精品解析：河南清华附中郑州学校2025-2026学年高二下学期第三次学情调研数学试卷

高二下期学情调研试题 数学 一、单选题 1. 已知向量，，且与互相垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 2. 若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标后，列方程组求得得椭圆方程. 【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的焦点为， 所以，又，则， 所以椭圆方程为. 3. 已知等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列的首项及公比，即可计算作答. 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，而，解得， 数列的前4项和为，即，解得， 所以. 故选：C 4. 在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（ ） A. 15 B. 45 C. 135 D. 405 【答案】C 【解析】 【分析】令可得展开式各项系数和，再由二项式系数和为，即可得到方程，求出，再写出二项式展开式的通项，令的指数为，即可求出，再代入计算可得； 【详解】解：对于，令，可得各项系数和为，又二项式系数和为， 所以，解得， 所以展开式的通项为， 令，解得，所以； 故选：C 5. 一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】设事件=“第一次取到好晶体管”，事件=“第二次取到好晶体管”，所求为， 由题意：，， . 即在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为. 6. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标；代入切线方程解得. 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 7. 已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的直线方程求出定点坐标，再确定定点与圆的位置关系，求出过定点的圆的直径斜率即可得解. 【详解】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点， 将化为标准形式， 因为，所以点在圆内， 而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值， 又直线的斜率，所以. 8. 已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】注意到，，均在直线上．故， 而不在该直线上，即四点不共线，故．于是． 二、多选题 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性及方差的性质逐项判断即可得解. 【详解】由，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B正确； ，故C错误； 由方差性质，，故D正确. 故选：ABD 10. 羽毛球比赛结束后，4名选手和甲、乙两名裁判站成一排拍照留念，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙相邻的排法有480种 B. 甲、乙不相邻的排法有480种 C. 甲在乙的右边（可以不相邻）的排法有360种 D. 甲不在排头，且乙不在排尾的排法有504种 【答案】BCD 【解析】 【分析】用捆绑法求出总的排法，从而判断A；用插空法求出总的排法数，从而判断B；根据甲在乙的右边与甲在乙的左边各占全排列的一半，求出总的排法数，从而判断C；分当甲排在排尾和当甲不排在排尾，求出总的排法数，从而判断D. 【详解】对于A，当甲、乙相邻时，将甲、乙捆绑在一起，其排法数共有种排法，故A错误； 对于B，将4名选手全排列，再将甲、乙二人插入4名选手产生的5个空中，共有种排法，故B正确； 对于C，因为甲在乙的右边与甲在乙的左边各占全排列的一半， 所以甲在乙的右边共有种排法，故C正确； 对于D，当甲排在排尾时，乙自然不在排尾，此时有种排法； 当甲不排在排尾时，甲只能排在中间4个位置中的一个，乙只能排在除排尾和甲所占的位置剩下的4个位置中的一个，其余的人全排列，共有种排法， 所以一共有种排法，故D正确. 11. 已知函数，是的一个极值点，则（ ） A. B. 若方程只有一个解，则 C. 的图象关于点对称 D. 对 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A；利用三次函数图像的特点可判断B；利用可判断C；代入作差，可判断D. 【详解】求导得 ， 由题意得，解得或， 由得，故A错误； 令，得或， 当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数递减， 当时，，所以函数递增. 所以的极大值为， 的极小值为. 为三次函数，要使只有一个解， 只需的极小值或的极大值. 所以或，故B正确； 因为函数，所以， ，故， 则的图象关于点对称，故C正确； 易知， 则， 即 恒成立，故D 正确. 三、填空题 12. 通过市场调查，得到某种产品的资金投入x(单位:万元)与获得的利润y(单位:万元)的数据，如表所示: 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 0.4 0.6 1 1.2 1.8 根据表格提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程为，现投入资金15万元，求获得利润的估计值（单位：万元）为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据线性回归方程过样本数据中心点，可求出b，代入即可求解. 【详解】由表中数据可得， 所以过点， 代入可得， 所以， 当时，， 即获得利润大约为万元. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了线性回归方程，样本数据中心点，线性回归方程的应用，属于中档题. 13. 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算第一次分别抽出红球、黑球、白球的概率，对应三种互斥的事件，针对第一次抽球的每种结果，计算对应情况下第二次抽出红球的条件概率，结合全概率公式求得最终结果. 【详解】从盒中任取1球，是红球记为，黑球记为，白球记为， 则，，彼此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件B， 则，，，，，， . 14. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果. 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项分布的概率公式计算，从而得到结果. 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，且；等差数列满足；； （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系计算可得数列的通项公式，再利用等差数列定义计算即可得数列的通项公式 （2）借助错位相减法计算即可得. 【小问1详解】 由已知，当时，，即，， 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为， 则，则， 设等差数列的公差为，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，∴设，① ①，得，② ∴①②，得 ， ． 16. 已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为． （1）求的值； （2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合； （3）记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项公式求出第6项系数与第4项系数，根据题意列方程即可求出答案； （2）根据且求出，即可求出答案； （3）根据二项式的展开式列出，设，则，，通过赋值法求出和即可求出答案. 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 由题意得，即，解得. 【小问2详解】 由（1）得展开式的第项为， 所以由题意得且，解得， 所以的取值集合为. 【小问3详解】 由（1）得展开式的第项为， 所以， ， 设多项式，其系数， 则，， 令，则，令，则， 所以. 17. 2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系 （2），（万亿千瓦时） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 ， 故可用线性回归模型拟合与的关系； 【小问2详解】 ， 则， 则经验回归方程为， 令，则， 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 18. 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 【答案】（1）（i）分布列见解析，2；（ii） （2）244.8元 【解析】 【分析】（1）（i）分析可知的可能取值有1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）根据题意结合条件概率公式运算求解； （2）的可能取值为0，100，200，600，结合二项分布求对应概率和期望. 【小问1详解】 （i）由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则；；； 所以的分布列为 X 1 2 3 P 且的期望； （ii）由条件概率公式得. 【小问2详解】 设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600， 则； ； ； ； 所以， 所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元. 19. 已知函数． （1）若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； （2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【小问1详解】 ∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． 【小问2详解】 由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下期学情调研试题 数学 一、单选题 1. 已知向量，，且与互相垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（ ） A. 15 B. 45 C. 135 D. 405 5. 一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、多选题 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 羽毛球比赛结束后，4名选手和甲、乙两名裁判站成一排拍照留念，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙相邻的排法有480种 B. 甲、乙不相邻的排法有480种 C. 甲在乙的右边（可以不相邻）的排法有360种 D. 甲不在排头，且乙不在排尾的排法有504种 11. 已知函数，是的一个极值点，则（ ） A. B. 若方程只有一个解，则 C. 的图象关于点对称 D. 对 三、填空题 12. 通过市场调查，得到某种产品的资金投入x(单位:万元)与获得的利润y(单位:万元)的数据，如表所示: 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 0.4 0.6 1 1.2 1.8 根据表格提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程为，现投入资金15万元，求获得利润的估计值（单位：万元）为_____________. 13. 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是_____． 14. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字______处的可能性最大． 四、解答题 15. 已知数列的前项和为，且；等差数列满足；； （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为． （1）求的值； （2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合； （3）记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求． 17. 2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 18. 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 19. 已知函数． （1）若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； （2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $