8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 [课时跟踪检测] 1.平面α⊥平面β,直线a∥α,则 (　　) A.a⊥β B.a∥β C.a与β相交 D.以上都有可能 解析:选D　因为a∥α,平面α⊥平面β,所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能.故选D. 2.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是 (　　) A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α 解析:选B　已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,应增加的条件n⊥m,才能使得n⊥β. 3.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则 (　　) A.PD⊂平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 解析:选B　因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC. 4.已知平面α,β及直线a满足α⊥β,α∩β=AB,a∥α,a⊥AB,则 (　　) A.a⊂β B.a⊥β C.a∥β D.a与β相交但不垂直 解析:选B　由题意,α中存在直线b,b∥a.因为a⊥AB,所以b⊥AB.因为α⊥β,α∩β=AB,所以b⊥β.因为b∥a,所以a⊥β. 5.已知平面α,β,γ,则下列命题正确的是 (　　) A.α⊥β,β⊥γ,则α∥γ B.α∥β,β⊥γ,则α⊥γ C.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,则a⊥b D.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则b⊥α 解析:选B　A中α,γ可以相交;C中如图,a与b不一定垂直;D中b仅垂直于α的一条直线a,不能判定b⊥α. 6.如图,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是 (　　) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 解析:选D　∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC, ∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点. 7.(多选)如图,点P为四边形ABCD外一点,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E为AD的中点,则下列结论一定成立 的是 (　　) A.PE⊥AC B.PE⊥BC C.平面PBE⊥平面ABCD D.平面PBE⊥平面PAD 解析:选ABC　因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥AC,PE⊥BC,所以A、B成立.又PE⊂平面PBE, 所以平面PBE⊥平面ABCD,所以C成立. 若平面PBE⊥平面PAD,则AD⊥平面PBE,必有AD⊥BE,此关系不一定成立.故选ABC. 8.(5分)如图,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是　　　　. 解析:过A作AO⊥BD于O点.∵平面ABD⊥平面BCD, ∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角. ∵∠BAD=90°,AB=AD, ∴∠ADO=45°. 答案:45° 9.(5分)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为　　　　.  解析:因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD.因为AB⊥BD,AB∥CD,所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.所以平面ACD⊥平面ABD,共3对. 答案:3 10.(5分)如图,在四面体A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,△ABD是边长为3的等边三角形,BD=CD,BD⊥CD,则四面体A-BCD的体积为　　　　 . 解析:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,CD⊂平面BCD,∴CD⊥平面ABD, ∴VA-BCD=VC-ABD=S△ABD·CD,∵△ABD是边长为3的等边三角形,∴S△ABD=×3×3×sin =,又BD=CD=3, ∴VA-BCD=××3=. 答案: 11.(5分)如图,已知平面α⊥平面β,在α与β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为　　　　 cm. 解析:连接BC.∵α⊥β,α∩β=AB,BD⊥AB,∴BD⊥平面α. ∵BC⊂α,∴BD⊥BC. 在Rt△BAC中, BC===5,在Rt△DBC中,CD===13, ∴CD的长为13 cm. 答案:13 12.(5分)如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为和.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A',B',则AB∶A'B'=　　　. 解析:由已知条件可知∠BAB'=,∠ABA'=.设AB=2a,则BB'=2asin=a,A'B=2acos =a.∴在Rt△BB'A'中,得A'B'=a.∴AB∶A'B'=2∶1. 答案:2∶1 13.(5分)在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为　　　　.  解析:如图,连接CM,则由题意得PC⊥平面ABC.因为CM⊂平面ABC,所以PC⊥CM.所以PM=.求PM的最小值,只需求出CM的最小值即可.在△ABC中,当CM⊥AB时CM有最小值,此时有CM=4×=2,所以PM的最小值为2. 答案:2 14.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一点. (1)若CD∥平面PBO,试指出点O的位置;(5分) (2)求证:平面PAB⊥平面PCD.(5分) 解:(1)∵CD∥平面PBO,CD⊂平面ABCD, 且平面ABCD∩平面PBO=BO,∴BO∥CD. 又BC∥AD,∴四边形BCDO为平行四边形. 则BC=DO.又AD=3BC,∴AD=3OD. 故点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点. (2)证明:∵侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,AB⊂底面ABCD,且AB⊥AD, ∴AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD. 又PA⊥PD,且PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,AB∩PA=A,∴PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD. 15.(15分)(2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°. (1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(6分) (2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.(9分) 解:(1)证明:因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥BC.因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又A1C∩AC=C,A1C,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.又BC⊂平面BB1C1C,所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)如图,过点A1作A1H⊥CC1,交CC1于点H.由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.又平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1H⊂平面ACC1A1,所以A1H⊥平面BB1C1C,即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H. 由题意知AB=A1B,BC=BC,∠A1CB=∠ACB=90°,则△ACB≌△A1CB,故CA=CA1. 又AA1=2,∠ACA1=90°,所以A1C1=CA1=. 在等腰直角三角形CA1C1中,A1H为斜边中线,所以A1H=CC1=1. 故四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 学科网（北京）股份有限公司 $