精品解析：辽宁省朝阳市建平县高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

JPGZ 2023~2024学年下学期高二年级期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用并集的运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 2. 已知一组数据满足线性回归关系，且经验回归方程为，若，则（ ） A. 30 B. 60 C. 630 D. 1200 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上代入计算可得结果. 【详解】易知样本数据的中心点在回归直线方程上， 易知，所以， 即，可得. 故选：D 3. 设角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当（）时，，所以成立， 所以“（）”是“”的充分条件； 当时，， 所以“”不是“”的必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 4. 下图是我国年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C. 2020年销量高于这六年销量的平均值 D. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 【答案】C 【解析】 【分析】根据条形图数据一一分析即可. 【详解】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确； 对于B，因为，将所有汽车销量数据从小到大排序， 所以销量的第60百分位数为第4个数据，即536.5，故B正确； 对于C，这六年销量的平均数为，故C错误； 对于D，因为2019年至2020年的增长率为，超过其他年份的增长率，故D正确. 故选：C． 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】∵数列满足，，∴， ∴，，，， ∴是周期为3的周期数列，而，故． 故选：A 6. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】记事件为在某次通电后､有且只有一个需要更换，事件为需要更换， 则， 由条件概率公式可得. 故选：A. 7. 已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆定义及二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意知,半焦距,所以由椭圆定义知, 故 且, 又，所以当或时， 取得最小值，且其最小值为，所以的最大值为． 故选:C． 8. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，判断的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得. 【详解】设，则，故单调递增. 又，故可转化为，即， 由单调递增可得，解得或， 即不等式的解集为. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 复数z在复平面内对应的点在直线上 D. 若复数满足，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据复数的除法运算法则得到，然后求即可；B选项，根据复数乘法运算法则计算即可；C选项，根据复数的几何意义判断；D选项，根据绝对值不等式判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，复数z在复平面内对应的点为，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BC． 10. 在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（ ） A. 若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B. 若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C. 若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D. 校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 【答案】BD 【解析】 【分析】从剩余人种选人即可判断A；利用排除法即可判断B；先选好人，在分组分配即可判断C；利用捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由题意，共有种选法，故A错误； 对于B，由题意，共有种选法，故B正确； 对于C，先选好人，共有种选法， 然后将人按要求分到三个展区，有种， 所以共有种选派法，故C错误； 对于D，由题意，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 11. 在平面直角坐标系中，点是拋物线的焦点，到的准线的距离为2，点是上的动点，过点且与相切的直线与轴交于点是准线上的一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点的横坐标为2时，直线的斜率为1 C. 设，则的最小值为 D. 成等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得，求解可判断A；求导可得直线的斜率判断B；，可判断C；不妨设点在第一象限，则点，可得直线的方程为，求得，进而由两点间的距离可得，可求得，判断D. 【详解】对于A：抛物线化为标准方程为，因为到的准线的距离为2，所以，所以，故A错误； 对于B：由得，的方程为，所以，所以直线的斜率，故B正确； 对于C：， 当且仅当点是线段与的交点时，等号成立，故C正确； 对于D：不妨设点在第一象限，则点，所以， 所以直线的斜率，所以直线的方程为， 化简可得，，令，则，所以， 因为，所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】由可得，展开代入数据计算即可. 详解】由题意可得， 因为，所以， 所以， 解得或. 故答案为：或 13. 在△ABC中，D是边BC上一点，且，，，，将△ABD沿AD折起，使点B到达点，且，若三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，先由余弦定理求出，再由正弦定理求出外接圆的半径，结合球的性质和勾股定理求出球的半径，再利用球的表面积公式计算即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补成一个三棱柱， 因为,， 且平面， 所以平面，所以补成的三棱柱为直三棱柱， 则该棱柱上、下底面的外接圆圆心连线的中点是球心O， 在中，由，，， 所以，又， 可知， 设的外接圆的圆心为，所以外接圆的半径， 又，所以球O的半径， 所以球O的表面积． 故答案为： 14. 记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】先将的零点个数转化为和的交点个数，然后画图确定交点个数. 【详解】令,则, 令, 则与的交点个数即为的零点个数, 当时,, 又, 所以是周期为1的函数, 在上单调递减,且, 所以可作出与的图象如图, 所以与有3个交点，故的零点个数为3, 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理、正弦定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）由正弦定理求出，再由余弦定理即可得解. 【小问1详解】 由可得， 由，可得， 因为， 由正弦定理可得， 故， 化简可得，即， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以， 由余弦定理可得 ， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得线线垂直，根据线面垂直的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 在中，由，，则， 由，为公共边，则， 所以，由图可知， 则，即，， 因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 在中，由，则， 由，则，即两两垂直， 以以原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 在中，由，，则， 设，则，，，， 取，，，， 由，则，可得， 设平面的法向量，则； 令，则，，所以平面的一个法向量. 平面的一个法向量， 设平面与平面所成角的大小为， ，. 17. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）是否有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为，求的数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联； （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】(1) 根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解； (2) 求得男生的人数为人，女生的人数为人，根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，即可列出分布列； (3) 根据题意，求得任抽1人喜欢长跑的概率为，结合服从二项分布，即可求解. 【小问1详解】 零假设学生对长跑的喜欢情况与性别无关联， 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 所以在的独立性检验中，可以推断不成立， 即有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联； 【小问2详解】 从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人， 其中男生的人数为人，女生的人数为人， 从9人中随机抽取3人，即随机变量的可能取值为， 可得， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】 由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为， 所以随机变量服从二项分布，即， 所以. 18. 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过的直线与交于两点，且，若点满足，证明：点在一条定直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列等式，然后化简即可得到的方程； （2）分斜率为0和不为0两种情况考虑，当直线的斜率为0时得到，当直线的斜率不为0时，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理和得到点在定直线上，又也在直线上，即可证明点在一条定直线上. 【小问1详解】 由题意知，所以， 所以， 化简得，的方程为. 【小问2详解】 依题意，设， ①当直线的斜率为0时，则， 因为，所以， 所以，从而， 则，即，解得，即. ②当直线的斜率不为0时，设的方程为， 由消去，得， 则且， 因，所以， 消去，得， 所以， 从而， 又也在直线上. 综上，点在直线上. 【点睛】方法点睛：求解动点在定直线上的方法： （1）先猜后证：现根据特殊情况猜想，然后证明； （2）参数法：用题目中参数表示动点的横纵坐标，然后消参，即可得到直线方程. 19. 对于定义域为的函数，若，使得，其中，则称为“可移相反数函数”，是函数的“可移相反数点”.已知，. （1）若是函数的“可移2相反数点”，求； （2）若，且是函数的“可移4相反数点”，求函数的单调区间； （3）设若函数在上恰有2个“可移1相反数点”，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为， （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义可得，解方程即可求解； （2）根据新定义可得，求出，利用二阶导数讨论函数的单调性即可求解； （3）结合新定义，分类讨论当、、时方程的解，确定函数在上恰有2个“可移1相反数点”，且1个“可移1相反数点”，另一个“可移1相反数点”在区间内或在区间内，结合导数研究函数的性质即可求解. 【小问1详解】 若是函数的“可移2相反数点”， 则，即. 所以，即， 解得或（舍去） 【小问2详解】 因为是函数的“可移4相反数点”，所以， 即.解得.所以（且）， ，令，， 所以当时，，在上单调递增， 且，所以，所以在上单调递减； 当时，，在上单调递减， 且，所以，所以在上单调递减； 所以函数的单调递减区间为，； 【小问3详解】 记的“可移1相反数点”为. 当时，，解得（舍去）， 当时， 当时，，即. 因为函数在上恰有2个“可移1相反数点”，且其中1个“可移1相反数点”， 所以另一个“可移1相反数点”在区间内或在区间内. 若，则当时，方程有且仅有一个根， 令，则，所以在上单调递增， 由有且仅有一个根，得，即，解得. 当时，，， 所以存在唯一的，使得， 即时，方程有且仅有一个根， 此时方程在内无解，符合题意； 若，则当时，方程有且仅有一个根，即， 所以，此时方程在内无解，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是导数研究函数的单调性等相关知识点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ JPGZ 2023~2024学年下学期高二年级期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据满足线性回归关系，且经验回归方程为，若，则（ ） A 30 B. 60 C. 630 D. 1200 3. 设角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 下图是我国年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C. 2020年销量高于这六年销量的平均值 D. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为椭圆两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 复数z在复平面内对应的点在直线上 D. 若复数满足，则的最大值为 10. 在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（ ） A. 若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B. 若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C. 若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D 校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 11. 在平面直角坐标系中，点是拋物线的焦点，到的准线的距离为2，点是上的动点，过点且与相切的直线与轴交于点是准线上的一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点的横坐标为2时，直线的斜率为1 C. 设，则的最小值为 D. 成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则的值为______. 13. 在△ABC中，D是边BC上一点，且，，，，将△ABD沿AD折起，使点B到达点，且，若三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______． 14. 记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求； （2）若，，求. 16. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角. 17. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）是否有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为，求的数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过的直线与交于两点，且，若点满足，证明：点在一条定直线上. 19. 对于定义域为的函数，若，使得，其中，则称为“可移相反数函数”，是函数的“可移相反数点”.已知，. （1）若是函数的“可移2相反数点”，求； （2）若，且是函数的“可移4相反数点”，求函数的单调区间； （3）设若函数在上恰有2个“可移1相反数点”，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$