精品解析：广东广州市天河区科韵路学校2026年春八年级数学期中练习试卷

2026年春八年级期中练习试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 6，8，11 D. ，， 5. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（     　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 要使变为矩形，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的有（ ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形； ④平行四边形的四个内角之比可以是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10. 如图，正方形的边长为定值，E是边上的动点（不与点C，D重合）， 交对角线于点F，交于点G，于点H．现给出下列结论：①； ②的周长为定值； ③的长度为定值， 则正确的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ① 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是________． 12. 如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 13. 若与最简二次根式能合并，则的值为________． 14. 如图，数轴上的点表示的数是______． 15. 如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 16. 如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 19. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 20. 一个矩形的长为，宽为． （1）该矩形的面积＝______，周长＝______； （2）求的值． 21. 某校“综合与实践”小组开展了“哪种高度的物体能进电梯？”的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 哪种高度的物体能进电梯？ 成员 组长：组员： 工具 皮尺等 测量示意图 说明：电梯是旁开门，即所有门向一边开合，门一侧与电梯内部齐平．电梯门近似看成矩形. 测量数据 测量项目 数值 电梯内部的尺寸 长和宽，高. 电梯门的尺寸 问题解决 任务1 （1）根据以上测量结果，请你评估一块长为，宽为的玻璃（不计厚度）能否放入电梯； 任务2 （2）根据以上测量结果，请你评估一根长的木条（不计粗细）能否放入电梯． 22. 如图，，平分，交于点． （1）动手操作：作的角平分线尺规作图，保留作图痕迹，交于点，交于点，连接； （2）探究求证：四边形是菱形； （3）应用练习：若，，求菱形的周长． 23. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． （1）求，的长； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值：如果不能，说明理由． （3）若为直角三角形，求的值． 24. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为__________； （2）在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值． （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 25. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点，分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．请在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）求线段长度的最小值． （3）方法应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春八年级期中练习试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A中的被开方数，无意义，不是二次根式， 选项B中的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项C、D根指数不为2，不符合二次根式的定义． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并，选项A错误． ∵与不是同类二次根式，不能合并，选项B错误． ，选项C正确． ，选项D错误． 3. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当，原式． 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 4. 在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 6，8，11 D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、最长边为，，，，不能构成直角三角形． B、最长边为，，，，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形． C、最长边为，，，，不能构成直角三角形． D、最长边为，，，，不能构成直角三角形． 5. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（     　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出 的值． 【详解】解：， 平分 ． 6. 要使变为矩形，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 矩形是有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形，添加条件需使平行四边形满足矩形定义． 【详解】解：选项A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意； 选项C中，表示邻边相等，可证四边形为菱形，但不一定是矩形，不符合题意； 选项D中，对角线相等，可证平行四边形为矩形，符合题意； 故选D． 7. 下列说法正确的有（ ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形； ④平行四边形的四个内角之比可以是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，故①正确； ②平行四边形的性质为对角相等，邻角互补，并非对角互补，故②错误； ③将两个全等三角形的一组相等边重合反向拼接，即可得到平行四边形，故③正确； ④平行四边形对角相等，邻角互补，若四个内角比为，满足对角占比相等，根据四边形内角和为，可计算得四个角分别为，，，，满足对角相等，邻角和为，符合平行四边形的性质，故④正确， 综上，正确的说法共有3个． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点， ∴． 在中，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴点． 9. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 10. 如图，正方形的边长为定值，E是边上的动点（不与点C，D重合）， 交对角线于点F，交于点G，于点H．现给出下列结论：①； ②的周长为定值； ③的长度为定值， 则正确的是（　　） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ① 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先证明得到，，再证明得到．①的结论正确；延长至点，使，连接，先证明得到，，再证明得到，即可得到的周长为定值；②的结论正确；连接，与交于点，证明得到为定值，③的结论正确 【详解】解：连接，如图， ∵是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴①的结论正确； 延长至点，使，则，连接，如图， ∵，， ∴． ∴，． ∵， ∵．即． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长为定值； ∴②的结论正确； 连接，与交于点，如图， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵正方形的边长为定值， ∴的长为定值． ∴③的结论正确； ∴正确的结论为①②③， 故选：A． 【点睛】本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零得到不等式，进而求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】边形的内角和为，据此求出五边形的内角和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 13. 若与最简二次根式能合并，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果． 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 14. 如图，数轴上的点表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出BC的长，可得AC=BC=，推出OA=-1即可解决问题； 【详解】解： 由勾股定理可知：， ∴， ∴OA=AC-OC=-1， ∴点为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 15. 如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半．关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ． 16. 如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出运动后的点位置，再根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：连接，交于点，连接，过点作垂足分别为，延长，交于， ∵正方形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， 则四边形为正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∵正方形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵正方形， 是中点， ， ， 在等腰三角形中， ， ， ∵是中点，是中点， ． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 18. 已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上各点的位置有：，，再利用绝对值的意义和二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴ ． 19. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 20. 一个矩形的长为，宽为． （1）该矩形的面积＝______，周长＝______； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积公式和周长公式列式计算即可； （2）先求出和的值，再利用完全平方公式将原式变形为：，然后将和的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵矩形的长为，宽为， ∴矩形的面积：， 矩形的周长：． 故答案为：；． 【小问2详解】 由（1）得：，， ． ． ∴的值是22． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，考查了完全平方公式和平方差公式等知识．正确掌握二次根式的混合运算法则和完全平方公式是解题关键． 21. 某校“综合与实践”小组开展了“哪种高度的物体能进电梯？”的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 哪种高度的物体能进电梯？ 成员 组长：组员： 工具 皮尺等 测量示意图 说明：电梯是旁开门，即所有门向一边开合，门一侧与电梯内部齐平．电梯门近似看成矩形. 测量数据 测量项目 数值 电梯内部的尺寸 长和宽，高. 电梯门的尺寸 问题解决 任务1 （1）根据以上测量结果，请你评估一块长为，宽为的玻璃（不计厚度）能否放入电梯； 任务2 （2）根据以上测量结果，请你评估一根长的木条（不计粗细）能否放入电梯． 【答案】（1）玻璃能放入电梯；（2）木条不能放入电梯 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）如图，连接，在中，利用勾股定理求得的值，据此即可判断； （2）如图，连接和，利用勾股定理求得的值，据此即可判断． 【详解】解：（1）如图，连接，由题意可知 为直角三角形，， ， ， ， 玻璃能放入电梯； （2）如图，连接和，由题可知和为直角三角形，， ，高， ， ， ， 木条不能放入电梯． 22. 如图，，平分，交于点． （1）动手操作：作的角平分线尺规作图，保留作图痕迹，交于点，交于点，连接； （2）探究求证：四边形是菱形； （3）应用练习：若，，求菱形的周长． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 （3）菱形的周长为 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作出的平分线，交于点，交于点，连接即可得到答案； （2）根据证明，得出，，再根据证明，得出，由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形是菱形即可； （3）根据菱形的性质可得，然后在中，，由含的直角三角形性质和勾股定理求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：如图所示： 在和中 ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问3详解】 解：平行四边形是菱形，， ，， ， 在，， 在中，由勾股定理得，即，解得， ， 菱形的周长． 【点睛】本题考查了角平分线的作法、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、． （1）求，的长； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值：如果不能，说明理由． （3）若为直角三角形，求的值． 【答案】（1）， （2）能，当时，四边形是菱形 （3）当或时，为直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知，利用勾股定理可以求出、的长度； （2）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知且，可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知当时，四边形是菱形，解方程求出值即可； （3）四边形是平行四边形，所以，当为直角三角形时，只有或，分情况求出值即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：当秒时，四边形是菱形； 理由如下： ， ， 又， ， ， 当运动秒时，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 可得：， 解得：， 当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：在中，，， ， 由（2）可知四边形是平行四边形， ； 当，如下图所示， 又， 四边形为矩形， ，， ， ， 则有，， ， ， 解得：； 当秒时，为直角三角形． 当时，如下图所示， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，当或时，为直角三角形． 24. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为__________； （2）在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值． （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用两点之间距离公式，将，代入公式，直接求出即可； （2）作点B关于x轴的对称点连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值即为线段的长度，根据两点间的距离公式，进而求出的最小值； （3）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：作点B关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段的长度， ∵点与点关于x轴对称， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：代数式，表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知点在以和为端点的线段上时，其距离之和最小， ∴， ∴代数式的最小值为． 25. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点，分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．请在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）求线段长度的最小值． （3）方法应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米？ 【答案】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 又， ； （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形得到； （2）将转化成，时有最小值，即可求解； （3）参考上述思路构造平行四边形，将转化成，再求得，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， 当最小时，线段也有最小值， 等边中，， ，， ， ， ， ， 又， ， 当时，， 线段最小值是； 【小问3详解】 如图，连接，过、作，的平行线，则四边形是平行四边形，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，最小，此时最小， ，， ， ， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， 钢丝绳长度的最小值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $