精品解析：2026年重庆市南开中学校中考考前模拟数学试题

数学（十） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 7的相反数是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义． 根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数作答即可． 【详解】解：∵一个数a的相反数是， ∴7的相反数是． 故选：D． 2. 下列重庆市地标建筑中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某天重庆的客流量 B. 调查某种西瓜的甜度 C. 调查某班学生的跳绳成绩 D. 调查某市使用AI智能软件的用户数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全面调查（普查）和抽样调查的适用范围，当调查范围小，考查对象数量少，调查无破坏性，需要准确结果时，适合采用全面调查． 【详解】解：∵ 全面调查适合考查对象数量少，范围小，易操作的调查，若考查查范围大，数量多或调查具有破坏性，适合抽样调查． ∴ 逐一分析选项： A 、调查某天重庆的客流量，范围大，考查对象数量多，适合抽样调查，不符合要求； B 、调查某种西瓜的甜度，调查具有破坏性，适合抽样调查，不符合要求； C 、调查某班学生的跳绳成绩，班级学生数量少，范围小，适合全面调查，符合要求； D 、调查某市使用AI智能软件的用户数，范围大，考查对象数量多，适合抽样调查，不符合要求． 4. 如图，点，，，在上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，， ， 故选：A． 5. 用棋子摆出右侧图形：第①个图中有9枚棋子，第②个图中有13枚棋子，第③个图中有17枚棋子，…，按此规律，第⑦个图中棋子有（ ） A. 37枚 B. 35枚 C. 33枚 D. 29枚 【答案】C 【解析】 【分析】找规律，每个图中的棋子都比前一个多4，即可求出第⑦个图中的棋子． 【详解】解：第①个图中有9枚棋子，第②个图中有13枚棋子，第③个图中有17枚棋子，每个图比前一个图多4枚棋子，则第⑦个图中比第①个图中多（枚），第⑦个图中有棋子（枚）． 6. 若反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则下列各点可能在这个函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性先判断的正负，再利用反比例函数的性质，计算各选项的值，选出符合条件的选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴，且反比例函数图象上任意点满足， 对于A，，不符合题意； 对于B，反比例函数中，且，不符合的要求，不符合题意； 对于C，，不符合题意； 对于D，，符合题意． 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，， ，即最小的数是． 8. 某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的提高，今年售价为每台3200元，则该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出年平均下降率，根据价格变化关系列方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设该智能无人机每台售价的年平均下降率为， ∵初始售价为元，经过两年下降后最终售价为元， ∴可列方程：， 整理得， 开方得， 解得，， ∵下降率不可能大于， ∴舍去不符合题意的， 因此年平均下降率为． 9. 如图，在正方形中，E，F分别为边上一点，连接，将沿翻折得到，点G恰好落在对角线上，延长交的延长线于点H，连接．若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，正方形边长为．由翻折性质得，，过点作于M，作于N，作于P，利用勾股定理求出到的距离．再设，在中利用勾股定理求出的长度，进而得的长度，最后利用相似三角形求出的长度，在中求出的长度，计算比值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 由翻折可知，，，． 过点作于M，作于N，作于P，如下图， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 设，则． 在中，， ∴，解得（负值舍去）． ∴，． ∴，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得． ∴，． ∵，，， ∴三点共线，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在中，． ． 10. 已知整式，，其中，，为自然数，为正整数，且．下列说法： ①整式可以为； ②满足条件的所有整式中有5个单项式； ③当，时，关于的方程有实数解，则满足条件的整式有7个； ④当时，，且，则满足条件的所有整式的最高次项的系数和为16． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给出的的约束条件，逐一判断每个说法，结合单项式定义、一元二次方程判别式、枚举法得到正确说法的个数． 【详解】解：由题意得：对，，，为自然数； 对，为正整数， ，故 ， ①若，则，，， ∵不是正整数，不符合条件，故①错误； ②若是单项式： 当时，为常数单项式，可取，共3个； 当时，要是单项式需，可取，共2个； 当时，所有的都为正整数，故至少有2个非零项，不可能是单项式； 总共有个单项式，故②正确； ③ 当，时，， ∵ ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴，且方程有实根， 当时，该方程为 ，为一次方程，必有实根，有三种情况，对应3个不同的； 当 时，，该方程为 ，为一元二次方程， 其判别式 ， 则符合条件，对应2个； 当 时， ，该方程为 ，为一元二次方程， 其判别式 ， 则 符合条件，对应2个； 总共有个，故③正确； ④当时，， ∵， ∴ ， ∴仅时满足， ∵ ，即 ，， ， 当时，得，则或3，和为； 当时，得，则或， 若，则；若，则或4，和为； 当时，得或， 若，则，此时或3， 若，则或， 当时，或3，和为， 当时，或3，和为， 所有最高次项系数和为 ，故④错误． 综上，正确的说法共2个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 中考蓄力扭蛋机中装有枚扭蛋，其中枚各装有张励志券，另枚各装有张好运券，随机抽一枚扭蛋，抽到好运券的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，所有等可能的抽取结果共种，其中抽到好运券的结果有种，可得抽到好运券的概率为， 故答案为：． 12. 如图，直线，直线EF分别交直线于点E，F，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【详解】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件，即可求出的度数． 【点睛】解：，  ． 又，  ， ∴． 13. 若n为正整数，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，解题关键是先计算出的平方，通过相邻正整数的平方逼近确定的范围，即可求出的值． 【详解】解：， 又，且，， ，即， ， 对比可得， 故答案为． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简方程，根据绝对值的非负性判断和的符号，去掉绝对值符号得到二元一次方程组，求解，后计算的值即可． 【详解】解：由二次根式的性质可知， 原方程组为， 由②得， ， ∴， ∴， ， ∴①式化简为，即， ， ， ，代入②，得， 即④， 由得，， 解得，即， 将代入，可得， 解得， ． 15. 如图，菱形中，，，以对角线为直径作，交于点E，过点A作的切线交的延长线于点F，连接，分别交，于点G，H．则的长度为______；的长度为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用菱形对角线互相垂直平分及圆周角定理，证得 ，利用相似比求解； ②首先利用切线性质及菱形性质求出的长，进而利用相似三角形的性质分别求出和的长，最后通过构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】解：①连接交于点，连接，如图， 四边形是菱形， ，，，， 是的直径， ， ， ， 在和中， ， ， ，即， ； ②是的切线，为的半径， ，即， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， 过点作于点，如图， ，， ， ， ， 在中，， ， ，， ， 在中， ． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“五四青年数”．例如：四位数3456，因为，所以3456是“五四青年数”．按照这个规定，最小的“五四青年数”是______．一个“五四青年数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若 除以7的余数是1，是整数，则满足条件的M的值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问要得到最小的“五四青年数”，需从高位到低位依次取最小可能值，结合定义求出对应数字即可，第二问根据题意表示出和，结合“五四青年数”的定义化简条件，根据数位的范围枚举求解即可． 【详解】解：设四位数，其中，，且均为整数， ①要使四位数最小，千位取最小值，再令百位最小，取， 由定义，代入得 ， 因此 是的倍数，由于与互质，故是的倍数， 要使数最小，取最小满足条件的值， 得 ，即，代入得，满足， 因此最小的“五四青年数”是； ②根据题意，，， ∴， 故， 由 ，设 ，则 ，为正整数， 则 ， 因为，所以 ，得， 因此 ， 该式为整数，故为偶数，因此， 由条件 除以余，代入， 得除以余， 结合，可得当时，，且 ，符合题意； 又 ，故， ∴， ∵， 由是整数，即是整数，且4与13互质， ∴是13的倍数， 结合可知，故，即， ∵是“五四青年数”， ∴，即， 解得， ∴，满足条件， 故． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴该不等式组的解集为． 18. 学习了等腰三角形的性质后，小南进行了拓展性研究，他发现等腰三角形两个底角的角平分线相等．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）第一步：确定条件并构造角平分线． 在中，已知，小南作的角平分线交AC于点D．请你利用尺规作图，作的角平分线交AB于点E（不写作法，保留作图痕迹） （2）第二步：利用全等三角形证明． 证明：     平分 ，平分 ， 在 和 中： 【答案】（1） （2）①；②；③；④． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法即可解答；（2）首先由得出；接着根据角平分线性质得到；进而通过等量代换证得，结合已知条件，为后续利用ASA证明提供了关键依据． 【小问1详解】 如图，先以点为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交于点，交于点，再分别以点、点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，使其与相交于点，则射线即为的角平分线． 【小问2详解】 略． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为了解重庆城区居民出行情况，相关部门从甲、乙两个片区居民中各随机抽取20名居民的单程通勤时长（单位：分钟，时长为整数）进行整理、描述和分析（时长均不低于10分钟，用表示，数据共分四组：A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 甲片区抽取的20名居民通勤时长在B组中的数据是： 31，32，33，34，35，36，36． 乙片区抽取的20名居民通勤时长是： 14，16，18，22，23，24，26，27，28，29，31，32，32，32，37，39，39，45，49，49． 甲、乙片区所抽取居民通勤时长统计表 片区 甲 乙 平均数 中位数 a 30 众数 36 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为甲、乙片区中哪个片区居民通勤条件更好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）甲片区共有居民560人，乙片区共有居民500人，请估计甲、乙两个片区通勤时长不低于40分钟的居民人数共是多少? 【答案】（1）分钟32分钟20 （2）甲片区更好甲片区抽取的20名居民通勤时长的中位数，众数都高于乙片区 （3）187人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数，圆心角度数的计算公式，解答即可． （2）利用中位数，众数作出决策，求解即可． （3）利用样本估计总体计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得组的人数为：（人） 组的人数为：7（人） 组的人数为：（人） 组的人数为：（人） 中位数是第10个，11个数据的平均数，C，D两组的人数为9人， 故中位数落在B组， 甲片区抽取的20名居民通勤时长在B组中的数据是： 31，32，33，34，35，36，36． 故中位数分钟； 根据乙片区抽取的20名居民通勤时长是： 14，16，18，22，23，24，26，27，28，29，31，32，32，32，37，39，39，45，49，49． 得32出现次数最多，3次， 故乙片区抽取的20名居民通勤时长的众数为分钟； 根据题意，得， 故， 解得； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：（人）． 答：甲、乙两个片区通勤时长不低于40分钟的居民人数共有187人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先根据整式运算法则和分式运算法则完成化简，再结合负整数指数幂和零指数幂的运算法则求得的值，然后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 21. 列方程解决下列问题： 重庆市依托智能网联新能源汽车产业优势，打造本地动力电池配套生产回收基地． （1）已知每套动力电池包需1个外壳和8个电池模组，某车间共有工人120名，每人每天可生产外壳12个或电池模组24个．应安排多少名工人生产外壳，多少名工人生产电池模组，才能使产品刚好配套? （2）已知磷酸铁锂电池的回收价为60元/，三元锂电池的回收价为180元/，，为消除废旧电池安全隐患，某企业大力开展电池回收工作，在原回收价的基础上上涨固定的价格，且三元锂电池回收价上涨的价格是磷酸铁锂电池回收价上涨的价格的3倍．若该企业回收两种电池各花费48000元，磷酸铁锂电池回收容量比三元锂电池回收容量多500，求上涨后三元锂电池的回收价． 【答案】（1）安排名工人生产外壳，名工人生产电池模组. （2）上涨后三元锂电池的回收价为元 【解析】 【分析】（1）利用配套问题的等量关系：每天生产的电池模组总数每天生产的外壳总数，结合工人总人数设未知数，列一元一次方程即可求解； （2）根据价格上涨的倍数关系设未知数，利用“磷酸铁锂电池回收容量三元锂电池回收容量”的等量关系列分式方程，检验后即可求出上涨后三元锂电池的回收价． 【小问1详解】 解：设安排x名工人生产外壳，则安排名工人生产电池模组， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，则， 答：应安排24名工人生产外壳，96名工人生产电池模组； 【小问2详解】 设磷酸铁锂电池回收价上涨x元/，则三元锂电池回收价上涨元/， 上涨后磷酸铁锂电池回收价为元/，三元锂电池回收价为元/， 根据题意可得， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意， 上涨后三元锂电池回收价为元/， 答：上涨后三元锂电池的回收价为192元/． 22. 如图，矩形中，，连接，．动点E沿以每秒2个单位长度的速度运动，到达D点时停止运动，过点E作交于点F．同时，动点G沿以每秒个单位长度的速度运动，到达C点时停止运动，连接．设运动的时间为秒，点E与点F之间的距离为，矩形的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）自变量x的取值范围是 （2）点E在上时，随x的增大而增大；随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，求解即可； （2）根据图象的画法基本步骤画图即可，根据一次函数的性质，反比例函数的性质求解即可； （3）根据图象交点求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意，得， ， ， ，． ， 动点E沿以每秒2个单位长度的速度运动，到达D点时停止运动，同时，动点G沿以每秒个单位长度的速度运动，到达C点时停止运动，设运动的时间为秒， ，，动点G的运动时间最大为秒，动点E的运动时间最大为秒，且动点E在上的运动时间最大为秒， ，两个动点同时停止，自变量的取值范围是， 当时，点E在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ； 当时，点E在上， ∵交于点F． ∴点D与点F重合， ∴， ∴， ∴； 综上所述，； ； ，自变量x的取值范围是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 中国第次南极考察期间，为进一步查明普里兹湾沿岸冰下地形、划定后续钻探靶区，两艘破冰船决定分别沿测线开展地球物理探测作业．如图，，，，，在同一平面内．是气象站，某一时刻，甲破冰船位于的正南方向的处，乙破冰船位于正东方向海里的处，两艘破冰船打算在的南偏东方向海里的终测点集合，然后一起返回位于的正东方向和的北偏东方向上的休息站，位于的正东方向上，（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲、乙两艘破冰船同时分别从，出发沿，前往处，甲破冰船和乙破冰船的速度之比为．当两艘破冰船相距海里时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲破冰船驶离处多少海里时，它们可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）? 【答案】（1） （2）甲破冰船驶离处海里时，它们可以开始相互接收到信号 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于，根据题意可知，，，海里，可得，利用的正弦函数求出，利用的余弦函数即可求出的长度； （2）设甲破冰船和乙破冰船分别运动到、时，可以开始相互接收到信号，过点作于，根据两船速度之比为得出，根据，四边形是矩形，得出海里，，设海里，则海里，得出海里，海里，海里，利用勾股定理求出，进而求出的值，取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作于， 由题意可知，，，，海里， ∴， ∵， ∴海里 ∴海里． 【小问2详解】 解：如图，设甲破冰船和乙破冰船分别运动到、时，可以开始相互接收到信号，过点作于， ∵甲破冰船和乙破冰船的速度之比为，到终测点集合， ∴， ∵海里，， ∴海里， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴海里，， 设海里，则海里， ∴海里， ∴海里，海里， ∴海里， ∵在中，，两艘破冰船相距海里时，它们可以开始相互接收到信号， ∴， 解得：， 当时，（舍去）， 当时，，符合题意， ∴甲破冰船驶离处海里时，它们可以开始相互接收到信号． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴于点E，作x轴平行线交直线于点D，点M，N为直线上的两个动点（点M在点N的左边），且，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移后仍然经过点C，得到新抛物线，点Q为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）直线的解析式为：．设，且，则，确定最值，作点A关于直线的对称点，得到，将点F向右平移1个单位长度得到点G，连接， 根据两点之间线段最短，得，当三点共线时，取得最小值，且最小值为，求解即可． （3）确定新抛物线解析式为，将点B向右平移一个单位长度得到点好，此时，作直线交于点Q，得到四边形是平行四边形，作的角平分线，交抛物线于点Q，则点Q符合题意，在x轴上截取，连接，并取其中点，连接，交于点T，求得； 作点Q关于直线的对称点S，连接，交抛物线于点，则，此时也符合题意，仿照前面的解答，求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． 故， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据抛物线解析式为， 得抛物线的对称轴为直线， 设，， 故， 解得， 故 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，且， 则， 则， ∵轴，， ， 解得， 故， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，取得最大值， ∴， ∴直线的解析式为， 作点A关于直线的对称点， ∴点到直线的距离都是4， ∴， ∴， 将点F向右平移1个单位长度得到点G，连接， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据对称性质，得， ∴， ∴ ， ∵， ∴当三点共线时，取得最小值，且最小值为， 根据题意，得， ∴最小值为， ∴最小值为， ∴周长的最小值 ． 【小问3详解】 解：在（2）中取得最大值的条件下，，且， ∴点C与点D重合，且， 抛物线沿射线方向平移后仍然经过点C，得到新抛物线， 故这是一个向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度的平移变换， 根据题意，得平移前抛物线解析式为， ∴ ， 将点B向右平移一个单位长度得到点H，此时，作直线交于点Q， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 作的角平分线，交抛物线于点Q，则点Q符合题意， ∵， ∴， 在x轴上截取， 则， 连接，并取其中点，连接，交于点T， 则 ，且， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）， 此时 ， ∴； 作点Q关于直线的对称点S，连接，交抛物线于点， 则，此时也符合题意， 根据题意，得， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）， 此时， ∴； 25. 如图，在中，将线段绕点C顺时针旋转得到线段． （1）如图1，，，连接，，求的度数； （2）如图2，，F是上的点，连接，分别过点C，B作于点H，交的延长线于点G，过点E作交的延长线于点M，若．用等式表示线段，，的数量关系并证明： （3）如图3，，，D为上一点，，连接．当取最小值时，在平面内取一点P，连接，，将沿所在的直线翻折到所在的平面内，得，连接，，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明： 如图1，延长到，使，连接，过点作于点. 在和中， ， ， . 在中， ， . . ， ， . 在和中， . ， 三点共线. 在和中， . . 在四边形中，， 四边形是矩形， . ， . （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件利用勾股定理逆定理说明为直角三角形即可求解； （2）采用“截长补短”的方法，延长到，使，连接，过点作于点，通过三角形全等即可得证； （3）首先确定取最小值时点的位置，由于线段是由线段绕点旋转得到，而点B在直线上运动，故可以猜想点E的运动轨迹也是一条直线，在此基础上证明即可；然后确定何时取最小值时，由于的长度都在变化，故考虑通过构造相似进行转化后求解，最后求的面积即可． 【小问1详解】 解：， . 线段是由线段绕点旋转得到， . 在中， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：第一步：确定取最小值时点的位置； 如图2，在上再另取一点，绕点旋转得到，连接，， 延长交于点. ， ， 即. 在和中， ， . 在和中，， . 点的运动轨迹与所在的直线垂直，且与重合时，取得最小值， 如图3所示. 过点作于， ， 为等边三角形， ， 在中，. ， ， ， . 第二步：确定取最小值时图形的位置； 如图4，由条件可知，则点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆. 连接，设与，分别交于，. 四边形为圆内接四边形， ． ， . 在和中， ， . 由条件可知的长度为定值， 因此取最大值时，取得最小值． 由于在上， 则为直径，即时最小， 此时图形的位置如图5所示. 连接，， 由上面我们已知， 则， ， ． ， ， ， ， . 过点作于. 在中， 前面已经得到， . 在中，， ， ，即． 第三步：确定的面积 如图6，过点作，交的延长线于，在上取一点，使， 由上面的分析已知，， ， . 在中， 设， 则， . 在中， 由勾股定理，得， ， ． 在中， 由勾股定理，得， ， 解得：. ， ． 【点睛】几何证明时，务必要注意通过合情的猜想去寻找问题的切入点；对于几何最值问题，要熟悉常见的类型及本质特征，并注意解题后的反思和归纳，才能达到“做一题会一类”的目的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（十） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 7的相反数是（ ） A. B. C. 7 D. 2. 下列重庆市地标建筑中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某天重庆的客流量 B. 调查某种西瓜的甜度 C. 调查某班学生的跳绳成绩 D. 调查某市使用AI智能软件的用户数 4. 如图，点，，，在上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 用棋子摆出右侧图形：第①个图中有9枚棋子，第②个图中有13枚棋子，第③个图中有17枚棋子，…，按此规律，第⑦个图中棋子有（ ） A. 37枚 B. 35枚 C. 33枚 D. 29枚 6. 若反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则下列各点可能在这个函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的提高，今年售价为每台3200元，则该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，E，F分别为边上一点，连接，将沿翻折得到，点G恰好落在对角线上，延长交的延长线于点H，连接．若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知整式，，其中，，为自然数，为正整数，且．下列说法： ①整式可以为； ②满足条件的所有整式中有5个单项式； ③当，时，关于的方程有实数解，则满足条件的整式有7个； ④当时，，且，则满足条件的所有整式的最高次项的系数和为16． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 中考蓄力扭蛋机中装有枚扭蛋，其中枚各装有张励志券，另枚各装有张好运券，随机抽一枚扭蛋，抽到好运券的概率是______． 12. 如图，直线，直线EF分别交直线于点E，F，若，则的度数为______． 13. 若n为正整数，且满足，则______． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为______． 15. 如图，菱形中，，，以对角线为直径作，交于点E，过点A作的切线交的延长线于点F，连接，分别交，于点G，H．则的长度为______；的长度为______． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“五四青年数”．例如：四位数3456，因为，所以3456是“五四青年数”．按照这个规定，最小的“五四青年数”是______．一个“五四青年数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若 除以7的余数是1，是整数，则满足条件的M的值是______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 18. 学习了等腰三角形的性质后，小南进行了拓展性研究，他发现等腰三角形两个底角的角平分线相等．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）第一步：确定条件并构造角平分线． 在中，已知，小南作的角平分线交AC于点D．请你利用尺规作图，作的角平分线交AB于点E（不写作法，保留作图痕迹） （2）第二步：利用全等三角形证明． 证明：     平分 ，平分 ， 在 和 中： 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为了解重庆城区居民出行情况，相关部门从甲、乙两个片区居民中各随机抽取20名居民的单程通勤时长（单位：分钟，时长为整数）进行整理、描述和分析（时长均不低于10分钟，用表示，数据共分四组：A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 甲片区抽取的20名居民通勤时长在B组中的数据是： 31，32，33，34，35，36，36． 乙片区抽取的20名居民通勤时长是： 14，16，18，22，23，24，26，27，28，29，31，32，32，32，37，39，39，45，49，49． 甲、乙片区所抽取居民通勤时长统计表 片区 甲 乙 平均数 中位数 a 30 众数 36 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为甲、乙片区中哪个片区居民通勤条件更好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）甲片区共有居民560人，乙片区共有居民500人，请估计甲、乙两个片区通勤时长不低于40分钟的居民人数共是多少? 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解决下列问题： 重庆市依托智能网联新能源汽车产业优势，打造本地动力电池配套生产回收基地． （1）已知每套动力电池包需1个外壳和8个电池模组，某车间共有工人120名，每人每天可生产外壳12个或电池模组24个．应安排多少名工人生产外壳，多少名工人生产电池模组，才能使产品刚好配套? （2）已知磷酸铁锂电池的回收价为60元/，三元锂电池的回收价为180元/，，为消除废旧电池安全隐患，某企业大力开展电池回收工作，在原回收价的基础上上涨固定的价格，且三元锂电池回收价上涨的价格是磷酸铁锂电池回收价上涨的价格的3倍．若该企业回收两种电池各花费48000元，磷酸铁锂电池回收容量比三元锂电池回收容量多500，求上涨后三元锂电池的回收价． 22. 如图，矩形中，，连接，．动点E沿以每秒2个单位长度的速度运动，到达D点时停止运动，过点E作交于点F．同时，动点G沿以每秒个单位长度的速度运动，到达C点时停止运动，连接．设运动的时间为秒，点E与点F之间的距离为，矩形的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 中国第次南极考察期间，为进一步查明普里兹湾沿岸冰下地形、划定后续钻探靶区，两艘破冰船决定分别沿测线开展地球物理探测作业．如图，，，，，在同一平面内．是气象站，某一时刻，甲破冰船位于的正南方向的处，乙破冰船位于正东方向海里的处，两艘破冰船打算在的南偏东方向海里的终测点集合，然后一起返回位于的正东方向和的北偏东方向上的休息站，位于的正东方向上，（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲、乙两艘破冰船同时分别从，出发沿，前往处，甲破冰船和乙破冰船的速度之比为．当两艘破冰船相距海里时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲破冰船驶离处多少海里时，它们可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）? 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴于点E，作x轴平行线交直线于点D，点M，N为直线上的两个动点（点M在点N的左边），且，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移后仍然经过点C，得到新抛物线，点Q为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，将线段绕点C顺时针旋转得到线段． （1）如图1，，，连接，，求的度数； （2）如图2，，F是上的点，连接，分别过点C，B作于点H，交的延长线于点G，过点E作交的延长线于点M，若．用等式表示线段，，的数量关系并证明： （3）如图3，，，D为上一点，，连接．当取最小值时，在平面内取一点P，连接，，将沿所在的直线翻折到所在的平面内，得，连接，，当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $