专题05 平行四边形的判定与性质专训（专项训练）数学新教材冀教版八年级下册

**基本信息** 聚焦平行四边形判定与性质，通过十大题型系统覆盖基础应用、综合证明、动态探究及新定义问题，构建从概念到创新的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型一至四|16题|性质计算与证明、判定条件补充|从性质应用到判定方法，夯实概念理解| |题型五至七|12题|坐标几何、性质判定综合应用|结合坐标系与几何推理，提升空间观念| |题型八至十|12题|动点、存在性、新定义问题|动态探究与创新情境，培养推理能力与创新意识|

专题05 平行四边形的判定与性质专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行四边形的性质求解 1 题型二、利用平行四边形的性质证明 2 题型三、证明四边形是平行四边形 3 题型四、添一个条件成为平行四边形 5 题型五、求与三点组成平行四边形的点 6 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解 8 题型七、平行四边形的判定与性质的应用 9 题型八、平行四边形中的动点问题 11 题型九、平行四边形中的存在性问题 11 题型十、平行四边形中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，先求出的度数，再计算的度数即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出 的值． 【详解】解：， 平分 ． 3．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】先证，得，所以，又因为，所以，再根据平行四边形性质得，所以，把代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 4．如图，在平行四边形中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，若的长为_____（直接写出答案）． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图进行求解即可； （2）由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 题型二、利用平行四边形的性质证明 5．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过作线段交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，证明，即可得到． 【详解】证明：在平行四边形中，点是对角线的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ． 在和中，， ， ． 6．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与交于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】结合平行四边形的性质证明，由全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 7．如图，的对角线相交于点O，点E是的中点，点F为上一点，连接．若________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】③，见解析 【分析】选择③，利用平行四边形的性质求得，由平行线的性质求得，再证明，即可得到．选择①，证明，即可得到． 【详解】解：选择③， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 选择①， ∵， ∴，， ∵点E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 选择②不能使结论成立． 8．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作于点G，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，可得，，进而判定，再利用全等三角形的性质可证四边形为平行四边形． （2）根据线段的和差，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理，得， ∴． 题型三、证明四边形是平行四边形 9．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【分析】根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； 【详解】略． 10．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）根据中点的定义和平行线的性质得到条件，证明即可； （2）证明，又由已知即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：是的中点， ．     ， ，   （2）四边形是平行四边形     证明：，      又是的中线， ， ∴     又， ∴四边形是平行四边形． 11．如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点F． (1)请用尺规作的角平分线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ． ①________． 平分，平分， ， ②________． ③________． 四边形是平行四边形． ④________． 四边形为平行四边形． 【答案】(1)如图，的角平分线即为所作 (2)①，②，③，④ 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）以C为圆心、的长度为半径画弧交于点E，连接，问题得解； （2）根据题干的思路填空即可． 【详解】（1）以C为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接， 作图如答案所示； 作图证明：∵是平行四边形， ∴，， 根据作图有：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2）略 12．如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证： (1)． (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线性质和中点条件，通过证明三角形全等； （2）由全等得线段相等，再结合已知的平行关系，用“一组对边平行且相等”判定平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵在与中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 题型四、添一个条件成为平行四边形 13．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【答案】(1)①② (2)①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：符合条件的选项有：①②； （2）解：我选择①，证明过程如下： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 14．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的角和边，通过证明三角形全等，得出相等的边，利用平行四边形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：添加一个条件使得四边形是平行四边形的选项是①②④； （2）选择① 证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； 选择② 证明：∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 同理，, ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择④ 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】重点掌握平行四边形的性质定理和判定定理，借助全等三角形得出相等的边． 15．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 16．如图，在中，是对角线上的两点，连接．若______，则四边形是平行四边形．请从；；这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，根据；；逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：选择， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 选择无法得出四边形是平行四边形． 题型五、求与三点组成平行四边形的点 17．工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】描点见解析，、、 【分析】分三种情况考虑：，，，在图上描出点、、的位置，写出点、、的坐标． 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，的坐标是，则、、． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)与关于点成中心对称，请在图中画出； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）根据两个三角形关于点成中心对称作图即可； （2）根据平行四边形的性质找点即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，点都满足题意， ∴以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是，，． 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据图形旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平行四边形的判定方法结合网格特点画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 20．在直角坐标系中，平行四边形的三个顶点坐标分别为． (1)求第四个顶点的坐标． (2)求所有可能的平行四边形，在直角坐标系中覆盖的总面积． 【答案】(1)或或 (2)16 【分析】（1）分三种情况，画出相应的图形，再结合平行四边形的性质及平移知识即可得出答案； （2）先根据长方形的面积减去三个三角形的面积得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点， 以为一边，当时，四边形是平行四边形， 由点C到点B的平移可知横坐标减2，纵坐标加1， ∵点， ∴，则点； 以为一边，当时，四边形是平行四边形， 由点B到点C的平移可知横坐标加2，纵坐标减1， ∵点， ∴，则点； 以为一边，当时，四边形是平行四边形， 由点A到点C的平移可知横坐标加6，纵坐标加1， ∵点， ∴，则点． 所以第四个顶点的坐标为或或； （2）解：如图所示，过点B作x轴的平行线，过点A，点C作y轴的平行线，交于点E，F，过点C的平行线交x轴于点G， ∴，， ∴ ， 则， ， 所以在直角坐标系中覆盖的总面积为16． 【点睛】确定平行四边形的第四个顶点的常用方法是：先连接依次三个点得出三角形，再以任意两点连接的线段为平行四边形的边，过第三个点作该边平行且相等的线段即可得出三个顶点． 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解 21．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用平移变换的性质求解； （2）先求出的值，进而分情况讨论即可． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， ∴，， ∴，； （2）解：∵将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点A，B，的坐标分别为，，， ∴，点到的距离为， ∴， ∴， 设， ∵， 如图，当M在B左侧时， ∴， 解得：，即； 如图，当M在B右侧时， ∴， 解得：，即． 23．如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点． (1)当点为中点时，线段________； (2)如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，________． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据旋转的性质求解即可； （2）由等边对等角可得，由旋转的性质可知，，进而推出，则，即可证明； （3）①根据旋转和等边对等角的性质，得出，进而推出，则，再根据平行四边形对角相等求解即可； ②连接交于点，根据同底等高三角形面积相等，推出，由旋转的性质可知，得到，再利用面积的和差计算即可． 【详解】（1）解：，点为中点， ， 由旋转的性质可知，， ； （2）证明：， ， 由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）解：①由旋转的性质可知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； ②如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，， ， 设，， ，， ． 24．如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 题型七、平行四边形的判定与性质的应用 25．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．按要求仅用无刻度的直尺作图，不要求写作法，只要保留作图痕迹． (1)作一条线段，使； (2)连接，作的中线． 【答案】(1)所作线段如图所示（答案不唯一，符合条件即可）： (2)连接，所作的中线如下图所示（答案不唯一，符合条件即可）： 【分析】（1）利用网格特点，以及勾股定理分析求解，即可解题； （2）连接，利用网格特点构造平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分作出的中线即可． 【详解】（1）解：根据，即利用网格特点构造直角边长分别为和，其中一条直角边端点为的直角三角形，这个直角三角形的斜边即为所作线段； （2）解：由网格特点可知，， 四边形为平行四边形， ， 为的中线． 26．数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 【答案】(1)甲同学正确、乙两位同学有问题，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可； （2）取平行四边形对角线也就是的中点，过作直线交于点，交于点，使，连接，即可得到答案． 【详解】（1）解：甲同学：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 由题意可得， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 乙同学：以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 与可能有两个交点，故无法进行判断； （2）解：取平行四边形对角线也就是的中点， 在上任取一点G，连接，；以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H，保证，使得， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ， ， 则四边形是平行四边形且． 27．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） (2)在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形； (3)在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积为6的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （2）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （3）根据网格的特点构造平行四边形即可． 【详解】（1）如图①，即为所求（答案不唯一）； ∵ ∴是一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） （2）如图②，即为所求（答案不唯一）； ∵ ∴ ∴是一个三边都为无理数的等腰直角三角形 （3）如图，平行四边形即为所求（答案不唯一）． 28．综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)图见解析；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质，结合对顶角相等，即可得解； （2）观察可得：，即可得出比值； （3）将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 是边上的中点， ， ， ； （2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ， ； （3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形； 理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形， ，， ， ∴点在同一直线上， 同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 题型八、平行四边形中的动点问题 29．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 30．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 31．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． （2）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 32．如图，在四边形ABCD中，，，，，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)当时，__________； (2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质是解决问题的关键． （1）当时，，可知为等边三角形，即可求得； （2）由题意可知，，，分两种情况：当时，点在点右侧，当时，点在点左侧，建立等式即可求解； （3）分两种情况：当对称点落在线段上时，当对称点落在线段的延长线上时，建立等式即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 过点作， ∵，，则，， ∴，四边形是矩形， ∴，则， ∴，则， 由题意可知，，， 当时，点在点右侧，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即：，解得：； 当时，点与点重合，符不符合题意； 当时，点在点左侧，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即：，解得：； 综上，当或时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形； （3）如图，当对称点落在线段上时，根据题意，得平分， 此时，由（2）可知， ∵，，平分， ∴， ∴，即：， 解得：； 如图，当对称点落在线段的延长线上时，根据题意，得的反向延长线平分，此时，由（2）可知， ∵，，平分， ∴，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即：， 解得：， 综上，动点M关于直线对称的点恰好落在直线上时，或． 题型九、平行四边形中的存在性问题 33．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 34．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】（1）可证明和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （2）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （2）解：存在，使得 ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、以及平行四边形的性质，关键是利用平行四边形对角线互相平分求点的坐标；分别以为对角线这三种情况，求出点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 解方程组得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∴，，． 设， 若使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论： ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 的坐标为； ②当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 36．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①________，________（用含的式子表示）； ②若，求的长． (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)存在，或12 【分析】（1）①由运动知，，即可得出结论； ②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时；由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①由运动知，，， ∵在线段上取点，使得， ∴； ②作于M，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在， ∵， ∴若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则， 分以下两种情况讨论： （ⅰ）当点Q、E在线段上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， ∴， 解得：； （ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，此时或12秒． 题型十、平行四边形中的新定义问题 37．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，，． (1)①猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②由①可得______，______（填“”，“”或“”）； (2)如图2，已知平行六边形满足．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)见详解 (3) 【分析】（1）①连接，根据平行线的性质即可解决问题；同①，根据平行线的性质即可解决问题； （2）延长交于点，延长交于点，可得四边形为平行四边形，证明，得，进而可以解决问题； （3）过点作的平行线，过点作的平行线，两条线交于点，连接，可得四边形是平行四边形，然后证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：①， 证明：连接，如图 1，     ， ， ， ． ②同①，连接， ， ， ， ， 即． 连接， ， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）证明：如图2，延长交于点，延长交于点， ， ∴四边形为平行四边形，， ， ∵， ∴， ∴， 由（1）得，， ， ， ， ． （3）解：根据（2）可得，，， ， ， 如图3，过点作的平行线，过点作的平行线，两条线交于点，连接， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， ∴平行六边形的面积的， ∴与平行六边形的面积之比是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 38．我们知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，    (1)探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若，则与相等吗？请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，则与平行六边形的面积之比是 　 　． 【答案】(1)，证明见解析 (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据平行线的性质即可解决问题； （2）延长交于点M，延长交于点N，可得四边形为平行四边形，证明，得，进而可以解决问题； （3）过点E作的平行线，过点C作的平行线，两条线交于点Q，连接，可得四边形是平行四边形，然后证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：， 证明：连接，如图1，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，延长交于点M，延长交于点N，    ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图3，过点E作的平行线，过点C作的平行线，两条线交于点Q，连接，    ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， ∴平行六边形的面积的， ∴与平行六边形的面积之比是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质、平行六边形的性质，证明三角形全等是解题的关键， 39．【定义新知】 定义：一条直线既平分一个图形的面积，又平分这个图形的周长，我们把这条直线叫做这个图形的公正线． 性质：若一条直线是一个图形的公正线，那么这条直线既平分这个图形的面积，也平分这个图形的周长． 【特例感知】 例如图1，已知，，直线于点D．求证：直线是的公正线． 证明：， 在和中， ，， ，的面积等于的面积， ， ∴直线是的公正线． 问题： （1）填空： ①如图2，已知，若直线是的公正线，则与______相等（填“一定”或“不一定”）． ②已知，在平面直角坐标系中，的顶点，直线是的公正线，且与直线交于点P，则点P的坐标是______． 【学以致用】 问题（2）如图3，已知，直线与交于点F，，．求证：直线是的公正线． 【迁移探究】 问题（3）如图4，已知四边形，．点E，点F分别是边，边上的点，直线是的公正线，则的周长=______． 【答案】（1）①一定②（2）见解析（3） 【分析】（1）①根据公正线的定义即可解答； ②根据平移的规律可得点D的坐标为，根据平行四边形过对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，可知直线过对角线的交点，即可解答； （2）如图3，过点F作于G，作于H，先根据角平分线的性质可得，再根据公正线的定义即可得结论； （3）如图4，过点A作于点G，根据公正线的定义可得，，设，则，根据勾股定理列方程可得，即可解答． 【详解】解：（1）①∵直线是的公正线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：一定； ②∵的顶点， ∴点， ∵直线是的公正线，且与直线交于点P， ∴点P是的中点， ∴； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， 如图3，过点F作于G，作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的公正线； （3）如图4，过点A作于点G， ∵直线是的公正线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查新定义“公正线”的理解与运用，矩形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，理解“公正线”是解本题的关键． 40．定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 (1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； (2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 (3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】 (4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)是 (2)当或时，四边形是和等梯形； (3)是等腰三角形，理由见解析 (4)理由见解析 【分析】（1）连接，，由勾股定理求得，，根据定义即可判断； （2）连接，，设，可得，，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）延长使得，，可知四边形是平行四边形，可得，，可知，由题意得，进而可得，可知，可得，即，即可判断是等腰三角形； （4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点；方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 【详解】（1）解：连接，， ∵， ∴，， ， ∴， ∴四边形是和等梯形， 故答案为：是； （2）连接，， ∵四边形是矩形，，，设， ∴， 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 综上，当或时，四边形是和等梯形； （3）是等腰三角形，理由如下： 延长使得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵四边形是以为和等线的和等梯形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点； 即：在延长线上截取，再以点，点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，连接两点，交于于一点，如图所示，该点即为所求点； 方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 即：连接，在上截取，连接并延长交于点，如图所示，该点即为所求点． 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关性质定理是解决问题的关键，还考查了尺规作图——作垂直平分线． 1．（2026·河北邢台·模拟预测）按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、添加，此时平行四边形变为矩形，不是菱形； B、添加，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形； C、添加，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形； D、添加，则，此时平行四边形是矩形，不是菱形； 所以正确条件是选项C． 2．（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段平移到线段，若点的坐标为，四边形是面积为12的菱形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交x轴于点M，根据菱形的性质得出，点A、的横坐标为：，再由菱形的面积得出，确定，即可求解 【详解】解：连接交x轴于点M，如图所示： ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点A、的横坐标为：，， ∵四边形是面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为 3、（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，利用折叠的性质得出，，，从而求出的长，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 4．（2026·河北保定·二模）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由面积公式得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由面积公式得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·河北保定·二模）如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 【答案】5（或填6或7） 【分析】由图可知，当时，取得最小值，当与重合时，取得最大值，先利用菱形的性质：对角线互相平分且垂直，通过勾股定理求出菱形的边长，再利用面积关系求出对应的高，即可求出的长的取值范围，在范围中选择一个整数即可． 【详解】解：如图，设与交于点O， 在菱形中，，，， ∴， ∵， ∴， 当时，即时，取得最小值， ∴， 当与重合时，取得最大值，， ∴，故长的整数值为5或6或7． 6．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 【答案】菱形 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为O，再利用证明，得四边形为平行四边形，然后根据垂直平分线的性质得，即可得出为菱形． 【详解】解：如图，设与的交点为O， 根据作图可得，且平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形． 7．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_______． 【答案】4 【分析】由点E 是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 8．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 【答案】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据正方形的性质得出； （2）过点B作轴于点E，证明，得出，，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴在中，， ∵四边形为正方形， ∴． （2）过点B作轴于点E，如图所示， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． 9．（2026·河北唐山·二模）如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中，∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 10．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图1，摆钟是一种利用单摆原理工作的计时仪器．摆钟的摆锤可视为质点，摆动的部分轨迹可抽象为图2中的圆弧，摆长（摆长固定不变）．当摆锤摆动到最低点时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高点时，它离底座的垂直高度 ，且与摆锤在最低点时的水平距离为． (1)图2中 ； (2)求钟摆的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）容易证明四边形是矩形，则，因此； （2）设，则，利用勾股定理构造方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得， 答：钟摆的长度为． 11．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 12．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，连接．动点从点出发，沿折线向终点运动，连接，设点运动时间为秒（）． (1)当点运动到中点时． ①尺规作图：在图1中，画出线段（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求证：； (2)如图2，当点在边上运动时，过点作于点．若，点的平均速度为，求的值． 【答案】(1)①作图见解析；②证明见解析 (2)或． 【分析】（1）①作线段的垂直平分线，得到中点，连接即可；②当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图，线段即为所求； ②∵矩形， ∴，， 当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点P在边上时（点P不与点D重合）， ∵，矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 则， 解得：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行四边形的判定与性质专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行四边形的性质求解 1 题型二、利用平行四边形的性质证明 2 题型三、证明四边形是平行四边形 3 题型四、添一个条件成为平行四边形 5 题型五、求与三点组成平行四边形的点 6 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解 8 题型七、平行四边形的判定与性质的应用 9 题型八、平行四边形中的动点问题 11 题型九、平行四边形中的存在性问题 11 题型十、平行四边形中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 4．如图，在平行四边形中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，若的长为_____（直接写出答案）． 题型二、利用平行四边形的性质证明 5．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过作线段交于点，交于点，求证：． 6．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与交于点．求证：． 7．如图，的对角线相交于点O，点E是的中点，点F为上一点，连接．若________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 8．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作于点G，若，，求四边形的面积． 题型三、证明四边形是平行四边形 9．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 10．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 11．如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点F． (1)请用尺规作的角平分线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ． ①________． 平分，平分， ， ②________． ③________． 四边形是平行四边形． ④________． 四边形为平行四边形． 12．如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证： (1)． (2)四边形是平行四边形． 题型四、添一个条件成为平行四边形 13．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 14．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 15．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 16．如图，在中，是对角线上的两点，连接．若______，则四边形是平行四边形．请从；；这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 题型五、求与三点组成平行四边形的点 17．工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)与关于点成中心对称，请在图中画出； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 20．在直角坐标系中，平行四边形的三个顶点坐标分别为． (1)求第四个顶点的坐标． (2)求所有可能的平行四边形，在直角坐标系中覆盖的总面积． 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解 21．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． 23．如图1，在中，，．点是边上的动点，连接，将绕点旋转至，使点与点重合，连接交于点． (1)当点为中点时，线段________； (2)如图2，作交于点，连接交于点．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，________． 24．如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 题型七、平行四边形的判定与性质的应用 25．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．按要求仅用无刻度的直尺作图，不要求写作法，只要保留作图痕迹． (1)作一条线段，使； (2)连接，作的中线． 26．数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 27．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） (2)在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形； (3)在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积为6的平行四边形． 28．综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 题型八、平行四边形中的动点问题 29．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 30．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 31．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 32．如图，在四边形ABCD中，，，，，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． (1)当时，__________； (2)是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 题型九、平行四边形中的存在性问题 33．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①________，________（用含的式子表示）； ②若，求的长． (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型十、平行四边形中的新定义问题 37．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，，． (1)①猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②由①可得______，______（填“”，“”或“”）； (2)如图2，已知平行六边形满足．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，直接写出的值． 38．我们知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形中，，    (1)探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若，则与相等吗？请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，则与平行六边形的面积之比是 　 　． 39．【定义新知】 定义：一条直线既平分一个图形的面积，又平分这个图形的周长，我们把这条直线叫做这个图形的公正线． 性质：若一条直线是一个图形的公正线，那么这条直线既平分这个图形的面积，也平分这个图形的周长． 【特例感知】 例如图1，已知，，直线于点D．求证：直线是的公正线． 证明：， 在和中， ，， ，的面积等于的面积， ， ∴直线是的公正线． 问题： （1）填空： ①如图2，已知，若直线是的公正线，则与______相等（填“一定”或“不一定”）． ②已知，在平面直角坐标系中，的顶点，直线是的公正线，且与直线交于点P，则点P的坐标是______． 【学以致用】 问题（2）如图3，已知，直线与交于点F，，．求证：直线是的公正线． 【迁移探究】 问题（3）如图4，已知四边形，．点E，点F分别是边，边上的点，直线是的公正线，则的周长=______． 40．定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 (1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； (2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 (3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】 (4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 1．（2026·河北邢台·模拟预测）按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段平移到线段，若点的坐标为，四边形是面积为12的菱形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3、（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 4．（2026·河北保定·二模）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北保定·二模）如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 6．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 7．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_______． 8．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）将正方形按如图方式放置在平面直角坐标系中，点，点． （1） ________________ ； （2）点B的坐标是 __________ ． 9．（2026·河北唐山·二模）如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 10．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图1，摆钟是一种利用单摆原理工作的计时仪器．摆钟的摆锤可视为质点，摆动的部分轨迹可抽象为图2中的圆弧，摆长（摆长固定不变）．当摆锤摆动到最低点时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高点时，它离底座的垂直高度 ，且与摆锤在最低点时的水平距离为． (1)图2中 ； (2)求钟摆的长度． 11．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 12．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，连接．动点从点出发，沿折线向终点运动，连接，设点运动时间为秒（）． (1)当点运动到中点时． ①尺规作图：在图1中，画出线段（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求证：； (2)如图2，当点在边上运动时，过点作于点．若，点的平均速度为，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $