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（    ） A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，且在平面内 【答案】C 【详解】设，因为，在平面内，过点P作，垂足为A， 由面面垂直的性质定理可知，， 假设过点P有两条直线都与平面垂直，根据线面垂直的性质，这两条直线平行， 又因为都过点P，所以这两直线重合， 因此，过点P且与平面垂直的直线只有一条，且在平面内， 2．已知，，是直线，，是平面，，，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 【答案】C 【分析】利用面面垂直与线面垂直的性质定理即可求解. 【详解】因为，，，，所以， 又，所以． 故选：C. 3．已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A：若，，则或和相交，故A错误； 对于B：若，，根据线面垂直的性质定理可得，故B正确； 对于C：若，，则或和异面，故C错误； 对于D：若，，则和可能平行也可能相交，故D错误； 4．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】充分性：若，因为，，，所以， 因为，所以，则充分性成立. 必要性：当时，与不一定垂直，则必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件不一定能推出的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由各选项作为条件通过线面关系的判定，逐个分析各个选项是否满足，从而得到答案. 【详解】A，当，，由线面垂直的性质定理可得，则一定能推出，A不满足要求； B，当，，时，由线面平行的性质定理可知，则一定能推出，B不满足要求； C，因为，，则，又，所以，则一定能推出，C不满足要求； D，当，，时，则可能平行，相交，垂直，或异面，则不一定有，故D满足要求. 故选：D. 6．如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点为，则可证为等腰直角三角形，故可求的长. 【详解】 设的中点为，因为是边长为2的等边三角形， 故且，同理且， 故为的平面角，而平面平面， 故，故. 二、多选题 7．平面垂直于平面，且，下列命题正确的是（    ） A．平面内一定存在直线平行于平面 B．平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线 C．平面内任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 【答案】AB 【分析】根据面面垂直、线面垂直、以及线线垂直的判定和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：因为面，则平面内只要是平行于的直线，都平行于平面，故A正确； 对B：在平面内作直线的垂线，则面，则垂直于平面的任意直线； 故平面内已知直线必垂直于直线，以及与平行的无数条直线，故B正确； 对C：平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于平面，故C错误； 对D：过平面内，且在交线外的一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面，故D错误； 故选：AB. 8．如图，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成几何体，则在几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【分析】利用直线、平面垂直的有关判定和性质定理判断即可. 【详解】, ,又平面⊥平面， 且平面平面，平面， 又面，， ，且平面， 平面，又平面， 平面平面, 故选：AD. 三、填空题 9．如图，是等腰直角三角形，，，将沿斜边上的高折叠，使平面平面，则折叠后______________，______________． 【答案】 1 【分析】根据面面垂直及二面角定义得到，在求解即可. 【详解】因为，所以，，所以是二面角的平面角． 因为平面平面，所以． 在中，，， 所以． 则为正三角形，所以． 故答案为：1；. 10．已知二面角是直二面角，P是棱AB上一点，PE，PF分别在平面，内，，那么的大小是________． 【答案】/ 【分析】首先利用垂直关系，作辅助线，得到图形，转化为在三角形内解决边长问题. 【详解】取，作，垂足为点，连结，， 因为， 所以，所以 因为二面角是直二面角，所以，，所以， 所以是等边三角形， 故答案为： 四、解答题 11．如图，已知是正方形，平面底面，，其中、分别是、的中点．    (1)求证：平面． (2)判断与平面的关系，并证明你的结论． (3)判断与是否垂直，并说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)平面，证明见解析； (3)与不垂直，理由见解析. 【分析】（1）根据已知，应用面面垂直的性质定理证明结论； （2）由题设易知，再由线面平行的判定定理证明判断即可； （3）假设，利用线面垂直的判定和性质定理得到，结合已知得到矛盾，即可得结论. 【详解】（1）由是正方形，则，又平面底面， 平面底面，平面，则平面； （2）平面，证明如下： 由、分别是、的中点，则， 平面，平面，则平面； （3）与不垂直，理由如下： 若，而，且平面， 所以平面，平面，则， 而在中，显然有矛盾，故与不垂直. 12．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．若D是BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】易得，根据面面垂直的性质可得侧面，再根据线面垂直的性质即可得证． 【详解】证明：∵，D是BC中点，∴， ∵底面侧面，交线为BC，平面， ∴侧面， 又∵侧面， ∴． 【B组能力提升】 1．已知，是半径为2的的两条直径，且与成60°角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内过点作于，根据面面垂直性质定理证明，解三角形求结论. 【详解】在平面内过点作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则， 在中，，则， 在中，，由余弦定理得， 在中，. 2．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 3．如图，棱长为2的正方体，是四边形内异于，的动点，平面平面.则点的轨迹的长度为______. 【答案】 【分析】根据已知条件，求得点的轨迹对应的曲线类型，再求其长度即可. 【详解】因为平面，面，故， 又因为平面平面，故要满足题意，只需即可. 又点在平面内，故点的轨迹是平面内，以为直径的半圆（不包含）. 又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为. 故答案为：. 4．如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理得，记的中点为，得，根据面面垂直的性质定理得出、为等边三角形，把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上，则的最小值为平面内的长度，再利用余弦定理可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 记的中点为，连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 由，得，所以为等边三角形， 把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上， 连接交于点，则，如图所示， 则的最小值为平面内的长度，所以 ， 所以，即的最小值为． 故答案为： 5．已知正三棱柱的各棱长均相等，是上一点，且满足平面平面． (1)求证：是线段的中点； (2)求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）如图，取的中点，连接，过点作，垂足为，连接． 因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，，又平面，所以， 又，，平面，，所以平面． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以， 又因为平面且平面平面，所以， 所以四边形为平行四边形． 因为，，所以， 又为的中点，所以为的中点， 所以， 所以是线段的中点． （2）连接，由（1）知为的中点，．所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以为与平面所成角． 设正三棱柱的棱长为，则在正方形中，， 在中，，所以． 所以与平面所成角的正弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.3　平面与平面垂直 （第2课时　平面与平面垂直的性质定理） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 【例2】如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．证明：； 【例3】如图，四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，.证明：； 【例4】如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设E，F分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【A组基础达标】 一、单选题 1．若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（    ） A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，且在平面内 2．已知，，是直线，，是平面，，，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 3．已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件不一定能推出的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 6．如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 7．平面垂直于平面，且，下列命题正确的是（    ） A．平面内一定存在直线平行于平面 B．平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线 C．平面内任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 8．如图，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成几何体，则在几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 三、填空题 9．如图，是等腰直角三角形，，，将沿斜边上的高折叠，使平面平面，则折叠后______________，______________． 10．已知二面角是直二面角，P是棱AB上一点，PE，PF分别在平面，内，，那么的大小是________． 四、解答题 11．如图，已知是正方形，平面底面，，其中、分别是、的中点．    (1)求证：平面． (2)判断与平面的关系，并证明你的结论． (3)判断与是否垂直，并说明你的理由． 12．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．若D是BC的中点，求证：． 【B组能力提升】 1．已知，是半径为2的的两条直径，且与成60°角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，棱长为2的正方体，是四边形内异于，的动点，平面平面.则点的轨迹的长度为______. 4．如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为__________． 5．已知正三棱柱的各棱长均相等，是上一点，且满足平面平面． (1)求证：是线段的中点； (2)求与平面所成角的正弦值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $