精品解析：贵州镇宁高中教育集团2025-2026学年第二学期5月期中评价高一数学试题

镇宁高中教育集团2025－2026学年第二学期期中评价试题 高一年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 2. “、、、四点共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D. 若 ，在方向上的投影向量为 5. 定义：若不相等的两个向量满足条件：且均为整数，则称向量互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 8. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 B. 若，则或 C. 若是第四象限角，则 D. 若向量，则“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件 11. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调､响度､音长和音色.它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐；我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是结合上述材料及所学知识，下列说法错误的是（ ） A. 函数不具有奇偶性 B. 函数在区间上单调递增 C. 若某声音甲的对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度小 D. 若某声音乙的对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 化简______． 13. 已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 14. 在中，角的对边分别为，则下列命题中正确的序号为：___________ ①若，则． ②若，则一定为等腰三角形． ③P为所在平面内的一点，且，则P为的内心． 四、填空题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若向量，求． 16. 如图，菱形的边长为，，，． 求：（1）； （2）． 17. 已知函数，点是图象的一个对称中心. （1）求； （2）设函数，求的最大值和单调递增区间. 18. 如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.记梯形的周长为，. （1）将表示成的函数； （2）求梯形周长的最大值. 19. 在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知的面积为，角所对的边分别为，且选条件：________. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围 （3）若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇宁高中教育集团2025－2026学年第二学期期中评价试题 高一年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的终边定义和二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】角的终边过点， 则， . 故选：. 2. “、、、四点共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若 四点共线，则向量 与 一定在同一直线上， ,充分性成立. 若 与 共线,只能说明两向量平行, 可以是两条平行直线,四点不一定共线,必要性不成立. 所以“、、、四点共线”是“与共线”的充分不必要条件 3. 如图所示，在中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： . 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D. 若 ，在方向上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【详解】A选项，若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误； B选项，若，则，成立，但不一定成立，故B错误； C选项，若，则四点可能共线，故C错误； D选项，在方向上的投影向量为，D正确. 5. 定义：若不相等的两个向量满足条件：且均为整数，则称向量互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】设与互为“等模整向量”的向量， 则，所以，令，则，则 （舍去）， 令，则，则 或 ， 令，则，则 ， 故与向量互为“等模整向量”的向量个数有3个． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 可知，由，可知， 所以， 所以. 7. 在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求，结合三角形面积公式求出面积即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得：， 因此， 则， 而，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以． 8. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意由三角函数的对称性得到，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可． 【详解】如图， 由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 又，所以， 因为函数图象向左平移个单位长度得到的图象，所以 ， 所以 ，即，故， 由图象可得，所以，则， 又 ，所以 ，则， 又，所以． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 B. 若，则或 C. 若是第四象限角，则 D. 若向量，则“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若是第二象限角，则 ， 所以 ． 当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角． 所以是第一象限角或第三象限角，故A正确； 对于B，若，则 ，所以 或 或，故B错误； 对于C，若是第四象限角，则 ．因为 ，所以 ，故C正确； 对于D，因为向量与的夹角为锐角，所以且与不共线， 即解得且， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件．故D正确． 11. 声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调､响度､音长和音色.它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐；我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是结合上述材料及所学知识，下列说法错误的是（ ） A. 函数不具有奇偶性 B. 函数在区间上单调递增 C. 若某声音甲的对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度小 D. 若某声音乙的对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A利用函数奇偶性的定义判断即可； 对于B利用增函数和增函数的和仍为增函数来判断； 对于C判断两个函数的振幅大小即可； 对于D求出两个函数的周期，进而得到频率大小，即可判断. 【详解】对于A，令， 则 则，且函数定义域为R，所以是奇函数，A错误； 对于B，因为 所以，，，都在上单调递增， 所以在上单调递增，B正确； 对于C，因为为奇函数，且，所以， 所以的振幅比的振幅大，所以C错误； 对于D，的最小正周期是 证明：若存在，使恒成立，则必有， ， ，因为， ， 又与不恒相等，故的最小正周期是，所以频率， 而的周期为，频率，所以D正确. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角公式变形后，用诱导公式变形可得． 【详解】． 故答案为：． 13. 已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】表示出、后，利用共线定理计算可得空一；利用向量垂直性质计算可得空二. 【详解】、； 若三点共线，则、共线，即有，解得； 若，则，解得. 14. 在中，角的对边分别为，则下列命题中正确的序号为：___________ ①若，则． ②若，则一定为等腰三角形． ③P为所在平面内的一点，且，则P为的内心． 【答案】① 【解析】 【分析】由正弦定理，得到，可判定①正确；利用正弦定理化简得到，求得或，可判定②错误；利用向量的运算法则，分别求得和，得到点为的垂线，可判定③错误. 【详解】对于①，若，由正弦定理，可得，所以，所以①正确； 对于②，若，由正弦定理得，所以， 因为，所以或，可得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以②错误； 对于③，由，可得， 又由，可得， 所以，所以点为的垂心，所以③错误. 四、填空题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若向量，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角的坐标公式计算即得； （2）先求出向量的坐标，再求其模即可. 【小问1详解】 由，，可得， 且， 则； 【小问2详解】 因， 则. 16. 如图，菱形的边长为，，，． 求：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算法则，可得，结合向量的数量积的运算公式，即可求解； （2）由（1）知，求得，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为菱形的边长为，，，， 由向量的线性运算法则，可得， 所以 . （2）由（1）知，， 可得，即， ，即， 所以. 17. 已知函数，点是图象的一个对称中心. （1）求； （2）设函数，求的最大值和单调递增区间. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据对称中心结合正弦函数性质可得，即可得函数的解析式； （2）利用诱导公式以及倍角公式可得，结合余弦函数性质求最大值和单调递增区间. 【小问1详解】 由题意可知：， 且，则， 可得，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 当，即时，函数取到最大值， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 18. 如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.记梯形的周长为，. （1）将表示成的函数； （2）求梯形周长的最大值. 【答案】（1）； （2）10. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形边角关系求解即得. （2）利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【小问1详解】 由是半圆的直径，得，则， 过作交于，连接，则， 因此， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 设，则，显然当时，有最大值10， 所以梯形周长的最大值是10. 19. 在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知的面积为，角所对的边分别为，且选条件：________. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围 （3）若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选①可根据正弦定理边化角和三角形中的诱导公式化简计算；选②可根据正弦定理角化边和余弦定理化简计算；选③根据向量乘积展开式和正弦定理的面积公式进行化简计算； （2）利用正弦定理将用角表示，结合三角形内角和将周长转化为关于单一角的函数，再根据角的范围，利用三角函数的性质求取值范围； （3）设，将所有未知角用表示，再用正弦定理将表示出来进行化简，最后根据的范围求出的最大值. 【小问1详解】 选①根据正弦定理可知:， 即，结合，展开化简得， 故，又，所以； 选②根据正弦定理可得: 根据余弦定理可得:，又，所以； 选③根据向量点乘运算可得:， 又，所以. 【小问2详解】 设周长，由余弦定理：， 由基本不等式， 代入得：，解得，当且仅当时等号成立； 又由三角形三边关系，所以，因此周长：； 【小问3详解】 如图，设，则，， 在中，由正弦定理得可得， ， 在中，由正弦定理得:可得， ， 是锐角三角形，所以， 所以， 当时，可得的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $