河南南阳市六校2025-2026学年高二下学期阶段性素养评价（二）数学试题

**基本信息** 2026年春期高二数学阶段性素养评价试卷，聚焦数列、函数、统计核心知识，通过梯度化题型设计，融入芯片研发等现实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|等差数列、Sn与an关系、函数单调性|以充分必要条件（第4题）考查逻辑推理| |多项选择题|3/18|函数最值、数列性质|多选项设计区分思维层次（第10题数列Sn最值分析）| |填空题|3/15|导数几何意义、等比数列|开放性问题考查数学抽象（第14题函数不等式）| |解答题|5/77|等比数列证明、函数单调性与证明、回归方程应用|芯片研发投入案例（第17题）体现数学语言表达现实世界，函数性质证明（第19题）强化逻辑推理|

2026年春期阶段性素养评价（二） 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列为等差数列，,，则 A.2 B.4 C.10 D.1 2．已知数列的前n项和，则等于 A.1 B.-1 C.4 D.2 3．函数的单调递增区间是 A. B. C.(0 D.）和(1,+∞) 4．设为数列的前n项和，“｝是递增数列”是“是递增数列”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 5．已知变量x和y满足经验回归方程6x+10.4，且变量x和y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是 x 6 8 10 12 y 7 m 4 3 A.变量x和y呈负相关 B.当x=14时，y一定等于2 C.m=6 D．该经验回归直线必过点（9,5） 6．若数列的通项公式分别为，且，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是 A. B.[-1,1) C.[-2,1) D. 7．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是 A.(0,1] B. C.(0,1) D.[1,+∞) 8．已知函数，若ヨ，使得，则的最大值为 A. B.-1 C.-e D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设函数，给定下列命题，则下列选项正确的是 A.函数f(x)的最小值为 B.不等式g(x)>0的解集为 C.函数g(x)在（0,e）单调递增，在(e,+∞)单调递减 D.若恒成立，则实数 10．设数列的前n项和为*且，则下列选项正确的是 A. B.数列为等差数列 C.当n=11时，取最大值 D.设，则m=10 11．设定义在R上的函数f(x)满足，且当x≤0时，1已知存在 ，且为函数，e为自然对数的底数）的一个零点，则实数a的取值可能是 A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若曲线存在斜率为0的切线，则实数a的取值范围是 13．设数列｝是由正数组成的等比数列，公比q=2，且，那么 14．定义在R上的函数f(x)满足：是f(x)的导函数，则不等式其中e为自然对数的底数）的解集为 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分） 记Sn为等比数列的前n项和，已知 （1）求的通项公式； （2）判断是否成等差数列，并给出证明. 16.（本小题满分15分） 设函数 （1）判断f(x)的单调性并求最值； （2）证明： 17.（本小题满分15分） 某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数. 现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，i=1,2,…,12，并对这些数据作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值. 令,2,…,12)，经计算得如下数据： ū 20 66 770 200 460 4.20 3125000 21500 0.308 14 （1）设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型； （2)(i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01)； （ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？ 附：①相关系数 回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ②参考数据：308=4×77 18.（本小题满分17分） 已知数列满足，且 （1）求证：数列是等差数列，并求; （2）令，求数列的前n项和 19.（本小题满分17分） 已知函数. （1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （2）设，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性； （3）证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春期阶段性素养评价（二) 高二数学参考答案 1.【答案】C 【解析】根据题意，数列{am}为等差数列，因为a3+a7=2a5=6,所以as=3,所以2ag=as+a13 =3+17=20,所以a9=10.故选：C. 2.【答案】D 【解析】当n=1时，a1=S1=21-1=1,当n≥2时，an=Sm-Sm-1=2n-1-(2m1-1)=22m1-2m1 =2m1,对n=1也适合 ∴.an=2n1,.数列{an}是等比数列，公比为2. 故选：D 3.【答案】D 【解析】易知函数f(x)的定义域为(0，+o), 令f62-5+3x=3-s2>0,即3x2-5x+2>0, 解得x<或>1，结合定义域得fx)的单调递增区间为(0，和(1，+o). 故选：D 4.【答案】A 【解析】ano,{an}是递增数列，Sm+一Sm=ar+Po,所以{Snm}是递增数列，即充分性成立，数 列1,1,1，.，满足{Sm}是递增数列，但数列1,1,1，，不是递增数列，即必 要性不成立，则“{am}是递增数列”是“{Sm}是递增数列的充分不必要条件，故选：A, 5.【答案】B 【解析】A选项，由回归方程可知变量x,y之间呈负相关关系，故A正确；B选项，当x =14时，估计一2，不是一定，故B错误；CD选项，由题可知元+810+12=9，因线性回 4 归方程过点元，列，则=-0.6×9+10.45，则回归直线必过点(9,5)，则+m4+3=5→m=6, 故C,D正确.故选：B. 6.【答案】D 【解析】当n为奇数时，an<bm对任意n∈N*恒成立， 即为-a<2+n∈N)恒成立，又因为2+>2，故a22. 当n为偶数时，a<2-n∈N恒成立，又因为2-2多故a< 所以a的取值范围是[-2，).故选：D. 高二数学参考答案第1页（共8页) 7.【答案】B 【解析】对任意两个不等的正实数x1,2,都有>1恒成立，假设1>2， x1一x2 x1)fx2)>x1-x2,即fx1)x1>x2)x2对于任意x1>2>0成立， 令h(x)=f(xx,h(x)在(0，+oo)为增函数， .h'x)+x120在(0，+oo)上恒成立， 则2(r2max=月 故选：B. 8.【答案】A 【解析】解：.3x1∈R,2>0,使得x1)=gx2), .e1+x1-2=nx2+x2-2, e*1+x1=Inx2+x2=elnx2+Inx2, 令h(x)=e+x,x∈R,则h'(x)=e+1>0, ∴函数h(x)在R上单调递增，x1=ln2,即2=e,= 令)=点，x∈R,则u)= 当x∈(-oo,1)时，ux)>0,ux)递增： 当x∈(1，+oo)时，W'(x)<0,u(x)递减， 可得x=1时，函数4x)取得极大值即最大值，“(1)= 故选：A. 9.【答案】BD 【解析】，函数f(x)=xnx,f'(x)=lnx+1, 则gt,g 对于A,f'x)=lnx+1,当x∈(0，时，f')<0,fx)递减； 当x∈（台，+o)时，f'(w)>0,f)递增， 所以fx)的最小值为f白-子故错误， 对于B,g)>0即中>0，ln+1>0,即x>。故正确， 对于C,g)-,当x∈0,1)时，g)>0,g)递增，故错误， 高二数学参考答案第2页（共8页) 对于D,若f)ax≤0恒成立，则a≥ 在(0，e)单调递增，在(e,+o)单调递减， 所以x)的最大值为，所以a之：故正确。 10.【答案】ABD 【解析】A选项，an+m-1= 当n22时，nan+n2-n=S.①， (n-1)am1+(n-1)2-(（n-1)=S-1②， ①-②得，nan-nam-1tam-1+2n-2=an' 化为(n-1)(amam-1+2)=0, .n≥2，∴.anan-1+2=0,.anan-1=-2, 故{an}为等差数列，公差为-2，首项为a1=19, .通项公式为am=19-2(n-1)=-2n+21,A正确； B选项，S@a2_1921-20=-n2+20n,故2=一n+20, 2 2 则当n心2时，-==-n+20-(←+21)=-1， n n-1 故{}为等差数列，B正确： C选项，Sm=-n2+20n=-(n-10)2+100, .当n=10时，n取得最大值，C错误； D选项，令am>0得1≤n≤10，令an<0得n211, 则当n∈[1,9]时，bn=anam+1>0, 当n=10时，b1o<0,当n211时，bm>0,∴.m=10,D正确. 故选：ABD 11.【答案】BCD. 【解析】·令函数Tx)=fx)x2,因为xfx)=x2, .Tx+T-x)=fx-x2+-x（-x2=f+-xx2=0, .Tx)为奇函数， 当x≤0时，T'(x)=∫(x)x<0, .T(x)在(-o,0]上单调递减， .T(x)在R上单调递减： .存在xo∈{xT(x)2T1-x)}, 高二数学参考答案第3页（共8页) 得Txo)27(1-x0),x0≤1-x0,即x0≤分， .'xo为函数g(x)=e-Vax-a的一个零点， ∴方程e-Vex=a在x时有解； 令hx)Fe-Vex,∴当x时，hx)=e-Ve<0, ∴函数h(x)在时单调递减， 且当x→o时→+o,h号， ∴h()∈[9，+o):≥号 ∴a的取值范围为汽，+o). 故选：BCD 12.【答案】(o,0) 【解析】函数的定义域为(0，+o∞)， 若f(x)=ax2+lnx存在平行于x轴的切线， 则等价为f'(x)=0有解， 即fx)=2a+0在(0，+o)上有解，即2a-2 x>0,.-3<0,则2a<0,则a<0, 故答案为：(-o0,0) 13.【答案】21（或1024） 【解析】因为数列{an}是由正数组成的等比数列，公比g=2, 所以a1a4…a28a2a5a29,a3a6a30也是等比数列，且公比q1=210, .41a2a3a30-(a1a4a28)(a2a5a29）（a3a6a30）=(a245a29)3=230, .a2a5…a29=210(或1024) 14.【答案】(1，+o). 【解析】设gx)=efxe,(x∈R), g'(x)=ef(x)+ef(x)-e-e[f(x)+f'(x)-1], .f"(x)>1-f(x,f(x+f"(x)-1>0, g(x)>0,∴y=gx)在定义域上单调递增， .efw>e+e,…gw>e, 又.g(1)=ef(1)-el=e,.gx)>g(1), ∴x>1,即不等式的解集为(1，+oo). 高二数学参考答案第4页（共8页) 故答案为：(1，+o). 15.【答案】 (1)由已知a1a2-a3,2=2得a1a19Fa1g,a1+a19-2整理得：92+q2=0, 解得：q=-2或1， …（3分) 因为a102,所以a1=q=-2,an=(2)(-2y1=(-2y, ∴.{an}的通项公式an=(-2y; .(6分) (2)Sm+1,Sm,Smt2成等差数列.证明过程如下： 方法一： 由()可知：S.41=221-2+(-2y*, 1-91-(-2) (8分) 则S+1=-32+(-2],S+2=-2+(-2y*3] 由Sm+1+S+2=-[2+(-2y+2],[2+(-2y*3] =-[4+(-2)×(-2)+1+(-2)2×(-2y+] =-[4+2(-2y*]=2×[-（2+(-2y*1]=2Sa, 即Smt1+Sm2=2S,…(12分） ∴.S+i,Sn,Sm+2成等差数列： (13分) 方法二：Sn+2-Sn=am+2tan+1=-2an+1tan+l=-an+l …(9分) Sn-Sn+1=-an+1 即Snt2-Sn=Sn-Sn+1… （12分) ∴.Sn+1,Sm,Sn+2成等差数列， …（13分) 注意：如果只做出判断：S+1,Sn,S+2成等差数列，没有证明过程，则得1分. 16.【答案】 (1)解：函数f(x)=e3x-3ax的导数为f'(x)=3e3x-3a=3(e3r-a),a>0, 令fw=0,得x=na.…(3分) 当x<na时，f'x)<0,fx)单调递减： 当x>lna时，fx)>0,fx)单调递增. 综上所述：当a>0时，fx)在(-oo,lna)单调递减，在(lna,+o)单调递增.(5分) 高二数学参考答案第5页（共8页） 最小值为flna)a-lna,无最大值.…。 (7分) (2)证明：由(1)知，当a>0时，f(x)≥a-alna. 只需证明a-alndz2nu-号+号即吗+a-(a+1na20..（9分) 令ga号+a-(a+1ha3a>0. .（10分) 求导得g《a-a+1-ha-中=a-lna-a g@1-+3->0.故g@在0，+o)上单调递增。 由g(1)=1-lnl-1=0知，当0<a<1时，g(a)<0,当a>1时，g(a)>0, 所以g(a)在(0,1)单调递减，在(1，+oo)单调递增... …(13分) 所以ga在a=1处取得最小值g1)+1-0-0. 因此go20,即2na号+成立，等号当a=1且h10时取得..(15分) 17.【答案】 （1)1=0.86,r20.91,模型y=ex+t的拟合程度更好； (2)(①y=e0.02r+3.84;()32.99亿元 【解析】 (1)解：由题意，1= 站u-06-) 21500 3(u0y V52s00x20-0.86,(2分) 当y,司 14 "2- 14=100.91, V770x0.30877x0.217 .(4分) -(-y 则n<n,因此从相关系数的角度，模型y=e+的拟合程度更好；…(5分) (2))先建立v关于x的线性回归方程， 由y=ex,得lny=什x,即v=什x; (6分) 由于X202-0.02, 31770 （8分) 可点-4.20壳×203.84， …（9分) 所以v关于x的线性回归方程为v=0.02x+3.84, 所以lny-0.02x+3.84,则y=e0.02x+3.84;… (11分) (下一年销售额y需达到90亿元，即y=90, 高二数学参考答案第6页（共8页) 代入y-e0.02+3.84,得90=e0.02x+3.84, 又e44998-90,所以4.4998-≈0.02+3.84，…(12分) 所以44983.8432.99，. (14分) 0.02 所以预测下一年的研发资金投入量约是3299亿元.… (15分) 18.【答案】 (1)a （2）T=w 2n+3 【解析】 (1)解：.3amt1-am=l+ana+1 a4把 .(2分) …a+1-1=1ta-1=2a-2 3-an 3-an 故1=32=14t2=-1+1 ant1-1 2an 2 2an 2 2an 22 an-1 --2…(6分) ∴数列{是公差为的等差数列 (7分) -r以受 (9分) 2 a-1-品a1品 (10分) (2)由(1)知a, a,网泰点) （13分) 故T=b+bt+b号（+片+t片) nn+2 专1+片府）-8 420+100+2）. (17分) 19.【答案】 高二数学参考答案第7页（共8页) (1)解：对函数求导可得：f'(we2[2In(+l)叶] 将x=0代入原函数可得f(0)=0,将x=0代入导函数可得：f'(0)=1, 故在x=0处切线斜率为1，故y0=1(x0),化简得：y=x;…(4分) (2)由(1)有：g0f-e2[2h(+1J,.(5分) ge2-T[4n6+1叶 …（6分) 2=2+1Y>0, 令e4t+hH片6e0,ke音+-晋 故h(x)在[0，+o)单调递增，又因为h(0)=3>0, 故hx)>0在[0，+oo)恒成立，故g(x)>0, 故g(x)在[0，+∞)单调递增； (10分) (3)证明：设w(x)=fx+)f(x), w(x)=∫'(x+)f')=g+)gx),....(I2分) 由(2)有gx)在[0，+oo)单调递增，又因为x+t>x,所以gx+)>gx),w'x)>0, 故w(x)单调递增，又因为S>0,故w(y)>w(0),...（15分) 即：f(s+)-fs)>f()f(0), 又因为函数f(0)=0, 故f6+)>f汁f),得证..（17分) 高二数学参考答案第8页（共8页）