河南许昌市部分学校2025-2026学年高二下学期6月联考数学试卷（人教A）

高二数学参考答案、提示及评分细则 1.C由x-1>0,得x>1,则B={xx>1},所以A∩B={2,3).故选C 2.D由题知=2十3i,则之-=(2-31-(2十3i)=-6i,所以|之-|=6.故选D. 3A由题知2X晋-9=经，解得9=等-经(k∈》.又>0，当k=0时，9=，当k=1时9=吾，当≥2时，9≤ 3 否，不合题意，所以9的最小值为否.故选A 4A因为5X0,6=3,所以这组数据的第60百分位数是第3个数据和第4个数据的平均数，即，则有= 3+4十z十12+16+2，解得x=10.故选A 6 5.B若l过a,a⊥3，la,则lCB或l与B相交或l∥3，充分性不成立；若l寸a,a⊥3，l⊥3，则l∥a,必要性成立.故选B. 6.D因为f(x)是偶函数，f(x+4)=f(x),f(x)在[一2,0]上单调递减，所以f(x)在[0,2]上单调递增，且a f1og48)=j4+1og3)=og3),6=-5)=f1).因为32=9>2=8，所以3>2t,所以1<号<og3<2,所以 f(-5)<f(号)<fog48),故bc<a.故选D. 7.B因为点D为AC的中点，所以AC=2AD,因为A泸=xA+子A心-xA市+号AD,且B,P,D共线，所以x+号-1， =子，A市=3A市+号A花，所以A市·A店=(3A+号心)·A店=号A店：范+子A店.A心=号×3+号×2×3 ×cos60°=4.故选B 8.C令gx)=f(x)+2x2,因为f()+4<0,所以g'(x)=∫(x)+4x<0,所以g(x)在R上单调递减.因为f(号） 之，所以g(2)=/(号）+2×(2)广'=1，不等式f(sin）-cos2a<0,可化为(sinx)+2sim2x<1,即g(sinx)≤ g(合)，所以sinx≥号.又x∈[0，]，所以xe[吾，晋]，故选C 9.ABD由题知P(X<80)=P(X>80),P(X<70)=P(X>90)<P(X>85),A,B正确：X<10与X>10不关于直线 X=80对称，C错误；P(X>75)=P(X<85)<P(X<90),D正确.故选ABD, 10.AB因为a+1=2a,所以=2，所以{an是公比为2的等比数列.又S,=28,所以a1十2十ag=28,a十aq十ag2 =28,a+2a,+4a,=28,所以a=4,a,=4×21=21,所以a4=25=32,A正确：S,=a2=4X022 1-9 1-2 224,所以a,一S=2一(22-4)=4，B正确：a贴=(2y=,所以-4g=4,所以c2)是首项为团 16,公比为4的等比数列，所以a+a+a++G-16X4巴_4,16，C错误：因为6，=1oga,=十1，所以 1-4 3 +西市点所以这+威+寸态=（合）+（仔子）+中（偏） 1 1 令-鵠D错误放选AB 山.D由题知抛物线C:y=4红的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,A错误：设M(4,y) Ny)联立，消去x得y-4my16=0,所以十为=m,为=16，所必 O成.O式-m若+为=0，所以OMLON.B正确：△FN的面积Sn=号FQ1· 16 1y-为=号1y-为，因为0-为)P=听+号-2y%=(y+为)2-4为=16m2+64=80, 所以S%n=号×√80=65，C正确：设M在第一象限，因为 PN 8十2 PM yp一y 8 ，又2 一y 十 m 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 人教A -16,所以品=产，由n十g=:得-千所以是+为=0十为=二2士2 my十y2 yy2 y十y2 1业+追-业-y）8十y2业y2业十yy+2）-y业-y二2，所以P y十y2 y+y2m y1十2 y十2 y十y2 y1+y2 乙合+(2二(w二2-业=NQ y(y一2）(y一2)y QMT ,所以PN|·(PM-|PQI)=|PM·(PQ|-|PN),得 1 2 TPM+TPN=TPQD正确.故选BCD, 12.一672由二项式展开项通项公式，得T+1=Cx9(一2y)=C(一2)*xy,所以T4=C月（一2）3x-3y= 一672x6y,故所求系数为一672. 18言一兰=1由题知u+公=d=16,又C的新近线士ay-0与圆一+少=4相切，即圆心(4.0)到新近线的距 离为半径，所以=8.解得6=2，所以心=12，C的方程为号兰-1. /a2+b2 14.29由2S.=2r+2一4-n(n十1)，得2Sw-1=2+1-4-n(-1),两式相减得am=2”-n.又n=1时，2S=2,即a1=1,满 足上式所以a=2注意到2++8++9=16+8+号++身-29+高a1-2a=21-(m+1) 22m=1,所以a≥a即品≤号·2所u5≤·臣≤号·≤(）·8≤（兮）广. 6 盟于习5罗（传》兽器所以9品一芝281器女a1 台a: l5.解：(1)由正弦定理及(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-simC)=sin Asin B,得 (a+b+c)(a+b-c)=ab,整理得a2+b-2=-ab, …3分 由余弦定理，得cosC=士B-c=二ab一1 2ab 2ab …6分 因为C∈(0，)，所以C- 31 …7分 (2)由面积公式Sa=之alsin C=-B,得ab=4. …9分 由余弦定理c2=a2+b2+ab,结合基本不等式a2+b≥2ab,得c2≥3ab=12,即c≥2√5，当且仅当a=b时取等号， 故c的最小值为25.… 13分 16.(1)证明：因为E,F分别是线段AB,CB的中点，所以EF∥AC. 因为CA⊥CB,所以EF⊥BC.… …1分 因为直三棱柱ABC-A1BC中，CC⊥底面ABC,EFC平面ABC,所以EF⊥CC. … 3分 又CC∩BC=C,CC,BCC平面BCCB,所以EF⊥平面BCCB.. …5分 (2)解：由题知CC,CA,CB两两相互垂直，故以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示 的空间直角坐标系。 则P(2,0,2),E(1,1,0),F(0,1,0),C(0,0,3),B(0,2,3), 所以E亦=(-1,0,0)，P市=(-2,1，-2)，PC=(-2,0,1D,BC=(0,-2,0).…7分 fm·PC=-2a+c=0, 设平面PB1C1的法向量为m=(a,b,c),则 m·B1C1=-2b=0. 令Q=1,得b=0,c=2,故m=(1,0,2).… 10分 n·EF=-x=0, 设平面PEF的法向量为n=(x,y,之)，则 n·p市=-2x+y-2x=0. 令之=1，得x=0,y=2,故n=(0,2,1),…13分 质以om:a-品石又店号·即平面PEr与平面PBC夹角的余资价为号 …15分 17.解：(1)设事件B=“外卖点餐准时送达”，A=“在甲餐厅点餐”，A2=“在乙餐厅点餐”，A=“在丙餐厅点餐”， 根据题意，可得PA)=,PA)=子，PA)=日，P(BA)=专，P(BA)=是，PBA)=哥， 由全概率公式得该用户每次外卖点餐准时送达的概率为：P(B)=P(A,)P(BA)+P(A2)P(BA2)十P(A)P(BA3) 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 人教A =×号+×是+日×品 …6分 (2)他不愿意购买“准时保” 理由如下：设他购买“准时保”的净收益为Y元，则Y的所有可能取值为一1,2， 8分 PY=-1)=PY=2)=1-号=， 10分 则EY)=号×(-1D+号×2=-0.4 12分 因为E(Y)=一0.4<一0.2，即亏损期望超过0.2元，所以他不愿意购买“准时保”. 15分 18解：1由题知2a=4,即a=2,C的方程为号+若-1. …1分 代人点P(1,)得十是=1解得=1，… …2分 所似C的方程为号+=1.离心率一√厂-号 2 3分 (②)由题知kr号，直线0P的直线方程为y号，即5：一2y=0, 设Q(x0,%),因为Q在C上，所以x品+4=4， 所以点Q到直线OP的距离d= 32m-2 V32o-2yo …5分 V/(W5)2+(-2)2 又因为1Op1-√+（受T-9所以5题含×1O1xd-吉×9×1E2-5-20 √7 …6分 设3m一2%=k,则当直线3x一2y=k与C相切时，k取得最值， 3x-2y=k, 联立方程组 苦+y=1, 消去y整理得4z2-25x十k一4=0， 所以△=(-2√3k)2一4×4×(k2-4)=-4k2+64=0,所以|k=4,… …8分 所以△POQ面积的最大值为(Sm)s=子X4=L.… …9分 (3)由椭圆对称性可知，直线E℉与x轴的交点异于原点，且斜率不为0，如图所示： 设EF与x轴的交点为T(t,0),l≠0，E(x1,y),F(x2,y2),,2≠士2， (x=myt, 设直线EF的方程为x=y十t,由 +y=1, 消去x,得(m2+4)y2+2ty十产-4 =0, 由△=4m22-4(m2+4)(t-4)=16(m2-2+4)>0,得2<m2+4, 则y十2= 2mt m2十4y为= 2-4 m2+4 11分 由(1)知A(-2,0),B(2,0), 则直线MA的方程为y-+2》,直线NB的方程为y=产2女一2》， 由题意知，直线MA与NB交于点M,且点M在直线x=4上， 所以4+2=4-2，即3(m-2y=(+2). x+2 x2-2 所以3(m2十t-2)y=(my+t+2)2,即2y2十3(t-2)y-(t+2)2=0.①…13分 2-4 当m≠0，即直线EF的斜率存在时，由 m2+4_4-2 y+y2 2mt 2mt 得为为=品0+为 m2+4 代人①，得(2-2)1-2)y=(2-2)1+2) 当t=1时，上式恒成立，所以T(1,0).… …15分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 人教A 当m=0,即直线EF的斜率不存在时，若T(1,0),则直线E℉的方程为x=1, 不妨取点E在第一象限，则E(1,号)，F(1,一号)，满足①式。 综上，直线EF与x轴的交点的坐标为(1,0). 17分 19.1解：当a=0时)=1--子f) 22, 所以fe)=1-名，f(e)=己 2分 所以曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y一(1-名)-己(x-e),即x-ey+e2-3e=0. …3分 2②证明：当a=0时)=1--士f()-产。 x2, 则当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以x=1为函数f(x)的唯一极值点且为极小值点： 。。。。。。。。 …5分 当a>0时，f=ae+lg_aen上 1 ae-lhe 当>1时ae>0,子>0，所以了>0，所以)在1，+e）止单调递增，无极值点.…6分 当0<a<1时，ln>0, 设G(x)=xe,G'(x)=(x十1)e>0恒成立，所以G(x)在(0，十o∞)上单调递增， 令了(x)=0得are=lhe,所以Ga)=G(n), 所以ax=lh子，所以ax+lhx=0. …7分 设h(x)=a.x十lnx(a>0),易知h(z)在(0，+∞)上单调递增， (ah)-a千+h点1-a一ha+ 令4a+1>1,设0=1--ng0月-子号， 当1(1，十∞)时，9（)<0,9)单调递减，所以p()<g1)=0,所以h(）<0,…8分 而1)=a>0,根据函数零点存在定理可知，存在唯一的∈（中，l), 使得h(n)=0,所以∫(xn)=0,…。 …9分 当x∈(0，xn)时，h(x)<0,所以f(x)<0,当x∈(，十o∞)时，h(x)>0,所以f(x)>0, 故x0是函数f(x)唯一的极值点且为极小值点. 综上所述，f(x)存在唯一的极值点.… …10分 (3)证明：由(2)知f(x)存在唯一的极值点，且为极小值点，设为x,且f(x)在(0，x)上单调递减，在(xo,十∞)上单调 递增， 所以f()的最小值为f(n)=e,血西-1 …11分 又am=-lnm,所以en=1,所以f(o)=上+a-上=a 若f(x)≥2恒成立，则a≥2，… ………… 12分 令0多则0E(o,],要证m会，即证s血>号0e(0,号] 13分 设p(0)=sm0-号，0e(o,子]，则p0=os0-号，且(0在(o,是]上单满递减， 所以p0≥p(2）=是->ms-号-号-子>0. 15分 所以p(0)在(0，是]上单调递增，所以p(0)>p0)=0, 所以sin0> 所以sn>成立… 17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 人教A高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版高考范围（除选择性必修第三册第八章）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知集合A={-2,-1,0,2,3},B={x|x-1>0},则A∩B= A.{-2,-1,2} B.{-1,2,3} C.{2,3} D.{-1,2} 2.设复数x=2一3i,则|z一z= A.1 B.2 C.4 D.6 3.已知点(，0)是函数y=tan(2x-p)(p>0)图象的一个对称中心，则p的最小值为 A晋 B c D登 4.一组从小到大排列的数据：3,4，x,12,16,若这组数据的第60百分位数比平均数大2，则x的值为 A.10 B.9 C.8 D.7 5.已知直线l和两个不同的平面a,β，若l中a,a⊥B,则“1∥a”是“l⊥”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x十4)=f(x),且f(x)在[一2,0]上单调递减，若a= fog48),6=f(-5,c=f(号)，则 A.a<c<b B.b<a<c C.a<b<c D.6<c<a 【高二数学第1页（共4页）】 人教A 7.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3,AC=2,点D为AC的中点，P为BD上的点，且AP=xAB+ 号AC则.A的值为 A号 B.4 c号 D.6 8.已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f(),且满足f(2)=,f(x)+4红<0，则当x∈[0，] 时，不等式f(sinx)一cos2x≤0的解集为 A[o,晋] B [o c[,] D.[o,]U[3x] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知随机变量X服从正态分布N(80,5),则 A.P(X<80)=P(X>80) B.P(X<70)<P(X>85) C.P(X>10)=P(X<10) D.P(X>75)<P(X<90) 10.设Sn为数列{an}的前n项和，已知an+1=2an,S3=28,且bn=log2an,则 A.a4=32 B.an+1-S,-4 C.a+a3+a+…+a=4+1+32 3 b98b99-100 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:x=my十4与C交于M,N两点，与x轴交于点Q,与直线 x=一4交于点P,O为坐标原点，则 A.C的准线方程为x=一2 B.OM⊥ON 2 C.当m=1时，△FMN的面积为6√⑤ 1 D.TPMI+IPNTTPQI 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(x一2y)9的展开式中xy的系数为 ·(结果用数字作答) 13.已知双曲线C若一芳=1(o>0,6>0)的焦距为8，且C的渐近线与圆(z一42+y=4相切，则C的 方程为 14已知数列1a}的前n项和为S,且2S.=2:-4一n(a+1),设工.为数列侣} 的前n项和，则 [T2o26]= .(符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.4幻=2，[3.5]=3) 【高二数学第2页（共4页）】 人教A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sinA十sinB+sinC)(sinA十sinB-sinC)= sin Asin B. (1)求C; (2)若△ABC的面积为√3，求c的最小值 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA⊥CB,CA=CB=2,BB1=3,P是线段AA1上靠近A1的三 等分点，E,F分别是线段AB,CB的中点. (1)求证：EF⊥平面BCCB1; (2)求平面PEF与平面PB1C1夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 某用户只在某外卖平台的甲、乙、丙三家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲、乙、丙餐厅的概率分别为 合，号言，甲，乙、丙餐厅的准时送达率分别为号}是已知该用户每次外卖点餐准时送达与香相互 独立 (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率； (2)平台推出“准时保”，每单需支付1元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时 送达，则平台不赔付.该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.2元，试问他是否愿意 购买“准时保”？说明你的理由 【高二数学第3页（共4页）】 人教A 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C苔+ -1(a>6>0)的长轴长为4，点P(1,)在C上. (1)求C的离心率； (2)若点Q在C上，O为坐标原点，求△POQ面积的最大值； (3)设A,B分别为C的左、右顶点，动点M在直线x=4上，直线MA与C的另一个交点为E(异于点 B),直线MB与C的另一个交点为F(异于点A),求直线EF与x轴的交点坐标. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(r)=ea_血x-1(a≥0). (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程； (2)证明：f(x)存在唯一的极值点； (3)当fx≥2恒成立时，证明：si血名>号 【高二数学第4页（共4页）】 人教A