精品解析：广东深圳市龙华区2026届高三考前自测数学试题

深圳市龙华区2026届高三数学学科高考预测卷 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分． 2．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，易知函数的值域为，即， 集合，即，， 因此. 2. 已知样本数据则该组数据的上四分位数是（ ） A. 6 B. 9 C. 9.5 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】因为上四分位数就是75%分位数， 所以由，则上四分位数是． 3. 已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】复数，，则 ，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 4. 如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为该图由4个全等直角三角形和中心小正方形构成，且， 所以， 故， 所以， 所以. 5. 已知，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 6. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】解：双曲线：的一条渐近线不妨取：， 由双曲线：的一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，可得到的距离为， 所以，解得， 故双曲线C的离心率为 故选：B 7. 已知函数，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】图像如图． 设 则． 所以， ，， 设 ，则．所以在上单调递增． ， ． 所以时，． 8. 有三堆小球，每堆有5个，球上分别标有数字1，2，3，4，5．从每堆中各随机取一个小球，记取出的号码依次为，，，在的条件下，是8的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列举出所有满足的有序三元组得到总样本数，再从中筛选出满足是8的倍数的样本数，最后用符合条件的样本数除以总样本数得到所求概率. 【详解】而． 所以共包括种情况， 其中是8的倍数只能是情形，共种情况， 故所求概率为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（　　） A. 最小值为1 B. 最小值为2 C. D. 最小值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 10. 已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，使得 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB,根据题意，求出等比数列以及等差数列的通项公式分析判断，对于C，根据指数函数与一次函数的增长速度分析判断，对于D，根据错位相减法求解判断. 【详解】设公比为，，则 ， 两式作比得 ，进而，因此，故选项B正确. ，因此公差 ，因此，选项A错误. ，指数函数增长速度远快于一次函数， 当时 .因此对任意，总能找到正整数使得，选项C正确. 则， 所以 ， 因此，选项D正确. 11. 在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有（ ） A. 若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线 B. 若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆 C. 若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线 D. 若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用根据抛物线，椭圆，双曲线，圆的定义判断. 【详解】因为点在线段的中垂线上，所以， A选项，就是， ， 由可知轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故A正确； B选项，由，得， 若与不重合，则点的轨迹为椭圆；若与重合，则点轨迹是圆，故B错误； C选项，由得 ，则轨迹是以、为焦点的双曲线，故C正确； D选项，由抛物线的对称性可知，会存在无数多组关于抛物线的对称轴对称的点， 显然不可能是圆，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用题中数列的递推公式依次代入求解即可. 【详解】因为，，， 所以，，. 故答案为：. 13. 已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】设内切球半径为， 则，则， 则内切球的体积为 14. 在中，，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由和求出，再结合正弦定理求出，由求解. 【详解】中，且 （1），（2）， （2）-（1）得，． 由正弦定理， ． . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，． （1）证明：平面平面； （2）若是等边三角形，，为的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）三棱柱是直三棱柱，平面， 又平面，， 又，，平面， 平面， 又平面，平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系求余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以过且与平行的直线为轴，，分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. ，，， 设平面的法向量为 则，令得． 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的余弦值为. 16. 已知向量，，函数． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）当时，求函数的值域； （3）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数的解析式和周期； （2）根据正弦函数的性质求解； （3）根据伸缩平移变换得到的图象，几何结合正弦函数的性质求参数范围. 【小问1详解】 由题可知， 则， 最小正周期． 【小问2详解】 当时，， ， 所以值域为； 【小问3详解】 将的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，再向上平移个单位长度，得到． 当时，，． 方程有两个不同实数解，即 有两个不同解， 等价于在上有两个不同解． 结合正弦函数图像，可知， 解得． 17. 已知函数，直线与曲线相切． （1）求实数的值； （2）若是函数的极大值点． ①求实数的取值范围； ②讨论的零点个数． 【答案】（1） （2）① ；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数来求切线斜率，再利用题意得方程组求解即可； （2）①利用分类讨论思想，结合导数的正负来判断单调性，即可得极值点是否满足题意；②利用分类讨论思想，结合零点存在性定理可判断零点个数. 【小问1详解】 设直线与曲线相切于点， 由切点在直线上得，， 因为，所以切线斜率为，可得, 代入可得: ,则可解得； 【小问2详解】 ①由，，求导可得：， 当时，，时，；时，， 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 当时，令得或；令得， 所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 当时，，所以在上单调递增；不符合题意； 当时，令得或；令得， 所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增 所以是函数的极大值点，满足题意． 综上：实数的取值范围为． ②由， 根据①可知，在上递增；在上递减，在上递增， 则， 由，令， 则， 当，即时，，则在上无零点， 又时，，则在上无零点，故此时零点个数为0； 当，即时，同理只有，即零点个数为1； 当，即时，，，使得， 即零点个数为2， 综上：时，无零点；时，有1个零点；时，有2个零点． 18. 已知甲口袋有（，）个红球和2个白球，乙口袋有（，）个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球． （1）当，时， ①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； ②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，求的最大值. 【答案】（1）① ；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据“正难则反”的原则结合独立事件的乘法公式计算求解；②列举随机变量的可能取值，计算对应概率后，再根据数学期望计算公式计算求解； （2）设小明每次摸出一个红球的概率为，则，其中，则，求导，根据导数计算可得最值. 【小问1详解】 ①易知小明从甲口袋中有放回摸出一个白球的概率为，从乙口袋中摸出一个白球的概率为， 设“小明4次摸球中，至少摸出一个白球”为事件，则“小明4次摸球都是红球”为事件， 则， 所以 ②的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由①得， ， ， ， ， 所以； 【小问2详解】 易知此时连续摸4次相当于4次独立重复性试验， 设小明每次摸出一个红球的概率为，则，其中， 则，， 所以当时，；当时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则时，最大，此时，，解得． 故当时，概率最大．此时 19. 已知抛物线的焦点为，准线为．设点列在抛物线上，且均位于第一象限．对于每个，过点作准线的垂线，垂足为，连接交抛物线于另一点，已知． （1）求点的坐标； （2）设为锐角，且满足，其中为点的纵坐标，证明，并求关于的通项公式； （3）记，设．证明：对任意正整数，都有． 【答案】（1） （2）设，由抛物线方程得，且， 由已知得，．点，焦点 直线的斜率，方程为 代入抛物线得， * 方程*的两根为直线与抛物线的两个交点的横坐标，其中一根记为（对应），另一根记为，由韦达定理知： ，故： ，． 又在第一象限，代入得 设另一方面，代入得． 整理得，又为锐角，则． . （3）由抛物线定义知： 于是. 利用二倍角公式得：，令， 所以： 因此． 从而． 对任意整数，利用不等式，得 于是 因此，对任意正整数，都有. 【解析】 【分析】（1）将直线的直线方程与抛物线方程联立，结合点在第一象限，可求点坐标. （2）写出直线的方程，与抛物线方程联立，结合点所在象限，可得与的关系，进而可证；进而可得数列的通项公式. （3）先确定的通项公式，利用累乘法可求，结合，可证所给表达式. 【小问1详解】 如图： 由，得，，直线的斜率为，方程为． 代入抛物线得：，解得：． 又在第一象限，所以． 【小问2详解】 证明略. 由得 ，则，，从而. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市龙华区2026届高三数学学科高考预测卷 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分． 2．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知样本数据则该组数据的上四分位数是（ ） A. 6 B. 9 C. 9.5 D. 10 3. 已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成.若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知函数，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 有三堆小球，每堆有5个，球上分别标有数字1，2，3，4，5．从每堆中各随机取一个小球，记取出的号码依次为，，，在的条件下，是8的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（　　） A. 最小值为1 B. 最小值为2 C. D. 最小值为4 10. 已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，使得 D. 11. 在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有（ ） A. 若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线 B. 若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆 C. 若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线 D. 若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，且，则_________． 13. 已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________． 14. 在中，，，，则的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，． （1）证明：平面平面； （2）若是等边三角形，，为的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 16. 已知向量，，函数． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）当时，求函数的值域； （3）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 17. 已知函数，直线与曲线相切． （1）求实数的值； （2）若是函数的极大值点． ①求实数的取值范围； ②讨论的零点个数． 18. 已知甲口袋有（，）个红球和2个白球，乙口袋有（，）个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球． （1）当，时， ①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； ②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，求的最大值. 19. 已知抛物线的焦点为，准线为．设点列在抛物线上，且均位于第一象限．对于每个，过点作准线的垂线，垂足为，连接交抛物线于另一点，已知． （1）求点的坐标； （2）设为锐角，且满足，其中为点的纵坐标，证明，并求关于的通项公式； （3）记，设．证明：对任意正整数，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $