安徽黄山市屯溪第一中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试题

**基本信息** 本试卷聚焦高二数学核心知识，通过数学文化（如《孙子算经》同余问题）、实际情境（如班级排队、疾病概率）及综合应用（如导数单调性与证明），考查数学思维与问题解决能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选+多选）|11题/58分|函数导数、概率、排列组合、数学文化|基础巩固（如导数计算）与能力提升（如条件概率）结合| |填空题|3题/15分|函数求值、集合元素、函数性质|创新设问（如函数零点存在性判断）| |解答题|5题/77分|导数应用、概率传输、不等式证明|分层设计，如导数单调性讨论与极值点探究，体现数学语言表达|

屯溪一中2025～2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数满足，则（ ） A．1 B．2 C．9 D．3 2．函数的导数是（ ） A． B． C． D． 3．某学校组织学生体检，高二年级六个班排队，甲班必须排在前三位，丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（ ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 4．春季是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为 （ ） A. B. C. D. 5． 已知定义域为R，是的导函数，，对任意的x都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为. 若，且，则可以为（ ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数的求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 10. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11．已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，则__________. 13.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为________. 14．已知函数. 给出下列四个结论： ①不存在实数a，使得函数的值域是； ②存在实数a，使得有最小值； ③对任意实数a，至少存在两个零点； ④存在，有，使得； 其中所有正确结论的序号是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间既有最大值又有最小值，求a的取值范围． 16. 已知，求： （1） ； （2） ； （3）． 17. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立 由于技术原因，每次传输信号的准确率为，即发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为 现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点，节点把收到的信号重新发送至节点，节点再把收到的信号重新发送至节点，以此类推，最终发送至节点． 若信号源发出信号，求节点收到信号的概率； 为确保信号传输的有效性，要求节点收到信号的准确率不低于，求的最大值． 参考数据：． 18．已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）当时，函数有两个不同的零点，求证：. 19．已知函数. （1）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：（，为自然对数的底数，……）． 高二数学试题·第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B C A D A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 CD AC ACD 9．CD 【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，,故B不正确； 对于C,，故C正确; 对于D，,故D正确； 故选：CD 10. AC 【分析】计算出，，利用条件概率求出，A正确；同理得到，D错误，利用全概率公式求出，B错误；利用条件概率得到C正确. 【详解】由题意得：，， 故，A正确； ，，D错误； ，， 故，B错误； ，C正确. 故选：AC 11．ACD 【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数和即可依次分析判断ABC，由题设依次求出即可判断D． 【详解】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即，， 所以， 所以，， 所以，故D正确； 3、 填空题 12． 【详解】解：由题，则，解得. 13.【答案】 【解析】 解：分以下三种情况讨论， ，则上述五个数中有一个为或，其余四个数为零，此时集合有个元素； ，则上述五个数中有两个数为或，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个； ，则上述五个数中有三个数为或，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个； 综上所述，集合共有个元素． 14．①②④ 【分析】根据二次函数的性质，结合指数函数的性质即可判断①；根据时，根据二次函数的性质，结合函数性质即可判断②，根据即可判断③，构造，利用导数求解函数的单调性即可判断④. 【详解】当时，当时，为开口向上的二次函数，， 故此时的值域为的子集， 而时，，且当时，，故此时值域不可能为， 当时，当时， 为开口向下的二次函数，， 故此时的值域为的子集，而时，，故此时值域不可能为， 当时，值域为，不为， 因此值域不可能为，故①正确； 当时，当时，为开口向上的二次函数，， 故此时，当时，， 综上可得时，，故②正确， 当时，当时，，此时在单调递减，此时只有一个零点， 当时，，此时无零点， 故当时，只有一个零点，故③错误， 当时，，若，则，所以， 令（），则， 故在上单调递增，故， 故当时，此时在上有实数根，因此存在，使得，④正确， 故答案为：①②④ 四、解答题 15．(1) (2) 【分析】（1）求得，得到，得出切线的斜率为，进而求得切线的方程； （2）由（1）知，求得函数的单调性和极值，由，求得，结合和，即可求得实数a的取值范围. 【详解】（1）解：由题意，函数，可得， 则，切线的斜率为， 所以函数在点处的切线方程，即. （2）解：由（1）知， 令，即，解得或， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值， 又由，解得， 经验证：若时，此时区间为，此时，可得， 此时函数在处取得最小值； 当时，此时区间为，此时，此时， 此时函数在处取得最大值， 所以函数在区间既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围. 16.解：在已知二项式中，取  ，得  ； 取  ，可得  ； 考查  ，取  ，即可得到原二项式中  ； 令  ，则  ， 取  ，可得    ，又    ， 则     ． 17.解：记“节点收到信号”，“节点收到信号“，，，，， 则， ，，，， ， 故节点收到信号的概率为； 不妨计算信号源发出信号，求节点收到信号的概率： 记，则， 则， 即， 构造得，又， 所以， 即节点收到信号的概率为， 由，得， 两边取以为底的对数，， 所以，即的最大值为．  【解析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解； 根据已知条件，先求出，再结合对数的运算性质，即可求解． 本题主要考查概率的应用，考查转化能力，属于中档题． 18．(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）求出的定义域，根据导数与单调性的关系求解即可. （2）根据题意及函数的单调性得到，通过构造函数，求导，结合单调性证明即可. 【详解】（1）函数，定义域为，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由题知，， 不妨设，则， 设，， 则. 当时，，. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 故，即， 所以，所以单调递减，， 所以，即. 因为，所以，又，， 所以，即. 19．（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）由函数定义域为，，得到在上单调递增，在上单调递减，得到为的极值点，再由区间上存在极值点得到关于的不等式组，求得的取值范围即可； （2）把转化为，令，进而转化为，利用导数求得即可； （3）由（2）得，即，令，得，令，得到个式子，对这个式子进行累加后，根据对数的运算性质即阶层的定义即可得到结论. 【详解】（1）函数定义域为，， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以为的唯一极值点. 因为，函数区间上存在极值点， 所以应满足，解得：， 故所求实数的取值范围为. （2）当时，不等式化为：，即. 令，由题意，在恒成立, 所以只需. ， 令，则，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，所以 因此， 在上单调递增， 因此，，即实数的取值范围为；   （3）由（2）知，当时，不等式在上恒成立， 即，整理得： 令，则有 分别令，则有 ，…， 将这n个不等式左右两边分别相加，得 故， 所以 从而，从而得证. 学科网（北京）股份有限公司 $