专题04 全等三角形的常考经典模型专训8大题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题04 全等三角形的常考经典模型专训 题型1 平移模型 题型2 轴对称模型 题型3 旋转模型 题型4 一线三等角模型 题型5 垂直模型 题型6 手拉手模型 题型7 半角模型 题型8 角平分线模型 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平移模型（共5小题） 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 1．如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． (1)求证：且； (2)试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 2．一、知识回顾 （1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分． （2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等． 二、知识应用 如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．    （1）若，求的度数． （2）若点为的中点，的面积为8． ①求证：点是的中点． ②求的面积． 三、知识拓展 （3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积． 3．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________． 4．如图，在中，，，点E在边上，点D在的延长线上，将沿射线方向平移得到，使点E对应点落在边上，与边交于点F． (1)若，求的大小； (2)求证：． 5．（1）如图（1），点A，E，F，C在同一条直线上，，过点E，F分别作，，若，连接交于点G，试问与相等吗？请说明理由． （2）将图（1）中的沿方向平移得到图（2），其余条件不变，则上述结论是否仍然成立？请说明理由．    题型二 轴对称模型（共5小题） 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 6．如图，已知与是对应角，与是对应边，，那么的长是（   ） A． B． C． D．不能确定 7．如图，已知，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，，和是对应边，则 度． 9．已知：在如图所示的“风筝”图案中，．求证：． 10．如图，点E在线段上，点C在线段上，，点B，C的对应点分别为D，E，若，求的度数． 题型三 旋转模型（共5小题） 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 11．在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 12．如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 13．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 14．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 15．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝ ． 题型四 一线三等角模型（共5小题） 【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE． 【常见模型】 16．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 17．在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 18．【发现推理】如图（1），在中，，，直线l过点C，点A、B在直线l的同侧，，，垂足分别为D，E，求证：． 【类比探究】如图（2），在中，，，将斜边AB绕点A顺时针旋转至，也就是说，连接，求的面积（温情提示三角形面积公式是×底×高）． 19．如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 20．如图，已知在中，，点P为边上一动点（），分别过点B，C作于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型五 垂直模型（共5小题） 【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直． 【常见模型】 21．(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：； (2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 22．已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 23．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 24．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 题型六 手拉手模型（共5小题） 【模型分析】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等． 【模型图示】 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得． 【常见模型】 （等腰） （等边） （等腰直角） 26．如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 27．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 28．如图，已知和均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接，交和分别于G、H点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明． 29．如图，、均为等边三角形，连接、交于点O，与交于于点P． (1)求证：． (2)求的度数． 30．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． 填空：的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．    题型七 半角模型（共5小题） 【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型． 【常见模型】 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论． 31．阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 32．（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关 系，并说明理由． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，再证明，进而可 得线段，，之间的数量关系．请根据小明的思路，完成解题过程． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立? 若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图3，四边形是边长为的正方形，点，分别是，上的点，且，请直接写出的周长． 33．（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      34．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 35．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 题型八 角平分线模型（共5小题） 36．如图，是的角平分线上一点，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点．使，请说明：． 37．在中，是的角平分线，过点作，垂足为，连接． (1)【特例初探】如图①，当点与点重合时，若，则_________； (2)【类比归纳】如图②，当点在线段上时，的延长线交于点，请直接写出与的关系； (3)【拓展延伸】如图③，当点在线段BD延长线上时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 38．如图1，在中，平分，于E，于F，，，     (1)求证：． (2)若的面积为9，求的面积． (3)爱动脑筋的小明同学，发现一个有趣的结论：三角形内角平分线分对边成两线段，两线段之比等于相应邻边的比（三角形角平分线定理），即． 小明的证明如下：请填空补全证明过程 如图2，过点A作于点G， 由（1）得：，    ∴， ∵ ，又 ． ∴． 39．如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，则______． 40．如图，在中，，、是的角平分线，与相交于点，交的延长线于，交于．    (1)求证：； (2)求证：． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题04 全等三角形的常考经典模型专训 题型1 平移模型 题型2 轴对称模型 题型3 旋转模型 题型4 一线三等角模型 题型5 垂直模型 题型6 手拉手模型 题型7 半角模型 题型8 角平分线模型 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平移模型（共5小题） 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线． 【常见模型】 1．如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． (1)求证：且； (2)试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明,根据全等的性质即可得到结论； （2）根据平移的距离即为的长即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知，， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且； （2）解：∵ ∴当点与点重合，点与点之间的距离最小， 沿射线方向平移的距离等于． 2．一、知识回顾 （1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分． （2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等． 二、知识应用 如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．    （1）若，求的度数． （2）若点为的中点，的面积为8． ①求证：点是的中点． ②求的面积． 三、知识拓展 （3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积． 【答案】（1）；（2）①见解析；②2；（3）28 【分析】（1）根据平移的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）①由平移可知，根据题意可证，可得，由此即可求证；②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解； （3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解． 【详解】解：（1）由平移可得，，， ； （2）①证明：连结，由平移可知，，   ， ，， ， ， ，即点是中点； ②连结，   是中点， ， 是中点， ， ； （3）连结，    ∵为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查图形平移的性质，三角形中线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握图形平移的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 3．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平移，熟练掌握三角形的判定是解题的关键． (1)根据得到即证明即可． (2)根据得到,证明即可． (3)根据得到，结合是边的中点，得到，平移距离，计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又，， , ∴． （2）∵， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴平移距离， 故答案为：3． 4．如图，在中，，，点E在边上，点D在的延长线上，将沿射线方向平移得到，使点E对应点落在边上，与边交于点F． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的性质，平移的性质，三角形内角和定理． （1）根据，得到，再根据平移的性质得到，即可解答； （2）根据平移的性质及全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 由平移，得， ∴； （2）证明：由平移，得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（1）如图（1），点A，E，F，C在同一条直线上，，过点E，F分别作，，若，连接交于点G，试问与相等吗？请说明理由． （2）将图（1）中的沿方向平移得到图（2），其余条件不变，则上述结论是否仍然成立？请说明理由．    【答案】（1）与相等，理由见解析 （2）结论仍然成立，理由见解析 【分析】由垂直定义可得，然后证明，可得，然后利用证明，得到结论； 由垂直定义可得，然后证明，可得，然后利用证明，得到结论． 【详解】解：（1）与相等．理由如下： ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型二 轴对称模型（共5小题） 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等． 【常见模型】 6．如图，已知与是对应角，与是对应边，，那么的长是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟悉掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 7．如图，已知，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，等角的补角相等，由等角的补角相等得，然后证明，则，根据三角形内角和定理求出，最后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．如图，，和是对应边，则 度． 【答案】100 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等可知对应角相等得出，进而利用三角形内角和是得出，利用对顶角相等解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：100． 9．已知：在如图所示的“风筝”图案中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定定理，即可得到答案． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 10．如图，点E在线段上，点C在线段上，，点B，C的对应点分别为D，E，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型三 旋转模型（共5小题） 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件． 【常见模型】 11．在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）①由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得；②因为，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②由①知， ∴，， ∴； （2）解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 12．如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3） 【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可； （2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可； （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA 【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD ∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD， ∵AB=AC，AE=AD 在△AEC和△ADB中 ∴ △AEC≌△ADB（SAS） （2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下： 将直线CE与AB的交点记为点O， 由（1）可知△AEC≌△ADB， ∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD， ∵∠BOF=∠AOC，∠=90°， ∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°， ∴ CE⊥BD． （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB， ∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD ∴AM=AN ∴AF平分∠DFC 由（2）可知∠BFC=∠BAC= ∴∠DFC=180°- ∴∠CFA=∠DFC= 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键； 13．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 14．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 15．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝ ． 【答案】3 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一线三等角”证得∠D＝∠CAF，从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM＝AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF＝EN＝2，再由AB＝5，可得AF，即DM的值． 【详解】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示： ∵旋转， ∴AD＝AC，BE＝BC， ∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F， ∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°， ∴∠D+∠DAM＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠CAF+∠DAM＝90°， ∴∠D＝∠CAF， ∴在△DAM和△ACF中， ∴△DAM≌△ACF（AAS）， ∴DM＝AF． 同理可证，△BFC≌△ENB（AAS）， ∴BF＝EN＝2， ∵AB＝5， ∴AF＝3， ∴DM＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型四 一线三等角模型（共5小题） 【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE． 【常见模型】 16．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)90° (2)见解析 (3)CD= BE + DE，证明见解析 【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°； （2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE． （3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE． 【详解】（1）∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． （2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   ∵  ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB   ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． （3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°              ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB             ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 17．在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3） 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 18．【发现推理】如图（1），在中，，，直线l过点C，点A、B在直线l的同侧，，，垂足分别为D，E，求证：． 【类比探究】如图（2），在中，，，将斜边AB绕点A顺时针旋转至，也就是说，连接，求的面积（温情提示三角形面积公式是×底×高）． 【答案】[发现推理]见解析；[类比探究]8 【分析】[发现推理]利用AAS即可证明； [类比探究]过点B′作AC的垂线，垂足为D，利用AAS证明△ACB≌△B′DA，得到AC=B′D=4，再利用三角形的面积公式计算． 【详解】解：[发现推理] ∵∠ACB=90°， ∴∠ACE+∠BCD=90°， ∵∠AEC=90°， ∴∠EAC+∠ACE=90°， ∴∠EAC=∠BCD，又AC=BC，∠AEC=∠CDB=90°， ∴△AEC≌△CDB（AAS）； [类比探究] 如图，过点B′作AC的垂线，垂足为D， 由旋转可知AB=AB′， ∵∠BAB′=90°， ∴∠BAC+∠B′AC=90°， ∵∠ADB′=90°，则∠B′AC+∠DB′A=90， ∴∠BAC=∠DB′A，又AB=AB′，∠ACB=∠B′DA=90°， ∴△ACB≌△B′DA（AAS）， ∴AC=B′D=4， ∴△AB′C的面积==8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 19．如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 根据同角的余角相等可得，根据可证≌，可得，即可求的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 20．如图，已知在中，，点P为边上一动点（），分别过点B，C作于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得到，进而得到，根据证明即可； （2）根据全等的性质得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴． 题型五 垂直模型（共5小题） 【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直． 【常见模型】 21．(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：； (2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】（1）证明即可根据三角形全等的性质得到结论； （2）证明即可根据三角形全等的性质得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ． ． 又 ， ． （2）解：．理由如下： ， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用同角的余角相等证明角相等是解题关键． 22．已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质得， ， 由旋转的性质得， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， 是的中点． 23．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 24．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 题型六 手拉手模型（共5小题） 【模型分析】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等． 【模型图示】 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得． 【常见模型】 （等腰） （等边） （等腰直角） 26．如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）根据证明即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，交于点O，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)没有发生变化 (3)①，②能， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）延长交于点F，证明，得到，，推出，即可得出结论； （2）证明，得到，，推出，即可得出结论； （3）同法，证明，得到，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：，． 理由：延长交于点F，如图 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． （2）由题意得， ． ． 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②． ②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ． ． 在和中， ． ． ． 即与所成的较小的角的度数为． 28．如图，已知和均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接，交和分别于G、H点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定． （1）首先由和均为等边三角形，得到，，，然后证明，根据全等三角形的性质即可证出； （2）由（1）证得的，得出，，又由，即可证得； （3）由得到，结合，即可得出是等边三角形． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， 又∵， ∴； （3）是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 29．如图，、均为等边三角形，连接、交于点O，与交于于点P． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用“边角边”即可证明全等． （2）利用（1）中全等三角形的性质可得：，再根据“八字型”证明即可． 【详解】（1）∵和都是等边三角形， ∴， ， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形是解决本题的关键． 30．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． 填空：的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）度，相等；（3） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）由题意得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，进而判断出的度数为即可． （3）由题意得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出BE＝AD，，进而判断出的度数为即可；最后根据，可得，所以，据此判断出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵ ∴ ∴． （2）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：度，相等． （3）解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型七 半角模型（共5小题） 【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型． 【常见模型】 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论． 31．阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点G，使，连接． 则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键. （1）根据三角形的全等可得出线段、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）旋转至位置，证明，得到，即可解答. 【详解】（1）解：， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点，使，连结，如图， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形中，，， ∴四边形是正方形， 如图，旋转至位置， ， ， 在和中， ， ， ， ． 32．（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关 系，并说明理由． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，再证明，进而可 得线段，，之间的数量关系．请根据小明的思路，完成解题过程． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立? 若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图3，四边形是边长为的正方形，点，分别是，上的点，且，请直接写出的周长． 【答案】（1），理由见解析；（2）的结论成立，证明见解析；（3）的周长为 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （1）延长线段到点，使，连接，证明，可得，，再证，可得，即可解题； （2）延长到，使，连接，即可证明，可得，，再证明，可得，即可解题； （3）延长到，使，连接，证明，可得，，可证明，可得，可得，即可求解． 【详解】解∶（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 的周长． 33．（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． 34．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质；根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 35．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 题型八 角平分线模型（共5小题） 36．如图，是的角平分线上一点，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点．使，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． 结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明，结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图 是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； ， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 37．在中，是的角平分线，过点作，垂足为，连接． (1)【特例初探】如图①，当点与点重合时，若，则_________； (2)【类比归纳】如图②，当点在线段上时，的延长线交于点，请直接写出与的关系； (3)【拓展延伸】如图③，当点在线段BD延长线上时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)成立，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，得到，即可解答； （2）证出，得到，，从而得到，再利用面积的等量关系列式即可． （3）证出，得到，，从而得到，再利用面积的等量关系列式即可． 【详解】（1）∵是的角平分线， ∴， ∵, ∴ 在和中： ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵, ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）成立，理由如下： 延长、交于点，如图所示： 由（2）同理可证：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．如图1，在中，平分，于E，于F，，，     (1)求证：． (2)若的面积为9，求的面积． (3)爱动脑筋的小明同学，发现一个有趣的结论：三角形内角平分线分对边成两线段，两线段之比等于相应邻边的比（三角形角平分线定理），即． 小明的证明如下：请填空补全证明过程 如图2，过点A作于点G， 由（1）得：，    ∴， ∵ ，又 ． ∴． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的面积； （1）证明，，再证明即可； （2） 由，可得，由（1）知：，可得，再利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）直接利用，结合同高的两个三角形的面积公式填空即可． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴，      ∵ ，， ∴，      在和中， ，   ∴； （2）解：∵，， ∴，       ∴，         由（1）知：， ∴，   ∴． （3）解：如图2，过点A作于点G， 由（1）得：，    ∴， ∵ ，又 ， ∴． 39．如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，则______． 【答案】(1)证明详见解析； (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质； （1）证明即可得证； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 又， ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 40．如图，在中，，、是的角平分线，与相交于点，交的延长线于，交于．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据直角三角形的两个锐角互余及角平分线的定义证，进而得，再证，据此可依据“”判定和全等，根据全等三角形的性质可得出结论； （2）延长交与，先证和全等得，再证和全等得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 、是的角平分线， ，， ， ， ，则， ， ， 在和中， ，，， ， ． （2）解：延长交与，如图：   是的角平分线， ， ，则， 在和中， ，，， ， ， 由（1）可知：， ，， ， 是的角平分线， ， 在和中， ，，， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的对应边相等、对应角相等是解答此题的关键． $