精品解析：广东深圳市盐田高级中学2026届高三下学期考前学情自测数学试卷

2026届高三下学期第四次学情自测 数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集运算的概念，求解即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以复数的共轭复数为. 3. 已知实数x，y，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合幂函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】因为函数在R上单调递增， 由，有，可得； 由，可得，即． 则“”是“”的充要条件． 故选：C. 4. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图像，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合计算即得. 【详解】可知， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如下图： 设，则是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小。 由圆心到直线的距离是，解得，即， 于是，即. 故选：A 5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式. 【详解】，圆台的侧面积为，母线长 圆台的高 则圆台上下底面面积为 由圆台的体积计算公式可得： 故选：C. 6. 已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（ ） A. 3.2 B. 3.4 C. 3.6 D. 3.8 【答案】B 【解析】 【分析】设男生人数为，女生人数为，根据平均数可得，再结合方差公式运算求解. 【详解】设男生人数为，女生人数为， 且进球数的平均值和方差分别是和，其中男生进球数的平均值和方差分别是和，女生进球数的平均值和方差分别是和， 由平均数可得，即，解得， 由方差可得， 即，解得. 故选：B. 7. 已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（ ） A. B. C. 7 D. 21 【答案】A 【解析】 【详解】由向量，可得， 因为，且与夹角为，所以， 则，所以. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得对于恒成立，进而得到函数和在上有共同的零点，可得，进而得到，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，则， 即对于恒成立， 而函数和在上均为增函数， 则函数和在上有共同的零点， 即，则，即， 设，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，，且， 则，即的取值范围是. 故选：D 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由与的关系，结合角的范围，可求得，即可逐个判断. 【详解】，∵，则，∴. 对C，，C对； 对A，，，A对； 对B，，B错； 对D，，D对. 故选：ACD. 10. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（ ） A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为 B. 曲线E上两点间距离的最大值为 C. 点不在曲线E的内部 D. 直线l的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件结合对称性求出四个抛物线的方程，对于选项A，结合抛物线性质求焦点坐标即可判断，对于选项B，求点的坐标，由此判断结论，对于选项C，确定阴影部分内的点在第一象限内的点所需满足的条件，再检验点是否满足要求即可，对于选项D，设直线，，联立方程结合根与系数关系求结论即可. 【详解】已知开口向右的抛物线为，焦点为， 根据对称性可设开口向左的抛物线方程为，其焦点坐标为 开口向上的抛物线方程为，其焦点坐标为， 开口向下的抛物线方程为，其焦点坐标为， 由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得， 因此四条抛物线分别为：，， 对于选项A，开口向下的抛物线为，焦点坐标为，不是，A错误， 对于选项B，联立，可得，故点的坐标为， 同理可得， 距离最大的两个点为和（或和）， 最大距离为： ，选项B正确， 对于选项C，曲线的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系且， 代入： ，，因此在曲线E内部，选项C错误， 对于选项D，设直线，，在最上方，在最下方，故， 由得：，即， 联立，可得，由韦达定理：  ， 代入得：，，解得， 由得，斜率，选项D正确. 11. 正四棱柱中，，，点为侧面内一点，则（ ） A. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为双曲线的一部分 B. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为椭圆的一部分 C. 若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，直线与直线所成角等于直线与直线所成角，从而得到，进而有，所以点的轨迹为圆的一部分；B选项，直线与直线所成角等于直线与直线所成角，所以形成的轨迹是绕旋转形成的圆锥面，于是点的轨迹就是圆锥面与侧面的交线，通过比较半顶角和轴线与侧面的夹角可知点的轨迹是椭圆的一部分；C选项，点到直线的距离等于点到的距离，所以点到点的距离等于到直线的距离，所以点的轨迹为抛物线的一部分；D选项，根据勾股定理，由解得，所以点的轨迹为圆的一部分，求出该圆与侧面的边的交点，即可得到对应的圆心角从而得到长度. 【详解】A选项，由正四棱柱性质可知，所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角也即， 由平面可得，所以， 即点到定点的距离为定值，故点的轨迹为圆的一部分，A错误； B选项，类似地，因为，所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角， 已知该角为定值，因为是定直线，所以形成的轨迹是一个以为轴，为顶点，半顶角为的圆锥面， 点的轨迹就是圆锥面与侧面的交线，因为平面， 所以圆锥面轴线与侧面的夹角即为， 故点的轨迹是椭圆的一部分，B正确； C选项，因为，所以点到直线的距离就是点到点的距离， 所以在侧面内，点到定点的距离等于到定直线的距离 （点不在直线上），故点的轨迹为抛物线的一部分，C正确； D选项，在中，根据勾股定理有，若， 则，解得，故点的轨迹是在侧面内， 以为圆心，半径为的圆弧， 因为，所以圆与和有交点，分别设为，过作，在中，， ，可得，故， 于是点的轨迹长度为，D正确. [Failed to download image : https://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/editorImg/2026/5/19/c1d6d64b-5ba6-4d2f-ad40-09fbcbe66988.svg] 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中项的系数为___________. 【答案】42 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则有. 故答案为：. 13. 已知函数，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性求解即可. 【详解】令， 则，所以， 因为， 所以， 所以. 14. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由正余弦定理和同角的三角函数关系结合题意得到，再通过锐角三角形得到，故可得的范围，然后用余弦定理和三角形的面积公式变形，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】整理得， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以， 在锐角中，有，则， 所以， 因为， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为， 所以 ， 设，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. （1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. （2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，由题设求解即可. （ii）第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，可得化简后可得数列为等比数列，由此求解即可. （2）设表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，分别求解，即可. 【小问1详解】 （i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件， 可得. （ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为， 所以，即. ， 令，得，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率， 则①， ②， 联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为. 16. 如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1) 要证明 平面 ，需根据线面垂直判定定理，证明 垂直于平面 内的两条相交直线.由正方形性质可得 ，再结合面面垂直的性质证明 平面 ，得到 ，即可满足判定条件. (2) 以 为原点建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标，根据 将点 、 的坐标用参数 表示，通过向量模长公式即可求出 的长度表达式. (3) 先对 长度的表达式配方，求出 最短时对应的 值，确定此时 、 的坐标，再分别求出平面 与平面 的法向量，利用空间向量夹角公式计算两法向量夹角的余弦值，取绝对值即为两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明：在矩形中，，点分别是的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 ， ， ， 因为， 所以 ， ， 则 ， 所以 ， 所以线段的长为 ； 【小问3详解】 因为， 所以当时，线段最短， 此时分别为线段的中点， ， ， 则 ， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知， 为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求. （2）由数列的裂项相消求和，可得，再由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围. 【小问1详解】 当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. 【小问2详解】 ， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 18. 已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. （1）求双曲线的方程； （2）若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果； （2）①根据条件得到直线的方程为，设，则，利用两点间的距离公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果. 【小问1详解】 设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ， 所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程. （2）若在恒成立，求的取值范围. （3）当时，证明：对，有. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，即可求出切线方程. （2）先化简不等式，根据指数函数的性质求出结果. （3）构造新函数，求导，判断单调性，求出最值. 【小问1详解】 当时，，而， ，由点斜式得切线方程：， 即. 【小问2详解】 由题意化简得， ，，又，， 故​. 【小问3详解】 当时，原不等式等价于，即. 令，求导得，因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以由，得， 只需证，即. 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，且在处取最小值；而在恒成立， 故，所以， 原不等式对所有成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期第四次学情自测 数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数x，y，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知实数满足方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（ ） A. 3.2 B. 3.4 C. 3.6 D. 3.8 7. 已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（ ） A. B. C. 7 D. 21 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（ ） A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为 B. 曲线E上两点间距离的最大值为 C. 点不在曲线E的内部 D. 直线l的斜率为 11. 正四棱柱中，，，点为侧面内一点，则（ ） A. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为双曲线的一部分 B. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为椭圆的一部分 C. 若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分 D. 若，则点的轨迹长度为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中项的系数为___________. 13. 已知函数，且，则________． 14. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足，若，则的最小值为__________． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. （1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. （2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 16. 如图，在矩形中，，分别是的中点，点分别是对角线上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求线段的长（用表示）； （3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 18. 已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. （1）求双曲线的方程； （2）若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程. （2）若在恒成立，求的取值范围. （3）当时，证明：对，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $