精品解析：广东深圳市福田区西交利物浦大学基础教育集团外国语高级中学2025-2026学年第二学期高三考前自测数学试题

西浦教育集团外国语高中2025-2026学年度第二学期高三年级西浦五模考试 数学学科试题 答题注意事项： 1．本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 16 D. 48 6. 已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（    ） A. 事件，为对立事件 B. C. 事件B，C为独立事件 D. 10. 如图，已知圆柱，底面半径为，，为上一点，正方形内接于，则（ ） A. 平面 B. 四棱锥的体积不为定值 C. 四棱锥外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的最小值为 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C. 的最大值为 D. 若点是的外心，且，，则 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为______． 13. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于两点.若，则圆的半径为__________. 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查．该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示： （1）求样本学生一个月阅读时间的中位数． （2）利用分层抽样从阅读时间在的学生选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率． 16. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. （1）证明：四边形为矩形； （2）若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 17. 已知圆外有一点. （1）当时，过点作直线，当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）自点发出的光线经过轴反射后与相切，记与相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为，数列的前项和为，求证：. 18. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的单调区间； （3）若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 19. 已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且. （1）设为坐标原点，证明：，，三点共线； （2）设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，. （i）证明：； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西浦教育集团外国语高中2025-2026学年度第二学期高三年级西浦五模考试 数学学科试题 答题注意事项： 1．本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，解得，再求交集即可 【详解】， 解得， ． 故选：C． 2. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，故复数在复平面内所对应的点的坐标为， 因为在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称， 故复数在复平面内所对应的点的坐标为，即. 3. 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 4. 在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用共渐近线的双曲线的方程可求对应的离心率，再结合反例可判断两者之间的条件关系. 【详解】若双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线方程为， 若，则双曲线的标准方程为，故， 故，故； 若，则双曲线的标准方程为，故， 故，故； 设双曲线的方程为，此时，故离心率为， 此时渐近线的方程为， 故“离心率为”推不出“渐近线方程为”； “渐近线方程为”推不出“离心率为”， 故“离心率为”是“渐近线方程为”的既不充分又不必要条件， 故选：D. 5. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 16 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正态分布的性质确定的值，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，正态曲线关于直线对称， 又，所以，解得. 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 6. 已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两函数图象关于直线对称及得到，结合的范围代入求解即可. 【详解】由题意知，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 7. 已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】B 【解析】 【分析】利用取倒数法并构造新数列求其通项公式，再由等比数列求和公式结合数列的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得， 易知，两侧同时除，可得，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故， 故， 易知单调递增，，所以. 故选：B 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，得到得单调性和，转化为成立，令，求得，令，求得，得到在上单调递减，进而得到在上单调递减，求得，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，此时在上单调递增， 所以在上的最小值为， 则，使得恒成立， 即，使得成立，即成立， 令，即， 因为， 令，可得， 所以在上单调递减，所以， 所以，可得在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（    ） A. 事件，为对立事件 B. C. 事件B，C为独立事件 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件和互斥、对立事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件概率公式求事件概率. 【详解】对A，事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球，事件，，不可能同时发生且必有一个发生，所以为对立事件，A正确. 对B，取出的两球同色分为都是红色和都是白色，则，所以B正确. 对C，已知事件C：取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率，积事件为两个红色球，则,可知，所以C错误 对D，由题意知，积事件为第一次取白球，第二次取红球，则，根据条件概率公式可知，所以D正确. 故选：ABD. 10. 如图，已知圆柱，底面半径为，，为上一点，正方形内接于，则（ ） A. 平面 B. 四棱锥的体积不为定值 C. 四棱锥外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行的判定即可判断；对于B，先求正方形的面积，即可得到；对于C，四棱锥外接球即圆柱的外接球，再求表面积即可；对于D，过作底面，连接，故就是直线与平面所成角，根据即可求最小值． 【详解】对于A，是正方形，， 平面，平面， 平面，故A正确； 对于B，，， ，故B错误； 对于C，根据题意，四棱锥外接球即圆柱的外接球， 外接球半径，表面积，故C正确； 对于D，过作底面，连接， ，就是直线与平面所成角， ， 为底面直径，即时，最小， 此时，， 所以直线与平面所成角的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C. 的最大值为 D. 若点是的外心，且，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得，进而可得；B利用正弦定理可得，再利用平面向量结合基本不等式运算求解；C整理可得，进而分析最值；D根据数量积的几何意义结合外心性质可得，解方程即可. 【详解】A：因为，则，可得， 因为，则，，可得，所以，故A正确； B：由正弦定理，得，， 则，解得， 因为是边AC的中点，则，且， 可得，当且仅当时取等号， 所以，故B错误； C：因为 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； D：因为，，则，即，，， 因为，则， 即，解得，故D正确. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为______． 【答案】160 【解析】 【详解】设， 两边求导：， 令：， 故 13. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于两点.若，则圆的半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出点坐标，利用勾股定理解得坐标，求出圆半径. 【详解】由可知，. 设，则由抛物线定义可得，即圆半径为， 而点到轴距离为，，则由勾股定理可得， 解得，所以圆半径为. 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 【答案】1250 【解析】 【分析】由题意知，可求出，由得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可. 【详解】连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的,那么， ， 由得，即， 由切比雪夫不等式可得 可知 为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，则 ，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查．该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示： （1）求样本学生一个月阅读时间的中位数． （2）利用分层抽样从阅读时间在的学生选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率． 【答案】（1）10；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中中位数的计算方法进行求解即可； （2）先分别求出阅读时间在，的频率，从而得到频率之比，确定阅读时间在，抽取的人数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意可得，频率分布直方图中第一组和第二组的频率之和为， 所以样本学生一个月阅读时间的中位数； （2）阅读时间在的频率为，的频率为， 故两组的频率之比为， 所以阅读时间在抽取3人，记为；抽取2人，记为1，2. 从中随机抽取两人有：，，，，，，，，，10种情形； 小组中至少有1人发言有，，，，，，7种情形， 故小组中至少有1人发言的概率为. 16. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. （1）证明：四边形为矩形； （2）若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）或. 【解析】 【分析】（1）以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法列式求解. 【小问1详解】 在斜三棱柱中，连接，由为的中点，得， 又，则，而平面，则直线两两垂直， 如图，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得， 又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 设， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 即，解得或， 所以的值为或. 17. 已知圆外有一点. （1）当时，过点作直线，当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）自点发出的光线经过轴反射后与相切，记与相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）或 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得，求解即可； （2）记点关于轴的对称点为，设反射光线所在直线，由点到直线的距离得，进而由根与系数的关系可得，利用裂项相消法可求证结论. 【小问1详解】 圆，圆心，半径. 由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 由于直线与圆相切，所以，解得或， 所以直线的方程为或； 【小问2详解】 记点关于轴的对称点为，则. 由于反射光线所在直线经过点，且斜率存在， 设反射光线所在直线，即. 又圆的圆心为，半径，直线与圆相切，则， 整理得， 则两条切线的斜率之积. 所以， . 18. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的单调区间； （3）若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 【答案】（1） （2）的增区间为，无减区间 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用导数的符号研究函数的单调区间； （3）根据题设分析，令并应用极值点偏移思想构造，，再应用导数研究函数符号，结合即可证. 【小问1详解】 由题设且，则，所以切线方程为； 【小问2详解】 设，令，则， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，，， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以，即， 故的增区间为，无减区间； 【小问3详解】 由（1），（2）知，在上单调递增， 若，，必有， 若，，必有， 若，必有，，矛盾， 令，（）， ， 则， 所以单调递增，， 在上，，单调递减，， ，， 所以，， 所以，，即，原不等式成立. 19. 已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且. （1）设为坐标原点，证明：，，三点共线； （2）设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，. （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，表示四个斜率，结合斜率和为0可证三点共线； （2）（i）根据斜率的关系可求，，利用向量坐标关系可证平行，或者通过联立方程求出的坐标，再利用向量坐标关系可证平行； （ii）利用斜率关系得出垂直，根据点P的轨迹是圆，结合圆的性质可证，或者利用线段比例关系得出轨迹为圆，结合圆的性质可证，或者利用差角的正切公式，结合正切函数单调性可证. 【小问1详解】 设，，则，， 因为，可知：， ，， 因为，可知：， 则，， 由可知：， 可知：，因此，，，三点共线. 【小问2详解】 （i）由可得：， 由（1）可知：.由，可知： ，且，都在第一象限，则，， 由（1）知：，，， 由（*）式结合，可知： ，，则，， 因此可得： ，由此可知：； 另解： 由（1）可知：，则，直线， 联立直线与椭圆：，解得点， 同理：，以下同上个解法. （ii）由（i）可知： ，， 则； 直线，直线， 设点，于是，， 则，即， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则； 另解1：由（i）可知： ， 则； 如图，取的中点，的中点，记椭圆左焦点为，连接， 由于，设， 则，则，，三点共线， 于是，则， 于是， 则，，，四点共线. 于是，， 由于为的中位线，则， 因为， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则. 另解2：由于 ，， 则，则是等腰直角三角形， 于是， ，， ， 同理可求， 由于， 于是，， 且，为锐角，由在上单调递增，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $