精品解析：山东省青岛市青岛大学附属中学2025-2026学年第二学期九年级第三次摸底考试数学试题

九年级数学中考模拟试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分． 1. 下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解： A、是轴对称图形而不是中心对称图形； B、既是轴对称图形也是中心对称图形； C、是轴对称图形而不是中心对称图形； D、是中心对称图形而不是轴对称图形． 2. 科学家在深海发现了一种新型浮游生物，其单个个体的质量仅为0.00000000015千克（约为1.5皮克）．将0.00000000015用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式及多项式除单项式的运算法则逐项计算作出判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案． 【详解】解：设点的坐标是， ， ，， 与位似，原点是位似中心，， ，， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念及性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 5. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的特点，知道俯视图从图形的上边向下边看，看到一个正方形的底面，在底面上有一条对角线，对角线是由左上角都右下角的线，得到结果． 【详解】俯视图从图形的上边向下边看， 看到一个正方形的底面， 在度面上有一条对角线， 对角线是由左上角到右下角的线， 故选：C． 【点睛】本题考查空间图形的三视图，考查俯视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单． 失分的原因：1．对几何体三种视图的概念掌握不熟练；2．对几何体三种视图中看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线未牢记． 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 7. 如图，在中，，，以为直径的分别交、两边于点、，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接AE．根据圆周角定理易知AE⊥BC； 由于△ABC是等腰△，根据等腰三角形三线合一的性质知E是BC的中点，即CE=BE=1． 在Rt△ABE中，根据勾股定理即可求出AE的长，进而可求出△ABC的面积． 根据圆内接四边形的外角等于内对角，可得出△CDE和△CBA的两组对应角相等，由此可判定两个三角形相似，已知了CE、AC的长，也就知道了两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得△CDE的面积． 【详解】连接AE，则AE⊥BC． 又∵AB=AC， ∴E是BC的中点，即BE=EC=1． Rt△ABE中，AB=，BE=1， 由勾股定理得：AE=2． ∴S△ABC=BC•AE=2． ∵四边形ABED内接于⊙O， ∴∠CDE=∠CBA，∠CED=∠CAB， ∴△CDE∽△CBA， ∴S△CDE：S△ABC=CE2：AC2=1：5． ∴S△CDE=S△ABC=． 故选A． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 9. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，，，则，故①符合题意； ②根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点，则，故②不符合题意； ③∵对称轴为直线， ∴ 当时，，即 ∴ 即，故③符合题意； ④由于图象经过，且对称轴为，则图象也经过， 当时， 即 ，故④不符合题意； ⑤点，是抛物线上的两点，若，则，故⑤不符合题意； ⑥由图象过由对称性可知：图象也过点 令 有两个解，分别是，，故⑥符合题意； 综上所述，①③⑥符合题意，共有3个． 二、填空题：本题共6小题，共18分． 10. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的确定，根据二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂列出不等式，解不等式即可求解，熟练掌握二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且 ∴且， 故答案为：且． 11. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围_______ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法． 根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后解两个不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得且， 解得且； 故答案为：且． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义可知较长线段与原线段的比值为，代入数据计算即可求解． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ， ， ． 13. 苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，如图是苯的结构简式，由于苯分子的所有碳碳键的键长都相等，因此图中的六边形为正六边形，、为该正六边形的两条对角线，若该正六边形的边长为4，则（阴影部分）的面积为_______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】先求出六边形的内角，根据对称性可知，，再根据等腰三角形的性质得，进而得出是直角三角形，根据勾股定理和直角三角形的性质得出答案． 【详解】∵该图形是正六边形， ∴． ∵正六边形具有对称性， ∴. ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和，等腰三角形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质等，确定是直角三角形是解题的关键． 14. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为8，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，可得，，从而得到，再得出轴，可得点，从而得到，然后根据四边形的面积为8，列出方程，即可求解． 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ，轴， 轴， 点， ， ∵四边形的面积为8， ， 解得：． 15. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，P为线段上的动点．以P为圆心、为半径作，当与的边相切时，的半径长为 ____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当与直线相切于点M时，如图2中，当与相切于点N时，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ①若与相切，如图1， 设切点为M，连接， 则，且， ∵， ∴， ∴， ， ； ∴； ②如图2中，当与相切于点T时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴共线， ∵， ， ， ∴ ∴ 综上所述，的半径为或 ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题：本题共10小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知：在及边上一点E．求作：，使它分别于相切，且点E为其中一个切点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点E作的垂线，作的平分线，两条线相交于点O，以点O为圆心，为半径作即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【点睛】此题考查了作图—复杂作图，切线的判定和性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法． 17. （1）化简： （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算，先计算除法后计算加法即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键． 18. 2026年4月，青岛市学生完成了体育中考，在一次体育中考的模拟训练考试中，某学校九年级共400名男生，从中随机抽取20名学生的测试成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）： 9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8． 根据数据进行了分组并绘制了表格和统计图： 分组 换算为测试成绩 成绩（米） 频数 10 4 8 6 7 4 合计 20 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）统计表中的________；体育考试组的平均分数________； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是________； （4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？ 【答案】（1）3，7.1 （2） （3） （4）200人 【解析】 【分析】（1）结合数据统计求出，利用加权平均数的计算公式求出平均数即可； （2）根据（1）中的结果，补全条形统计图即可； （3）“8分”对应的圆心角的度数等于乘以它所对应的百分比； （4）用400乘以不低于8分所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：由样本可知，符合的有8.6，8.3，9.5，7.7，8.1，9.3共有6个， ∴， 符合的有5，5.1，4.8共3个， ∴， 体育考试组的平均分数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∴“8分”对应的圆心角的度数是； 【小问4详解】 解：（人） 故该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有200人． 19. 一款游戏的规则如下：如图1为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图2是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏． （1）转动转盘一次，转盘停止后指针指向4的概率________； （2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式进行计算即可； （2）画出表格，利用概率公式进行计算即可. 【小问1详解】 解：由题意，转动转盘一次，转盘停止后指针指向4的概率为； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共16种等可能的结果，其中棋子最终能恰好落在终点的结果有2种， ∴. 20. 如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式和点的坐标是解题的关键． （1）根据反比例函数解析式可求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到在x轴上方，一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， 把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，不等式的解集为． 21. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内， （1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）． （2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【答案】（1）106cm；（2）能碰到，见解析 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解； （2）求出端点D能够到的最远距离，进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）过点C作于点P， 过点B作于点Q，如图1， ， ， 在中，， ． ， ． ∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm． （2）能． 理由：当点B，C，D共线时，如图2， ，， 在中，， ． 手臂端点D能碰到点M． 【点睛】本题考查了直角三角形的应用，涉及到了解直角三角形等知识，解决本题的关键是能读懂题意，并通过作辅助线构造直角三角形，能正确利用三角函数值解直角三角形等，考查了学生的综合分析与知识应用的能力． 22. 如图，已知ABCD，EF为BC边上的垂直平分线，，且． （1）求证：； （2）连接AF，请判断四边形ABDF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）四边形ABDF是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线可得，根据已知条件可得，进而可得是等边三角形，由平行四边形对角相等可得，根据即可证明△ABD≌△CEF； （2）根据平行四边形的性质可得，进而根据已知条件可得，进而可得，即可判断四边形ABDF是平行四边形，根据（1）的结论可得，根据等边三角形的性质可得，可得，进而即可判断四边形ABDF是矩形． 【小问1详解】 证明： E为BC边上的垂直平分线， ， ∠ABD＝90° BF=BC 是等边三角形 , BC=2AB， 四边形是平行四边形 在与中 【小问2详解】 如图，连接 四边形是平行四边形 是等边三角形 ， 四边形是平行四边形 又 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： （1）点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； （2）如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②在安全范围内，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，水滑道所在抛物线的顶点，从而可设抛物线为，再把代入求解即可； （2）①根据对称性可得抛物线的顶点为，据此即可求解； ②由①可设抛物线为，把代入即可得到抛物线的关系式为，再令进行求解判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，水滑道所在的抛物线的顶点坐标为 设抛物线的关系式为 把代入可得解得，， 答：水滑道所在的抛物线的关系式为． 【小问2详解】 解：①由题意得，抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点成中心对称， ， 抛物线的顶点坐标为 答：此人腾空飞出后距水面的最大高度为； ②设抛物线的关系式为， 把代入可得，解得， 抛物线所在的抛物线的关系式为， 把代入可得， 解得（舍）， ， 答：此人腾空飞出后的落地点在安全范围内． 24. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“V型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“V型函数”图象． （1）请在图2中画出函数关于直线的“V型函数”图象． （2）若函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 ． （3）如图3，点，以为斜边在x轴上方作等腰，当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3），或 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图象即可； （2）求得直线与x轴的交点坐标即可求解； （3）分两种情况求解，直线在，以及“V型函数”图象在直线与x轴的交点的左侧，据此求解即可. 【小问1详解】 解：函数关于直线的“V型函数”图象如图所示， ； 【小问2详解】 解：令，则，解得， ∵函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵等腰中，点， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， 解方程得， 由（2）知直线与x轴的交点为， ∴当时，函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点， ∵直线与的边已经有两个交点， ∴函数关于直线的“V型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧， ∴与点关于对称， ∴时，函数关于直线的“V型函数”图象经过点， ∴当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用；理解并运用新定义“V型函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 25. 已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： （1）四边形是菱形时，求的值； （2）为何值时，点在边上； （3）连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）与之间的函数关系式为； （4）以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【解析】 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学中考模拟试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分． 1. 下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 科学家在深海发现了一种新型浮游生物，其单个个体的质量仅为0.00000000015千克（约为1.5皮克）．将0.00000000015用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，以为直径的分别交、两边于点、，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共6小题，共18分． 10. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 11. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围_______ 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为________． 13. 苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，如图是苯的结构简式，由于苯分子的所有碳碳键的键长都相等，因此图中的六边形为正六边形，、为该正六边形的两条对角线，若该正六边形的边长为4，则（阴影部分）的面积为_______．（结果保留根号） 14. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为8，，则的值为________． 15. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，P为线段上的动点．以P为圆心、为半径作，当与的边相切时，的半径长为 ____________________． 三、解答题：本题共10小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知：在及边上一点E．求作：，使它分别于相切，且点E为其中一个切点． 17. （1）化简： （2）解不等式组 18. 2026年4月，青岛市学生完成了体育中考，在一次体育中考的模拟训练考试中，某学校九年级共400名男生，从中随机抽取20名学生的测试成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）： 9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8． 根据数据进行了分组并绘制了表格和统计图： 分组 换算为测试成绩 成绩（米） 频数 10 4 8 6 7 4 合计 20 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）统计表中的________；体育考试组的平均分数________； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是________； （4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？ 19. 一款游戏的规则如下：如图1为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图2是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏． （1）转动转盘一次，转盘停止后指针指向4的概率________； （2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 20. 如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请直接写出不等式的解集． 21. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内， （1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）． （2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 22. 如图，已知ABCD，EF为BC边上的垂直平分线，，且． （1）求证：； （2）连接AF，请判断四边形ABDF的形状，并说明理由． 23. 某水上乐园有一种娱乐项目–飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出后在空中形成一条抛物线．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图2，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以水面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题： （1）点与水面的距离为，水滑道最低点与水面的距离为，点到点的水平距离为，求水滑道所在抛物线的关系式； （2）如图2，腾空点与对面水池边缘的水平距离，人腾空飞出后的落地点与水池边缘的安全距离不得少于，若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线恰好与抛物线的部分图形关于点成中心对称． ①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度； ②此人腾空飞出后的落地点是否在安全范围内？请说明理由． 24. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“V型函数”．例如：图1就是一次函数关于直线的“V型函数”图象． （1）请在图2中画出函数关于直线的“V型函数”图象． （2）若函数关于直线的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则 ． （3）如图3，点，以为斜边在x轴上方作等腰，当函数关于直线的“V型函数”图象与的边只有两个交点时，求m的取值范围． 25. 已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： （1）四边形是菱形时，求的值； （2）为何值时，点在边上； （3）连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $