微专题6 特殊四边形判定与性质的综合-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（冀教版·新教材）

ⅰ)线段PQ与AB是平行四边形的对边 ∴.△PQE是等腰直角三角形， ,四边形ABQP是平行四边形， AP=BQ.3=18-2,解得=8， (3)当点F恰好落在边AB上时，的值为8-4V3或？ 5.(1)证明：过点E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,则 iⅱ)线段PQ与CD是平行四边形的对边， ∠EQF=∠EPD=90°. ,四边形PQCD是平行四边形， :四边形ABCD为正方形 PD=QC,521=26-3,解得1=29。 .∠DCA=∠BCA=45°，∠QEP=90°. ∴.EQ=EP,∠QEF+∠FEP=90° 综上所述，当1=S或时，线段PQ与四边形ABCD的 ,四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF=90°，则∠PED+∠FEP=90. 边构成平行四边形. ∴.∠QEF=∠PED 微专题6特殊四边形判定与性质的综合 '∠QEF=∠PED, 1.(1)证明：，O是AC的中点，.OA=OC 在△EQF和△EPD中，EQ=EP, OD=OB,.四边形ABCD是平行四边形 ∠EQF=∠EPD, ∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. .△EQF≌△EPD(ASA)..EF=ED. (2).2-=BO++OC+BC-(BO+AB+AO)=2,AO=OC, ∴.矩形DEFG是正方形 ∴.BC-AB=b-a=2. (2)如图，过点G作GH⊥BC交BC的延长 四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=a,AD=BC=b. 线于点H, .a+a+b+b=28..a+b=14. 由正方形的性质，得EF=GF,∠EFG ÷白+81解得仔 90°，∠ACB=45°， 1b=8. .△CEQ是等腰直角三角形.∴.QE=QC. .∠ABC=90°，∴.AC=a2+b=10. .CE=√QE+QC=√2QC=3√2.∴QC=3. 2.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， .EQ⊥BC,GH⊥BC,∴.∠EQF=∠FHG=90 0C=0A=合AC ∴.∠QEF+∠QFE=∠QFE+∠HFG=90° .∠QEF=∠HFG.∴.△QEF≌△HFG(AAS). 1 ·DE∥AC,DE=zAC,DE∥OC且DE=OC. ..QF=GH,EQ=HF...CQ=HF. .CQ-CF=HF-CF,即FQ=CH.∴.CH=HG .四边形OCED是平行四边形 由(1)可得△EQF≌△EPD,.QF=DP (2)证明：由(1)知四边形OCED是平行四边形， EQ⊥BC,PC⊥BC,EP⊥CD, OE=CD,.四边形OCED是矩形 ∴.四边形EQCP是矩形..CP=QE=3. ∴.∠COD=90°.∴.AC⊥BD .DP=CD-CP=4-3=1..CH=HG=1. ∴.平行四边形ABCD为菱形， .CG=√CH+GHP=√2」 (3)在菱形ABCD中，BC=4,∠BAD=120°， (3)∠EFC的度数为130°或40° ∴.AB=BC=AD=4,∠ABC=60°. ∴△ABC是等边三角形. 微专题7与正方形有关的常考模型 1.(1)证明：四边形ABCD是正方形， AC=BC=4.∴A0=号AC=2. .AD=AB,∠DAE=∠ABF=90° ,在菱形ABCD中，AC⊥BD, AF⊥DE, ∴.OD=√AD-OA2=√2-22=2V3. .∠DAF+∠BAF=90°，∠DAF+∠ADE=90°. .∠ADE=/BAF. 由(2)知，四边形OCED是矩形， ∠ADE=∠BAF, .OD=CE=2√3，∠ACE=90° 在△DAE和△ABF中，.'AD=BA, ∴AE=W√AC+CE=√42+(2√3)2=2V7. N∠DAE=∠ABF, 3.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， ∴.△DAE≌△ABF(ASA). ∴.AO=CO,BO=DO,AC⊥EF, .DE-AF .BE=DF,.BO-BE=DO-DF..EO=FO. (2)√17 AO=CO,∴.四边形AECF是平行四边形. 2.(1),四边形ABCD是正方形，BD是对角线， 又AC=EF,AC⊥EF, .AB=BC,∠ABD=∠CBD=45° ∴.四边形AECF是正方形 (AB-CB. (2)'AB=√26，OB=3W2,AC⊥EF 在△ABF和△CBF中，：∠ABF=∠CBF=45°， ∴.AO=√JAB2-OB2=2√2 BF=BF, ,四边形AECF是正方形，∴.AO=OE=OF=OC .△ABF≌△CBF(SAS)..AF=CF. (2)如图，连接FC, .AE=√AO+OE2=4. 由(1)知，△ABF≌△CBF 4.(1)25 .AF=CF,∠BAF=∠BCF (2)△PQE是等腰直角三角形.理由如下： .FG⊥AE,∴.∠AFG=90° 如图②，过点P作PH⊥BC于点H, .∠BAF+∠AFG+∠FGB+∠GBA=360°， .∠PHE=∠ECQ=90° .∠BAF+∠FGB=180°. 图② ∴.∠HPE+∠HEP=90° .∠FGC+∠FGB=180°，.∠FGC=∠BAF ∠PEQ=90°，.∠QEC+∠HEP=90 图② .∠BCF=∠FGC..CF=GF ∴.∠HPE=∠QEC. .AF=CF=GF..∠FAG=∠FGA. .四边形ABCD是矩形，.∠A=∠B=90° ,∠AFG=90°，∴.∠FAG=∠FGA=45. ∴.∠A=∠B=∠BHP=90°. 即∠EAG=45° ∴.四边形ABHP是矩形..PH=AB=4. 3.①②③④ 又：EC=BC-BE=6-2=4,∴.PH=EC. ∴.△PHE≌△ECQ(ASA).∴.PE=EQ. 4.(1)MN=DM+BN (2)MN=BN-DM.理由如下： 一探究在线·八年 如图②，在BC上取点E,使BE=MD,连接AE. ,AF+CF≥AC, .AB=AD,∠B=∠ADM=90°， .当点F与菱形ABCD对角线的交点O重合时，AF+ ∴.△ABE≌△ADM(SAS) CF最小，即此时MN+NG最小. .AE=AM,∠BAE=∠DAM 菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°， :∠DAM+∠DAN=45°，.∠BAE+∠DAN=45. ∴.△ABC为等边三角形，AC=AB=1. ,∴.∠EAN=45°=∠MAN. AE-AM, :MN+NG的最小值为分 在△EAN和△MAN中， ∠EAN=∠MAN, 微专题9四边形的折叠问题 AN-AN, 1.(1)证明：把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落 ,',△EAN≌△MAN(SAS).,'.EN=MN 在点C处， .EN-BN-BE,.MN-BN-DM. ∴.∠CBD=∠EBD (3)MN=DM+BN.理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC. 如图③，将△ABN绕点A逆时针旋转120°，得△ADE, ∴.∠CBD=∠EDB.∴.∠EBD=∠EDB..EB=ED .∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE. (2)AC∥BD.证明：连接AC,如图. .∠B+∠ADC=180°， .AD=BC=BC',EB=ED, E ∴∠ADE+∠ADC=180°..E,D,C三点共线. ∴.AE=CE.∴.∠EAC=∠ECA 由(1)同理可得△EAM≌△NAM(SAS). :∠AEC=∠BED, .MN-ME-DM+DE-DM+BN. ∠EBD=∠EDB, ∴∠ACB=∠C'BD..AC∥BD 2.A 3.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC.∴.∠EPQ=∠PQB. ,将四边形APQB沿PQ翻折， 图② 3 ∴∠PQB=∠PQE,BQ=EQ..∠EPQ=∠PQE. 微专题8特殊四边形中的最值问题 ∴.PE=EQ..BQ=PE 1.1)242 (2).四边形ABCD是矩形 ∴.AD=BC=8,AB=CD=4,∠C=90° (2)EF存在最小值， 由(1)中的结论，得BQ=DQ=PD, :PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F, 设BQ=DQ=PD=x,则CQ=AP=8一x, ∴.∠PEC=∠PFC=90°. 在Rt△CDQ中，根据勾股定理，得CD2十CQ=DQ, 又∠ACB=90°，.四边形PECF为矩形..EF=PC. 即42十(8一x)2=x2,解得x=5. ∴.当PC⊥AB时，PC取得最小值，即EF取得最小值. ∴.AP=8-x=3. ∠ACB=90°，AC=6,BC=8, (3)如图，过点P作PH⊥BC于点H, .AB=√AC+BC=√62+8z=10. ,四边形ABCD是矩形 .AD=BC,AB=CD=4,∠A=∠B=∠C Sae=合AC.BC=AB·PC, =/ADC=90°」 6·8=10·PC,解得PC-4即EF-4 ∴.四边形APHB是矩形 ..AP-BH,PH=AB=4 图③ 八EF存在最小值，最小值为24 .E为CD的中点，∴.DE=CE=2 将四边形APQB沿PQ翻折， 2.√/13 .∠PFG=∠A=90°，EF=AB=4,AP=PF. 3.(1)如图，连接DE,交AC于点P,连接BP .∠FGD>90° 此时△BPE的周长最小. ,△DFG为等腰三角形，.FG=DG 理由：在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAC ,∠PFG=∠EDG=90°，∠FGP=∠EGD, =∠DAC, ∴.△PFG≌△EDG(ASA).∴.PF=DE=2,PG=EG AP=AP,∴.△ABP≌△ADP. ..AP=PF=BH=2,PD=EF=4. ∴.AD=AP+PD=6. .BP=DP,.BP+PE=DP+PE=DE 即AC与DE的交点为点P时，△BPE的周长PB十EP十 设BQ=EQ=y,则CQ=6一y, 在Rt△CEQ中，根据勾股定理，得CE十CQ=EQ,即2 BE最小. (2)由(1)得BP=DP,∴.PB+PE=DE 十(6-02=少解得y=号 .BE=2,AE=3BE,.'.AE=6. .AD=AB=8..DE=W√/62+82=10. 即BQ=9∴HQ=BQ-BH-寺 .PB+PE的最小值是10. '.△BPE周长的最小值为10+BE=10+2=12 “在R△PHQ中，PQ=√PF+HQ=√e+(号) 4.(1)证明：连接CF, ,FG垂直平分CE,CF=EF. ÷而 ,四边形ABCD为菱形， 4.D 点A和点C关于对角线BD对称. 5.(1)证明：如图，连接BD, ∴.CF=AF.∴.AF=EF. :四边形ABCD是菱形，∠A=60°， (2)连接AC交BD于点O, ∴.AB∥CD,△BCD是等边三角形. ,M和N分别是AE和EF的中点，G为CE的中点， G是CD的中点， MN-AF,NG-CF. .BG⊥CD,即∠CGB=90° .∠CGB=∠FBG=90° 即MN+NG=名(AF+CD. 即△FBG是直角三角形 级数学（下）·JJ一 23微专题6特殊四边 1.(中考·云南)如图，在△ABC中，∠ABC= 90°，O是AC的中点.延长BO至点D,使OD =OB.连接AD,CD,记AB=a,BC=b, △AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边 形ABCD的周长为L3. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长. 2.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,过点D作DE∥AC且DE=AC,连接 AE,CE,OE. (1)求证：四边形OCED是平行四边形； (2)若OE=CD,求证：四边形ABCD为菱形； (3)在(2)的条件下，若BC=4,∠BAD=120°， 求AE的长. 形判定与性质的综合 3.(邢台期中)在菱形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O,点E,F在对角线BD上的位置如图 所示，且BE=DF,AC=EF,连接AE,CE, CF,AF. (1)求证：四边形AECF是正方形； (2)若AB=√26，OB=3√2，求AE的长. 第二十一章80 4.(唐山期末)如图①，在矩形ABCD中，AB= 4,AD=6,点E在边BC上，且BE=2,动点P 从点E出发，沿折线EB一BA一AD以每秒 1个单位长度的速度运动.作∠PEQ=90°，EQ 交边AD或边DC于点Q,连接PQ,当点Q与 点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时 间为ts(t>0). (1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为 (2)如图②，当点P在边AD上时，猜想 △PQE的形状，并说明理由； (3)作点E关于直线PQ的对称点F,当点F 恰好落在边AB上时，直接写出t的值 ☐ 图① 图② 备用图 81探究在线八年级数学（下）·JJ 5.(廊坊阶段练习)如图，四边形ABCD为正方 形，E为线段AC上一点，连接DE,过点E作 EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻 边作矩形DEFG,连接CG (1)求证：矩形DEFG是正方形（提示：过点E 分别作EP⊥DC,EQ⊥BC); (2)若AB=4,CE=3√2，求CG的长； (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的 夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数 RL 备用图