专题10 平面向量奔驰定理与三角形面积-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题10 平面向量奔驰定理与三角形面积 奔驰定理：为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部， 并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时， 则有. 结论3：对于内的任意一点，若， 则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零， 则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，， 则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零， 则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比. 各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 考向1 奔驰定理直接法求三角形面积比 【例1】设点在所在平面内，若，则与的面积比为 . 【答案】 【解析】方法一：由奔驰定理可得： 方法二：如图，设直线与直线的交点为点， 则和面积比为， 设， ∵， ∴， 由平面向量的基本定理得，，解得， ∴和的面积比为. 【变式1-1】设点在的外部，且，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据奔驰定理推广结论可得：，故 【变式1-2】已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 根据奔驰定理可得：， 又，所以 【变式1-3】设点在内部，且，则与的面积之比为________. 【答案】 【解析】因为点在内部，满足奔驰定理， 且， 所以与的面积之比为，故答案为：. 考向2 奔驰定理变形求三角形面积比 【例2】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为三角形内一点，且满足， ， ． ，故选：D． 【变式2-1】在中，为所在平面内一点，且，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：由＝＋得，＋2＋3＝0， 根据奔驰定理得，S△BCD∶S△ABD＝1∶3． 方法二：如图，由点在中与平行的中位线上，且在靠近边的三等分点处， 从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC， S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝． 【变式2-2】点在所在平面上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方法一：由变形可得：， 则 因为前的系数为，则点在三角形外。 则. 方法二：因为， 所以，所以共线， 且，所以. 【变式2-3】点在内的一点，，则的面积与的面积之比是 【答案】3 【解析】方法一：由变形可得： 整理可得：， 则根据奔驰定理可得：， 则. 方法二：以，为邻边作平行四边形，交于点，则是的中点， 则， 由图可知，， 则的面积与的面积之比为3. 考向3 利用三角形面积反求向量式系数问题 【例3】已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由奔驰定理可得：，解得 【变式3-1】点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0， 整理得＝＋，故选A． 【变式3-2】设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________． 【答案】 【解析】根据奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y， 平方得2＝4x22＋4y22＋8xy| |·||·cos∠BPC， 又因为点P是△ABC的外心， 所以||＝||＝||，且∠BPC＝2∠BAC＝60°， 所以x2＋y2＋xy＝，(x＋y)2＝＋xy≤＋2， 解得0<x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号． 所以(x＋y)max＝． 【变式3-3】已知点为内一点，满足，若，则（ ）. A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由于点是△ABC内