8.1.2　全概率公式-分层同步练习 2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，以全概率公式为核心，从基础应用到综合探究，梯度递进巩固知识，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|全概率公式直接应用|选择、填空为主，如两袋取球（第1题）、种子等级概率（第3题），强化公式记忆与基本运算| |B层|公式与贝叶斯公式结合|含多选题（第9题）、动态概率（第13题），提升复杂情境推理能力，体现数学思维严谨性| |C层|多因素综合应用|解答题（第15题）整合三厂正品率计算与决策，培养数学建模与跨情境分析能力，落实数学语言表达|

8.1.2　全概率公式 A层 基础达标练 1.甲袋里有5只白球、7只红球,乙袋里有4只白球、2只红球,从两个袋中任取一袋,然后从所取到的袋中任取一球,则取到的球是白球的概率为(　　) A. B. C. D. 2.已知事件A,B满足P(A)=,P(B|A)=,P()=,则P(B)=(　　) A. B. C. D. 3.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为(　　) A.0.8 B.0.832 5 C.0.532 5 D.0.482 5 4.5张卡片上分别标有数字1,2,3,4,5,每次从中任取一张,连取两次.若第一次取出的卡片不放回,则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为(　　) A. B. C. D. 5.两台机床加工同样的零件,它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02,加工出的零件放在一起,设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍,则任取一个零件是合格品的概率为　　　　　.  6.根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下效果:若以A表示“试验反应为阳性”,以B表示“被诊断者患有癌症”,则有P(A|B)=0.95,P()=0.95.现对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,则P(B|A)=　　　　.(结果保留两位有效数字)  7.设袋中装有10个阄,其中8个是白阄、2个是有物之阄,甲、乙二人依次抓取一个,求乙抓到白阄的概率. B层 能力提升练 8.某试卷中1道选择题有6个答案,其中只有一个是正确的.考生不知道正确答案的概率为,不知道正确答案而猜对的概率为.现已知某考生答对了,则他猜对此题的概率为(　　) A. B. C. D. 9.(多选题)有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的30%,30%,40%,则下列选项正确的有(　　) A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 B.任取一个零件是次品的概率为0.053 C.如果取到的零件是次品,且是第2台车床加工的概率为 D.如果取到的零件是次品,且是第3台车床加工的概率为 10.设袋中有6个球,4个新球、2个旧球,第一次比赛取2球,比赛后放回(球用后即视为旧球),第二次比赛再任取2球,则第二次比赛取得2个新球的概率为(　　) A. B. C. D. 11.装有10件某产品(其中一等品5件、二等品3件、三等品2件)的箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都是一等品,则丢失的也是一等品的概率为　　　　　.  12.甲箱中有3个白球、2个黑球,乙箱中有1个白球、3个黑球,先从甲箱中任取一球放入乙箱中,再从乙箱中任取一球. (1)若已知从甲箱中取出的是白球,则从乙箱中也取出的是白球的概率是　　　　　;  (2)从乙箱中取出白球的概率是　　　　　.  13.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,记第n(n∈N*,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. (1)P2的值为　　　　　;  (2)若n∈N*,n≥2,用Pn-1表示Pn的表达式为　　　　　　　　　　.  14.设某工厂有两个车间生产同种型号的家用电器,第1车间的次品率为0.15,第2车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,求该产品合格的概率. C层 拓展探究练 15.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数所占比例为2∶3∶5,混合在一起. (1)从中任取一件,求此产品为正品的概率; (2)现取到一件产品为正品,它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大? 参考答案 1.B　由题意,知从两袋中任选一袋,选中甲、乙的概率都是,又从甲袋中取到白球的概率是,从乙袋中取到白球的概率为,故所求概率为×=. 2.C　由题意,可得P=1-P,P=1-P, 所以P=P+P.故选C. 3.D　由题意,设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1,A2,A3,A4,则A1∪A2∪A3∪A4=Ω,且两两互斥.设B=“从这批种子中任选一颗,所结的穗含50颗以上麦粒”,则P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=0.482 5.故选D. 4.B　由题意,知第一次取每个数字的概率都是.如果第一次取得的是1,那么再从四张当中取的话,都比1大,所以概率为×1=;如果第一次取的是2,那么再去从四张当中去取,得到的比2大的概率就是,所以概率为,以此类推,所得概率分别是.故所求概率为. 5.　由题意知,第一台机床加工的零件占总数的,第二台机床加工的零件占总数的,故所求概率为1-×0.03+×0.02=. 6.0.087　P(A|)=1-P()=1-0.95=0.05,被试验的人患有癌症的概率为0.005,就相当于P(B)=0.005,则P(B|A)=≈0.087. 7.解 设事件A表示“甲抓到有物之阄”,事件B表示“乙抓到白阄”,则P(A)=,P()=,从而P(B)=P(BA)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=. 8.B　设A事件为“考生不知道正确答案”,B事件为“答对此题”,则P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=1,所以所求概率P(A|B)=. 9.BCD　记事件A:车床加工的零件为次品,记事件Bi:第i台车床加工的零件, 则P(A|B1)=6%,P(A|B2)=P(A|B3)=5%, P(B1)=30%,P(B2)=30%,P(B3)=40%, 对于选项A,任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)=6%×30%=0.018,故错误; 对于选项B,任取一个零件是次品的概率为 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=6%×30%+5%×30%+5%×40%=0.053,故正确; 对于选项C,如果取到的零件是次品,且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)=,故正确; 对于选项D,如果取到的零件是次品,且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)=,故正确.故选BCD. 10.A　设事件Ai为“第一次比赛恰取出i个新球”,i=0,1,2,事件B为“第二次比赛取得2个新球”,则Ω=A0∪A1∪A2,且A0,A1,A2两两互斥, ∴P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=. 11.　设事件A表示“从箱子中任取2件都是一等品”,Bi表示“丢失的是i等品”,i=1,2,3,那么P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3),P(Bi)表示的就是丢失的是i等品的概率,所以P(A)=,从而所求概率为P(B1|A)=. 12.(1)　(2)　设事件B为“从乙箱中取出白球”, 事件A为“从甲箱中取出白球”,则P(A)=,P()=. (1)由题意可知,P(AB)=,故所求概率为P(B|A)=. (2)易知P(B|)=,故利用全概率公式,得所求概率为 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=. 13.(1)　(2)Pn=-Pn-1+　(1)P2=. (2)Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)×=-Pn-1+(n≥2,n∈N*). 14.解 设事件B为“从仓库中随机提出的一台产品是合格品”, 事件Ai为“提出的一台是第i车间生产的”,i=1,2, 则有B=A1B∪A2B, 由题意知,P(A1)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|A1)=0.85, P(B|A2)=0.88, 由全概率公式,得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868. 15.解 设事件A表示“取到的产品为正品”,B1,B2,B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”,则Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3两两互斥, 由已知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5, P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8. (1)由全概率公式,得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86. (2)由贝叶斯公式,得 P(B1|A)=, P(B2|A)=, P(B3|A)=. 将以上3个数作比较,可知这件产品由丙厂生产的可能性最大,由甲厂生产的可能性最小. 学科网（北京）股份有限公司 $