8.6.3 平面与平面垂直 同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖平面与平面垂直的概念理解、定理应用到综合探究，适配新授课基础巩固与能力提升需求，培养数学空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|面面垂直概念、判定与性质|选择填空解答结合，如翻折问题证明，夯实基础考点| |能力拓展|几何体综合应用|结合文化情境，如“刍甍”体积计算，提升空间想象| |素养提升|动态问题探究|含动点线面角计算，培养逻辑推理与创新意识|

8.6.3 平面与平面垂直 【基础巩固】 1．已知平行四边形中，，将沿着翻折使点到达点且不在平面内，则下列结论正确的是（ ） A．直线不可能与直线垂直 B．直线可能与直线垂直 C．直线可能与直线垂直 D．直线不可能与直线垂直 2．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，．且，则 C．若，，则 D．若，，则 3．在正方体中，二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 4．已知，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） ①存在平面，使得，； ②存在平面，使得，； ③存在直线，使得，； ④存在直线，使得，. A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 5．（多选）在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 6．如图，在四面体中，已知，， 则二面角的平面角的大小为___________． 7．已知平面和平面交于直线，是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为__________. 8．如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【能力拓展】 9．如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（ ） A． B． C． D． 10．中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面为矩形，侧棱平面，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：，且各侧面与底面ABCD所成角均为，则该“刍甍”的体积为（ ） A． B． C． D． 11．如图，已知正四面体与正四棱锥的所有棱长都相等，现将两个几何体拼接起来，使它们的一个表面完全重合，得到一个新多面体，则该新多面体的面有________个（填数字）． 【素养提升】 12．在三棱柱中，平面，，是线段上的一个动点． (1)若，求证：平面平面； (2)若且是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.3 平面与平面垂直 【基础巩固】 1．已知平行四边形中，，将沿着翻折使点到达点且不在平面内，则下列结论正确的是（ ） A．直线不可能与直线垂直 B．直线可能与直线垂直 C．直线可能与直线垂直 D．直线不可能与直线垂直 【答案】B 【解析】当平面与平面垂直时，平面与平面相交于BD， 由，可得平面，平面， 此时，，则A，D错误； 而，即直线与直线所成角为，只要， 此时为等腰直角三角形. 在以中点为圆心，半径为的圆上， 则根据直径所对圆周角为直角，即.满足题意. 所以存在点，使得，B正确； 由可得，所以为锐角，则为锐角，所以C错误. 故选：B. 2．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，．且，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对于：若，，则或，故错误； 对于：若，．且， 则或与相交或与异面，故错误； 对于：若，过作平面，使， 则，因为， 所以，又，所以，故正确； 对于：若，，则或，故错误. 故选：. 3．在正方体中，二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示： 在正方体中，平面， 因为、平面，所以，， 易知为等腰直角三角形，且， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 故选：B. 4．已知，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） ①存在平面，使得，； ②存在平面，使得，； ③存在直线，使得，； ④存在直线，使得，. A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】A 【解析】对于命题①，当时，作平面垂直于交线，则，； 当时，存在直线，使得，， 因此存在平面，使得，所以，命题①正确. 对于命题②，当时，若，则， 此时不存在平面，使得，，命题②错误. 对于命题③，当时，若，则与不垂直， 此时不存在直线，使得，，命题③错误. 对于命题④，当时，存在，，，所以，； 当时，存在无数条直线，使得，，命题④正确. 故选：A. 5．（多选）在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】BD 【解析】在正三棱柱中，，又，故与不平行，A错误； 由题得，，， 所以，所以，B正确； 因为平面，平面，， 且在平面与平面的交线上，与不垂直， 所以平面与平面不垂直，C错误； 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，且，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，D正确． 故选：BD. 6．如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 【答案】 【解析】取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以中，， 所以为等边三角形，即． 所以二面角的大小． 故答案为：． 7．已知平面和平面交于直线，是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为__________. 【答案】或 【解析】点与平面和平面所成二面角的位置关系有如下两种情况，如图1和图2： 令平面交直线于点，连接，由，，得，同理， 由平面，得平面，而平面， 因此，就是与所成二面角的平面角， 图1中，由，得；图2中，， 所以与所成二面角为或. 故答案为：或 8．如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】见解析 【解析】(1)因为，， 所以， 又因为，所以， 又，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. (2)由平面，平面，得， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 【能力拓展】 9．如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设正四棱锥底面对角线的交点为，的中点为， 连接、、，则底面， 则为在底面上的射影，且，， 故即为正四棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角， 设正方形的边长为，高，， 则由的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为， 得，解得， 故在中，， 又因为为锐角，故， 即正四棱锥侧面与底面所成的二面角为. 故选：B. 10．中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面为矩形，侧棱平面，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：，且各侧面与底面ABCD所成角均为，则该“刍甍”的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过作平面交平面于，过作交于， 交于，过作交于，连接， 平面，平面，， ，，平面， 平面，平面，， 为侧面与底面ABCD所成的角， 各侧面与底面ABCD所成角均为，，， 平面，平面，， ，，平面， 平面，平面，， 为侧面与底面ABCD所成的角， 各侧面与底面ABCD所成角均为，， ，同理，， ，，，， 过作平面平面，交于，交于， 则五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥， ，侧棱平面，， ，， ， 该五面体的体积为，该“刍甍”的体积为. 故选：C. 11．如图，已知正四面体与正四棱锥的所有棱长都相等，现将两个几何体拼接起来，使它们的一个表面完全重合，得到一个新多面体，则该新多面体的面有________个（填数字）． 【答案】5 【解析】取的中点,连接,则由正四面体的性质可知为二面角的平面角， 设棱长为2，则,; 在正四棱锥中，取的中点,连接, 因为正四棱锥的所有棱长都相等，不妨设为2， 则,； 所以与互补，即当侧面与侧面重合时，侧面与侧面也重合， 由几何体的对称性可知，侧面与侧面也重合， 所以新多面体的面有个， 故答案为：5 【素养提升】 12．在三棱柱中，平面，，是线段上的一个动点． (1)若，求证：平面平面； (2)若且是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】见解析 【解析】(1)平面，平面， ，又，，，平面， 平面，平面，平面平面． (2)过点作于，连接， 平面，平面，． 又，，、平面，平面， 故就是直线与平面所成的角， ，， 故是以角为直角的三角形， 又，由，可得． 又，，， 直线与平面所成角的正弦值为． 第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $