6.2.1二元一次方程组的解法 课件 2025-2026学年冀教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的代入消元法，以《孙子算经》“鸡兔同笼”问题导入，通过对比一元一次方程与二元一次方程组的解法，引导学生发现“消元”核心思想，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于用古代数学问题激发兴趣，培养数学眼光，通过问题链引导学生推理消元原理发展数学思维，结合例题、练习及“绳索量竿”拓展题强化模型意识。教学环节完整，助学生理解化归思想，教师可直接用于课堂提升效率。

6.2.1 二元一次方程组的解法 第6章 6.2二元一次方程组 图片替换区 1.使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程. 2.会用代入消元法解二元一次方程组，并能根据二元一次方程组的特点，选用适当的代入消元方式，体会消元思想在解方程中的应用. 3.通过代入消元法，使学生初步理解解二元一次方程组中把“未知”化为“已知”的化归思想方法. 新课导入 中国古代重要的数学著作《孙子算经》，成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。其中有很多经典的数学问题，如：“鸡兔同笼”问题，原文是这样： “鸡兔同笼”问题: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何? 聪明的你能解决这个问题吗？ 新课导入 ①“上有三十五头”的意思是什么? ②“下有九十四足”的意思是什么? ①鸡头+兔头=35 ②鸡足+兔足=94 分析清楚里面的等量关系，可以用方程来解决这个问题，那怎么解决呢？ 规则： 1.以小组形式汇报展示 +2分； 2.正确回答 +2分； 3.补充质疑 +2分 设鸡有x只，兔子有35-x只. 根据题意列方程，得2x+4(35-x)=94.* 解这个一元一次方程，得x=23. 从而，得35-23=12. 即鸡有23只，兔子有12只. 列一元一次方程组 列二元一次方程组 观察以下内容回答问题： 设鸡有x只，兔子有35-x只. 根据题意列方程，得2x+4(35-x)=94.* 解这个一元一次方程，得x=23. 从而，得35-23=12. 即鸡有23只，兔子有12只. 列一元一次方程组 列二元一次方程组 变形 y=35-x ③ 代入 新知讲授 例1：解方程组 解：方程①可变形为 x=10-y ③ 变形 代入 将③代入②，得 10-y-2y=4 求解 解这个方程，得 y=2 回代 将 y=2 代入③，得 x=8 得解 所以，原方程组的解为 将二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程；通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法。 求二元一次方程组的解的过程，叫作解二元一次方程组。 【注意】 （1）若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程，则选择系数为1（或-1）的方程变形比较简单；若不为1（或-1），则选系数的绝对值较小的方程进行变形； （2）变形后的方程代入另一个方程，不能代入原方程，否则会得到“0=0”。 【做一做】在例1中，你能先消去y，得到关于x的一元一次方程吗？ 解：方程①可变形为 y=10-x ③ 变形 代入 将③代入②，得 x-2(10-x)=4 求解 解这个方程，得 x=8 回代 将 x=8 代入③，得 y=2 得解 所以，原方程组的解为 新课讲授 解法1：利用一元一次方程求解： 解：设鸡有x只，则兔有_________只.根据题意列方程，得 (35-x) 解这个一元一次方程，得 x=23. 从而，得 35-23=12. 即鸡有23只，兔子有12只. 解法2：利用二元一次方程组求解： 解：设鸡有x只，兔子有y只.依题意，可列方程组 ① ② 由①，得 y=35-x. ③ 将 ③代入②中，得 2x+4(35-x)=94. ④ 2x+4(35-x)=94. ＊ 新课讲授 再解方程 2x+4(35-x)=94. ④ 即可得出结论. 认真思考下列问题，并与你的同伴进行讨论. （1）由方程组 是怎样得出方程 ④的？ （2）请说明方程④和方程＊完全相同的理由. （3）由④解出x的值后，怎样求出y相应的值？ （4）从中你能体会到怎样解二元一次方程组吗？ 新课讲授 解：（1）先将x+y=35变形得到y=35-x，再将y=35-x代入2x+4y=94即可得到2x+4(35-x)=94； （2）方程④与方程＊中未知数x所表示的含义都是鸡的只数，所以两个方程完全一样； （3）由④解出x的值后，再将x的值代入③中即可求得y的值； （4）可以将二元一次方程组中的一个方程中的未知数去表示另一个未知数，再将其代入方程组中的另一个方程，将二元一次方程组先化为一元一次方程解得一个未知数的值，再将解得未知数的值代入方程组，即可解得另一个未知数的值，从而求得二元一次方程组的解. 设鸡有x只，兔子有35-x只. 根据题意列方程，得2x+4(35-x)=94.* 解这个一元一次方程，得x=23. 从而，得35-23=12. 即鸡有23只，兔子有12只. 列一元一次方程组 列二元一次方程组 (2)为什么方程④和方程*完全相同？请说明理由. 方程④和方程*中未知数表示的意义相同，等量关系也相同. 设鸡有x只，兔子有35-x只. 根据题意列方程，得2x+4(35-x)=94.* 解这个一元一次方程，得x=23. 从而，得35-23=12. 即鸡有23只，兔子有12只. 列一元一次方程组 列二元一次方程组 (3) 由④解出x的值以后，怎样求出y的相应的值？ 解出x的值后代入③可求出y的值. 从中你能体会到怎样解二元一次方程组吗？ 课堂练习 课堂小结 1、代入消元法的概念： 2、代入消元法的一般步骤： （1）变形；（2）代入；（3）求解；（4）回代；（5）得解。 【注意】（1）若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程，则选择系数为1（或-1）的方程变形比较简单；若不为1（或-1），则选系数的绝对值较小的方程进行变形； （2）变形后的方程代入另一个方程，不能代入原方程，否则会得到“0=0”。 新课讲授 例1 解方程组 ① ② 解：方程②可变形为 x=4+2y. ③ 将③代入①中，得 4+2y+y=10. 解这个方程，得 y=2. 将y=2代入①中，得 x=8. 所以原方程组的解为 你还有其它的解法吗？ 新课讲授 解：方程①可变形为 y=10-x. ③ 将③代入②中，得 x-2(10-x)=4. 解这个方程，得 x=8. 将x=8代入③中，得 y=2. 所以原方程组的解为 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，从而求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 总结 总结 第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来. 第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程. 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 第四步：回代求出另一个未知数的值，把方程组的解表示出来. 第五步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立. 代入法解二元一次方程组的步骤： 变 代 求 解 拓展练习 1、在解方程组 时，若用代入法解，最好对 进行变形，用含 的代数式表示得 。 2、方程组 用代入法消去y后所得的方程是（ ） x y=3x-1 A. 3x-4x-10=8 B. 3x-4x+5=8 C. 3x-4x-5=8 D. 3x-4x+10=8 D 3. 若关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+3y=6的一组解，则k值为 。 新课讲授 像这样，将方程组中的一个方程中的某个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程；通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法，叫作代入消元法，简称代入法. 提分笔记 例题分析 例2 用代入法解方程组 ① ② 将 ③代入①中，得 2x+3(5-3x)=9. 解这个一元一次方程，得 . 将 代入③中，得 . 所以，原方程组的解为 解：方程②可变形为y=5-3x.③ 我国古代数学著作《増制算法统宗》记载“绳索量竿”问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”。其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺。绳索和竿子的长度各多少尺？ 做一做 模仿上题的过程，尝试列二元一次方程组解决问题，并用代入法解二元一次方程组. 规则：1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分 我国古代数学著作《増制算法统宗》记载“绳索量竿”问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”。其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺。绳索和竿子的长度各多少尺？ 做一做 解：设绳索长x尺，竿长y尺， 由①，得y=x-5③， 4. 【整体代入法】阅读材料，然后解方程组。 解方程组： 解：由①得，x-y=1, ③ 将③代入②，得 4×1-y=5, 即y=-1，进一步得方程组的解为 ，这种解方程组的方法叫做“整体代入法”。 请用整体代入法解下面的方程组： 学后总结 代入法解二元一次方程组的步骤 3. 回代求解：将求得的未知数的值代入变形的方程中，求出另一个未知数的值； 2. 代入求解：将变形后的方程代入另一个方程中，消元后求一个出未知数的值； 1. 变形：选择其中一个方程，用含有一个未知数的代数式去表示出另一个未知数； 4. 写解：最后用 的形式写出原方程组的解. 模板来自于： 第一PPT https:/// 课堂小结 解二元一次方程组 基本思路“消元” 代入法解二元一次方程组的一般步骤 变：用含一个未知数的式子表示另一个未知数 代：用这个式子代替另一个方程中相应未知数 求：求出两个未知数的值 写：写出方程组的解 $