贵州省安顺市镇宁高中教育集团镇宁民中分校2025-2026学年高一6月假期数学作业3

**基本信息** 高一数学周测试卷，涵盖复数、向量、解三角形、立体几何等核心知识，解答题设置多解法（如解三角形5种方法），注重思维层次性与空间观念培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4题|复数模、向量运算、解三角形、正三棱台外接球|基础巩固，结合几何直观| |多选题|2题|正方体线线关系、三角函数图像性质|能力提升，考查推理意识| |填空题|2题|向量投影、斜二测画法还原|细节应用，体现数学眼光| |解答题|2题|解三角形（多解法）、四棱锥面面平行证明|创新应用，培养逻辑推理与空间观念|

镇宁高中教育集团镇宁民中分校高一年级高考假期作业3 班级：___________姓名：___________评价：___________ 一、单选题 1．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．已知向量满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 3．在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 6．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B．直线是的图象的一条对称轴 C．在区间上单调 D．在区间上有6个零点 三、填空题 7．已知向量，，若，向量在向量上的投影向量为__________． 8．如图，是的斜二测画法的直观图，，，则原平面图形的周长为________. 四、解答题 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. (1)求证：平面； (2)若为中点，求证：平面平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《镇宁高中教育集团镇宁民中分校高一年级高考假期作业3》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D B A BD ABD 1．A 【分析】用求根公式解一元二次方程可得，再根据复数的模的概念即可求解. 【详解】已知 ，展开整理得：， 由求根公式： 则 2．D 【详解】因为，所以， 化简得：，所以，则：. 3．B 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 4．A 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    5．BD 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 6．ABD 【分析】对A：将原函数化为正弦型函数后，利用平移定义即可得；对B、C：结合正弦函数性质，借助整体代入法计算即可得；对D：画出函数与在上的图象后即可得. 【详解】； 对A：将的图象向右平移个单位长度可得： ，故A正确； 对B：时，， 由直线是函数的一条对称轴， 故直线是的图象的一条对称轴，故B正确； 对C：时，， 由函数在上不单调， 故在区间上不单调，故C错误； 对D：令，即， 则的零点个数即为与交点个数， 作出与在上图象如下图： 由图可得，两函数图象在上共有6个零点， 即在区间上有6个零点，故D正确. 7． 【分析】根据向量垂直关系的坐标表示可构造方程求得的值，由投影向量公式和向量坐标运算直接求解即可. 【详解】，， ，解得：，； 在上的投影向量为. 8． 【详解】如图，在中，作于点. 因为，，所以，. 又因为，所以，，. 将直观图还原为原平面图形， 由斜二测画法，可得，，， 所以，， 则原平面图形的周长为. 9．(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 10．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，由且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，证得平面，由（1）可得平面，结合面面平行的判定定理，即可得证. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为底面是正方形，底面，且分别是的中点， 所以，且，， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）证明：因为为的中点，连接，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 由（1）可得平面，且平面， 所以平面平面. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $