精品解析：2026年广西壮族自治区梧州市苍梧县二模数学试题

2026年广西壮族自治区梧州市苍梧县第二次学业水平考试数学卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 年，白银市计划粮食产量稳定在吨以上．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中要求，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：对于，将小数点向左移动位得到，满足要求，则， ． 2. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： ． 3. 若实数满足，化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质确定的取值范围，再根据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，合并得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质得 ， ， ， 由绝对值的性质可得，即， ， ，， ， ， ． 4. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 5. 方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据二元二次方程组的解的情况，求参数的范围，将二元二次方程组转化为一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：， 由②，得：， 把代入①，得：，即：， ∵方程组有实数解， ∴， ∴； 故选D． 6. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角等于，求出，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求得的度数． 【详解】解：∵是的直径，  ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角  ∴． 7. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据角平分线的性质定理得到，可知，，得到，，根据勾股定理得到，可知，证明，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线交于点D，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 8. 在一次科技作品制作比赛中，八年级八件作品的成绩（单位：分）分别是，对这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是8 B. 众数是9 C. 平均数是8.5 D. 方差是1 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义和公式，分别计算各统计量，再对比选项判断即可． 【详解】解：将数据从小到大排列得，数据共个， A、中位数为第4个和第5个数的平均数，即，选项说法错误； B、8和9都出现了3次，出现次数最多，则众数为8和9，选项说法错误； C、，选项说法正确； D、 ，选项说法错误． 9. 如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（ ） A. B. 60 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设米，分别求出米，，根据列方程求解即可． 【详解】解：设米， 在中，， ∴， ∴米， 在中，， ∵，即， ∴， ∵米， ∴， 解得：， 所以，处到的距离长为米． 10. 在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B．若点A与点B关于原点对称，则b的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出平移前后一次函数与y轴的交点坐标，再根据对称关系列方程求解即可． 【详解】解：对于一次函数，令，得， ∴点的坐标为，将函数图象向下平移2个单位长度， 根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为，令，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴， 解得． 11. 如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察图像可知，交点右侧，即时，直线在直线上方，符合不等式的条件，所以不等式的解集就是． 12. 如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．当时，展开的广告画面面积比它后一秒少时，此时的值（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在上运动和点在上运动分情况讨论，建立展开的画面面积关于的函数表达式，进而得到当时，展开的广告画面面积比它后一秒少的面积差，根据已知条件面积差为，得到面积差发生在点从运动到的过程中，进而建立面积差关于的一元一次方程，解得，并验证结论满足题意． 【详解】解：由题意可知，点的运动速度为， 当点在上运动时，， ∴，此时， 展开的画面面积， 当时，展开的广告画面面积比它后一秒少的面积：； 当点在上运动时，，， ∴，此时， 展开的画面面积， 当时，展开的广告画面面积比它后一秒少的面积：， ∵当时，展开的广告画面面积比它后一秒少，， ∴面积差发生在点从运动到的过程中， ∴当时，点仍在上，即， 后一秒时，点已进入上，即，解得：， ∴， ∴，解得：． 验证结果：，符合题意． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 14. 某品牌手机厂商为测试一款新型手机的耗电情况，将手机持续亮屏．已知该款手机的电池容量为，持续亮屏平均每小时耗电，则手机剩余电量与亮屏时间之间的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据剩余电量等于总电池容量减去小时的耗电量，得到与的关系式，再根据剩余电量非负确定自变量的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：由题意得， ， 又因为，且， 因此 ， 解得， 故函数解析式为 ． 15. 在平面直角坐标系中，把直线上的点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．若点依然在直线上，则与的关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出直线上点的坐标，根据坐标平移规律得到平移后点的坐标，再将点坐标代入直线解析式，整理即可得到与的关系． 【详解】解：设点的坐标为，因为点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，根据坐标平移规律，横坐标右移加，纵坐标下移减，可得点的坐标为， 因为点依然在直线上，将代入得：， 去括号得：， 移项整理得：． 16. 如图，是等腰直角三角形，，D是射线上一点，以为斜边作等腰直角三角形（点E和点C在AB的同侧），连接．当，时，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论：当在右边时；当在左边时；利用等腰直角三角形的性质求出的长，结合求出的度数，进而求出和的长；通过作辅助线构造全等三角形和正方形，利用线段的和差关系列方程求解的长． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴， 由题意，以为斜边作等腰直角三角形， ∴，，， 有两种情况： 当在右边时，过点作 交的延长线于，过点作 于，连接 ， ， 四边形是矩形 ∵，， ， 在中，，，， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，四边形是矩形， ∵， ， ，， 四边形是正方形， ∴设， ，， ，， ， 解得， 在中，由勾股定理得； 同理，当在左边时，过点作于，过点作交的延长线于，连接， ，， ， 解得在中，由勾股定理得， 综上所述，或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∴原式． 19. 某中学数学学科节活动中，七年级某兴趣小组在一个不透明的袋子中装有3个红球和9个白球，每个球除颜色外都相同． （1）从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ （2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，求从袋中取走白球的个数． 【答案】（1） （2）5个 【解析】 【分析】（1）摸到红球的概率为袋中红球的总数除以袋中所有球的总数； （2）由题意可得，从袋中取走白球的数量和又放入红球的数量相等，用概率计算出改变后袋中红球的数量，然后减去原来红球的数量，就可得出从袋中取走白球的数量． 【小问1详解】 解：不透明的袋子中一共有个球，其中红球有3个，故从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率； 【小问2详解】 解：要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，则袋中红球应有个， 红球增加了个， 由题意可得，取走白球的个数为红球增加的个数，故从袋中取走了5个白球． 20. 为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． （1）求A、B两款服装的单价． （2）学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 【答案】（1）A款服装单价为70元，B款服装单价为60元 （2）最多能采购A款服装150件 【解析】 【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据题意列出一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元， 根据题意得， 解得 ∴A款服装单价为70元，B款服装单价为60元； 【小问2详解】 解：设采购A款服装a件，则采购B款服装件， 根据题意得， 解得 ∴最多能采购A款服装150件． 21. 如图，四边形ABCD是某小区的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，求在该空地上种植草皮共需多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】利用含30度直角三角形的性质可求得，由勾股定理求得；由勾股定理的逆定理可得，求出四边形的面积即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴， ∴ ， 元， ∴在该空地上种植草皮共需元． 22. 如图，在中，是的平分线，，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再结合是的平分线，可得，从而得到，即可求证； （2）过点C作交的延长线于点G，证明，根据直角三角形的性质可得，，再根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：如图，过点C作交的延长线于点G， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 23. 如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，结合三角形的外角性质得出，推得，根据平行线的判定得出，根据切线的定义得出，根据平行线的性质即可证明； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，结合正切的定义得出，结合圆的概念和勾股定理，列出方程求出，求得，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质即可求出． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故， 在中，， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中b、c是常数）经过点和，抛物线顶点为D．点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧．点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M，以、为邻边构造矩形（如图①），设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求顶点D的坐标； （3）如图②，当顶点D在矩形的边上时，求的长； （4）当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）抛物线的函数解析式为 （2）顶点的坐标为 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）把点和代入求解即可； （2）把一般式转化为顶点式，求解即可； （3）设，根据轴对称与坐标的关系求解即可； （4）根据抛物线的性质，把“抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大”转化为“抛物线在矩形内部的部分必须在的范围内”，分两种情况：和，分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：把点和代入， 得， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴顶点的坐标为； 【小问3详解】 解：设， ∵顶点D在矩形的边上， ∴点的纵坐标为， ∵点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M， ∴，， 解得：，， ∵点P在抛物线对称轴左侧， ∴， ∴， ； 【小问4详解】 解：设， ∵点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M， ∴，， 当时，抛物线的纵坐标y随x的增大而增大， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴抛物线在矩形内部的部分必须在的范围内， 分两种情况讨论， 当时，点落在抛物线上或与这部分的抛物线无交点，如图所示， 把代入抛物线， 得， 解得：，（舍去）， 当点落在抛物线上或与这部分的抛物线无交点时，， 矩形要框一部分抛物线，点必须在第三象限， 当时，有，解得：，， ∵点在第三象限， ∴， 因此， 当时，如图所示， 此时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， 综上分析可得：m的取值范围是或． 【点睛】用矩形框抛物线问题，关键是利用抛物线的性质，结合矩形的特征，恰当的分类并画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广西壮族自治区梧州市苍梧县第二次学业水平考试数学卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 年，白银市计划粮食产量稳定在吨以上．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 3. 若实数满足，化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A. ； B. ； C. ； D. ． 6. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 8. 在一次科技作品制作比赛中，八年级八件作品的成绩（单位：分）分别是，对这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是8 B. 众数是9 C. 平均数是8.5 D. 方差是1 9. 如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（ ） A. B. 60 C. D. 10. 在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B．若点A与点B关于原点对称，则b的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 11. 如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．当时，展开的广告画面面积比它后一秒少时，此时的值（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 化简：_______． 14. 某品牌手机厂商为测试一款新型手机的耗电情况，将手机持续亮屏．已知该款手机的电池容量为，持续亮屏平均每小时耗电，则手机剩余电量与亮屏时间之间的函数解析式为______． 15. 在平面直角坐标系中，把直线上的点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．若点依然在直线上，则与的关系是_________． 16. 如图，是等腰直角三角形，，D是射线上一点，以为斜边作等腰直角三角形（点E和点C在AB的同侧），连接．当，时，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值： ，其中x，y满足． 19. 某中学数学学科节活动中，七年级某兴趣小组在一个不透明的袋子中装有3个红球和9个白球，每个球除颜色外都相同． （1）从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ （2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，求从袋中取走白球的个数． 20. 为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． （1）求A、B两款服装的单价． （2）学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 21. 如图，四边形ABCD是某小区的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，求在该空地上种植草皮共需多少元？ 22. 如图，在中，是的平分线，，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果，求的长． 23. 如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中b、c是常数）经过点和，抛物线顶点为D．点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧．点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M，以、为邻边构造矩形（如图①），设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求顶点D的坐标； （3）如图②，当顶点D在矩形的边上时，求的长； （4）当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $