专题06 特殊平行四边形的判定与性质专训（专项训练）数学新教材冀教版八年级下册

**基本信息** 聚焦矩形、菱形、正方形的性质判定及综合应用，通过15类题型构建从基础到压轴的完整训练体系，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形|4题型16题|性质理解、计算、判定、折叠|从定义出发，结合直角、对角线特性逐步深化| |菱形|4题型16题|性质理解、计算、判定、面积|以四边相等为核心，延伸对角线垂直及面积公式| |正方形|4题型16题|性质理解、计算、判定、折叠|融合矩形与菱形性质，强化对称性应用| |综合问题|3题型12题|存在性、动点、新定义问题|综合特殊四边形性质，培养动态思维与创新意识|

专题06 特殊平行四边形的判定与性质专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、矩形的性质理解 1 题型二、根据矩形的性质求解 2 题型三、矩形的判定定理 3 题型四、矩形与折叠问题 5 题型五、菱形的性质理解 6 题型六、根据菱形的性质求解 8 题型七、菱形的判定定理 9 题型八、菱形的面积计算问题 11 题型九、正方形的性质理解 11 题型十、根据正方形的性质求解 11 题型十一、正方形的判定 11 题型十二、正方形的折叠问题 11 题型十三、特殊平行四边形的存在性问题 11 题型十四、特殊平行四边形的动点问题 11 题型十五、特殊平行四边形的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、矩形的性质理解 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 2．如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点O ∴，，，故A，B，D正确； 根据题意无法证明，故C错误． 3．如图，在矩形中，，对角线、相交于点．下列说法中，正确的是（   ） A．两条对角线把矩形分割成两个等腰三角形和两个等边三角形 B．矩形绕点旋转后，能与自身重合 C．对角线、是矩形的对称轴 D．将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形 【答案】D 【详解】A、在矩形中，， 两条对角线把矩形分割成四个等腰三角形，故A错误； B、矩形绕点旋转后，能与自身重合，故B错误； C、对角线、不是矩形的对称轴，故C错误； D、将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形，故D正确； 故选：D． 4．有下列命题： ①矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ②平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； ③等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； ④有一个锐角是的直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形． 其中正确命题的序号是___________．（把所有正确的命题的序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据中心对称图形与轴对称图形的定义并结合矩形、平行四边形、等腰梯形、直角三角形的相关性质逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：①矩形沿其对边中点的连线所在直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以矩形是轴对称图形，有两条对称轴；矩形绕其对角线的交点旋转后，能够与原来的图形重合，所以矩形是中心对称图形；故①正确； ②平行四边形绕其对角线的交点旋转后，能够与原来的图形重合，所以平行四边形是中心对称图形；一般的平行四边形（非矩形、菱形）沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形；故②正确； ③等腰梯形沿其上下底中点的连线所在直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；等腰梯形绕任何一点旋转后，都不能与原来的图形重合，所以等腰梯形不是中心对称图形；故③正确； ④有一个锐角是的直角三角形，其三边长度不相等，沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，所以不是轴对称图形；该直角三角形绕任何一点旋转后都不能与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 题型二、根据矩形的性质求解 5．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 6．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据的性质以及线段中点的意义证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一得到，即可证明四边形是矩形； （2）先证明为等边三角形，结合三线合一得到，再由勾股定理求解，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E、F分别是的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，E为中点， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∴在中， ∴矩形的面积． 8．综合与探究 已知在中，点为边的中点，连接． 【动手操作】 如图1，将四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，，如图2所示． 【问题解决】 (1)请直接写出图2中的形状__________________； (2)判断图2中和的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 (3)如图3，若平行四边形中，，且，当的某一个内角的度数为时，请直接写出的长度． 【答案】(1)为直角三角形 (2)，理由见解析 (3)2或 【分析】（1）根据折叠的性质以及等腰三角形的性质，可得，从而得到，即可解答； （2）延长交于点M，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，可得，再结合平行四边形的性质可得，即可解答； （3）分两种情况，结合等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点为边的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形； （2）解：，理由如下： 如图2，延长交于点M， 由折叠的性质得：，，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴ 由（1），（2）得：， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， 综上所述，的长度2或． 题型三、矩形的判定定理 9．如图，在中，，D为的中点，E为外一点，，，连接，求证：四边形为矩形． 【答案】证明：∵，D为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，，再结合得到，最后根据和得到四边形为矩形． 【详解】略 10．如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即：， 在和中， ∴； (2)矩形； 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形即可． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）证明，推出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，即， ∴，， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 12．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件_________时，四边形是矩形． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到对角线互相平分，再由中点定义确定四边形的对角线互相平分即可得证； （2）由矩形对角线相等求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 点分别为的中点， ， 则， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形； （2）解：若四边形是矩形，则， 由（1）知，， ， 则当与满足条件时，四边形是矩形． 题型四、矩形与折叠问题 13．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折的性质以及勾股定理，先求，再求出，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折可知：，， ， ， ， 在中， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ． 14．如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上，且，小明将矩形纸片沿着折叠，点，分别落到点，处．在点从点运动到点的过程中，当线段与边有交点时，设交点为点，则的最大值为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、垂线段最短的应用，解题的关键是利用垂线段最短确定取最大值的条件，结合矩形边长进行计算． 过点作于点，由矩形性质得；由折叠性质得，结合得，故；由垂线段最短得，即；再由，当取最小值时,取得最大值． 【详解】解：过点F作，垂足为． 四边形是矩形， ，． 由折叠的性质可知，， ， ， ， ． 由垂线段最短可知，， 当且仅当时，，即． ，， ． ． 故答案为：． 15．如图，矩形中，，，其对称轴l恰好与，分别交于点M，N，点P为线段上一点．将矩形沿折叠，使点D落在平面上点Q处．当射线恰好经过点M时，的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．过点作于，易得四边形为矩形，得到，由折叠可得，，设，则，在中，由勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图 1，过点作于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形，， ， 由折叠可得，， ， ∵直线为矩形的对称轴， ∴点为的中点， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 故答案为：2． 16．综合与实践 【目的】用矩形（正方形）纸片折出特殊角． 【工具】矩形（正方形）纸片，铅笔（仅用于标记字母）． 【操作】 (1)将矩形纸片按如图1所示方式折叠，展开后，得到折痕，则________． 嘉嘉和淇淇尝试用不同形状的纸片和方法折出角． 如图2，嘉嘉的方法如下： ①将矩形纸片沿短边对折，使点B与点A重合，展开后，得到折痕； ②再次将纸片折叠，使点B落在上的点处，并使折痕经过点A，得到． 如图3，淇淇的思路如下： ①将正方形纸片沿边对折，使点H与点G重合，得到矩形； …… 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (2)说明图2中．的理由； (3)在图3的基础上，请你写出一种折纸方法，并指出一个的角． 【拓展】 (4)老师用矩形纸片（足够长）剪出一个角，即，如图4所示．聪明的嘉嘉通过折的平分线的方法直接折出了角．请爱动脑的你写出一种折出角的新方法（不直接折出的平分线）． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求解即可． （2）根据折叠的性质得到是等边三角形，再根据角度关系求解即可； （3）将纸片折叠，使点J落在的点O处，并使折痕经过点G，即可得到的角． （4）根据折叠的性质得到或者． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， 且，故． （2）解：如图，连接． 由①的对折，得是的垂直平分线， ． 由②的折叠，得， ，即是等边三角形， ， ． （3）解：将纸片折叠，使点J落在的点O处，并使折痕经过点G，得到． 由题意，得，， 在中，， ． （4）解：方法一：①将纸片折叠，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点M； ②记下点N，展开，如图； ③以直线为折痕，再次折叠． 则或． 方法二：①将纸片折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点M； ②记下点，展开，如图； ③以直线为折痕，再次折叠； ④将纸片折叠，使折痕过点M且经过点，折痕交于点， 则． 题型五、菱形的性质理解 17．两张等宽的纸条按照如图方式交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论错误的是（    ） A．四边形是菱形 B． C．AC⊥BD D．四边形面积 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，然后根据菱形的性质和面积公式即可判断． 【详解】解：设两张等宽的纸条的宽为h， 纸条的对边平行， ，， ∴四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形， ， A选项说法正确，故该选项不符合题意； B选项说法正确，故该选项不符合题意； 菱形的对角线垂直且互相平分， ， 选项C正确，故该选项不符合题意； 、是菱形的对角线， 四边形ABCD面积， D选项说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 18．如图，菱形中，点E、F、G分别是、、的中点，有下面两个结论：①；②．则这两个结论（   ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．根据菱形的性质，三角形中位线定理即可判断． 【详解】解：连接，， ∵点E、F、G分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，， ， ∵菱形， ∴， ∴，即； 而与不一定相等， ∴， ∴①对②错， 故选：C． 19．如图①，在菱形中，对角线，相交于点，要在对角线上找两点，，使得四边形是菱形，现有如图②所示的甲、乙两种方案，下列说法中，正确的是（　　） A．只有方案甲对 B．只有方案乙对 C．方案甲、乙都对 D．方案甲、乙都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是关键． 甲：根据菱形的性质可得四边形是平行四边形，结合菱形的判定即可求解；乙：根据菱形的性质可证，再根据菱形的判定即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故方案甲对； 四边形是菱形， ，， ， ，分别是和的平分线， ，， ． 在和中， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故方案乙对． 综上所述，正确的有甲、乙， 故选：C． 20．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为．对于八边形，给出以下四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【分析】连接，根据，可得，即可判断①；求出、即可判断②；连接，根据，可得，即可判断③；根据角的平分线的性质定理，即可判断④． 【详解】解：因为菱形中，所以，，， 根据对称性在对角线上，在对角线上，且，， 对于①，根据轴对称的性质，可知，， 如图，连接，则， 又，，所以，所以， 可得该八边形各边长都相等，故①正确； 对于②，如下图， 因为，而，所以该八边形各内角并不是都相等，故②错误； 对于③，连接， 因为，所以，可得，又， 所以， 所以，可得点到该八边形各顶点的距离并不是都相等，故③错误； 对于④，根据角的平分线的性质定理，点到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确； 综上，所有正确结论是①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键． 题型六、根据菱形的性质求解 21．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边对等角、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识点．由菱形的性质可得、，由三角形内角和定理结合等边对等角得出，求出，由直角三角形的性质可得，再根据等边对等角即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴、，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 22．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，过点A作交的延长线于点，连接、，过点作于点．若，四边形是菱形，则的长为___________ 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解答的关键． 由三角形中位线定理得，再证四边形是平行四边形，得，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求得，由菱形的面积求出的长即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 四边形是菱形， ，，，， ∴在中，， ∴， ， ， 即， ． 23．如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据矩形的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出，求出，根据菱形的判定得出即可； （2）求出是等边三角形，求出，求出，求出，求出，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 由勾股定理得：． 24． 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，当 时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟记矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知证明，得，结合，点为线段的中点，即可证得结论； （2），则，设，则，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）证明：矩形中，， ， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 题型七、菱形的判定定理 25．如图，已知，点E，F分别为边的中点． (1)求证：； (2)请判断四边形形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）由，可得，再根据点E，F分别为边的中点可得，利用即可证明结论； （2）由，可得，再根据直角三角形的性质可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E，F分别为边的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由： ∵， ∴， ∵，点E，F分别为边的中点 ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 26．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，过点B作，过点E作，与交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可直接证明四边形是平行四边形．根据三角形中位线定理和线段中点的性质可证，即得出平行四边形是菱形； （2）连接，，与交于点M．由菱形性质可得出，，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵D，E分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接，，与交于点M． ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴． 27．综合与实践 【情境】如图1，是直角三角形，，是中点，在图1基础上作特殊的平行四边形；    【操作】嘉嘉和淇淇分别进行了如下操作： 嘉嘉作了矩形，思路如下： ①作射线； ②以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点； ③连接、，则四边形是矩形．    淇淇在嘉嘉的基础上又进行了操作如下： ①如图3，在矩形的边上取一点，连接并延长交于点；    【探究】根据两人的思路完成下列问题： (1)当，时，图1中的面积为____________． (2)根据嘉嘉的作图过程，说明图2中的四边形是矩形； (3)在图3的基础上，请在边上找一点，边上找一点，使得四边形为菱形，并画出这个菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹） 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）根据矩形的判定即可证明； （3）过点作的垂线，交于点，交于点，连接、、、，则菱形即为所求． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 即图1中的面积为6； （2）证明：由作图可得，， ∵是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （3）解：如图3，过点作的垂线，交于点，交于点，连接、、、，则菱形即为所求： ∵矩形， ∴，， ∴，， 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由作图可得，， ∴平行四边形是菱形． 28．如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，．    (1)请你从以下条件①；②；③平分；④中，选择一个使得四边形是菱形的条件________．（填序号）； (2)根据（1）中所选择的条件，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)①或②或③（任写一个即可） (2)证明见解析 【分析】（1）根据题目中的条件即可得到结论； （2）先证明，可得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐一证明即可得到结论； 【详解】（1）解：添加①或②或③； （2）∵是的中点，． ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ①添加：， ∴四边形是菱形， ②添加：， ∴四边形是菱形， ③添加：平分， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ④添加：， 而，， ∴， ∴四边形是矩形．不是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 题型八、菱形的面积计算问题 29．如图，在菱形中，E是上的点，连接交于点F，连接，若，菱形面积为24，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 先根据菱形的性质证明，再导角证明，即可由菱形面积求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 30．如图，在菱形中，，，是对角线的交点，在边上任取一点E，连接，在边上取一点F，使，则________，四边形的面积为________． 【答案】 8 【分析】本题主要考查菱形性质、含角的直角三角形性质和割补法求面积的相关内容，根据菱形性质和得为等边三角形即可求得答案；根据菱形性质得到点G到的距离相等，由已知得可证明≌则有面积相等，再利用直角三角形性质可以求得边长，根据割补法有即可求得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 过点G作交于点K，作交于点H，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴≌， 则， ∵， ∴在中，，得，， ∴，， 则， 故答案为：8；． 31．如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是边，的中点，连接．若，则 ____________(用含的代数式表示)；若，，则菱形的面积为____________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中位线的性质和菱形的面积公式，连接，根据三角形的中线的性质可得；根据是的中位线，根据三角形中位线定理求的的长，然后根据菱形的面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，、是和的中点， ∴ ∵、是和的中点，即是的中位线， ∴ ∴菱形的面积为 故答案为：，． 32．老师布置了一项作业：利用所学知识在一张长，宽的矩形纸片上作出一个菱形． ①嘉嘉的方案，如图1： 1．连接； 2．作的垂直平分线，交，，于点E，F，O； 3．连接，； 4．四边形即为所作的菱形． ②淇淇的方案，如图12-2： 1．利用刻度尺找到四条边的中点E，F、G、H； 2．顺次连接E、F、G、H； 3．四边形即为所作的菱形． 【解答问题】 (1)方案设计正确的是______（写出序号即可）； (2)请选择一种正确的方案进行证明； (3)直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少． 【答案】(1)① ② (2)答案不唯一，见解析 (3)①， 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形，结合三角形中位线定理，判定两种方案都是正确的，解答即可； （2）根据四边相等的四边形是菱形，进行证明即可； （3）计算出两种情况下菱形的对角线长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半计算，比较大小即可． 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握判断和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据作图，四条边相等的四边形是菱形，可以判定，两种方案都是中正确的， 故答案为：① ② ． （2）解：方案1： 四边形为菱形，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 方案2： 四边形为菱形，理由如下： 连接 ∵矩形四条边的中点E，F、G、H； ∴，都是三角形的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． （3）解：方案1：∵四边形是一张矩形纸片，，， ∴，， 设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 故菱形的面积为：． 方案2：连接， ∵矩形四条边的中点E，F、G、H； 则四边形都是矩形， 故， 故菱形的面积为：． 故方案1面积最大． 题型九、正方形的性质理解 33．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形及菱形的性质，熟练掌握正方形及菱形的性质是解题关键，选项A、C和D是菱形的必然性质，故排除；选项B是菱形不一定具有的，对角线相等是正方形特有而菱形不一定具有的性质据此得出结论． 【详解】解：∵正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等（只有正方形时相等）， ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选：B． 34．在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点坐标为、，则下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据正方形的性质回答即可，准确判断是解题的关键． 【详解】解：A、如图，点坐标为，故可以成为该正方形顶点，不符合题意； ， B、如上图，点坐标为，故可以成为该正方形顶点，不符合题意； C、不可能成为该正方形顶点，符合题意； D、如图，点坐标为，故可以成为该正方形顶点，不符合题意， ， 故选：C． 35．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质． 如图1，图2中，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接． 图1中，∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在图2中，∵四边形是正方形， ， ∴是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 36．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点B的坐标为． （1）若直线恰好经过点B，则_______； （2）若直线将正方形分成面积相等的两部分，则_______． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等知识点，掌握将正方形分成面积相等的两部分的直线必过正方形中心成为解题的关键． （1）直接将点B的坐标为代入求得m的值即可； （2）由直线将正方形分成面积相等的两部分，则该直线过正方形中心，然后代入求得m的值即可． 【详解】解：（1）接将点B的坐标为代入得： ，解得：． 故答案为：． （2）∵直线恰好把正方形分成面积相等的两部分，     ∴直线必经过正方形的中心，     ∵点B的坐标为，     ∴正方形中心的坐标为，代入直线中，得： ，解得：． 故答案为：2． 题型十、根据正方形的性质求解 37．如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，首先由正方形得到，，，然后结合得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 38．如图，在边长为的正方形中，以为边在正方形内作等边，连接并延长交于点F，连接．    （1）的度数等于________； （2）线段的长是________． 【答案】 /150度 / 【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形证明和为等腰三角形，求得的度数，进而求得和的度数，利用三角形内角和定理求得结果； （2）过点E作，利用上一空结论，求得，有，为中位线，得出，进一步求得和，即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∵为正三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 则． 故答案为：． （2）过点E作交DF于点M，如图，    在中， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点E为的中点， 又∵ ∴点M为的中点，根据中位线定理得， ∵，， ∴， ∴， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质与判定、三角形中位线定理、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是构造直角三角形． 39．如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为______ ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是证明 过点A，B，作轴，轴于点D，E，证明，根据勾股定理得，，进而可得A点坐标． 【详解】解：如图，过点A，B，作轴，轴于点D，E， ， 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形， ，， ， ， ，， 点横坐标为， ， ， 点坐标为， 故答案为： 40．如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理进行求解； （2）设，根据正方形的性质得出直角和相等的边，表示出相关线段的长度，根据翻折的性质得出相等的边和角，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， 由勾股定理得； （2）解：设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∴， ∵是的中点， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴的长为． 题型十一、正方形的判定 41．如图，四边形 和四边形都是正方形． (1)求证：． (2)若 请直接写出正方形的边长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再根据证明即可得出结论； （2）过点作于点，证明是等腰直角三角形，由可求出，运用勾股定理可得出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，如图， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵，， 又， ∴， ∴， 在中，． 即正方形的边长为． 42．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形得到，再由互余关系得到，再由垂直得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解．连接，，求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ，， ． 又， ． 在中，， ． 在和中， ． （2）解：正方形的边长为6，，， ． 连接， ∴． ， ， 解得． 由（1）得， ． 43．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 (3)当或时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 44．如图，在中，是的中点，连接，是的中点，过点作，与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是_______； ②当满足条件_______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)①菱形；②， 【分析】（1）由，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由，为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证； ②添加条件为，，由，根据①得到四边形为菱形，再由，利用等腰三角形的三线合一得到，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【详解】（1）证明：∵E为的中点，D为中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形； （2）解：①当满足条件时，四边形是菱形，理由为： ∵E为的中点，D为中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形； ∵，D是的中点， ∴ ∵四边形为平行四边形，； ∴四边形为菱形； ②当满足条件，时，四边形是正方形，理由为： 由①知当满足条件时，四边形是菱形， ∵，为中点， ∴为边上的中线， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴四边形为正方形； 【点睛】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 题型十二、正方形的折叠问题 45．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 46．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得，设，则， ∵， ∴， 解得：， 即线段的长是． 故选：A． 47．如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是______；此时的长为______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点G、F、B三点共线时，最小，结合梯形面积、三角形面积求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、B三点共线时，最小，最小为； 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：；． 48．综合与实践 【引入】纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法． 【操作】①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处； ③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上； ④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成． 【探究】 (1)求图3中的度数； (2)求图4中的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质和正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由折叠的性质和正方形的性质得到进而求出，即可求出的度数； （2）由折叠的性质可知，先求出，进而求出，最后利用邻补角即可求出的度数． 【详解】（1）解：由折叠可知， ， ， ， ； （2）解：由折叠知，， ， ， ， ， ． 题型十三、特殊平行四边形的存在性问题 49．如图，是直线与坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．    (1)求三点的坐标； (2)点是折线上一动点． ①当点是的中点时，在轴上找一点，使的和最小，求点的坐标． ②若是平面内任意一点，是否存在点，使四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点、的坐标；然后把点坐标代入求出的值，确定此函数解析式，然后再求点坐标； （2）①根据轴对称最短路径问题画出点的位置，由待定系数法确定直线的解析式为，易得点的坐标； ②依题意，，分两种情况：当点在上时，当点在上时．当点在上时，由等腰直角三角形的性质求得点的坐标为，；当点在上时，设交轴于点，证与全等，得，点的坐标为，，求得直线的解析式为，与组成方程组，求得交点的坐标为，． 【详解】（1）解：在中， 令，得， 令，得， ∴， 把，代入，得， 直线为： 在中， 令，得， 点的坐标为； （2）①如图，   点是的中点， ∴， 取点关于轴的对称点B1的坐标为，，连接， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得，， 该直线为：， 令，得， 点的坐标为． ②存在，点的坐标为或． ∵四边形为矩形， ∴， 1）当点在上时， ， ， 是以为直角的等腰直角三角形， 点的横坐标为， 当时，， 点的坐标为； 2）当点在上时，如图，设交轴于点．   ，， ， 又，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将与代入得， 解得， ， 联立，解得：， 的坐标为． 综上所述：点的坐标为或 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、矩形的性质，解题的关键是灵活运用一次函数的图象与性质以及全等的知识． 50．如图1，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设点E的运动时间为． (1)如图2，连接，若经过边的中点D． ①求证：四边形是平行四边形； ②求此时t的值． (2)是否存在t，使得以点A，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②2； (2)存在，6． 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． （1）①根据证明得，进而可证结论成立； ②表示出，，然后根据列方程求解即可； （2）当点F在线段上时，四边形不可能为菱形；当点F在的延长线上时， 若四边形是菱形，则有，据此求解即可． 【详解】（1）， ∴，． ∵经过边的中点D， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； ②此时， 由运动知，，． ∴， 解得； （2）存在； ∵点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动， ∴当点F在线段上时，四边形不可能为菱形； 当点F在的延长线上时， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 此时， ∴当时，四边形是菱形． 51．综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时， ；②当点E与点A重合时， ． 【深入探究】 （2）当点E在上，点F在上时（如图②）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． 【拓展延伸】 （3）若点F与点C重合，点E在边上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①3；②4 （2）①证明见解析；② （3）存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或 【分析】（1）①由题意可得E为的中点，F为的中点，即可求解； ②由折叠的性质可得，即可求解； （2）①与交于点O，根据垂直平分线的性质可得，，再根据矩形的性质和平行线的性质可得，证得，从而证得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论； ②当时，设菱形的边长为x，则，，利用勾股定理列方程得，求出x的值，再利用勾股定理求值即可； （3）分两种情况：M在上，M在的延长线上，根据全等三角形的判定与性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①当点P与点A重合时，E为的中点，F为的中点， ∴， 故答案为：3； ②当点E与点A重合时，如图， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）①证明：如图，与交于点O， ∵是的中垂线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形， ②解：当时，设菱形的边长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分情况讨论： ①如图③，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； ②如图④， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 设， 则，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程、垂直平分线的性质及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 52．如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)尝试 淇淇取的中点，借助所作的辅助线证明了，请你试着完成证明； (2)探究 如图2，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变，尝试中的结论是否依然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)应用 在边上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请在图3中画出图形并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)结论依然成立，证明见解析 (3)存在，画图，证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质证明，即可得出，再由角平分线的定义进一步可得出，由同角的余角相等得出，证明，由全等三角形的性质得出． （2）在上截取，同（1）的方法证明即可． （3）过点作，交于点，交于点，连接、，，利用等角的余角相等得出，证明，由全等三角形的性质得出，再由（1）（2）可知，等量代换可知，进而可判定四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：如图，连接， 四边形是正方形． ，， 点、分别为、的中点， ，， ， ， ， 是正方形外角的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：探究依然成立 证明：如图，在上截取， 四边形为正方形， ，， ，， ， 为正方形的外角平分线， ． ， ， ， ， ， ， ； （3）解：存在点使得四边形是平行四边形， 证明：如图，过点作，交于点，交于点，连接、， ， ， ，， ， ，， ， ， 由（1）可知， ， 四边形是平行四边形． 题型十四、特殊平行四边形的动点问题 53．如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据题意分四种情况画出图形，然后根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图： ① 当时，，即，解得：； ② 当时，，即，解得：； ③ 当时，，此时，解得：； ④ 当时，，此时P与重合，，解得：． 综上，C选项符合题意． 故选C． 54．如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先由勾股定理求出，证明四边形是矩形，根据是等腰直角三角形得，，由此即可得出的值． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 55．如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是___________ ，此时的长为_____ ． 【答案】 4 【分析】由题意可得是等腰直角三角形，得出，可得当时，最小，即最小，只要利用勾股定理和等面积法求出即可求出的最小值；作辅助线如图，可得四边形是矩形，推出，，等面积法求出，勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质得出，，进而可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，最小，即最小，如图， ∵正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 此时， 过点G作，，垂足分别为H、I，过点F作于P，如图， ∵，， ∴，， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线、熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 56．如图，在正方形中，是边上的一个动点，由点开始运动，运动到停止．连接，以为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为．则点从运动到的过程中，点的运动路径长为_______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理．如图，延长到M，使得，连接，则点Q运动轨迹是线段，证明，利用点Q的运动轨迹是线段，结合勾股定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到M，使得，连接，则点Q运动轨迹是线段， ∵在正方形中，， ∴， 作于N， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点Q在线段上， 且点Q的运动轨迹是线段，，， ∵． 故答案为：． 题型十五、特殊平行四边形的新定义问题 57．综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】(1)4；12 (2)16 (3)42 【分析】（1）根据折叠的性质求出好完美矩形的面积即可； （2）根据折叠的性质和矩形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∵， ∴完美矩形的面积为： ； （2）解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； （3）解：连接，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． 58．定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足时，有，我们就称此函数是在范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当时，有，所以函数y＝－x＋4是在范围内的“标准函数”． (1)正比例函数y＝x是在范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由． (2)若一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，）是在范围内的“标准函数”，求此一次函数的解析式． (3)如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），若一次函数y＝ax＋h（a，h是常数，）是在范围内的“标准函数”，当一次函数y＝ax＋h与矩形ABCD有交点时，求m＋n的取值范围． 【答案】(1)正比例函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”，理由见解析 (2)y=x或y=-x+8； (3)4≤m+n≤7 【分析】（1）根据“标准函数”的定义，找出当x=1时，y=1；当x=2022时，y=2022．由此即可得出函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”； （2）分k>0和k<0两种情况考虑，根据“标准函数”的定义，即可得出关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，从而得出函数解析式； （3）根据“标准函数”的定义，求出一次函数的解析式，根据矩形的性质结合AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），即可得出点D的坐标，分别代入B、D点的坐标，即可得出直线y=ax+h与矩形ABCD有公共点时，m+n的取值范围，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：正比例函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”，理由如下： 当x=1时，y=1；当x=2022时，y=2022．即当1≤x≤2022时，有1≤y≤2022， ∴函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”； （2）解：当k>0时，y随x的增大而增大， ∴当x=2时，y=2，当x=6时，y=6， 即，解得：， ∴此时函数的解析式为y=x； 当k<0时，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y=6，当x=6时，y=2， 即，解得：， ∴此时函数的解析式为y=-x+8． 综上所述：若一次函数是在[2，6]范围内的“标准函数”，则该函数的解析式为y=x或y=-x+8； （3）解：∵一次函数是在[m，n]范围的“标准函数”， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=m时，y=n，当x=n时，y=m， ∴，解得：a=-1， ∴h=m+n， ∴一次函数的解析式为y=-x+（m+n）． ∵矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1， ∴AD∥BC，CD=AB=2， ∵点B的坐标为（2，2）， ∴点C（3，2）， ∴D点的坐标为（3，4）， 当点B在该一次函数图象上时，有2=-2+（m+n），解得：m+n=4； 当点D在该一次函数图象上时，有4=-3+（m+n），解得：m+n=7． ∴当直线y=ax+h与矩形ABCD有公共点时，m+n的取值范围为4≤m+n≤7． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、解二元一次方程组、矩形的性质以及一次函数的图象，解题的关键是理解“标准函数”的定义，一次函数的图象和性质，矩形的性质． 59．定义：若四边形中某个顶点与其他三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点． (1)判断：如图①，一个内角为的菱形 等距四边形．（填“是”或“不是”）并说明为什么？ (2)如图②，在的网格图（每个小正方形的边长为）中有两点，请在给出的两个网格图上各找出两个格点，使得以为顶点的四边形是以点为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并求出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长． 【答案】(1)是，证明见解析； (2)画图见解析，非等距点的对角线长或． 【分析】（）根据等距四边形的定义判断即可求解； （）根据等距四边形的定义作出图形，再利用勾股定理求出非等距点的对角线长即可； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解等距四边形是解题的关键． 【详解】（1）解：是． 证明：连接， ∵菱形， ∴， 当时，是等边三角形， ， ， 一个内角为的菱形是等距四边形； 故答案为：是； （2）解：如图， ，， 端点均为非等距点的对角线长； 如图，，， 端点均为非等距点的对角线长为．（答案不唯一，合理即可） 60．定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形． (1)如图1，准矩形中，，若，求出此时的长； (2)如图2，正方形中，点E、F分别是边上的点，且，求证：四边形是准矩形： (3)已知，准矩形中，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是__________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，，求得，根据准矩形的定义，求得的长； （2）只需证明，即可证明四边形是准矩形； （3）当时，过点Ｄ作于点Ｋ，故准矩形的面积是求解即可；当时，过点Ｄ作于点Ｍ，准矩形的面积是求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 因为四边形是准矩形， 故； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 设于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 故四边形是准矩形； （3）解：当时，如图，过点Ｄ作于点Ｋ， 则， ， ， 准矩形中，， ，， ，， ， 故准矩形的面积是 ； 当时，如图，过点Ｄ作于点， 准矩形中，， ，， ，， ， ， 过点D作交的延长线于点S， 则四边形是矩形， 故， 故准矩形的面积是 ． 1．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）依据所标数据，下列不是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、无法证明四边形为平行四边形，符合题意； B、如图， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； 该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则选项中的四边形为平行四边形，不符合题意； D、如图， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 该选项不符合题意 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（   ） A．Ⅰ，Ⅱ都是 B．Ⅰ，Ⅱ都不是 C．只有Ⅰ是 D．只有Ⅱ是 【答案】C 【分析】先根据题意画出图形，再根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：方案Ⅰ： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形一定是平行四边形； 方案Ⅱ： 如图，在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足， 根据，，不能判定四边形是平行四边形，即方案Ⅱ得到的四边形不一定是平行四边形． 综上，只有方案Ⅰ得到的四边形一定是平行四边形． 3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出，再由平行四边形对角线互相平分得，接着在中利用勾股定理求得，最后由即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中 ， ∴． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 5．（2026·河北·三模）平行四边形的两条对角线分别为6和10，其中一条边长为m，若m为整数，则m的值可以为________（写出一个即可） 【答案】 5（答案不唯一） 【分析】先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到两条对角线一半的长度，再结合三角形三边关系得到边长的取值范围，根据为整数，即可得到符合条件的的值. 【详解】 平行四边形的对角线互相平分 两条对角线一半的长度分别为 ， 平行四边形的一边与两条对角线的一半可构成三角形 根据三角形三边关系可得 即 又为整数 可取中任意一个. 故答案为 （答案不唯一） 6．（2026·河北唐山·二模）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 【答案】6 【分析】由题意易得，，则有，然后通过折叠的性质可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． 由第一次折叠可得， ∴， ∴． 由第二次折叠可得， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ， ∴． ， ∴， ∴． 7．（2026·河北邢台·一模）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分，若，，则的长为_____． 【答案】13 【分析】如图所示，延长交于点，连接，根据平行四边形的性质得到，，由角平分线的定义得到，，再证明，，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ． 8．（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）如图所示，在周长是的平行四边形中，，相交于点O，点E在边上，且，则的周长是_______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，中垂线的性质，根据平行四边形的性质，得到，，进而推出垂直平分，进而得到，推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵在周长是的平行四边形中，，相交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长； 故答案为： 9．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3)或或 【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用勾股定理可以求得的长； （2）先判断的形状，然后根据勾股定理求得、和的长，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可； （3）根据题意画出点D所在的位置，然后写出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：根据图象得：A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据网格得：，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示， 由图可得，以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 10．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，为一条对角线，点为线段的中点． (1)的周长为多少？ (2)已知、之间的距离为4，求． 【答案】(1)32 (2)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可求解； （2）先求出 ，进而得到 ，再根据点为线段的中点，即可求解． 【详解】（1）解：在中， ， ∴， 的周长为 ； （2）解：∵、之间的距离为4， ∴ ， ∴ ， 点为线段的中点， ， ． 11．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，连接． (1)求证：． (2)连接与相交于点O，求证：与互相平分． (3)若，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明全等三角形，得出结论； （2）利用（1）的结论进行证明； （3）利用平行四边形的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与互相平分； （3）解：∵， ∴和为直角三角形． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 特殊平行四边形的判定与性质专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、矩形的性质理解 1 题型二、根据矩形的性质求解 2 题型三、矩形的判定定理 3 题型四、矩形与折叠问题 5 题型五、菱形的性质理解 6 题型六、根据菱形的性质求解 8 题型七、菱形的判定定理 9 题型八、菱形的面积计算问题 11 题型九、正方形的性质理解 11 题型十、根据正方形的性质求解 11 题型十一、正方形的判定 11 题型十二、正方形的折叠问题 11 题型十三、特殊平行四边形的存在性问题 11 题型十四、特殊平行四边形的动点问题 11 题型十五、特殊平行四边形的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、矩形的性质理解 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，对角线、相交于点．下列说法中，正确的是（   ） A．两条对角线把矩形分割成两个等腰三角形和两个等边三角形 B．矩形绕点旋转后，能与自身重合 C．对角线、是矩形的对称轴 D．将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形 4．有下列命题： ①矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ②平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； ③等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； ④有一个锐角是的直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形． 其中正确命题的序号是___________．（把所有正确的命题的序号都填上） 题型二、根据矩形的性质求解 5．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 6．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 7．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 8．综合与探究 已知在中，点为边的中点，连接． 【动手操作】 如图1，将四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，，如图2所示． 【问题解决】 (1)请直接写出图2中的形状__________________； (2)判断图2中和的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 (3)如图3，若平行四边形中，，且，当的某一个内角的度数为时，请直接写出的长度． 题型三、矩形的判定定理 9．如图，在中，，D为的中点，E为外一点，，，连接，求证：四边形为矩形． 10．如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 11．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 12．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件_________时，四边形是矩形． 题型四、矩形与折叠问题 13．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 14．如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上，且，小明将矩形纸片沿着折叠，点，分别落到点，处．在点从点运动到点的过程中，当线段与边有交点时，设交点为点，则的最大值为_____． 15．如图，矩形中，，，其对称轴l恰好与，分别交于点M，N，点P为线段上一点．将矩形沿折叠，使点D落在平面上点Q处．当射线恰好经过点M时，的长为______． 16．综合与实践 【目的】用矩形（正方形）纸片折出特殊角． 【工具】矩形（正方形）纸片，铅笔（仅用于标记字母）． 【操作】 (1)将矩形纸片按如图1所示方式折叠，展开后，得到折痕，则________． 嘉嘉和淇淇尝试用不同形状的纸片和方法折出角． 如图2，嘉嘉的方法如下： ①将矩形纸片沿短边对折，使点B与点A重合，展开后，得到折痕； ②再次将纸片折叠，使点B落在上的点处，并使折痕经过点A，得到． 如图3，淇淇的思路如下： ①将正方形纸片沿边对折，使点H与点G重合，得到矩形； …… 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (2)说明图2中．的理由； (3)在图3的基础上，请你写出一种折纸方法，并指出一个的角． 【拓展】 (4)老师用矩形纸片（足够长）剪出一个角，即，如图4所示．聪明的嘉嘉通过折的平分线的方法直接折出了角．请爱动脑的你写出一种折出角的新方法（不直接折出的平分线）． 题型五、菱形的性质理解 17．两张等宽的纸条按照如图方式交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，下列结论错误的是（    ） A．四边形是菱形 B． C．AC⊥BD D．四边形面积 18．如图，菱形中，点E、F、G分别是、、的中点，有下面两个结论：①；②．则这两个结论（   ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 19．如图①，在菱形中，对角线，相交于点，要在对角线上找两点，，使得四边形是菱形，现有如图②所示的甲、乙两种方案，下列说法中，正确的是（　　） A．只有方案甲对 B．只有方案乙对 C．方案甲、乙都对 D．方案甲、乙都不对 20．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为．对于八边形，给出以下四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 题型六、根据菱形的性质求解 21．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是________． 22．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，过点A作交的延长线于点，连接、，过点作于点．若，四边形是菱形，则的长为___________ 23．如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 24． 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，当 时，求的长． 题型七、菱形的判定定理 25．如图，已知，点E，F分别为边的中点． (1)求证：； (2)请判断四边形形状，并说明理由． 26．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，过点B作，过点E作，与交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，，若，，求的长． 27．综合与实践 【情境】如图1，是直角三角形，，是中点，在图1基础上作特殊的平行四边形；    【操作】嘉嘉和淇淇分别进行了如下操作： 嘉嘉作了矩形，思路如下： ①作射线； ②以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点； ③连接、，则四边形是矩形．    淇淇在嘉嘉的基础上又进行了操作如下： ①如图3，在矩形的边上取一点，连接并延长交于点；    【探究】根据两人的思路完成下列问题： (1)当，时，图1中的面积为____________． (2)根据嘉嘉的作图过程，说明图2中的四边形是矩形； (3)在图3的基础上，请在边上找一点，边上找一点，使得四边形为菱形，并画出这个菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹） 28．如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，．    (1)请你从以下条件①；②；③平分；④中，选择一个使得四边形是菱形的条件________．（填序号）； (2)根据（1）中所选择的条件，求证：四边形是菱形． 题型八、菱形的面积计算问题 29．如图，在菱形中，E是上的点，连接交于点F，连接，若，菱形面积为24，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 30．如图，在菱形中，，，是对角线的交点，在边上任取一点E，连接，在边上取一点F，使，则________，四边形的面积为________． 31．如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是边，的中点，连接．若，则 ____________(用含的代数式表示)；若，，则菱形的面积为____________ 32．老师布置了一项作业：利用所学知识在一张长，宽的矩形纸片上作出一个菱形． ①嘉嘉的方案，如图1： 1．连接； 2．作的垂直平分线，交，，于点E，F，O； 3．连接，； 4．四边形即为所作的菱形． ②淇淇的方案，如图12-2： 1．利用刻度尺找到四条边的中点E，F、G、H； 2．顺次连接E、F、G、H； 3．四边形即为所作的菱形． 【解答问题】 (1)方案设计正确的是______（写出序号即可）； (2)请选择一种正确的方案进行证明； (3)直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少． 题型九、正方形的性质理解 33．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 34．在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点坐标为、，则下列坐标表示的点不可能成为该正方形顶点的是（   ） A． B． C． D． 35．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为_____． 36．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点B的坐标为． （1）若直线恰好经过点B，则_______； （2）若直线将正方形分成面积相等的两部分，则_______． 题型十、根据正方形的性质求解 37．如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________． 38．如图，在边长为的正方形中，以为边在正方形内作等边，连接并延长交于点F，连接．    （1）的度数等于________； （2）线段的长是________． 39．如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为______ ． 40．如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 题型十一、正方形的判定 41．如图，四边形 和四边形都是正方形． (1)求证：． (2)若 请直接写出正方形的边长为 ． 42．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 43．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 44．如图，在中，是的中点，连接，是的中点，过点作，与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是_______； ②当满足条件_______时，四边形是正方形． 题型十二、正方形的折叠问题 45．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 46．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 47．如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是______；此时的长为______． 48．综合与实践 【引入】纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法． 【操作】①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处； ③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上； ④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成． 【探究】 (1)求图3中的度数； (2)求图4中的度数． 题型十三、特殊平行四边形的存在性问题 49．如图，是直线与坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．    (1)求三点的坐标； (2)点是折线上一动点． ①当点是的中点时，在轴上找一点，使的和最小，求点的坐标． ②若是平面内任意一点，是否存在点，使四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 50．如图1，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设点E的运动时间为． (1)如图2，连接，若经过边的中点D． ①求证：四边形是平行四边形； ②求此时t的值． (2)是否存在t，使得以点A，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 51．综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时， ；②当点E与点A重合时， ． 【深入探究】 （2）当点E在上，点F在上时（如图②）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． 【拓展延伸】 （3）若点F与点C重合，点E在边上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 52．如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)尝试 淇淇取的中点，借助所作的辅助线证明了，请你试着完成证明； (2)探究 如图2，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变，尝试中的结论是否依然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)应用 在边上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请在图3中画出图形并证明；若不存在，请说明理由． 题型十四、特殊平行四边形的动点问题 53．如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（   ） A． B． C． D． 54．如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 55．如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是___________ ，此时的长为_____ ． 56．如图，在正方形中，是边上的一个动点，由点开始运动，运动到停止．连接，以为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为．则点从运动到的过程中，点的运动路径长为_______． 题型十五、特殊平行四边形的新定义问题 57．综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 58．定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足时，有，我们就称此函数是在范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当时，有，所以函数y＝－x＋4是在范围内的“标准函数”． (1)正比例函数y＝x是在范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由． (2)若一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，）是在范围内的“标准函数”，求此一次函数的解析式． (3)如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），若一次函数y＝ax＋h（a，h是常数，）是在范围内的“标准函数”，当一次函数y＝ax＋h与矩形ABCD有交点时，求m＋n的取值范围． 59．定义：若四边形中某个顶点与其他三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点． (1)判断：如图①，一个内角为的菱形 等距四边形．（填“是”或“不是”）并说明为什么？ (2)如图②，在的网格图（每个小正方形的边长为）中有两点，请在给出的两个网格图上各找出两个格点，使得以为顶点的四边形是以点为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并求出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长． 60．定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形． (1)如图1，准矩形中，，若，求出此时的长； (2)如图2，正方形中，点E、F分别是边上的点，且，求证：四边形是准矩形： (3)已知，准矩形中，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是__________． 1．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）依据所标数据，下列不是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B，连接并取的中点O． 方案Ⅰ：过点O作任意直线（不与重合，且不与纸条的边平行）交纸条两边于C，D两点（点C在点A所在的边上），连接，； 方案Ⅱ：在点A所在边上取一点D，点D在点A右侧，在点B所在边上取一点C，点C在点B左侧，且满足． 按上述两种方案操作，得到的四边形一定是平行四边形的方案（   ） A．Ⅰ，Ⅱ都是 B．Ⅰ，Ⅱ都不是 C．只有Ⅰ是 D．只有Ⅱ是 3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 5．（2026·河北·三模）平行四边形的两条对角线分别为6和10，其中一条边长为m，若m为整数，则m的值可以为________（写出一个即可） 6．（2026·河北唐山·二模）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 7．（2026·河北邢台·一模）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分，若，，则的长为_____． 8．（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）如图所示，在周长是的平行四边形中，，相交于点O，点E在边上，且，则的周长是_______． 9．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 10．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，为一条对角线，点为线段的中点． (1)的周长为多少？ (2)已知、之间的距离为4，求． 11．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，连接． (1)求证：． (2)连接与相交于点O，求证：与互相平分． (3)若，，且，求的长． 12．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $