辽宁朝阳市2025-2026学年高二下学期期末自编数学试卷

**基本信息** 立足高二核心知识，融合垛积术文化传承与旅游路径等现实应用，通过基础-中档-难题梯度设计适配期末检测，考查数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|集合、空间向量、双曲线离心率、概率等|7题以垛积术考数列通项，体现文化渗透| |多选|3题|三角函数性质、函数极值、立体几何|11题结合正四面体重心考线面平行，注重空间观念| |填空|3题|投影向量、排列组合、三角函数最值|13题以创城志愿服务考计数，联系社会热点| |解答|5题|解三角形、数列求和、统计回归、立体几何证明、导数恒成立|15题旅游路径问题融合正弦定理，19题导数考逻辑推理，凸显应用与思维能力|

2025-2026学年度高二数学期末考试卷（一） 考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 3．已知直线l过双曲线C：（，）的左焦点，与C左支交于A，B两点，双曲线的右焦点为，若，则双曲线C的离心率为（ ） A．2 B． C．4 D． 4．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方体棱长为2，点P是面内一点，M，N分别是棱DC，AD上的点则三棱锥的体积最大值为（    ） A． B．1 C． D． 6．不是等差数列的等比数列满足，，成等差数列，则（     ） A． B． C． D． 7．垛积术是古代数学技术，常用于计算物品按规律堆积时的数目．如下图，三角垛指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，……，第n层放个物体堆成的堆垛．若，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列的通项公式是一个关于n的2次多项式 C．数列的通项公式是一个关于n的3次多项式 D．数列的通项公式是一个关于n的4次多项式 8．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（   ） A． B．   C． D． 10．已知函数，则（    ） A．的值域为 B．图象的对称中心为 C．当时，无极值 D．当时，在区间内单调递减 11．如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上一点．则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则 B．若平面，则三棱锥的体积为 C．若为线段的中点，且平面，则 D．的最小值为2 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12．已知点，则向量在向量上的投影向量的模为__________. 13．为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区，则不同的安排方法种数共有______种． 14．已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________. 四、解答题 15．如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 16．已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入（单位：百万元）与该产品的收益（单位：百万元）的5组统计数据如下表所示，且经验回归方程为． x 5 6 8 9 12 y 16 20 25 28 (1)求的值； (2)若将图表中的点去掉，判断样本相关系数是否改变，并说明你的理由． 参考数据：样本相关系数 18．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 19．已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度高中数学期末考试卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A A A B C C BC BC 题号 11 答案 BC 1．A 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】利用补集的运算法则求出，再利用集合的包含关系求解参数即可． 【详解】因为或， 若，则． 故选：A． 2．B 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 3．A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义结合条件可得的长，再由余弦定理及离心率公式即可得解. 【详解】如图， 设， 由双曲线的定义知，， 两式相加可得，即，解得， 所以， 在中， ， 化简可得，即，解得. 故选：A 4．A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】原式因式分解，原问题等价于对任意恒成立，分离变量，求导可得答案. 【详解】不等式 ， 可化为， 当，有 ， 因此原不等式恒成立等价于对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立， 设 ，则需 . ， 故 在 上单调递增， ， 因此，. 故选：A 5．A 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】设，，由表示出，再求出的最大值，由等体积法即可求出三棱锥的体积最大值. 【详解】因为平面平面，又由正方体的性质知：平面， 所以点P到平面的距离为， 设，，则，，， 所以 ， ， 因为，所以， 令，可看作是关于的一元一次方程， 所以，当且仅当时取等， 所以三棱锥的体积为：， 故三棱锥的体积最大值为. 故选：A. 6．【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】根据等差中项及等比数列的通项公式求出公比，即可得解. 【详解】正项等比数列满足，，成等差数列， ，即， 解得或（舍去）， ， 故选：B 7．C 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、累乘法求数列通项、判断等差数列 【分析】利用累加法求，进而根据来判断A；然后根据的结构来判断BCD． 【详解】由已知，， 则， 所以， 则， 符合上式， 所以， 则，不是常数 则数列不是等差数列，A错误； 对于B：若数列的通项公式是一个关于n的2次多项式， 则必为关于n的次多项式，与不符，B错误； 对于C：若数列的通项公式是一个关于n的３次多项式， 则必为关于n的２次多项式，符合，C正确； 对于D：若数列的通项公式是一个关于n的４次多项式， 则必为关于n的３次多项式，与不符，D错误； 故选：C． 8．C 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】先分类，然后利用相互独立事件的概率公式和全概率公式可得. 【详解】记第i次射击由甲射击，且命中为事件，第i次射击由乙射击，且命中为事件. 由题知，第一次由甲射击且前4次中甲恰好射击3次有6种情况： ， 所以所求概率 . 故选：C 9．BC 【难度】0.85 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】A选项，当时，，进而得到函数单调性，A错误；BD选项，求出，进而得到函数的单调性，利用求出最小正周期；C选项，根据的周期和单调性得到C正确. 【详解】A选项，当时，， 由于在上单调递减， 故在上单调递减，不合要求，A错误； B选项，当时，， 由于在上单调递增，故在上单调递增， 又，故以为最小正周期，B正确； C选项，以为最小正周期，且在区间上单调递增，C正确； D选项，当时，， 由于在上不单调，故在上不单调，D错误. 故选：BC 10．BC 【难度】0.65 【知识点】复合函数的值域、函数对称性的应用、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】函数的基本性质判断A,B,应用导函数求解函数的单调性判断D,应用导函数判断极值存在性判断C. 【详解】A选项：当至少一个不为0，则函数为三次函数或者一次函数，值域均为；当均为0时，值域为，故A错误； B选项：函数满足，可知为奇函数，其图象关于中心对称， 所以的图象为的图象向上移动一个单位后得到的，即关于中心对称，故B正确； C选项：，当时，恒大于0或者恒小于0，所以函数在上单调，无极值.故C正确； D选项：，当时，取，当时，在区间上单调递增，D选项错误. 故选:BC. 11．BC 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、锥体体积的有关计算 【分析】由题设易知为正四面体内切球的球心且半径为，应用等体积法可得，即可判断A；结合A可知，即可判断B；根据线面平行的性质得到，设，根据平面向量线性运算得到、，再由求出参数即可判断C；正四面体侧面重心的性质知平面，根据线面垂直的性质有，，即可判断D. 【详解】对于A： 在正四面体中平面，所以， 则点为正四面体内切球的球心， ，则. 设正四面体内切球的半径为， 因为， 所以， 解得，而， 所以，故，故A错误. 对于B： 由A知，故B正确； 对于C： 若为线段的中点，且平面， 又平面平面，平面，所以， 因为 ， 设， 则. 因为，故，即， 又、不共线， 所以，解得，故，故C正确； 对于D：因为平面，平面， 所以，. 当与重合时，取得最小值，最小值为，故D错误. 故选：BC 12．/ 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量数量积的应用 【分析】由空间向量的坐标运算得出两个向量夹角的余弦值，再算出投影向量的模. 【详解】点， 故，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模. 故答案为： 13．100 【难度】0.85 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意有和两种情况，共有种情况，再根据员工甲去三个小区的可能性相同，得到答案. 【详解】五名员工分别去三个小区A，B，C参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人， 则有和两种情况，共有种情况， 员工甲去三个小区的可能性相同，所以共有种情况. 故答案为：100 14．/ 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】首先从而求得及函数的最小正周期，再根据，可知的最小值为. 【详解】因为，所以，即， 且的最小正周期， 又存在实数、，对任意实数总有成立， ∴，， 的最小值为. 故答案为：. 15．(1)； (2)； (3)（单位：m/min）． 【难度】0.62 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、正、余弦定理的其他应用 【分析】(1)在中，已知两角及其夹边，可求出第三个角通过正弦定理计算AB的长； (2)甲乙最短距离时所在位置可以与A构成三角形，根据速度，可以求得路程，即三角形边长，利用余弦定理解三角形即可； (3)通过路程除以速度计算时间，根据两人到达时间，列不等式，计算范围即可． 【详解】（1）在中，因为，， 所以，，从而： ， 由正弦定理，得． （2）设乙在D处时，与E处的甲距离最近： 假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时，甲行走了，乙走了， 所以由余弦定理得： ， 即， 因为乙还在缆车上，故，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理，得． 乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得， 即，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 16．(1)，； (2) 【难度】0.64 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1），，两式相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件;及是等差数列求解即可； （2）分组后采用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则, 所以； （2）由第（1）问，， ∴设，① ①，得，，② ∴①-②，得， ， 另一部分的前n项和为 所以. 17．(1)； (2)不变，理由见解析. 【难度】0.85 【知识点】计算样本的中心点、根据样本中心点求参数、相关系数的计算 【分析】（1）首先求出样本中心，再由样本中心在回归直线上求参数值； （2）根据所去掉的点，结合相关系数公式判断分子、分母各部分的值是否有变化，即可得结论. 【详解】（1）由题设，， 所以，可得； （2）由（1）知，，故去掉点后样本中心仍然是， 去掉点前， 去掉点后， 显然前后数值没有改变，同理，的值都没有变化， 所以相关系数不变. 18．(1)证明见解析； (2)点为的中点，理由见解析. 【难度】0.85 【知识点】证明面面平行、证明线面平行 【分析】（1）利用平行四边形截面，由线线平行即可证明线面平行； （2）要证明动直线和另一个平面平行，只需要证明动直线所在的平面与另一个平面平行即可. 【详解】（1）    取点为棱的中点，又因为点为棱的中点，所以，且， 又因为，且，所以 则四边形是平行四边形，即， 又因为平面，平面，所以平面； （2）      存在点为的中点，满足平面. 因为点为的中点，点为棱的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 再由平面，，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面. 19．(1)当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值． (2) 【难度】0.47 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）对函数求导，再分类讨论求解即可； （2）将问题转化为当时，恒成立，进而构造函数恒成立，分与讨论求解即可； 【详解】（1），定义域为R，， 当时，恒成立，故函数在R单调递增，无极值； 当时，令得， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，无极小值． 综上，当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值． （2）， 因为，当时，恒成立， 所以，当时，恒成立， 令，，， ，， 令，， 则在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，单调递减，时，，单调递增， 故由可知，时，，与满足在恒成立矛盾； 综上，当时，在恒成立，即恒成立． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $