8.1.2全概率公式（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册)

8.1.2全概率公式 题型一 利用全概率公式求概率 1.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 2.学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（    ） A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65 3.从有个红球和个黑球的盒子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回．则第次摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二 利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率 1.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取件，则这件产品不是次品的概率（    ） A． B． C． D． 2.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（    ） A．0.925 B．0.03 C．0.075 D．0.95 3.已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（    ） A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 题型三 利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 1.（多选）某市为丰富青少年暑假生活，推出多项益智游乐项目．小乐与好朋友一起选择了该市的甲、乙两个儿童乐园游乐场去打卡．小乐与好朋友第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7．如果他们第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则小乐与好朋友（    ） A．第二天去甲游乐场的概率为0.63 B．第二天去乙游乐场的概率为0.45 C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为 D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 2.（多选）三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为，则（    ） A．从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B．等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C．从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为0.017 D．从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为 3.（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 计算条件概率、利用全概率公式求概率 1.小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从A、B两块题板中任选择一个答题，已知他答对A题板中题目概率为0.8，答对B题板中题目的概率为0.3，假设小明不了解每块题板背后的题目，即小明随机等可能地从A、B两块题板中任选一个作答，现已知小明进入了下一轮，则他答的是A题板中题目的概率是（    ） A． B． C． D．1 2.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（    ） A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215 3.有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 1.某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 2.某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（    ） A． B． C． D． 3.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（    ） A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88 4.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立        ② ③                ④ A．4 B．3 C．2 D．1 5.假设两个箱子里都是大小相同的乒乓球，第1个箱子里有8个白色球和2个黄色球，第2个箱子里有15个白色球和5个黄色球，则随机从两个箱子中摸出1个球是黄色球的概率是（    ） A． B． C． D． 6.“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（    ） A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8 7.据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则在不吸烟的情况下，患肺癌的概率为（    ） A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02% 8.重庆某高校有橘园､桃园､李园3个食堂，根据大数据统计分析，某天上午下课后，在校学生进入橘园､桃园､李园食堂的学生人数分别占，但因为各种原因，进入橘园､桃园､李园食堂的学生中有一些同学未用餐，而选择出校就餐.其中进入橘园､桃园食堂未用餐而选择出校就餐的学生分别占，现从在校学生中任选一位学生，若发现这位学生是出校就餐的概率为，则推测进入李园食堂中但未用餐而选择出校用餐的学生占（    ） A． B． C． D． 9.某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为，已知第一次击中目标的概率为，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 10.袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1.2全概率公式 题型一 利用全概率公式求概率 1.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】设出未知数，利用全概率公式列出方程，求出答案. 【详解】设从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，他近视的概率为， 由题意得：， 解得： 故选：C 2.学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（    ） A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”； 则,,, 由全概率公式可知 , 故选：D. 3.从有个红球和个黑球的盒子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回．则第次摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式可直接求得结果. 【详解】用表示第一次摸到红球，表示第二次摸到红球，表示第一次摸到黑球，表示第二次摸到黑球． . 故选：C. 题型二 利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率 1.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取件，则这件产品不是次品的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”，利用全概率公式可得的值，再利用对立事件即可求解. 【详解】设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”． 则，，，， 由全概率公式，可得 ． 所以这件产品不是次品的概率为. 故选：A 2.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（    ） A．0.925 B．0.03 C．0.075 D．0.95 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】应用对立事件概率求法，全概率公式求次品的概率. 【详解】由题设，此产品是次品的概率. 故选：C 3.已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（    ） A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以， ， 所以. 故选：C 题型三 利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 1.（多选）某市为丰富青少年暑假生活，推出多项益智游乐项目．小乐与好朋友一起选择了该市的甲、乙两个儿童乐园游乐场去打卡．小乐与好朋友第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7．如果他们第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则小乐与好朋友（    ） A．第二天去甲游乐场的概率为0.63 B．第二天去乙游乐场的概率为0.45 C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为 D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 【答案】AC 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】设：第一天去甲游乐场，：第二天去甲游乐场，：第一天去乙游乐场，：第二天去乙游乐场，再利用全概率公式及条件概率公式及对立事件的概率关系即可判断各选项. 【详解】设：第一天去甲游乐场，：第二天去甲游乐场， ：第一天去乙游乐场，：第二天去乙游乐场， 依题意可得，，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误 故选：AC． 2.（多选）三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为，则（    ） A．从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B．等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C．从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为0.017 D．从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为 【答案】AD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式、条件概率公式分别计算即可判断． 【详解】设事件“此人患了流感”，事件“此人来自地区”，事件“此人来自地区”，事件“此人来自地区”， 由题意可得： ， ， 对于A，由全概率公式，可得： ， 所以，故A正确； 对于B，等可能从这三个地区中选取一个人，即， 则 ，故B项错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由条件概率公式，可得，故D正确； 故选：AD． 3.（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据对立事件的性质结合已知可得，利用条件概率公式和全概率公式推导可判断ABD；举特例可判断C. 【详解】由对立事件性质知，， 又，所以， 因为，所以，所以，B正确； 又因为， 所以，得，D正确； 由，得， 则， 又，所以，故，A错误； 以掷一颗骰子为例，不妨记事件A：掷出的点数为奇数；事件B：掷出的点数为1点或3点. 则：掷出的点数为偶数；：掷出的点数为2点或4点或5点或6点. 易知，， ， 所以 满足题设，， 但，故C错误. 故选：BD 题型四 计算条件概率、利用全概率公式求概率 1.小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从A、B两块题板中任选择一个答题，已知他答对A题板中题目概率为0.8，答对B题板中题目的概率为0.3，假设小明不了解每块题板背后的题目，即小明随机等可能地从A、B两块题板中任选一个作答，现已知小明进入了下一轮，则他答的是A题板中题目的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用条件概率、全概率公式求进入了下一轮情况下答的是A题板中题目的概率. 【详解】设事件表示选题板中题目，事件表示选题板中题目，事件表示进入下一轮比赛， 由题意，，，， 又. 故选：C 2.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（    ） A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215 【答案】A 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解． 【详解】解：记为事件“植物没有枯萎”，为事件“邻居记得给植物浇水”， 则根据题意，知，，，， 因此． 故选：A． 3.有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式和条件概率公式即可得出答案. 【详解】设事件：知道答案，事件：答对本题， 则，， 则 故选：D 1.某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】设事件后根据题干得到，，，，由全概率公式求得，由乘法公式得到，由条件概率公式得到. 【详解】设事件为“抽到的学生来自高三（1）班”，事件为“抽到的学生来自高三（2）班”，事件为“抽到的学生参加数学兴趣社团”， 则，，，， 由全概率公式得， 由乘法公式得， 由条件概率公式得， 故选：B. 2.某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】依据题意根据全概率公式计算即可. 【详解】设“任选一名学生恰好是艺术生”， “所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”,“所选学生来自丙班”． 由题可知： ，，，，， ， . 故选：D 3.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（    ） A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】本题先由题意得出各个事件之间的关系，再根据条件概率和全概率公式即可求解. 【详解】设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B， 事件表示提出的一台产品是第i车间生产的，， 由题意可得，， 由全概率公式得 所以该产品合格的概率为0.868. 故选：C. 4.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立        ② ③                ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断、利用全概率公式求概率 【分析】根据独立事件的概念判断①，计算条件概率判断②，根据全概率公式求解判断②④，即可回答. 【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，， 而，①错误； ，，所以，②正确； ，③正确； ，④错误，综上：结论正确的个数为2. 故选：C. 5.假设两个箱子里都是大小相同的乒乓球，第1个箱子里有8个白色球和2个黄色球，第2个箱子里有15个白色球和5个黄色球，则随机从两个箱子中摸出1个球是黄色球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】结合组合数，根据古典概型概率和全概率公式可解． 【详解】根据题意，从第1个箱子里摸出1个球是黄色球的概率为， 从第2个箱子里摸出1个球是黄色球的概率为， 则随机从两个箱子中摸出1个球是黄色球的概率是. 故选：D． 6.“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（    ） A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】分别求出乘坐公共汽车和骑单车准时到校的概率，然后求和即为准时到校的概率. 【详解】李明上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，因此李明准时到校的概率为：， 故选：B 7.据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则在不吸烟的情况下，患肺癌的概率为（    ） A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02% 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式求得正确答案. 【详解】设在不吸烟的情况下，患肺癌的概率为， 则， 解得. 故选：A 8.重庆某高校有橘园､桃园､李园3个食堂，根据大数据统计分析，某天上午下课后，在校学生进入橘园､桃园､李园食堂的学生人数分别占，但因为各种原因，进入橘园､桃园､李园食堂的学生中有一些同学未用餐，而选择出校就餐.其中进入橘园､桃园食堂未用餐而选择出校就餐的学生分别占，现从在校学生中任选一位学生，若发现这位学生是出校就餐的概率为，则推测进入李园食堂中但未用餐而选择出校用餐的学生占（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据条件，利用全概率公式即可求出结果. 【详解】设A表示学生进入橘园､桃园､李园食堂而外出就餐人数，分别表示学生进入橘园､桃园､李园食堂人数，由全概率公式： 得到，解得， 故选：D. 9.某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为，已知第一次击中目标的概率为，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】设出事件，利用全概率公式计算出，再利用条件概率公式计算出答案. 【详解】设第一次击中目标为事件A，第二次击中目标为事件B， 则，，， 所以， 故， 则 故选：C 10.袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，结合，即可求解. 【详解】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球， 于是，， 则. 故选：B 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$