精品解析：2026年江苏省南通市海门区九年级 第二次学业质量监测 数学试题（5月）

2026届第二次学业质量监测 数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请务必将答题纸交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上．在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式分母不为0列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 2. 下列各数，化简结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，有理数乘方的运算法则分别计算各选项即可得到结果． 【详解】解：、，不符合题意， 、，不符合题意； 、∵， ∴，符合题意； 、，不符合题意． 3. 一个立体图形由多个大小相同的小立方块搭成，从不同方向看到的立体图形的形状图如图所示，则搭成该立体图形的小立方块个数是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查三个不同方向观察几何体，熟练掌握空间想象能力是解题的关键．根据题意可得该几何体的底层有3个小立方块，上层有1个小立方块，据此可得答案． 【详解】解：根据题意可知，该几何体的底层有3个小立方块，上层有1个小立方块， 所以搭成该几何体的小立方块有4个； 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质以及关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． 5. 一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，利用该关系列方程即可求解圆心角度数． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵母线长为，底面圆半径为，且圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长为，侧面展开扇形的弧长为， ∴， 解得， ∴侧面展开图圆心角度数为． 6. 如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题是旋转的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．过点作于，再过点作边上的高，证明，可得，再用三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，过点作于，再过点作边上的高， 在中，，，， ，， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ， ． 故选：D 7. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减（对x操作），上加下减（对y操作）”得到平移后的函数解析式，再结合正比例函数的定义即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位长度， ∴平移后得到的函数解析式为： ， 整理得 ， ∵平移后得到正比例函数的图象， ∴， 解得． 8. 如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于E， 作于F，连接，由四边形是菱形，是的内心，求得．．．可得．由，．则可得菱形的面积． 【详解】解：作于E， 作于F，连接， ． 四边形是菱形， ，，． 是的内心， ，． ． ． ． ． ． ，， ． ． ． ． ． 9. 如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一动点，过点分别作，，垂足分别为点，，设，．若关于的函数图象如图2所示，点和都在函数图象上，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 当时， C. 点在该函数图象上 D. 该函数图象的最高点的纵坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得出四边形是矩形，是等腰直角三角形，得出，设，得出，利用二次函数对称性求出，得到函数解析式为，逐一验证选项． 【详解】解：是等腰直角三角形， 四边形是矩形， ， 设，则 ， 又是等腰直角三角形， ， ， ， ， 已知点和在函数图像上，说明这两点关于对称轴对称，对称轴为， ， 对称轴为，而二次函数的对称轴为， ， ， 即． ∴， A选项错误． ∴函数解析式为，当时，，即，B选项错误． ∴当时，，故点不在图像上，C选项错误． ∴函数顶点纵坐标为4，即最高点的纵坐标为4，D选项正确． 10. 若实数，，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题通过两个方程相加消去参数，再对整理后的式子配方，利用平方数的非负性求出，的值，代入求后计算即可． 【详解】解：令为①，为②， ①+②消去得：， 变形配方得：， ∵平方数为非负数，两个非负数的和为，则每个平方都为， ∴， 解得， 把，代入①得：， 解得， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. “春假”期间，某市共接待海内外游客约156700人次，将156700用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：将156700用科学记数法表示为． 12. 把多项式因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解． 【详解】解： ． 13. 如图，在中，平分，D是的中点，，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线，进而求出目标线段长度． 延长、相交于点F，利用平分得到，结合得出，再根据公共边，通过判定定理证明；由全等三角形的性质可得、，结合已知、，计算出；因为D是的中点且，所以符合三角形中位线的定义，即是的中位线，最后根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，求出． 【详解】解：延长，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式大于0求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， 即， 解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 15. 在综合实践活动中，某数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 测量旗杆的高度 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为； 【步骤二】测得斜坡的坡度，米； 【步骤三】在看台顶部处测得旗杆顶端的仰角为；（其中点，，，在同一条水平直线上） 解决问题 旗杆的高约为________米． （参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，由矩形的判定与性质得到，然后由坡度，在中，设，由勾股定理列方程求解得到，再由等腰直角三角形性质，设，进而表示出，最后由正切函数定义列式计算即可． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是矩形， 则， 斜坡的坡度，， 在中，设，则由勾股定理可得， ，解得或（负值，舍去）， 即， 在中，，则， ， 设， ， ，， 在中，，则， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 旗杆的高约为米． 16. 如图，正六边形的边长为，点、、、分别在、、、上，四边形是矩形，且． （1）当时，的长为________； （2）连接，，，，若，则的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，过点作于点，根据平行四边形和正多边形的性质求出相关线段的长度以及角的度数，得出为等边三角形，假设，利用锐角三角函数得出，列出方程求解即可； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得出全等三角形，求出和，得出和，令，列出方程求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作交于点，过点作于点， ∵， ∴四边形为平行四边形，且正六边形的边长为， ∴， ∵六边形为正六边形， ∴每个内角为， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴的长为； （2）如图所示，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵四边形是矩形，且，且六边形为正六边形， ∴， 由（1）可得， ∴同理，， ∴，，且， ∴，， 假设，则， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，点为正六边形的中心，连接，过点作于点， ∴，且， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， 令，则， 同（1）可得，， ∴， 整理得， ∴， 解得或， 如图所示，连接，过点作于点， ∴， ∴， 当时，，此时； 当时，，舍去； 所以，的值为． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 两边同乘，得 解得： 经检验是原方程的解． 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（春分）、B（小暑）、C（立秋）、D（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是A（春分）的概率是________； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用画树状图或列表法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单概率公式求解； （2）列表法求概率． 【小问1详解】 解：抽中是A（春分）的概率是； 【小问2详解】 解：列表为： A B C D A B C D 由列表得：两次抽取共有16种等可能的结果， 其中至少有一张是C的有7种 两次抽取至少有一张是C的概率为． 19. 随着科学技术的发展，人工智能得到了广泛的应用．经市场调研，小明决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小明通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价得分，并整理、描述、分析如下： 对A，B两个人工智能产品的评价得分 得分统计表 产品 平均数 中位数 众数 方差 A a 8 c B 7.5 b 8 2.45 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________，________2.45（填“>”或“<”）． （2）请写出小明选择A产品的两个理由． 【答案】（1） （2）选A的理由：在平均数相同的情况下，A的中位数高于B，A的方差低于B 【解析】 【分析】（1）先从折线图中提取A、B产品所有用户的得分数据，作为计算的基础，计算A产品的平均数a，因为平均数是所有数据之和除以数据个数，所以将A的个得分相加后除以即可得到a，计算B产品的中位数b，因为中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，所以先把B的得分排序，取第5和第6个得分求平均得到b，确定A产品的众数c，因为众数是一组数据中出现次数最多的数，所以统计A各得分的出现次数，找到出现次数最多的得分即为c，比较A的方差和的大小，因为方差反映数据的波动程度，波动越小方差越小，所以观察A、B得分的波动幅度，判断A的波动和B的波动的大小关系，进而比较方差大小； （2）回答选择A产品的理由，因为选择产品可参考统计量的意义，所以从平均数、中位数、方差等统计量的对比中选取两个A占优势的角度说明即可． 【小问1详解】 解：， ， 根据A的评价得分，可知8分出现的次数最多，故， 将B的得分进行排序：5、6、6、7、7、8、8、8、10、10， ∴， ∴． 【小问2详解】 选A的理由：A、B的平均数都为分，在平均数相同的情况下，A的中位数大于B的中位数，且A的方差小于B的方差，A较为稳定，所以小明选择A产品． 20. 求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于． 【详解】解：已知：． 求证：． 证明：过点作的平行线， ， ，， ， ． 21. 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” （1）问牛、羊每头各值金多少两？ （2）若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每头牛值金两，每头羊值金两 （2）方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 【解析】 【分析】（1）设每头牛值金两，每头羊值金两，根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两”，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买牛头，羊头，根据购买牛和羊恰好用金34两，列出方程，求方程的正整数解即可． 【小问1详解】 解：设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组， 解得：， 答：每头牛值金两，每头羊值金两． 【小问2详解】 解：设购买牛头，羊头， 可得方程：， ， 是正整数 ∴，， 答：有2种方案：方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头． 22. 如图，在中，以点C为圆心，为半径的与相切于点A，与交于点D，过点D作，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出直角，证明，即可得出结论； （2）利用锐角三角函数得出，求出，利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出圆的半径，最后利用三角形面积公式和扇形面积公式求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， 与相切于点， ， ， ， ， 在和中， ， , ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分面积 阴影部分面积． 23. 某水果批发商，对一种特色水果先后进行次销售，已知该水果每吨成本为万元，设第x次销售量为吨，每吨售价万元． 若第次销售水果吨，以后每增加一次销售，水果就少卖出吨； 若第次~第次销售中与成一次函数关系，第次~第次销售中与满足． 经过统计，得到如下数据： （次） （万元） （1）求与之间的函数关系式； （2）当每吨售价为万元时，求的值； （3）在这次销售中，哪一次销售获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）第次获得的利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】（1）根据“第一次销售水果为吨，然后每一次总比前一次销售减少吨”即可列出与之间的函数表达式； （2）根据待定系数法求出当，时的函数关系系，再求出即可； （3）设第次销售获得利润为万元，分类求出当时，当时与的函数关系式，再分别求出最大值，进行比较，问题得解． 【小问1详解】 解：由题意可得． 【小问2详解】 解：当时， 设， ∴， 解得： ； 当时，， 解得：（舍）， 当时，， 代入， 得 解得， ， 当时，， 解得：． 【小问3详解】 解：设第次销售获得利润为万元， 当时，， ， ，其开口向下，对称轴为， 当时，的值最大为（万元）； 当时，， 是反比例函数，当时，函数图像在第一象限，函数随着的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为（万元）， ， 第次获得的利润最大，最大利润是万元． 24. 已知二次函数（）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）； （2）当时，该函数的最大值与最小值之差为，求b的值； （3）若存在直线（），该直线与抛物线交于A、B（点A在点B左侧），与轴交于点P，使，求b的取值范围． 【答案】（1） （2）的值为或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式、区间最值问题以及函数与线段长度的综合应用，核心是利用二次函数的图像性质与代数运算解决含参数的问题． 解题关键是通过将二次函数化为顶点式，结合对称轴与区间的位置关系分类讨论最值，再利用方程思想和线段关系建立含参数的不等式求解． （1）将二次函数配方化为顶点式，直接得到顶点坐标为． （2）函数开口向上，对称轴为，结合分三种情况讨论： 当时，函数在区间单调递增，最大值为处，最小值为处； 当时，最小值在顶点处，最大值在离对称轴更远的端点处； 当时，函数在区间单调递减，最大值为处，最小值为处； 分别计算每种情况下的最值差，解方程得到符合的解． （3）设直线与抛物线交点的横坐标为（），与轴交点，则，． 由得，继而分为和两种情况讨论． 【小问1详解】 解： 顶点坐标为 【小问2详解】 当时， 解得：（舍） 当时，， 解得： 当时，， 解得：（舍） 综上得：的值为或 【小问3详解】 当时， 点在点左侧， ， 当时， ； 当时， 或． 25. 如图，矩形中，点E在边上，，，点P为边上一动点，作，交射线于点F，连接、，点M是的中点． （1）求证：点M在的中垂线上； （2）若点M恰好在边上，且，求的长； （3）连接，若，求线段长的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的性质求得，即可得到点在的中垂线上； （2）证明，求得，设，利用勾股定理列式求解即可； （3）点始终在线段的垂直平分线上，设路径为线段，当与重合时，长取最大值，当与垂直时，长取最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ， 在矩形中，， 与均为直角三角形， 是中点， ， 点在的中垂线上； 【小问2详解】 解：如图2，连接，， 点在的中垂线上， ， 在矩形中， ， ∴， 又是的中点， ， ， ． 设， ， ， 在中，， 在中，， ， ， （负值舍去）； 【小问3详解】 解：， ，矩形是正方形， ∴， 由（1）可得，点始终在线段的垂直平分线上，设路径为线段， 如图3，当与重合时，长取最大值， 在中，， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 在中，， ， 长的最大值为； 当与垂直时，长取最小值， 延长交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ， ， ， ． 长的最小值为． 长的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届第二次学业质量监测 数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请务必将答题纸交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上．在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 2. 下列各数，化简结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个立体图形由多个大小相同的小立方块搭成，从不同方向看到的立体图形的形状图如图所示，则搭成该立体图形的小立方块个数是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 4. 在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 3 8. 如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一动点，过点分别作，，垂足分别为点，，设，．若关于的函数图象如图2所示，点和都在函数图象上，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 当时， C. 点在该函数图象上 D. 该函数图象的最高点的纵坐标为 10. 若实数，，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. “春假”期间，某市共接待海内外游客约156700人次，将156700用科学记数法表示为________． 12. 把多项式因式分解的结果是______． 13. 如图，在中，平分，D是的中点，，则的长度为__________． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 15. 在综合实践活动中，某数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 测量旗杆的高度 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为； 【步骤二】测得斜坡的坡度，米； 【步骤三】在看台顶部处测得旗杆顶端的仰角为；（其中点，，，在同一条水平直线上） 解决问题 旗杆的高约为________米． （参考数据：，，） 16. 如图，正六边形的边长为，点、、、分别在、、、上，四边形是矩形，且． （1）当时，的长为________； （2）连接，，，，若，则的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 18. 小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（春分）、B（小暑）、C（立秋）、D（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是A（春分）的概率是________； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用画树状图或列表法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率． 19. 随着科学技术的发展，人工智能得到了广泛的应用．经市场调研，小明决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小明通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价得分，并整理、描述、分析如下： 对A，B两个人工智能产品的评价得分 得分统计表 产品 平均数 中位数 众数 方差 A a 8 c B 7.5 b 8 2.45 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________，________2.45（填“>”或“<”）． （2）请写出小明选择A产品的两个理由． 20. 求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 21. 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” （1）问牛、羊每头各值金多少两？ （2）若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 22. 如图，在中，以点C为圆心，为半径的与相切于点A，与交于点D，过点D作，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 23. 某水果批发商，对一种特色水果先后进行次销售，已知该水果每吨成本为万元，设第x次销售量为吨，每吨售价万元． 若第次销售水果吨，以后每增加一次销售，水果就少卖出吨； 若第次~第次销售中与成一次函数关系，第次~第次销售中与满足． 经过统计，得到如下数据： （次） （万元） （1）求与之间的函数关系式； （2）当每吨售价为万元时，求的值； （3）在这次销售中，哪一次销售获得的利润最大，最大利润是多少？ 24. 已知二次函数（）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）； （2）当时，该函数的最大值与最小值之差为，求b的值； （3）若存在直线（），该直线与抛物线交于A、B（点A在点B左侧），与轴交于点P，使，求b的取值范围． 25. 如图，矩形中，点E在边上，，，点P为边上一动点，作，交射线于点F，连接、，点M是的中点． （1）求证：点M在的中垂线上； （2）若点M恰好在边上，且，求的长； （3）连接，若，求线段长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $