专题05 矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材冀教版

**基本信息** 聚焦矩形、菱形、正方形的性质与判定，以题型分层构建知识逻辑，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形|4题型（含综合重点）|性质应用、判定证明、直角三角形中线应用|从性质到判定，结合特殊三角形性质形成应用链| |菱形|4题型（含综合重点）|性质计算、判定推理、与平行四边形转化|以边和对角线为核心，构建性质判定综合体系| |正方形|3题型（含综合重点）|性质综合、判定证明、与特殊三角形结合|融合矩形菱形特性，强化多知识点交叉应用| |特殊与难点|3题型（含重叠面积、动点、最值）|动态问题、面积计算、最值探究|从静态到动态，培养空间观念与综合解题能力|

专题05 矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定 题型一 矩形的性质 题型九 正方形的判定 题型二 矩形的判定 题型十 正方形的判定与性质的综合（重点） 题型三 矩形的判定与性质的综合（重点） 题型十一 梯形的性质 题型四 直角三角形斜边上的中线应用 题型十二 梯形的判定 题型五 菱形的性质 题型十三 菱形的判定与性质的综合（重点） 题型六 菱形的判定 题型十四 求重叠面积 题型七 菱形的判定与性质的综合（重点） 题型十五 特殊平行四边形的动点问题（难点） 题型八 正方形的性质 题型十六 四边形的最值问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 矩形的性质 1．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，依据尺规作图的痕迹，计算_______． 3．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，某重型工业厂区内有一块矩形生产作业区，生产作业区的长为，宽为，在生产作业区内规划两块大小相同的小矩形作为设备检修区（阴影部分），每块小矩形检修区的长为，宽为． (1)求该矩形生产作业区的周长； (2)除设备检修区外，作业区其他部分都要在地面涂刷工业防腐涂层，已知涂刷防腐涂层的费用为50元/，求生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用． 5．如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 题型二 矩形的判定 6．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 7．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 8．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 9．如图，在中，是边上一点，是的中点，过作的平行线交的延长线，且，连接． (1)求证：点是的中点； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形，并说明理由． 10．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 题型三 矩形的判定与性质的综合 11．如图，在四边形中，，则的长是______． 12．如图，在等腰梯形中，，，梯形的高，则的度数是______． 13．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 15．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 16．如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 题型四 直角三角形斜边上的中线应用 17．如图，在中，，的边经过的中点E，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 18．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 19．如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 20．如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 题型五 菱形的性质 21．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．15 C．20 D． 23．如图，是菱形的对角线，，，则的周长为_______． 24．如图，四边形是菱形，对角线交于点，于点，是线段的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 25．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，求的长． 题型六 菱形的判定 26．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 27．如图，利用几个全等的直角三角尺（含角）拼摆成如下的四边形，其中不是菱形的是（    ） A． B． C． D． 28．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 29．如图，平行四边形的对角线与相交于点，分别是和的中点，连接．若． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 30．如图：平行四边形，对角线、相交于点，将沿着折叠，使点落在平面上的处，与相交于，连接并延长，与相交于． (1)求证：； (2)连接，判断四边形的形状，并说明理由． 题型七 菱形的判定与性质的综合 31．如图在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称，过点D作的垂线交延长线于点E．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 32．如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④若平分，则． 其中正确结论的序号是___________． 33．如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 34．如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 35．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 36．如图，中，平分交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积． 题型八 正方形的性质 37．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 38．如图，四边形和四边形都是正方形，且点在线段上，连接，过点作，垂足为．若，，则的长度为________． 39．如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 40．如图，正方形的边长为3，为上一点，沿折叠，使点落在点处，延长交于点，若，则的长为_______． 41．如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E．求的度数． 题型九 正方形的判定 42．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 43．如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点分别作交于点，交于点． (1)求证：； (2)连接．当与满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 44．如图，在中，的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是正方形． 45．如图，四边形中， ，点O是、的交点，且点O为的中点． (1)求证； (2)若E为的中点，F为的中点，当，时，四边形是否为正方形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 46．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 题型十 正方形的判定与性质的综合 47．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 48．如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 49．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，于点．若，则的长为__________． 50．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 51．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 52．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 题型十一 梯形的性质 53．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C． D． 54．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 55．如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 56．已知：如图，正方形中，对角线交于点O，E、F分别为中点．求证： (1)； (2)四边形为等腰梯形． 57．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 题型十二 梯形的判定 58．如图，梯形中，，，，则为______． 59．已知如图在等腰梯形中，，，，若，则等腰梯形的周长为________． 60．如图，在梯形中，，，与相交于点O，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求梯形的面积． 61．如图，在梯形中，，． (1)尺规作图：在线段上截取．连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，求的长度． 62．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． (1)在这个变化中，自变量是 ； (2)当点运动的路程时，的面积为 ； (3)求的长和梯形的面积． 题型十三 菱形的判定与性质的综合 63．为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块四边形的劳动教育基地，如图，量得，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 64．如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间__秒时，四边形是直角梯形． 65．如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 66．如图，在梯形中，，点E在边上，，的延长线与的延长线相交于点F． (1)求证：； (2)当点E为中点时，求的长； (3)设，试用x的代数式表示y． 67．如图，在直角梯形中，，，，，，P、Q同时从A、C出发，点P以的速度沿运动，点Q从C开始沿边以的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．    (1)t为何值时，四边形是矩形； (2)t为何值时，四边形是等腰梯形； (3)是否存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 题型十二 求重叠面积 68．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 69．如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 55．如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为_______． 70．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在E处，若，，则： (1)试判断折叠后重叠部分三角形ACF的形状，并证明； (2)求重叠部分三角形ACF的面积． 71．（1）如图①，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分的形状是__________； （2）如图②，一张矩形纸条沿折叠后，展开重叠部分（阴影部分），则四边形是一个菱形吗？请说明理由． （3）如图③，矩形的宽，若，沿折叠后，重叠部分展开（阴影部分）后得到菱形，则菱形的面积为__________． 题型十三 特殊平行四边形的动点问题 72．如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点B出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为______． 73．如图，在平面直角坐标系中，，，，，且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点分别从点同时出发，当点运动到点时停止运动，点随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求两点的坐标； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时两点的坐标． (3)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 74．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 75．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动时间为，过点D作于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①当 时，四边形为菱形； ②当 时，四边形为矩形． 76．已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，点N为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的t值与点M的坐标． 77．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系中，点P在边上从O向A运动，连接交对角线于点Q，连接． (1)求证：； (2)当点Q的坐标为时，求点P的坐标； (3)若点P在边上从点O运动到点A后，再继续在边上从A运动到点B，在整个运动过程中，若恰为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 题型十四 四边形的最值问题 78．如图，和是菱形外的两个等边三角形，连接则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 79．如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点在对角线上，，．下列结论错误的是（    ） A．若，则m的最小值为4 B．若m的最小值为4，则 C．若，则m的最小值为5 D．若m的最小值为5，则 80．如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为______． 81．如图，在平行四边形中，点M是的中点，点P是线段上任意一点．若，，，则的最大值为___________． 82．如图，已知线段，于点，于点，，，点为线段上的动点，以为边在直线右侧作等腰直角三角形，，连接，，则的最小值为_____，线段的最小值为_____． 83．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积； (3)当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． $专题05 矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定 题型一 矩形的性质 题型九 正方形的判定 题型二 矩形的判定 题型十 正方形的判定与性质的综合（重点） 题型三 矩形的判定与性质的综合（重点） 题型十一 梯形的性质 题型四 直角三角形斜边上的中线应用 题型十二 梯形的判定 题型五 菱形的性质 题型十三 菱形的判定与性质的综合（重点） 题型六 菱形的判定 题型十四 求重叠面积 题型七 菱形的判定与性质的综合（重点） 题型十五 特殊平行四边形的动点问题（难点） 题型八 正方形的性质 题型十六 四边形的最值问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 矩形的性质 1．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 与互相平分， ， 四边形是平行四边形， ． 2．如图，依据尺规作图的痕迹，计算_______． 【答案】/56度 【详解】解：如图，设角平分线与垂直平分线交于点，垂直平分线与交于点． 四边形是矩形， ， ， 由作法可知，是的平分线， ， 由作法可知，是线段的垂直平分线， ， ， ． 3．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 4．如图，某重型工业厂区内有一块矩形生产作业区，生产作业区的长为，宽为，在生产作业区内规划两块大小相同的小矩形作为设备检修区（阴影部分），每块小矩形检修区的长为，宽为． (1)求该矩形生产作业区的周长； (2)除设备检修区外，作业区其他部分都要在地面涂刷工业防腐涂层，已知涂刷防腐涂层的费用为50元/，求生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用． 【答案】(1)矩形生产作业区的周长为 (2)生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用为元 【分析】 【详解】（1）解：． 答：矩形生产作业区的周长为； （2）解： ， 元． 答：生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用为元． 5．如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：矩形， ，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）证明：， ， 矩形， ， ， 在和中， ， ， 平分． 题型二 矩形的判定 6．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【详解】解：当是矩形时，， ． 7．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，即， ∴，， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 8．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)13，理由见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 9．如图，在中，是边上一点，是的中点，过作的平行线交的延长线，且，连接． (1)求证：点是的中点； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中： ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴点是的中点． （2）当 ，四边形为矩形，理由如下： ∵ ，且 ， ∴ 四边形是平行四边形, ∵， 且由（1）得是中点， 得 ， 即 ， ∴ 平行四边形是矩形． 10．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 题型三 矩形的判定与性质的综合 11．如图，在四边形中，，则的长是______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点 四边形是矩形 在中，由勾股定理得 12．如图，在等腰梯形中，，，梯形的高，则的度数是______． 【答案】 【详解】解：过点作于点， ， ， 四边形为矩形， 梯形的高， ， ， ， 四边形为矩形， ， 连接，有， ， ， ， ， ， ． 13．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 14．如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 15．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E、F分别是的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，E为中点， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∴在中， ∴矩形的面积． 16．如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 又为中点， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积为． 题型四 直角三角形斜边上的中线应用 17．如图，在中，，的边经过的中点E，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【详解】解：∵在中，，为的中点 ∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∵， ∴ ∵点在上 ∴ 18．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 19．如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 【答案】2或8 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ∴，，， ∵、分别是、的中点， ∴ 四边形是平行四边形， ， ∵， 设与交于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， 同理：． 综上：的长为或． 20．如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， 在中，，是中点， ∴， 在中，是中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长． 题型五 菱形的性质 21．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．15 C．20 D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 23．如图，是菱形的对角线，，，则的周长为_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴，且， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为． 24．如图，四边形是菱形，对角线交于点，于点，是线段的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是菱形，对角线交于点， ， ， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：． 25．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 题型六 菱形的判定 26．如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、在中，必有，添加此条件没有意义，不能使成为菱形； B、在中，添加，由邻边相等的平行四边形是菱形即可得到为菱形，符合题意； C、在中，添加，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形，不能使成为菱形； D、在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能使成为菱形． 27．如图，利用几个全等的直角三角尺（含角）拼摆成如下的四边形，其中不是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， 故四边形是平行四边形； 故A符合要求； 根据题意，得， 故四边形是菱形； 故B不符合要求； 根据题意，得，且， 故， 故， 故， 故四边形是菱形； 故C不符合要求； 根据题意，得， 故四边形是菱形； 故D不符合要求； 28．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 29．如图，平行四边形的对角线与相交于点，分别是和的中点，连接．若． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：平行四边形的对角线与相交于点， ，， ， ，， ，且， 即， 为直角三角形， ； (2)证明：四边形为平行四边形， ，， ， 分别是和的中点， ， ， 四边形是菱形． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 30．如图：平行四边形，对角线、相交于点，将沿着折叠，使点落在平面上的处，与相交于，连接并延长，与相交于． (1)求证：； (2)连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形是菱形，理由见详解 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴，， 又∵（对顶角相等）， ∴． （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）中全等可得：， ∵四边形是平行四边形，对角线交于， ∴，， ∴，， 在和中： ​， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 题型七 菱形的判定与性质的综合 31．如图在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称，过点D作的垂线交延长线于点E．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵ 点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， ， 则， 在中，， 在中，， 则， 在中，． 32．如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④若平分，则． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】 【详解】解：设交于点 由作图知，垂直平分 在矩形中， 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 ∴③错误 平分 ∴④正确． 故答案为：①②④． 33．如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 【答案】 【详解】解：由作图过程可知，，为的平分线， ∴，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ． 34．如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足______时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】 【详解】（1）证明∶∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， 在与中． ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图， ∵四边形是菱形 ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当菱形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 35．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，的周长为18， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 36．如图，中，平分交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作， ∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 题型八 正方形的性质 37．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．如图，四边形和四边形都是正方形，且点在线段上，连接，过点作，垂足为．若，，则的长度为________． 【答案】 【详解】解：已知四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ， , 三点共线， 设，则，， 在中，， ， 解得或（舍去）， ， ， ． 39．如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ． 在和中，， ， ． ， ． 40．如图，正方形的边长为3，为上一点，沿折叠，使点落在点处，延长交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：连接，设，则， ， ，，， ， 由折叠可知， ， 在中，， 在中，， ， 解得或（舍去）， ． 41．如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：， 是等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）解：设， ， ， ， 平分， ， ． 题型九 正方形的判定 42．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 所以添加条件：，则四边形是正方形． 43．如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点分别作交于点，交于点． (1)求证：； (2)连接．当与满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)时，四边形是正方形，理由见解析． 【分析】 【详解】（1）解：证明：平分， ， ，， ， ； （2）解：时，四边形是正方形， 理由：，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形． 44．如图，在中，的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． (2)证明：过点D作于点H，如图所示： ∵分别平分，且，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 45．如图，四边形中， ，点O是、的交点，且点O为的中点． (1)求证； (2)若E为的中点，F为的中点，当，时，四边形是否为正方形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：， ； 点O为的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ； （2）解：四边形是正方形； 由（1）可知：，， ∵E为的中点，F为的中点， ∴， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形是菱形； ，， ， ， 是等腰直角三角形； ， ， 四边形是正方形． 46．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的形状是正方形，理由见解析 【分析】 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 题型十 正方形的判定与性质的综合 47．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 48．如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：如图，过点E作于点M，则， ∵正方形中，，， ∴，，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 49．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，于点．若，则的长为__________． 【答案】或 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点， ，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是边长为的正方形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得或，则或， ∴的长为或． 50．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】// 【分析】 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 51．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； 若点为的中点，则， ∵，， ∴，， ∴和为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由①可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故②正确； 若，则， ∵， ∴，故③错误； 若四边形为正方形，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④． 52．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②128 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； （2）①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形为正方形 ②解：如图 由①得四边形为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 题型十一 梯形的性质 53．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补， ∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补， ∵与角互补的角为， 与角互补的角为， ∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形． 54．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：当时，点D可以位于，，的位置， 当时，点D可以位于，的位置， 所以D点共有5种不同的选法． 55．如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 56．已知：如图，正方形中，对角线交于点O，E、F分别为中点．求证： (1)； (2)四边形为等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵E、F分别为中点， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵E、F分别为中点， ∴， ，， ， ∴， ∴四边形是梯形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为等腰梯形． 57．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 题型十二 梯形的判定 58．如图，梯形中，，，，则为______． 【答案】1.8 【详解】解：梯形中， ， ∴， ∴， ， 同理， ∴． 59．已知如图在等腰梯形中，，，，若，则等腰梯形的周长为________． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，作交于点， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 梯形的周长为． 60．如图，在梯形中，，，与相交于点O，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， 过点D作于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 61．如图，在梯形中，，． (1)尺规作图：在线段上截取．连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图，就是所求作的图形； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 62．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． (1)在这个变化中，自变量是 ； (2)当点运动的路程时，的面积为 ； (3)求的长和梯形的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】 【详解】（1）解：∵点运动的路程为，的面积为， ∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数， ∴自变量为， 故答案为：； （2）解：根据图象可知，点运动的路程时，的面积为， 故答案为：； （3）解：根据图象可得：，此时为， ∴，即，解得：， 由图象可得：， 则． 题型十三 菱形的判定与性质的综合 63．为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块四边形的劳动教育基地，如图，量得，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是梯形，理由见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴． 同理可求：， ∴， ∴， ∵， ∴与不平行， ∴四边形只有一组对边平行， ∴四边形是梯形； （2）解：如图，作于点E，作于点F． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 64．如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间__秒时，四边形是直角梯形． 【答案】7 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于， ， ， ， ， ，运动的速度都为每秒，，， ，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：7． 65．如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 66．如图，在梯形中，，点E在边上，，的延长线与的延长线相交于点F． (1)求证：； (2)当点E为中点时，求的长； (3)设，试用x的代数式表示y． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）证明：过作，垂足为， ∵， ． ， ， ， ， ， ； （2）解：为中点， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查梯形为背景下的三角形全等的判定及性质应用，同时运用勾股定理解决函数问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 67．如图，在直角梯形中，，，，，，P、Q同时从A、C出发，点P以的速度沿运动，点Q从C开始沿边以的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．    (1)t为何值时，四边形是矩形； (2)t为何值时，四边形是等腰梯形； (3)是否存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴，， ∵， ∴当时，四边形是矩形， 即，解得，． （2）∵， ∴当时，四边形是等腰梯形， 过Q、C分别作，，垂足分别为E、F．    则：，四边形为矩形， ∴， ， ∴，解得，． （3）梯形的周长和面积分别为： 周长，面积， 若当线段平分梯形周长时，则， 即，解得， 此时，梯形的面积为． 不存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题，主要考查了矩形的判定和性质，等腰梯形的性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 题型十二 求重叠面积 68．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为：． 69．如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 【答案】/ 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为， 面积为8的小正方形边长为，面积为2的小正方形边长为， ． 55．如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为_______． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，作于点E，于点F， ， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起， ， ， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ∴四边形的周长， 故答案为：． 70．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在E处，若，，则： (1)试判断折叠后重叠部分三角形ACF的形状，并证明； (2)求重叠部分三角形ACF的面积． 【答案】(1)△AFC是等腰三角形 (2) 【分析】 【详解】（1）解：△AFC是等腰三角形．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， 由图形折叠的性质可知：∠ACB=∠ACE， ∴∠DAC=∠ACE． ∴△AFC是等腰三角形； （2）设AF=CF=x，则FD=9-x， 在Rt△CDF中， （9-x）2+32=x2， 解得：x=5， ∴AF=5， ∴S△AFC=AF×CD=×5×3=． 故重叠部分面积为． 【点睛】此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出AF的长是解答此题的关键． 71．（1）如图①，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分的形状是__________； （2）如图②，一张矩形纸条沿折叠后，展开重叠部分（阴影部分），则四边形是一个菱形吗？请说明理由． （3）如图③，矩形的宽，若，沿折叠后，重叠部分展开（阴影部分）后得到菱形，则菱形的面积为__________． 【答案】（1）正确（2）正确，理由见解析（3）20 【分析】 【详解】解：（1）四边形是一个菱形． 证明：如图①，过作，，垂足分别为，， ∴， 由两个纸条是矩形可得，．， 四边形是平行四边形， ， ∵两张矩形纸条宽度相同， ， 在和中， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）四边形是一个菱形． 证明：由四边形是矩形可得， 由轴对称的性质可知，， ∵， ， ， ， ∴ 平行四边形为菱形； （3）如图③，∵，， ， 由②得四边形为菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ， 菱形的面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查的是图形的翻折变换、矩形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知图形翻折变换的性质及菱形的判定与性质是解答此题的关键． 题型十三 特殊平行四边形的动点问题 72．如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点B出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为______． 【答案】或 【分析】 【详解】解：∵正方形的边长为，为的中点， ∴， 设点和点的运动时间为秒， 根据题意可知， 当时，点在线段上，点在线段上； ，， 当时，点运动到点，点运动到点； 当时，点在线段上，点在线段上； ， ， 当时，点运动到点，、两点同时停止运动， ∵， ∴，或 解得，，， 当时，， 当时，， 故答案为：或 ． 73．如图，在平面直角坐标系中，，，，，且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点分别从点同时出发，当点运动到点时停止运动，点随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求两点的坐标； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时两点的坐标． (3)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为； (3)当或 时, 是以为腰的等腰三角形； 【分析】 【详解】（1）解：， ，， ∴， ∵,，， ∴， ∴； （2）解：如图： 由题意得: ， 则:，， ∵， ∴当时, 四边形是平行四边形， ∴， 解得: ， 故当时，四边形是平行四边形， 此时，点的坐标为，点的坐标为； （3）∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， ①当时，如图， 过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴中： ， ∵， ，即 ， 解得：， ②当时，过作轴于， ∴， 由题意得:， 则， 解得：， ， 综上所述，当或 时， 是以为腰的等腰三角形. 74．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当时，四边形是矩形，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：， （2）解：存在， 在四边形中：，， 当时，四边形是矩形， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）解：不存在， 如图，过点D作，垂足为E， 则四边形为矩形， ，， 由题意得： ，， ，，， ， 当时，，， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 四边形不可能为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法及性质、勾股定理等知识，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 75．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动时间为，过点D作于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①当 时，四边形为菱形； ②当 时，四边形为矩形． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①；② 【分析】 【详解】（1）由题意可得：，， ，， ， ， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2），， ， ，， 四边形为平行四边形， 要使平行四边形为菱形，则需，即， 解得：， 当时，四边形是菱形； 故答案是：． 要使四边形为矩形，则， ， ， ， ， ，即， 解得：； 即当时，四边形为矩形； 故答案是：． 76．已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，点N为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的t值与点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】 【详解】（1）解：∵点，点，四边形为矩形， ∴，，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴， ∴点E的坐标为； （2）解：①如图，当点P在点E右侧时， 根据题意知，， ∴， ∴； ②如图，当点P在点E左侧时， 根据题意知，， ∴， ∴， 综上所述，； （3）解：若四边形PQMN是正方形时，则点P、M、Q三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论： ①如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中矩形的性质、勾股定理的应用、动点问题的面积表示（分类讨论）、正方形的性质与全等三角形的判定及性质；需要注意动点面积问题易忽略点P在E点左右两侧的分类讨论，正方形存在性问题易漏解Q点在线段上和射线延长线上的情况，且易在全等三角形对应边转化时出错。 77．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系中，点P在边上从O向A运动，连接交对角线于点Q，连接． (1)求证：； (2)当点Q的坐标为时，求点P的坐标； (3)若点P在边上从点O运动到点A后，再继续在边上从A运动到点B，在整个运动过程中，若恰为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， （2）解：∵点Q的坐标为，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得，解得：， ∴点的坐标为； （3）解：分为三种情况： ①时，如图1， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴P点的坐标是； ②时，如图2， ∵， ∵， ∴点Q是的中点， ∴点P与点A重合， ∴P点的坐标是； ③时， ∴． ∴， ∴点P和点B重合， ∴P点的坐标是． 即满足条件的点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，一次函数，解本题的关键是熟练掌握相关性质与判定． 题型十四 四边形的最值问题 78．如图，和是菱形外的两个等边三角形，连接则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：作于M，作于点N，连接， ∵， ∴当点E，M，N，F共线时，取得最大值，即此时的值最大． 设菱形的边长为2， ∵和是菱形外的两个等边三角形， ∴，，， ∵， ∴，， 同理可求：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最大值为∶ ． 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，以及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 79．如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点在对角线上，，．下列结论错误的是（    ） A．若，则m的最小值为4 B．若m的最小值为4，则 C．若，则m的最小值为5 D．若m的最小值为5，则 【答案】D 【分析】 【详解】如图，根据正方形的对称性，在上取点E关于的对称点G，连接交于点P， 则， ∴，为m的最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴A正确； 当时，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B正确； 当时，， ∴C正确； 当时，， ∴， ∴， ∴,或， ∴D不正确． 故选：D． 80．如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为______． 【答案】 【详解】解：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，解得， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴当最小时，最大， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为， ∴的最大值为． 81．如图，在平行四边形中，点M是的中点，点P是线段上任意一点．若，，，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点A作于点H，过点M作交的延长线于点则四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ， ∵在中，，， ∴， ∴， 是的中点， ∴， ∴， 四边形是矩形， ∴，， ∴， 当点P与B重合时，的值最大，的最大值为： ． 故答案为：． 82．如图，已知线段，于点，于点，，，点为线段上的动点，以为边在直线右侧作等腰直角三角形，，连接，，则的最小值为_____，线段的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接、、，过作，交延长线于， ∵点与关于对称， ∴，，． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴． 在中， ， ∵， ∴的最小值为． 过作于，过作于． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴(AAS)． ∴， ∴即点在过点且垂直于的直线上， 当时，取最小值． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握轴对称求最短路径和确定动点轨迹的方法是解题的关键． 83．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积； (3)当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， 过点作于点， 由（1）知是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：存在， 由（1）知是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值，此时的面积最小， 同理（2）得此时， ∴． $