专题01 构造中位线的4种方法（高效培优专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题01 构造中位线的4种方法 题型一：连接两点构造三角形中位线 题型二：取一边中点构造三角形中位线 题型三：倍长线段构造三角形中位线 题型四：角平分线与垂线组合构造三角形中位线 题型一：连接两点构造三角形中位线 1．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）如图，在四边形中，、分别是边、的中点，且，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，已知四边形中，，是上的动点，、分别是、的中点，当点在上从向移动时，那么下列结论成立的是：（   ） A．线段的长先减小后增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长逐渐增大 4．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．4.8 D．9.6 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，C、D是边上的两点，且，点P是上的一动点，连接，点Q是的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，四边形中，，，，点E，F，G分别是，，的中点，则的长为______． 7．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在四边形中，，分别是，的中点．若，，，则的长为_____．      8．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．解决以下问题： （1）平行四边形边上的高为__________； （2）的最大值为__________． 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，分别为边，上的中线，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 10．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）【教材回顾】 （1）如图1，在中，若D为边中点，E为边中点，则为的中位线，与边的数量关系为 ，与边的位置关系为 ； 【拓展探究】 （2）如图1，若D为边中点，．求证：E为边中点； 【综合运用】 （3）如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F在边上，且，与交于点G，求证：．    11．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．    (1)如图（a），是中垂三角形，分别是边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形． (2)如图（b），在中垂三角形中，分别是边上的中线，且于点，求证：． (3)如图（c），四边形是菱形，对角线交于点，点分别是的中点，连接并延长，交于点．求证：是中垂三角形； 12．（2023·安徽淮北·二模）(1)如图1，和都是等腰直角三角形，且，连接，． ①求证：； ②连接，若点，，分别是，，的中点，连接，，求证； (2)如图2，和都是等腰三角形，且，其他条件不变，请猜测线段与之间的数量关系，不用说明理由． 13．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）【理解定义】一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形．如图1，四边形中；，，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边称为腰，另两边称为底． (1)【性质初探】等垂四边形两个钝角的度数和为　　　　； (2)【拓展研究】如图2，M，N分别为等垂四边形的底的中点，试探索与的数量关系，小坤的想法是连接一个中点与四边形对边的一个顶点，得到一条线段，再倍长这条线段，请按此方法求出与的数量关系； (3)【实践应用】如图3，直线，是两条相互垂直的公路，利用三段围栏，，靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边做成一条隔离带，已知米，米，米，此隔离带最长为多少米？ 题型二：取一边中点构造三角形中位线 14．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图在中，已知，于D，，若是的中点，则（   ） A．2.5 B．2 C． D． 15．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，，分别是的中线和角平分线，若，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，线段，点是线段上的动点，分别以，为边在同侧作等边和等边，连接，点是的中点，当点从点运动到点时，点经过的路径的长是（   ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在四边形中，，点分别是上的中点，，则的值是（    ）    A．36 B．27 C．18 D．9 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：是的中线，点是的中点，点是延长线与的交点．则的值为___________． 19．（24-25八年级下·安徽·期末）如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则________． 20．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）如图，四边形的对角线与互相垂直，点E，F分别是的中点，连接，已知，，则    （1）四边形的面积为___________； （2）的长为__________． 21．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的高，是的中线，的周长比的周长大1，． (1)求的长； (2)连接，求的面积． 22．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，延长到点D，在边上取一点H，连接，设E和F分别是和的中点，连接，若恰好与垂直，垂足为K．已知，试求的长． 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）（1）如图1，在四边形中，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，分别交于点M，N，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点M，N，求证：． 24．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、． 求证： (1)； (2)； (3)； 25．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接． (1)如图1，当点与重合时，求证：； (2)如图2，当点不与重合时，求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，延长交于点，若，若，证明：． 26．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知在中，，点是的中点，点是上一点． (1)如图1，，，是的垂直平分线，求的长； (2)点是上一点，已知，连接． ①如图2，延长到点，使得，连接，探索和之间的数量关系，并加以证明； ②如图3，当，时，其他条件不变，求的长． 题型三：倍长线段构造三角形中位线 27．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为________． 28．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，在矩形中，延长至点，使，连接，，分别为，的中点，连接，，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型四：角平分线与垂线组合构造三角形中位线 29．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，中，，，点是的中点，若平分，，线段的长为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·安徽宿州·一模）如图，在中，设，且，平分，，交的延长线于点E，平分，，连接并延长，交于点G，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 31．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，AD为的外角平分线，于点D，M为BC边的中点，若，则的周长为___________．    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01构造中位线的4种方法 题型归纳 题型一：连接两点构造三角形中位线 题型二：取一边中点构造三角形中位线 题型三：倍长线段构造三角形中位线 题型四：角平分线与垂线组合构造三角形中位线 题型专练 题型一：连接两点构造三角形中位线 1.(23-24八年级下.安徽宿州期末)如图，在四边形ABCD中，E,F分别是边BC,CD的中点，若 AB=5,AD=3,EF=2,∠CFE=46°，则∠ADC的度数为() B A.100 B.120° C.128 D.136° 【答案】D 【详解】解：连接BD, C D B :E、F分别是边BC,CD的中点， ∴.EF∥BD,BD=2EF=4, .∠CDB=∠CFE=46°， :BD2+AD2=25,AB2=25, BD2+AD2=BA2, ∠BDA=90°， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=I36°. 故选：D. 2.(23-24八年级下·安徽芜湖·月考)如图，在四边形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，且 EF=2,CD=3,BC=5,若∠AFE=65°，则∠ADC的度数是() 1/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.145° B.150° C.155° D.165° 【答案】C 【详解】解：连接BD, A D B :E、F分别是边AB、AD的中点， .EF∥BD,BD=2EF=4, ∴∠ADB=∠AFE=65°， :BD2+CD2=42+32=25,BC2=52=25, ∴BD2+CD2=BC2, .∠BDC=90°， ∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC=155°， 故选：C 3.(23-24八年级下.安徽毫州期末)如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，P是BC上的动点，E、F分 别是AD、DP的中点，当点P在BC上从C向B移动时，那么下列结论成立的是：() D E A P A.线段EF的长先减小后增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长逐渐增大 【答案】B 【详解】解：连接AC,AP, 2/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E、F分别是AD、DP的中点， EF是△ADP的中位线， 1 EF-ZAP. :点P在BC上从C向B移动过程中，AC≥AP≥AB, :线段EF的长逐渐减小， 故选：B. 4.（24-25八年级下.安徽合肥月考)如图，在ABC中，AB=BC=10,AC=12,D,E分别是边AB, BC上的动点，连接DE,F,M分别是AD,DE的中点，则FM长的最小值为() D B M E A.4 B.8 C.4.8 D.9.6 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点B作BG⊥AC于G,连接AE, D B M :在ABC中，AB=BC=10,AC=12, :4G=CG=4C=6, BG=BC2-CG2=8, 3/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Sc=)4CBG=x12x8=48, 1 2 :F,M分别是AD,DE的中点， :FM是ADE的中位线， w-号e, 当AE⊥BC时，AE最小，即此时FM最小， 当AE L BC时，SC=)AE·BC=48, .AE=9.6, .FM=4.8, .FM最小值为4.8， 故答案为：4.8. 5.(23-24八年级下.安徽宿州期末)如图，∠A0B=60°，C、D是边0A上的两点，且0D=8,CD=2,点 P是OB上的一动点，连接PD,点Q是PD的中点，连接CO,则CQ的最小值为() P B A.1 B.√5 c.3 D.2 2 【答案】B 【详解】解：在OD上取点M,使CM=CD,连接PM,如图所示， D 04 P B :点C为DM的中点，点Q为DP的中点， .CQ为△DMP的中位线， CQ=7MP 过点M作OB的垂线，垂足为N, 4/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则当点P在点N处时，MP取得最小值，即为MN的长. :CD=MC=2,0D=8, 0M=8-2-2=4. :∠A0B=60°， .∠0MN=30°， :ON=10M=2. 2 “MW=V42-22=25, 则MP的最小值为25， CQ的最小值为√5. 故选：B. 6.(25-26八年级下.安徽芜湖期中)如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=4,BC=6,点E, F,G分别是AD,BD,DC的中点，则EG的长为 B 【答案】√13 【详解】解：连接AC,如下图： D G B C :∠ABC=90°，AB=4,BC=6, AC=√AB2+BC2=2V13, 又：点E,G分别是AD,DC的中点， ∴EG是△ACD的中位线， EG=AC=13 7.(24-25八年级下.安微蚌埠期中)如图，在四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点.若 EF⊥AD,AB=10,AD=6,则EF的长为 5/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D H 【答案】4 【详解】解：如图，连接BD, D B :E,F分别是BC,CD的中点， ∴EF是△BCD的中位线， :EF∥BD,EF=BD, 2 又：EF⊥AD, BD⊥AD,即∠ADB=90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=√AB2-AD2=8, .EF=-BD=4, 2 故答案为：4. 8.(24-25八年级下.安徽芜湖期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，4D:248:4,点H、G 分别是边DC、BC上的动点.连接AH、HG,点E为AH的中点，点F为HG的中点，连接EF.解决以下 问题： D (1)平行四边形BC边上的高为 (2)EF的最大值为 【答案】 5 3 【详解】解：如图：取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作AN⊥BC于N. 6/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B G :四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120 .∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2 ·AM=DM=DC=2 CDM是等边三角形 ∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC .∠MAC=∠MCA=30° .∠ACD=909 AC=23 在RIAACN中，AC=2V3,LACN=∠DAC=30° :AN=号4C=5,即平行四边形BC边上的高为5 :点E为AH的中点，点F为HG的中点， &r-4G :AG的最大值为AC的长， AG的最大值为2√3， EF的最大值为√， 故答案为5,5. 9.(22-23八年级下·安微阜阳·期中)如图，在ABC中，BD,CE分别为边AC,AB上的中线，点M, N分别是BG,CG的中点，连接EM,DN,求证：EM=DN. M 【详解】证明：连接AG, M 7138 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD,CE分别为ABC的中线，点M,N分别是BG,CG的中点， :AE=BE,BM =GM,AD=CD,CN=GN, .EM-TAG,DN-T4G, :EM DN. 10.(24-25八年级下.安微芜湖期末)【教材回顾】 (1)如图1，在ABC中，若D为AB边中点，E为AC边中点，则DE为ABC的中位线，DE与BC边 的数量关系为-，DE与BC边的位置关系为-： 【拓展探究】 (2)如图1，若D为AB边中点，DE∥AC.求证：E为AC边中点； 【综合运用】 (3)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，且 BG=FG,EF与BD交于点G,求证：AD=2CF. A D D E G 图1 图2 【详解】(1)解：：D为AB边中点，E为AC边中点， .DE为ABC的中位线， :DE= 5BC,DE∥BC :DE与BC边的数量关系为DE=BC,DE与BC边的位置关系为DE∥BC; 故答案为：DE=二BC;DE∥BC; 2 (2)证明：如图，延长ED到点F,使DF=ED,连接BF, E B :D为AB边中点， :BD AD, 8/38 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：∠BDF=∠ADE，DF=ED, △BDF≌△ADE, BF=AE,∠DBF=∠A, BF∥AE, :DE∥AC, :四边形BCEF是平行四边形， .BF CE, :AE =CE, 点E为AC的中点； (3)证明：取BD的中点M,连接EM,MC, A D M F C :点E是AB的中点，点M是BD的中点， AD=2EM,AD∥EM, AD∥BC, EM∥BC, :∠BCD=90°， 片CM=BD=BM, 2 .∠MCB=∠MBC, .BG=FG, ∴∠GFB=∠GBF, .∠MCB=LGFB, .MC∥EF, :四边形CFEM是平行四边形， .CF=EM, :AD =2CF. 11.(22-23八年级下·安徽合肥期末)定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三 角形 9/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图(a) 图(b) 图(c) (1)如图(a),ABC是中垂三角形，BD,AE分别是AC,BC边上的中线，且BD⊥AE于点O,若 ∠BAE=45°，求证：ABC是等腰三角形 (2)如图(b),在中垂三角形ABC中，AE,BD分别是边BC,AC上的中线，且AE⊥BD于点O,求证： AC2+BC2=5AB2. (3)如图(c),四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O,点M,N分别是OA,OD的中点，连接 BM,CN并延长，交于点E.求证：△BCE是中垂三角形； 【详解】(1)证明：连接DE,如图， B :BD⊥AE,LBAE=45°， ∠ABD=45° 由题意可得，AC=2AD,BC=2BE,DE是ABC的中位线， DE∥AB, ∴.∠AED=∠BAE=∠ABD=∠EDB=45°， ..OD=OE,OA=OB. 又：∠A0D=∠B0E=90°， .△AOD≌BOE(SAS), :AD BE, .AC=BC, ·ABC是等腰三角形 10/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明：如图，连接DE, >E A B :AE,BD分别是边BC,AC上的中线， 4C=24D,BC=28E,DE=4B, 4AC2=4MD,Bc2=46E,DE2-44B。 在RtaA0D中，AD2=OD2+OA2, 在RtaB0E中，BE2=OB2+OE2, 同理可得：DE2=OD2+OE2,AB2=0A+OB2, ..AC2+BC2=4(AD2+BE2) =4(0A2+OD2+0B2+0E2) =4(AB2+DE2) =4(AB2+ AB) 4 =5AB2; (3)证明：如图，连接MW, B :点M,N分别是OA,OD的中点， 11/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :MN是△A0D的中位线，则MN∥AD,且MN=号AD :四边形ABCD是菱形， CM⊥BN,AD=BC,且AD∥BC, ÷MN∥BC,MN=BC, 如图，延长MN至K,使NMK, MK=BC,而MK∥BC, :四边形BMKC为平行四边形， BM∥CK,BM=CK, ·.∠E=∠KCN,而∠ENM=∠CNK,MN=KN, △EMN≌aCKN, .EM =CK,EN =CN, .EM MB, ∴CM,BN是aBCE的中线， ∴.△BCE是中垂三角形 12.(2023·安微准北·二模)(1)如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，连接 BD,CE. ①求证：BD=CE; ②连接CD,若点M,N,P分别是BC,DE,CD的中点，连接MN,NP,求证MN=√2NP; (2)如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，其他条件不变，请猜测线段MN与 WP之间的数量关系，不用说明理由. B M M 图1 图2 【详解】证明：(1)：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且LBAC=∠DAE-90°，则 AB=AC,AD=AE ∠BAC-LDAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=LCAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE 12/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △BAD≌ACAE(SAS ∴BD=CE (2)如图所示，延长BD交CE于点T,连接MP, D B M 图1 :△BAD≌△CAE(SAS ∴.∠ABD=LACE,BD=CE ,∠ABD+∠DBC+∠BCA=90°， ∠ACE+∠DBC+∠BCA=90°， .∠BTC=90°， BD⊥CE, :点M,N,P分别是BC,DE,CD的中点， MP是△BCD的中位线，PN是aBCT的中位线， :MP=BD=EC,NP=EC,MP∥BT,NP∥EC 2 MP=NP,MP⊥NP,则△MNP是等腰直角三角形， ∴MW=√2NP (3)如图所示，延长BD交CE于点S,连接MP, D B M 图2 :△BAD≌△CAE(SAS ∠ABD=LACE,BD=CE :∠BAC=∠DAE=120°， ∴.∠SBC+∠SCB=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACS=∠ABC+∠ACB=60° :∠BSC=180°-(LSBC+∠SCB=120°， BD⊥CE, :点M,N,P分别是BC,DE,CD的中点， 13/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 MP是△BCD的中位线，PN是△BCT的中位线， MP-TBD-TEC.NP-TEC.MPM BT.NP/EC .∠DPM=180°-∠BDC=∠DBC+∠DCB,∠NPD=∠ECD ∴.∠NPM=∠NPD+∠DPM=∠ECD+180°-∠BDC =∠ECD+LDBC+LDCB =180°-∠BSC=60°， ·△MNP是等边三角形， .MN NP. 13.（24-25八年级下.安徽芜湖期中)【理解定义】一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形.如图1，四 边形ABCD中；AB=CD,AB⊥CD,四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB,CD称为腰，另两 边AD,BC称为底. 图1 图2 图3 (1)【性质初探】等垂四边形两个钝角的度数和为 (2)【拓展研究】如图2，M,N分别为等垂四边形ABCD的底AD,BC的中点，试探索MN与AB的数量关系， 小坤的想法是连接一个中点与四边形对边的一个顶点，得到一条线段，再倍长这条线段，请按此方法求出 MN与AB的数量关系； (3)【实践应用】如图3，直线4，Z是两条相互垂直的公路，利用三段围栏AB,BC，AD靠路边按如图方 式围成一块四边形种植园，第四条边CD做成一条隔离带，己知AB=250米，BC=240米，AD=320米， 此隔离带最长为多少米？ 【答案】(1)270° QAB 3)隔离带最长为650米 【详解】(1)解：如图所示，延长CD与BA延长线交于点P, :四边形ABCD为等垂四边形，即AB=CD,AB⊥CD, ∠P=90°， ∠B+LC=90°， :∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°， .∠BAD+∠ADC=270°， 14/38 函学科网上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P A B (2)解：MN=5AB,理由如下： 延长CD交BA延长线与P,交NM延长线与Q,NM延长线与BA延长线交于点F,连接BM并延长至点E, 使BM:ME,连接CE,DE, E E D M B N :M是AD的中点， :AM MD, :∠AMB=∠DME, .△AMB≌△DME, ∠ABM=∠DEM,AB=DE, AB∥DE, :四边形ABCD是等垂四边形， AB=CD,AB⊥CD, .∠BPC=90°，CD=DE, .∠DEC=∠DCE, AB∥DE, .∠EDP=∠BPD=90°， ∴∠EDC=90°， CE=DE2+DC2=2CD=2AB, 又：M、N分别是BE,BC的中点， ∴MN是aBCE的中位线， MN=CE-2 AB: 2 15/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：如图所示，取AB,CD的中点M,N,连接MN,连接CM并延长至点E,使CM=ME，连接 AE,DE,设直线I与直线交于点P, E 2 B 同(2)法可知，AE∥BC,AE=BC=240米， 4112, ·LAPB=∠PAE=90°， ∠DAE=90°， DE=√AE2+AD2=400米， :M、N分别是CE,CD的中点， ·MN是△CED的中位线， N-=号ED=20米，w0DE, :M为AB的中点，∠APB=90°， :PM=AB=125米， 同理可得PN=.CD,即CD=2PN ) .PN≤PM+MN=325米， .CD=2PN≤650米， :隔离带最长为650米。 题型二：取一边中点构造三角形中位线 14.(22-23八年级下.安徽合肥期中)如图在ABC中，已知AB=5,AD⊥BC于D,BD=2CD,若E是 AD的中点，则CE=() 16/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E B D A.2.5 B.2 C.5 D.5 【答案】A 【详解】解：取BD中点F,连接EF,如下图， A E ⊙ F D BD=2CD, 六DF=BD=DC, 又：AD⊥BC, CE=FE, :E是AD的中点，F是BD中点，AB=5, FE=74B =25 CE=FE=2.5. 故选：A. 15.(22-23八年级下.安徽安庆期末)如图，AD,BE分别是ABC的中线和角平分线，若AD⊥BE,则下 列说法正确的是() A E B D A.AC=2AE B.AC=3AE 17/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 、> C.AC=二AE D.AC=4AE 【答案】B 【详解】解：过D点作DF∥BE,AD⊥BE交点G,如图所示： A B D :AD是ABC的中线， “D为BC的中点， :DF∥BE, DF是BEC的中位线， F为EC中点，即CF=EF, :AD⊥BE, .AD⊥DF, :BE是ABC的角平分线，AD⊥BE, ∠ABG=∠DBG,∠AGB=∠DGB=90°， BG=BG, .△ABG≌△DBG, .AG=GD, G为AD中点， :DF∥BE, .GE是△ADF的中位线， ∴E为AF中点，即AE=EF, :AE=EF=CF=LAC, 31 即AC=3AE, 故选：B。 16.（24-25八年级下·安微蚌埠期中)如图，线段AB=7,点P是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边 在AB同侧作等边△APC和等边△BPD,连接CD,点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M 经过的路径的长是() 18/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M C P B A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【答案】A 【详解】解：如图，分别延长AC、BD交于点H,过M作GNAB,分别交AH于G,BH于N, H G B :△APC和等边△BPD是等边三角形， ∠CPA=LA=60°=∠B=∠DPB, ∴△AHB是等边三角形， :∠A=∠DPB=60°， .AH∥PD, :∠B=∠CPA=60°， BH∥PC, .四边形CPDH为平行四边形， .CD与HP互相平分， M为CD的中点，AB=7, .M正好为PH中点， :△ABH是等边三角形， 在点P的运动过程中，M始终为PH的中点， ∴.M的运行轨迹为△HAB的中位线GN, oN=4B=x7=35, 即当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是3.5. 故选：A. 17.(22-23八年级下.安微芜湖期末)如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=270°，点E、F分别是 AD、BC上的中点，EF=3,则AB2+DC2的值是() 19/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B F A.36 B.27 C.18 D.9 【答案】A 【详解】连接AC,取AC的中点M,连接EM,FM, E D 则EM∥DC,MF∥AB,EM=DC,MF=AB, 2 ∴∠EMA=∠DCA,LB=LMFC, ∴.∠EMF=LEMA+LAMF =∠EMA+LACF+LMFC =∠DCA+∠ACF+∠B =∠DCB+∠B =360°-（∠BAD+∠ADC) =360°-270° =90°， ∴.EM2+MF2=EF2=32=9, :AB2+DC2=(2EM+2FM=4EF2=4×9=36, 故选A。 18.(24-25八年级下·安徽合肥期末)己知：AD是ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与 AC的交点. AF 的值为 FC E B D 【答案】) 【详解】如图，过点CF的中点H,连接DH, 20/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H D :AD是ABC的中线， :CD=DB :CH=HF :DH∥BF,点E是AD的中点， :AF =HF, :AF=HF=CH, AF 1 FC 2' 故答案为：行 19.(24-25八年级下·安徽期末)如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交 BE于点G,若BE=8√，则BG=」 D F 【答案】62 【详解】解：取BE中点H,连接FH与CH,如图所示： D E G H m:E=45, :四边形ABCD是平行四边形， DC∥AB,DC=AB, F是AE的中点，H为BE中点， ·FH为△ABE的中位线， FH4BcD,FH号4BCD 21/38 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “E是CD中点， CECD. :CE=FH, :FH∥CD ·.四边形CEFH为平行四边形， :EG=GH=EH=22, ·BG=GH+BH=2√2+4√2=6V2, 故答案为：6W2. 20.(22-23八年级下·安徽准北期末)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，点E,F分别是 AD,BC的中点，连接EF,己知BD=6,AC=8,则 D B (1)四边形ABCD的面积为 (2)EF的长为 【答案】 245 S+Sa-4C-0D+分4C-0B=54C0D+08)=54C-BD-号x6x8=24。 故答案为24. D B (2)如图：取CD的中点G,连接EG,FG. :E是AD的中点， :EG=AC=3,EG∥AC, 21 22/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同理：FG=BD=4,FG∥BD, :AC⊥BD, EG⊥FG, EF=EG2+FG2=5. D E G B 故答案为5. 21.(25-26八年级上·安微蚌埠·期中)如图，BE是△ABC的高，EM是△ABE的中线，△AME的周长比 △MBE的周长大1，AE=4,CE=1. (1)求BE的长； (2)连接CM,求aMCE的面积. 【答案】(1)3 a 【详解】(1)解：：EM是△ABE的中线， ∴AM=BM, :△AME的周长比△MBE的周长大1， ∴(AE+ME+AM-BE+ME+BM）=AE-BE=1, :AE=4, BE=3; (2)解：取AE中点记作点N,连接MN,如图， 23/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M :点M为AB中点，点N为AE中点， MN-IBE=3, 且MNBE, :BE是△ABC的高， BE⊥AC, MN⊥AC, SMNXCE=5x3x1=3 224 22.(23-24八年级下.安徽芜湖期中)如图，在ABC中，∠ACB=120。,延长AC到点D,在BC边上取一 点H,连接HD,设E和F分别是AB和HD的中点，连接EF,若EF恰好与BC垂直，垂足为K.已知 AD=4,试求EF的长. B 父 E A 【答案】 【详解】解：如图，分别取AC,CD的中点P、Q,连接PE,FO,作QM⊥PE垂足为M. B H E M :点E、F分别为AB、HD的中点， 24/38 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :EP、FQ分别是ABC、△DCH的中位线， .EP∥BC,FQ∥HC PE∥FQ,∠CPM=180°-∠ACB=60°. :QM⊥PE, ∴.∠PQM=90°-∠MPQ=30°. :P、Q分别为AC,CD的中点， ÷PC=AC,c0=cD 2 P0=PC+c0-4D=2 :pw-0-l MO=PO2-PM2=3. :EK⊥BC,EP∥BC, EF⊥PE, :QM⊥PE, .MQ∥EF, 又：PE∥FQ, .四边形EMQF为平行四边形， .EF MO=3 23.(23-24八年级下.安微合肥期中)(1)如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD, E,F分别是BC,AD的中点，连接EF,分别交DC,AB于点M,N,判断aOMN的形状，并说明理由； (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是AD,BC的中点，连接FE并延长，分别与 BA,CD的延长线交于点M,N,求证：∠BME=∠CNE. M 图1 图2 【详解】解：(1)aOMN是等腰三角形，理由如下： 如图，取BD的中点H,连接HE,HF, 25/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E H :E,F分别是BC,AD的中点， HF,HE分别是△ABD,△BCD的中位线， IF∥AB,HE∥CD,HF=4B,HE=CD, AB=CD, .HF HE, .∠HFE=∠HEF, :HF∥AB,HE∥CD, ∴.HFE=∠ONM,∠HEF=∠OMN, ∴.∠ONM=∠OMN, ∴.0M=0N, .aOMN是等腰三角形 (2)如图，连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF, M A D H 】 B F :E,F分别是AD,BC的中点， HF,HE分别是△BCD,△ABD的中位线， :HF∥CN,HE∥BM,HF=)CD,HB=)AB, :AB=CD, :HF HE, ∠HEF=∠HFE, :HF∥CN,HE∥BM, .∠HEF=∠BME,∠HFE=LCNE, ÷∠BME=∠CNE 24.(23-24八年级下.安徽铜陵期中)如图，在ABC中，AB>AC,AD是角平分线，点E、F分别在 AB、AC上，且BE=CF,M、N分别是BC、EF的中点，NM的延长线交边AB于Q,过C、F分别 作AD的垂线交边AB与B、E,垂足分别为N'、M', 26/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E以 M B以 ND 求证： (1)BB'=EE': (2)NM∥AD: (3)EO=AO+AF; 【详解】(1)证明：：AD是角平分线， :∠BAD=∠CAD=∠BAC ∷ E'F⊥AD ∴.∠AME'=∠AMF=90° :CB'⊥AD, ∠AN'B'=∠AN'C=90° AM'=AM' ∴.△AME'O△AMF(SAS) :AE'=AF, AN'=AN' .△AW'B'O△AN'C(SAS) .AB'=AC, .E'B'=CF BE=CF .E'B'=BE ∴E'E+B'E=BB'+B'E .BB'=EE'; (2)连接BF,取BF的中点P,连接PM,PN 27/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M E B P B ND :M是EF的中点， .EM=MF,PB=PF L:PM=7BE,PM∥BE :N是BC的中点， .NB=CN,PB=PF :.PN=1CF,PNIICF 2 BE=CF .PM PN ∴.∠PMN=∠PNM :PM∥BE ∠MPF=∠ABP, PNCF .∠PNB=∠ACB :∠FBN=∠PBN+∠PNB ∠FBN=∠PBN+∠ACB ∴∠MPF+∠FPN=∠ABF+∠PBN+∠ACB=∠ABC+∠ACB :∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠MPF+∠FPN+∠PMN+∠PNM=180 .∠BAC=∠PMN+∠PNM :∠BAC=2∠BAD, 2∠BAD=2∠PMN, ∠BAD=∠PMN :PM∥BE .∠PMN=∠BQN ∴.∠BAD=∠BQN ∴NM∥AD; (3)证明：连接MM' 28/38 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B P B N D :△AMEO△AMF(SAS) .E'M'=FM' :M是EF的中点， ·.EM=MF MM'lEE.MM'=1EE 2 :NM∥AD ∴四边形AQMM'为平行四边形 .A0=MM' :.AQ=1EE' 2 :EO=EE'+E'O=2A0+E'O=A0+E'O+AO=AE'+AO,AE'=AF .EO=AF +AO 25.(24-25八年级下·安徽蚌埠.期中)如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）. DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连接AE. B M(D) M M 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D与M重合时，求证：AB=ED; (2)如图2，当点D不与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形； (3)如图3，延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,若∠CAM=30°，证明：BH=AM. 【详解】(1)证明：：DE∥AB, .∠EDC=∠ABM, :CE∥AM, .∠ECD=LADB, 29/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AM是ABC的中线，且D与M重合， .BD=DC, △ABD≌aEDC(ASA), :AB ED, (2)解：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G, B M 图2 :CE∥AM, .四边形DMGE是平行四边形， ∴ED=GM, :ED∥GM,AB∥ED, AB∥MG, 由(1)同理可证：△ABM≌△GMC, .AB =GM, :AB DE, 又AB∥ED, 四边形ABDE是平行四边形； (3)解：如图3，取线段CH的中点1，连接M, B M 图3 BM MC, ∴.MI是△BHC的中位线， M∥BH,MI=BH :BH⊥AC ∴MI⊥AC 30/38 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠CAM=30 AM .BH =AM 26.(23-24八年级下.安徽阜阳期中)已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，点E是BC上 一点 A D D F B B 图1 图2 图3 (1)如图1，AB=6,BC=8,DE是AC的垂直平分线，求BE的长； (2)点F是AB上一点，己知DF⊥DE,连接EF. ①如图2，延长ED到点G,使得DE=DG,连接AG,FG,探索AF,EF和CE之间的数量关系，并加以证 明； ②如图3，当AB=BC=4,CE=1时，其他条件不变，求DE的长 【答案】)BE= 4 (2)①EF2=AF2+CE2,证明见解析；②√5 【详解】(1)解：如图所示，连接AE, :DE是AC的垂直平分线， .AE =CE, 设BE=x,则AE=CE=8-x, 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2, 62+x2=(8-x)2, 7 解得x= 41 7 :BE=4 31/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 图1 (2)解：①EF2=AF2+CE2,证明如下： :点D是AC的中点， .AD=CD, :DG=DE,∠ADG=∠CDE, :.△ADG≌ACDE(SAS), CE=AG,∠DAG=∠DCE, AG∥BC, ∠BAG=180°-∠ABC=90°； :DF⊥DE, ∠FDG=∠FDE=90°， 又：DF=DF,DG=DE, aDFG≌△DFE(SAS), :GF=EF, 在Rt△AFG中，由勾股定理得GF2=AF2+AG2, .EF2=AF2+CE2; ②如图所示，取BC中点H,连接DH,则DH是ABC的中位线， DH∥AB,DH=AB=2 .∠DHC=∠ABC=90°， AB=BC, .∠C=45°， ∴△DCH是等腰直角三角形， .CH DH=2, ∴HE=CH-CE=1, ∴DE=VDHP+EHP=√5. 32/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B H E 图3 题型三：倍长线段构造三角形中位线 27.(23-24八年级下.安徽合肥期末)如图，在ABC中，AB=7,BC=11,点D是AC的中点， DE∥BC,若∠AEB=90°，则DE的为 B 【答案】2 【详解】延长AE交BC于点F,延长ED到点G,使DG=DE,连接AG,CG,CE, :点D是AC的中点， :AD=CD, .四边形AECG是平行四边形， CG=AE,CG∥AE, :DE∥BC, :四边形EFCG是平行四边形， .CG=EF, :AE=EF, :∠AEB=90°， .∠FEB=∠AEB=90°， BEBE, ·△ABE≌△FBE(SAS, :BF AB, AB=7,BC=11, .CF =BC-BF=4, :.DE=CF=2. 2 故答案为：2. 33/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B 28.(24-25八年级下.安徽蚌埠月考)如图，在矩形ABCD中，延长DC至点E,使CE=DC,连接BE,M ,N分别为BE,CD的中点，连接MN,AE,AE交BC于点O,交MN于点H. (1)求证：A0=E0: (2)若∠DAE=75°，求∠EHN的度数， 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为矩形， AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠DCB=90°， .CE=DC, AB=CE,AB‖CE, .∠ABC=LECB=90°，∠OAB=∠OEC, ·△OAB≌aOEC(ASA), A0=E0 (2)解：延长CD至点F,使CE=DF,连接AF,BF,如图： B H D .CF =DE, :四边形ABCD是矩形， .BC=AD,BC∥AD，∠ABC=∠BCD=LADC=90°， △ADE≌△LBCF(SAS, ∴.LAED=LBFC, :N为CD的中点， ∴NC=DN, 又：CE=DF, N为FE的中点， 34/38 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :M为BE的中点， MN为△BFE的中位线， .MN∥BF, ∠MNC=LBFC, ∠AED=∠MNC, :∠DAE=75°，∠ADC=90°， ∠HEN=90°-∠DAE=15°， .∠AED=∠MNC=15°， .∠EHN=180°-∠AED-∠MWC=150°. 题型四：角平分线与垂线组合构造三角形中位线 29.(23-24八年级下·安徽马鞍山期末)如图，ABC中，AB=8cm,AC=6Cm,点E是BC的中点，若 AD平分∠BAC,CD⊥AD,线段DE的长为() B E A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm 【答案】B 【详解】如图，延长CD交AB于F点， B E :AD平分∠BAC, :Z CAD Z FAD, :CD⊥AD, .∠ADC=∠ADF=90°， 在△ADF和△ADC中， I∠CAD=∠FAD AD=AD ∠ADC=∠ADF=90° .△ADF≌△ADC(ASA, 35/38 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AF=AC,CD=FD, .BF AB-AE =8-6=2(cm), 又：点E为BC的中点， :DE是BCF的中位线， DE=BF=与×2=1(cm, 2 故选：B. 30.(2025安微宿州一模)如图，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,且a<b<c,BD平分∠ABC, AD⊥BD,交BC的延长线于点E,CF平分∠ACE,AF⊥CF,连接FD并延长，交AC于点G,则下列 结论错误的是() B A.CE=c-a B.FG=Ib C.CF=a+c-b D.DF=I(a+b-c) 2 【答案】c 【详解】解：选项A::BD平分∠ABC, .∠ABD=∠EBD :AD⊥BD, ∠ADB=∠EDB=90°， 又：BD=BD, △ABD≌△EBD(ASA), :BE BA=c,AD=ED, :CE=BE-BC c-a, ∴.A该选项正确，不符合题意； 选项B:如图，延长AF,交BC的延长线于点H, 同理选项A可得，△ACF2△HCF(ASA, 36/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CH=AC=b,AF=HF, 由选项A可得，AD=ED, 点F,D分别是线段AH,AE的中点， :DF是△AEH的中位线， .GF是△ACH的中位线， :.FG=ICH=1b, 2 2 :B选项正确，不符合题意； 选项C:可通过特殊图形进行验证，当a=b时，CH=AC=BC,a+c-b=c CF是△ABH的中位线， 1 :CF=AB=c≠a+c-b 2 2 C选项错误，符合题意； 选项D:由以上选项可知，DF是△AEH的中位线，CH=AC=b,BE=BA=c, :DF=1EH=1(BC+CH-BE)=(a+b-c). 2 :D选项正确，不符合题意； 故选：C 31.(22-23八年级下.安徽期末)如图，AD为ABC的外角平分线，CD⊥AD于点D,M为BC边的中点， 若BC=MD=6,则ABC的周长为 B M 【答案】18 【详解】解：延长CD交BA的延长线于点E, 37/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A B M C :AD⊥CD, :LADE=∠CDA=90°， :AD为ABC的外角平分线， .∠EAD=∠CAD, ·在ADE和△ADC中， I∠ADE=∠CDA ∠EAD=∠CAD, AD=AD ,△ADE兰△ADC(ASA, ∴AE=AC,ED=CD, :D为CE的中点， 又：M为BC边的中点， .MD-BE BC=MD=6, △ABC的周长等于：AB+AC+BC=AB+AE+BC=BE+MD=3MD=3×6=18, 即ABC的周长为18. 故答案为：18. 38/38