贵州省安顺市镇宁高中教育集团镇宁民中分校2025-2026学年高一6月假期数学作业4

**基本信息** 高一年级数学假期作业，聚焦三角、向量与立体几何，通过补形法、等体积法等创新题型，考查空间观念与逻辑推理，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|4|三角恒等变换、复数运算、向量模长、五面体体积|第4题补形为三棱柱求体积，体现转化思想| |多选题|2|斜二测画法直观图、正方体中三棱锥体积比较|第6题结合线面垂直判定体积关系，考查推理能力| |填空题|2|正四棱台体积、正方体线面平行|第8题利用线面平行性质求线段长，强化空间观念| |解答题|2|三角面积与中线综合、四棱锥证明及距离|第10题三问递进，考线面平行、垂直及等体积法求距离，层次分明|

镇宁高中教育集团镇宁民中分校高一年级高考假期作业4 班级:___________姓名：___________评价：___________ 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ） A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 6．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 8．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则______. 四、解答题 9．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 10．如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面；(2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《镇宁高中教育集团镇宁民中分校高一年级高考假期作业4》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A D C BC CD 1．B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 2．A 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 【详解】因为R，，所以，解得：． 故选：A. 3．D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 4．C 【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 5．BC 【分析】首先利用斜二测画法，表示图象的直观图，再根据几何关系，表示长度，判断选项. 【详解】由题意可画出其直观图如下，    其中，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC 6．CD 【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可. 【详解】 设，因为平面，，则， ，连接交于点，连接，易得， 又平面，平面，则，又，平面，则平面， 又，过作于，易得四边形为矩形，则， 则，， ，则，，， 则，则，，，故A、B错误；C、D正确. 故选：CD. 7． 【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解. 【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 8． 【分析】根据线面平行的性质定理，可得到，即可求的长. 【详解】根据题意，因为平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中点，所以是的中点. 因为在中，，故. 故答案为： 9．(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 10．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理，即可证明； （2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，，即可证明线面垂直； （3）利用等体积，求点到平面的距离. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接， 因，，可得是平行四边形，则， 又，则得， 因平面，平面，故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面 平面则， 又平面，故平面. （3）在中，， 因平面 平面则 在中，，同理，，， 故满足勾股定理，则， 故 而 ，设点D到平面的距离为d， 由等体积法得 ， 得 = 故点D到平面的距离为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $