期末备考专项训练10——线线、线面、面面的垂直问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以教材原题为根基，系统提炼线面垂直四法、面面垂直两法，构建垂直关系证明逻辑链条，强化转化思想与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|8道教材原题（含正方体、正三棱柱等模型）|线面垂直判定四法、面面垂直证明两法，强调面面垂直转化线面垂直|线线垂直→线面垂直→面面垂直递进，以“线面垂直为桥梁”贯通垂直关系| |跟踪训练|16题（选择9+解答7）|垂直证明步骤规范（找线线垂直→证线面垂直→得面面垂直）|覆盖正方体、棱锥、圆等几何体，体现从基础模型到综合应用的拓展|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练10 测试范围：线线、线面、面面垂直问题 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.2节练习第2题P152】如图，四棱锥的底面是正方形，平面．求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】要证明平面，需证明垂直于平面内的两条相交直线； 【详解】因为四边形是正方形，所以，因为平面，平面， 所以,因为，且平面,所以平面。 【人教A版必修二第8.6.3节例7】如图所示，在正方体中，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】根据正方体性质，通过证明，,即可证明面面垂直. 【详解】证明：是正方体，平面，. 又,是平面内两条相交直线，平面，平面， ∴平面平面. 【点睛】此题考查面面垂直的证明，通过证明一个平面内的某条直线垂直于另一个平面证得. 【人教A版必修二第8.6.3节例8】如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】证明：因为平面,平面，所以. 又因为，,平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【人教A版必修二第8.6.3节练习第4题P158页】如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】根据定理先证明，得平面，即可得证面面垂直. 【详解】证明：∵在正三棱柱中，D为的中点，为正三角形，. 又在正三棱柱中，平面，平面，. ，平面，平面.平面. 平面，∴平面平面. 【点睛】此题考查面面垂直的证明，关键在于根据几何体特征，准确证明出线面垂直，即可证明面面垂直. 【人教A版必修二第8.6.3节例10】如图,已知平面，平面平面，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点A作，垂足为E，根据面面垂直的性质得平面，得出，根据平面得即可证明. 【详解】  证明：如图，过点A作，垂足为E. ∵平面平面，平面平面， 平面.平面，. 平面，平面，. 又，平面. 【点睛】此题考查面面垂直的性质应用，根据面面垂直得线面垂直，根据线面垂直得线线垂直，再证明线面垂直. 【人教A版必修二习题8.6第4题】如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）见解析；  （2）见解析；  （3）见解析. 【解析】（1）通过证明，，即可得证；（2）通过平行关系转化证明即可得证；（3）通过证明平面，证明. 【详解】证明：（1）如图，取AB的中点D，连接CD、DP，∵P为的中点，. 又∵Q为的中点，，.∴四边形CDPQ为平行四边形，.又，D为AB的中点，. （2）∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC. ，由（1）知.又，. （3）由（1）（2）知，，而. 平面.平面，. 【点睛】此题考查线线垂直和线面垂直的证明，以及两个垂直关系的综合应用，属于基础题目. 【人教A版必修二习题8.6第5题】如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】通过线面垂直证得，结合得平面POC，即可得证. 【详解】证明：底面ABC，底面ABC，.∵O在CD上,.又， 平面POC.平面POC，. 【点睛】此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直. 【人教A版必修二习题8.6第8题】求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直. 【答案】证明见解析 【分析】通过直角关系证明线面垂直再证明出面面垂直，即可得出结论. 【详解】已知：直线VA，VB，VC两两垂直，求证：平面VAB，平面VBC，平面VAC也两两垂直. 证明：如图所示， , 平面VBC.∵平面VC，∴平面平面VBC. 同理可得，平面平面VAB，平面平面VBC. 【点睛】此题考查线面垂直的证明，根据线线垂直关系证明线面垂直，通过线面垂直证得面面垂直. 【人教A版必修二习题8.6第20题】如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由. 【答案】直线DE与平面VBC垂直，理由见解析 【解析】先证明平面平面VBC，再根据面面垂直的性质证明AC与平面VBC垂直，即可得证. 【详解】直线DE与平面VBC垂直 理由：由VC垂直于所在平面，知，即是二面角A-VC-B的平面角. 由AB是的直径，知.因此，平面平面VBC.由两个平面垂直的性质定理， 平面平面VBC，交线为VC，，平面VAC，可知直线AC与平面VBC垂直， 由D，E分别是VA，VC的中点，知， 所以直线DE与平面VBC垂直. 【点睛】此题考查面面垂直的证明和根据面面垂直的性质证明线面垂直，其中涉及利用三角形中位线得平行关系. 【人教A版必修二习题8.6第21题】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】垂直，证明见解析 【分析】根据图形特征证明平面PBC，即可证明平面AEF与平面PBC互相垂直. 【详解】解：垂直，证明如下：   底面ABCD，平面ABCD，，又底面ABCD为正方形，， 而.平面PAB平面PAB，.，E为PB的中点， .而,平面PBC.平面AEP，∴平面平面PBC. 【点睛】此题考查面面垂直的证明，涉及动平面与一个平面垂直的证明，关键在于证明直线与平面垂直，涉及直线与平面垂直的判定和性质的综合应用. 【人教A版必修二复习参考题8第12题】如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】（1）如图所示，连接，则，平面，， 又，平面，平面，平面. 平面.，同理，，平面. （2）连接，由，得，因此点H为的外心，又为正三角形，∴点H也是的重心. 基础知识： 1、判定线面垂直的四种方法 2、证明面面垂直的两种方法 提醒：在已知两个平面垂直时，一般要在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 跟踪训练： 一、单选题 1．已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则，故A正确；对于B，若，，由线面垂直的性质可得，故B正确；对于C，若，，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于D，若，，可得或，故D错误. 2．【人教A版必修二复习参考题8第16题】已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（    ） A．， B．与相交，且交线平行于 C．， D．与相交，且交线垂直于 【答案】B 【分析】假设得到矛盾，确定与相交，设，过直线一点，作， 设与确定的平面为，根据，得到答案. 【详解】若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾，故与相交，A错误；设，过直线一点，作，设与确定的平面为. 因为，所以，又，与相交，，所以，因为，所以，又，所以，因为，所以，，又与相交，，所以，又因为，，所以l与a不重合，所以，B正确，D错误；因为，，，所以，C错误.故选：B. 3．如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A求证平面；B求证平面；C利用反证法判断；D根据平面求证. 【详解】因为平面，平面，所以，，，故D正确；因为为正方形，所以，因为平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确；因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，故B正确；假设， 则由平面，得平面，因为平面，所以，显然不成立，故假设不成立，故C错误. 4．如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】D 【分析】连接，，根据线面平行的判定定理判断A，利用三角形的中位线和平行关系判断B，根据线面垂直的判断定理和性质定理判断C，根据面面垂直的性质定理判断D. 【详解】连接，， 因为分别是和的中点，所以且，又因为垂直于平面，所以平面，B正确；因为平面，所以，又因为是正三角形，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，C正确；因为，垂直于平面，所以且，所以四边形是平行四边形，，又因为平面，平面，所以平面，A正确；由和为中点可知，假设平面平面，又平面，平面平面，则平面，因为平面，所以，又因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，与是正三角形矛盾，所以平面与平面不垂直，D错误；故选：D. 5．在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】先证明平面，判断C；进而根据线面垂直性质判断A；取中点，连接，证明平面并求解的长度判断B；根据二面角的平面角的大小判断D. 【详解】在平面内取一点，作，，垂足分别为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以 同理：平面， 因为平面所以平面，故C选项正确；又平面，所以，故A选项正确；对于B，取中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离为的长度，因为，所以，故B选项正确；对于D，因为平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角，因为，，所以， 所以平面平面不成立，故错误. 6．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】对于A，依题意有平面，平面，所以平面平面，A选项正确； 对于B，平面，平面，则有，是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，则有，，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，平面，平面，，又于，，平面，所以平面，平面，则，又于，平面，，所以平面，C选项正确；对于D，平面平面，平面，于，若平面平面，则必有平面，而平面，则必有， 因为平面，平面，则有，又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则，而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾），不成立，所以平面平面的结论不正确，即D选项错误.故选：D. 二、多选题 7．如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】BC 【分析】根据线面垂直的性质以及勾股定理求解选项A,B.根据面面垂直的性质以及勾股定理求解选项C,D. 【详解】连接，记，连接.若平面，则，则，，不符合题意，A错误，B正确. 菱形的边长为，设的中点为，连接，.在，中，分别有，.若平面平面，则，，.因为，所以存在点，使得平面平面，C正确，D错误. 8．已知三棱台的上、下底面相似比为1:2.在中，，侧棱，且与下底面所成的角为60°.则（）． A．直线与直线相互垂直 B．直线与直线相互垂直 C．侧面与底面相互垂直 D．侧面与侧面相互垂直 【答案】ABD 【分析】将三棱台的侧棱延长交于，由上下底面相似比得为中点，结合侧棱长推得，再由边长关系证得，取中点，证明平面，有面面垂直的判定定理得平面平面，作得底面，结合角度与余弦定理求出长，进而证得两两垂直，再依据线面垂直、面面垂直的判定与性质，逐一判定各选项中线线垂直、面面垂直及二面角的正误. 【详解】将直线与以及延长交于点，由上下底面相似比为. 所以，，分别为，，的中点.因为，所以. 在中，由，可得, 取的中点，连接与，且. 在等腰三角形中，且. 因为，所以平面，平面. 所以平面平面，两平面的交线为. 过点作于点，则平面，所以或120°（舍）. 在中，由余弦定理得到.所以， 解得，此时.所以，又，且. 所以平面，故且，即与以及两两垂直．由平面得到，即直线直线，A正确；由且，故平面. 因为平面，所以，即直线直线，故B正确；侧面所在平面即平面，二面角的平面角为.在直角中，，所以. 即二面角的平面角为，侧面与底面不垂直，C错误；侧面与所在平面即平面与平面.由平面且平面，得到两平面相互垂直，故D正确． 9．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱中点，点为与交点，则下列命题正确的是（    ）． A．平面 B．平面 C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可；对于B，根据线面平行的判定定理证明即可；根据线面垂直的判定定理判断即可；对于D，根据等体积法计算求解即可. 【详解】对于A，三棱柱中，，，且，易知为等腰直角三角形，又点是棱中点，所以.因为侧面，均为正方形， 所以，，，所以.因为，平面，，所以平面，则三棱柱为直三棱柱.又平面，所以.因为，平面，，所以平面，A正确. 对于B，连接，由点为与交点及为正方形，得点为中点. 又点是棱中点，所以.因为平面，平面，所以平面，故B正确.对于C，由A知，平面，平面，所以，又，所以.因为，平面，，所以平面，故与平面不垂直. 对于D，在等腰中，点为中点，，所以.在中，，因为平面，平面，所以. 设点到平面的距离为，则，即，解得，即点到平面的距离为，D正确. 三、解答题 10．如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. 求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，，即可利用线面垂直的判定定理证得平面； 【详解】正方体中，因为，分别为棱，的中点，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 正方形中，∵为的中点，为的中点，∴，∴， 设、交点为，则，∴，即； 又、平面，，∴平面. 11．如图，在正方体中，E是的中点，AC与BD的交点为O，求证：平面．    【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，结合勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直性质、判定推理即得. 【详解】在正方体中，连接，令棱长，由，得，在中，，在中，， 则，即有，由平面，平面，则， 又，平面，于是平面，而平面，则，又平面，所以平面.    12．如图，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，．求证：平面； 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①证明过程见解析； 【分析】（1）只需证明平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知平面平面，而平面平面，，平面， 从而平面，又因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面； 13．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面ABCD，，点M是SD的中点，且交SC于点N. (1)求证：平面ACM； (2)求证：； (3)求证：平面平面AMN. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）连结交于，连结，由的中位线定理，得，由此能证明结论； （2）由线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直的性质可证得结论； （3）由，，得平面，从而，由等腰三角形性质得，从而平面，进而，由证得面面垂直． 【详解】（1）连结交于，连结， 是正方形，是的中点．是的中点，是的中位线． ．又平面，平面，平面． （2）是正方形，，底面，底面，， 又平面，平面，平面， （3） 底面，底面，，由正方形可得， 又平面，平面，且平面，． 又，是的中点，．又平面，平面． 平面，．由已知，又平面， 平面．又平面，平面平面． 14．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，E，F分别是线段PB，PC的中点，，，．      (1)求证：平面AEF； (2)求证：平面PAC； (3)求点P到平面AEF的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用中位线，得到线线平行，即可证明. （2）根据线面垂直的判断定理，转化为线线垂直，即可证明； （3）利用等体积法，，即可求点面距离. 【详解】（1）证明：因为E，F分别是线段PB，PC的中点，所以,又平面AEF，又平面AEF，所以BC平面AEF （2）因为PA垂直于所在的平面，包含于所在的平面，所以,因为C是圆周上不同于A，B的一点, 所以,又平面PAC, 所以平面PAC, （3）又，所以平面PAC, 所以,，所以，，,,又因为， F是线段PC的中点，所以,所以,设点P到平面AEF的距离为.所以, ，又，所以点P到平面AEF的距离为. 15．如图，在正方体中，，. （1）求证：； （2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【分析】（1）根据三角形的中位线定理和正方形的对角线的性质可得证．. （2）根据线面垂直的判定定理可证得平面． 【详解】（1）如图，连接，因为，，所以，分别为，的中点，所以， 又，所以. （2）如图，取的中点，连接，， 因为平面，所以，又，所以. 因为，，所以. 因为，所以平面， 所以在线段上，存在点，使得平面. 【点睛】关键点睛：本题考查空间中的线线垂直，线面垂直关系的证明，关键在于准确地应用判定定理，满足判定定理所需的条件得以证明． 16．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 【答案】(1)方法一：在正三棱柱中，平面，平面， 所以．因为为正三角形，为的中点，所以．又因为，，平面，所以平面．因为平面，所以． 方法二：在正三棱柱中，平面平面．因为是正三角形，为的中点，所以．因为平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以． (2)如图，连接，交于点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以且．又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，则．由（1）知平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练10 测试范围：线线、线面、面面垂直问题 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.2节练习第2题P152】如图，四棱锥的底面是正方形，平面．求证：平面. 【人教A版必修二第8.6.3节例7】如图所示，在正方体中，求证：平面平面. 【人教A版必修二第8.6.3节例8】如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点．求证：平面平面． 【人教A版必修二第8.6.3节练习第4题P158页】如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】根据定理先证明，得平面，即可得证面面垂直. 【详解】证明：∵在正三棱柱中，D为的中点，为正三角形，. 又在正三棱柱中，平面，平面，. ，平面，平面.平面. 平面，∴平面平面. 【点睛】此题考查面面垂直的证明，关键在于根据几何体特征，准确证明出线面垂直，即可证明面面垂直. 【人教A版必修二第8.6.3节例10】如图,已知平面，平面平面，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点A作，垂足为E，根据面面垂直的性质得平面，得出，根据平面得即可证明. 【详解】  证明：如图，过点A作，垂足为E. ∵平面平面，平面平面， 平面.平面，. 平面，平面，. 又，平面. 【点睛】此题考查面面垂直的性质应用，根据面面垂直得线面垂直，根据线面垂直得线线垂直，再证明线面垂直. 【人教A版必修二习题8.6第4题】如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）见解析；  （2）见解析；  （3）见解析. 【解析】（1）通过证明，，即可得证；（2）通过平行关系转化证明即可得证；（3）通过证明平面，证明. 【详解】证明：（1）如图，取AB的中点D，连接CD、DP，∵P为的中点，. 又∵Q为的中点，，.∴四边形CDPQ为平行四边形，.又，D为AB的中点，. （2）∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC. ，由（1）知.又，. （3）由（1）（2）知，，而. 平面.平面，. 【点睛】此题考查线线垂直和线面垂直的证明，以及两个垂直关系的综合应用，属于基础题目. 【人教A版必修二习题8.6第5题】如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】通过线面垂直证得，结合得平面POC，即可得证. 【详解】证明：底面ABC，底面ABC，.∵O在CD上,.又， 平面POC.平面POC，. 【点睛】此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直. 【人教A版必修二习题8.6第8题】求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直. 【答案】证明见解析 【分析】通过直角关系证明线面垂直再证明出面面垂直，即可得出结论. 【详解】已知：直线VA，VB，VC两两垂直，求证：平面VAB，平面VBC，平面VAC也两两垂直. 证明：如图所示， , 平面VBC.∵平面VC，∴平面平面VBC. 同理可得，平面平面VAB，平面平面VBC. 【点睛】此题考查线面垂直的证明，根据线线垂直关系证明线面垂直，通过线面垂直证得面面垂直. 【人教A版必修二习题8.6第20题】如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由. 【答案】直线DE与平面VBC垂直，理由见解析 【解析】先证明平面平面VBC，再根据面面垂直的性质证明AC与平面VBC垂直，即可得证. 【详解】直线DE与平面VBC垂直 理由：由VC垂直于所在平面，知，即是二面角A-VC-B的平面角. 由AB是的直径，知.因此，平面平面VBC.由两个平面垂直的性质定理， 平面平面VBC，交线为VC，，平面VAC，可知直线AC与平面VBC垂直， 由D，E分别是VA，VC的中点，知， 所以直线DE与平面VBC垂直. 【点睛】此题考查面面垂直的证明和根据面面垂直的性质证明线面垂直，其中涉及利用三角形中位线得平行关系. 【人教A版必修二习题8.6第21题】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】垂直，证明见解析 【分析】根据图形特征证明平面PBC，即可证明平面AEF与平面PBC互相垂直. 【详解】解：垂直，证明如下：   底面ABCD，平面ABCD，，又底面ABCD为正方形，， 而.平面PAB平面PAB，.，E为PB的中点， .而,平面PBC.平面AEP，∴平面平面PBC. 【点睛】此题考查面面垂直的证明，涉及动平面与一个平面垂直的证明，关键在于证明直线与平面垂直，涉及直线与平面垂直的判定和性质的综合应用. 【人教A版必修二复习参考题8第12题】如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】（1）如图所示，连接，则，平面，， 又，平面，平面，平面. 平面.，同理，，平面. （2）连接，由，得，因此点H为的外心，又为正三角形，∴点H也是的重心. 基础知识： 1、判定线面垂直的四种方法 2、证明面面垂直的两种方法 提醒：在已知两个平面垂直时，一般要在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 跟踪训练： 一、单选题 1．已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．【人教A版必修二复习参考题8第16题】已知，为异面直线，平面，平面.若直线满足，，，，则（    ） A．， B．与相交，且交线平行于 C．， D．与相交，且交线垂直于 3．如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C． D．平面平面 5．在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 6．如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 二、多选题 7．如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 8．已知三棱台的上、下底面相似比为1:2.在中，，侧棱，且与下底面所成的角为60°.则（）． A．直线与直线相互垂直 B．直线与直线相互垂直 C．侧面与底面相互垂直 D．侧面与侧面相互垂直 9．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱中点，点为与交点，则下列命题正确的是（    ）． A．平面 B．平面 C．平面 D．点到平面的距离为 三、解答题 10．如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. 求证：平面； 11．如图，在正方体中，E是的中点，AC与BD的交点为O，求证：平面． 12．如图，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，．求证：平面； 13．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面ABCD，，点M是SD的中点，且交SC于点N. (1)求证：平面ACM；(2)求证：；(3)求证：平面平面AMN. 14．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，E，F分别是线段PB，PC的中点，，，． (1)求证：平面AEF； (2)求证：平面PAC； (3)求点P到平面AEF的距离． 15．如图，在正方体中，，. （1）求证：； （2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由. 16．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：．(2)证明：平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $