专题05 一次函数6大考点（期末真题汇编，广东专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 汇编广东多地近年期末真题，系统覆盖一次函数6大核心考点，梯度设计兼顾基础概念辨析与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约30题|一次函数概念、图象性质、象限判断|结合广东各地期末真题，聚焦概念辨析与性质应用| |填空题|约15题|待定系数法、函数平移、参数取值|注重基础公式应用与易错点考查| |解答题|约20题|实际应用（快递收费/购车决策）、几何综合（动态点/图形变换）|非选择题突出跨情境应用，压轴题融合一次函数与几何动态问题，贴合中考命题趋势|

命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题05 一次函数 ☆高频考点概览 考点01一次函数的概念 考点02一次函数的图象与性质 考点03待定系数法求一次函数的表达式 考点04一次函数与方程（组）、不等式 考点05一次函数的实际应用 考点06一次函数与几何综合（压轴题） 目目 考点01 次函数的概念 1. (24-25八年级下·广东江门期末)下列式子中，表示y是x的正比例函数的是() A.y=x2 B.y=3 C.y=Vx D.y=2x 【答案】D 【详解】本题考查了正比例函数的定义，形如y=x(k为常数且k≠0)的函数是正比例函数，需满足自 变量x的次数为1，且不位于分母或根号内 【分析】A.y=x2中，x的次数为2，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意： B.y=3中，x位于分母，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意： C.y=√x中，x位于根号内，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意； D.y=2x中，x的次数为1，且符合y=的形式(k=2),是正比例函数，故本选项符合题意. 故选D 2.(23-24八年级下·广东惠州期末)下列函数是正比例函数的是() A.y=3x 3 B.y= C.y=x2+1 D.y 3x 1 【答案】A 【分析】本题主要考查正比例函数的概念，根据正比例函数的表达式y=x(k≠O)即可求解， 【详解】解：A、y=3x,是正比例函数，符合题意； B、y=3,不是正比例函数，不符合题意； C、y=x2+1,不是正比例函数，不符合题意： D、y3x1,不是正比例函数，不符合题意； 故选：A. 1/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 3.(23-24八年级下·广东汕头期末)下列函数中，是一次函数有() A.y=x2+1 B.y=3 C.y=2x-1 2 D.y= 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义.形如y=x+b(k≠0)的函数叫做一次函数，根据定义，逐项判断即可. 【详解】解：A是二次函数，此项不符合题意； B.是常数函数，此项不符合题意： C.是一次函数，此项符合题意； D.是反比例函数，此项不符合题意。 故选：C 4.(23-24八年级下·广东汕头期末)下列函数中，是一次函数的是() A.y=2x2-x B.y=-2+1 +l C.y=- 2 D.y=3x2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的识别，一次函数形如y=kx+b(k≠0)，其中k,b为常数，由此逐项判断即可. 【详解】解：A.y=2x2-x不是一次函数，不合题意： B.y=2+1不是一次函数，不合题意， C.y=-+1是一次函数，符合题意： 2 D.y=3x2不是一次函数，不合题意： 故选C. 5.(22-23八年级上广东揭阳期末)若y=(k-2)x2+(k-2)x是y关于x的正比例函数，则k的值为() A.±2 B.-2 C.2 D.3 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义，可得：k-2≠0，k-2=0,从而求出k值. 【详解】解：：根据正比例函数的定义，可得：k-2≠0，k-2=0, k=-2. 故选：B 2/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【点晴】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是理解正比例函数的定义.正比例函数的定义：一般地， 形如y=c(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 6.(23-24八年级下·广东期末)已知一次函数y=(3-k)x+9-k2是正比例函数，则k= 【答案】-3 【分析】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的常数项为0是解题的关键.根据正比例函数 的定义可得3-k≠0,9-k2=0,即可求得结果 【详解】解：：一次函数y=(3-k)x+9-k2y=2x+(k-2)是正比例函数， 9-k2=0 3-k≠0” 解得：k=-3, 故答案为：-3. 7.(24-25八年级下.广东汕头期末)若y=(m+1)x2网+1是关于x的一次函数，则m的值为() A.1 B.-1 C.±1 D.±2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项 系数不为零，列方程求解即可. 【详解】解：：y=(m+1)x2m+1是关于x的一次函数， .2-m=1且m+1≠0， 解得m=1, 故选：A 8.(21-22八年级下广东惠州期末)若关于x的函数y=k2+3-x+5x≠0)是一次函数，则k= 【答案】0、2 【分析】根据一次函数的定义可知，2k+3=0时，关于x的函数y=kx2+3-x+5x≠0)是一次函数来求解. 【详解】解：：关于x的函数y=kx2+3-x+5x≠0)是一次函数， 当k=0时，y=-x+5,符合题意； 当-2+30时，号y- 13 3-x+5=-x+ ,符合题意： 3/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以k=0或k=3 故答案为：0、 3 【点晴】本题主要考查了一次函数的定义，理解一次函数的定义是解答关键 9.(24-25八年级下·广东广州期末)下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y: ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x: ③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数x 其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，分别求出每个情境中变量y与x的函数关系式，判断是否为一次函数即可. 详解】解：①：等腰三角形的底边长为3，面积公式为☆底高，代入底长3，得三3x生中 即y子，是正比例函数《一次函数)，符合条作， ②：泳池匀速放水，剩余水量y与时间x的关系为y=V-x(V为初始水量，为放水速度)，属于一次函 数，符合条件： ③：铺设总长度固定时，每日铺设长度y与天数x满足y=上(L为总长度)，不符合一次函数。 1 综上，满足一次函数关系的是①和②， 故选：A 10.(24-25八年级下·广东阳江·期末)已知y关于x的函数y=(2m+6)x+m2-9,且该函数是正比例函 数，求m的值。 【答案】m=3 【分析】本题主要考查了正比例函数定义，根据正比例函数定义可得m?-9=0,且2m+6≠0，再解即可 【详解】解：由题意得：m2-9=0,且2m+6≠0， 解得：m=3 目目 考点02 次函数的图象与性质 1.(24-25八年级下·广东汕头期末)关于正比例函数y=5x的描述，错误的是() A.图象是一条过原点的直线 B.y随x的增大而增大 4/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C. 图象过写 D.图象过一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键.根据一次函数图象上点的 坐标特征解答即可 【详解】解：当x=1时，y=5, .点(1,5)在y=5x图象上， .函数y=5x图象不经过 选项C说法错误，其他选项说法正确 5 故选：C 2. (23-24八年级下·广东·期末)已知正比例函数y=5,下列结论正确的是( A.图象是一条射线 B.图象必经过点(-1,2) C.图象经过第一、三象限 D.y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可. 【详解】解：A正比例函数y=的图象是一条直线，故A错误： B.当x=-1时，y=-=)≠2，：图象不经过点(1,2)，故B错误； 2=2 C,心0，图象经过第、四象限，故C错误 D.:-】<0,y随x的增大而减小，故D正确。 2 故选：D, 【点晴】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质. 3.(23-24八年级下.广东惠州期末)如图，正比例函数y=mx,y=x在同一平面直角坐标系中的图象如 图所示.则比例系数m,n的大小关系是mn.(填“>”、“<”或=”) y=mx y=nx 【答案】> 【分析】本题考查饿了正比例函数的性质，根据直线越靠近y轴越大，即可判定求解，掌握正比例函数 5/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 的性质是解题的关键， 【详解】解：：直线越靠近y轴k越大，且由图象可知m、n为正数， :m>n, 故答案为：>. 4.(24-25八年级下·广东中山期末)己知正比例函数y=3x,则当-1≤x≤2时，函数的最大值为() A.-6 B.-3 C.3 D.6 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键.根据正比例函数 y=3x的性质，当比例系数k=3>0时，函数值随x的增大而增大.因此，在区间-1≤x≤2内，函数的最大 值出现在x的最大值处 【详解】解：：k=3>0时，函数y随x的增大而增大，-1≤x≤2 .当x=2时，取得最大值，y=6, 故选：D 5.(23-24八年级上广东佛山期末)若点(-1，)、(2,2)都在函数y=-2x的图象上，则与的大小关 系是() A.y<y2 B.=y2 C.y>y2 D.无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据k=-2<0,可得y随x的增大而减小，即可求解. 【详解】解：：y=-2x,k=-2<0, 点(-1，y)、(2,y2)都在函数y=-2x的图象上，-1<2 为>y2 故选：C 6.(24-25八年级上广东揭阳期末)己知点A(x,y)和点B(x2,y2)是正比例函数y=-(k2+1x图象上的两 个点，如果x>2,那么和的大小关系是() A.y>y2 B.y<y2 C.y=y2 D.无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的增减性是关键.根据正比例 6/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 函数图象上点的坐标特征解答即可. 【详解】解：-k2+1<0, y随x的增大而减小， X1>X2, y<y2, 故选：B 7.(22-23八年级下广东广州·期末)已知函数y=(k-3)x是正比例函数，且y随着x的增大而减小，则下 面判断正确的是() A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3 【答案】D 【分析】根据正比例函数y=(k-3)x中，y随着x增大而减小得出关于k的不等式求解即可. 【详解】解：：函数y=(k-3)x是正比例函数，且y随着x的增大而减小， k-3<0,解得k<3. 故选：D 【点晴】本题主要考查了正比例函数的性质，函数y=c,当k<0,y随着x增大而减小 8.(22-23八年级下·广东期末)已知正比例函数y=c(k是常数，k≠0)，y的值随着x的值的增大而 增大，请写出一个满足条件的正比例函数的解析式：y= 【答案】y=2x(答案不唯一) 【分析】因为在正比例函数y=x中，y的值随着x值的增大而增大，所以k>0,于是得到结论， 【详解】解：”在正比例函数y=c中，y的值随着x值的增大而增大， k>0, “函数表达式为y=2x。 故答案为：y=2x(答案不唯一)· 【点晴】本题考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键 9. (22-23八年级上广东茂名·期末)己知正比例函数y=c图像经过二、四象限，则k0. 【答案】< 【分析】对于正比例函数y=,当k>0时，函数图象经过一、三象限；当k<0时，函数图象经过二、 7/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 四象限；由此判断即可 【详解】解：正比例函数y=图象经过二、四象限， k<0, 故答案为：<。 【点晴】本题考查正比例函数图象的性质，理解正比函数图象的性质与比例系数之间的关系是解题关键。 10. (24-25八年级上·陕西西安期中)己知正比例函数y=(m-1x5m的图象经过第一、三象限，则m的 值为 【答案】2 【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键，注意利 用图象的位置进行取舍，由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值. 【详解】解：：函数y=(m-1)x5m是正比例函数， .5-m2=1, 解得m=土2， :图象经过第一、三象限， ∴.m-1>0, .m>1, m=2. 故答案为：2. 11.(23-24八年级下·广东期末)若正比例函数y=(m-2)x的图象经过点A(x1,y)和点B(x2,y2), 当x1<x2时y>y2,则m的取值范围是 【答案】m<2 【分析】由当x<x2时y>y2,可得出y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出m~2<0,解之 即可得出m的取值范围。 【详解】解：当x1<x2时y1>y2, y随x的增大而减小， .m-2<0, .m<2 故答案为：m<2. 【点晴】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大 8/102 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 而减小”是解题的关键 12.(24-25八年级上·广东清远期末)一次函数y=kx+k与正比例函数y=-x的大致图象是() v=kx+k y=-kx y=kx+k B v=kx+k 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，此类题可用数形结合的思想进行解答，根据正比例函 数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可。 【详解】解：A、正比例函数y=-x与一次函数y=kx+k的自变量系数k互为相反数，故该选项不符合题 意； B、正比例函数y=-c与一次函数y=kx+k的自变量系数互为相反数.故该选项不符合题意； C、正比例函数图象经过第一、三象限，则k<0,那么一次函数y=x+k应经过二、三、四象限，故该选 项不符合题意： D、正比例函数图象经过第二、三象限，则k>0,那么一次函数y=kx+k经过一、二、三象限，故该选项 符合题意 故选：D, 13.(23-24八年级下·广东广州期末)一次函数y=kc+b(b≠0)不经过第三象限，则y=bx+k的大致图象 是() y A B 【答案】A 【分析】本题考差了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键； 根据一次函数y=x+b(b≠O)在坐标平面内的位置关系先确定k,b的取值范围，再根据k,b的取值范围确 9/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 定一次函数y=bx+k在坐标平面内的位置关系，从而求解 【详解】：一次函数y=x+b(b≠0)不经过第三象限， :该函数经过第一、二、四象限， :k<0,b>0, :y=bx+k经过第一、三、四象限， 故选：A, 14.(24-25八年级上广东佛山期末)若点(a,b)在第四象限，则函数y=ax+b的图象大致是() 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0,b>0 时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k>0,b<0时，一次函数图象经过第一、三、四象限：当 k<0,b>0时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当k<0,b<0时，一次函数图象经过第二、三、四象 限是解题的关键.根据点(a,b)为第四象限内的点，可得a>O,b<0,进而得到一次函数y=ax+b的图象经 过第一、三、四象限，即可求解. 【详解】解：：点(a,b)为第四象限内的点， .a>0,b<0, ·.一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限 故选：C 15.(25-26八年级上·广东清远期末)在平面直角坐标系中，直线y=-3x+12经过的象限有() A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 10/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y=+b(k为常数，k≠0)，当k>0时，y 随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.当b>0,图象与y轴的正半轴相交，当b<0,图象 与y轴的负半轴相交，当b=0,图象经过原点. 根据一次函数的性质判断即可. 【详解】解：b120, “.图象与y轴的正半轴相交， :k=-3<0, y随x的增大而减小， ·图象经过第一、二、四象限. 故选B 16.（23-24八年级下·广东·期末)已知一次函数y=2m-3)x+3n+1的图象经过第一、二、三象限，则m、 n的收值范围是（) A.m>3,n>3 B.m>3, .3 ，2>之273 D.m>3, ，n< 3 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质.熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键， 由一次函数y=2m-3)x+3n+1的图象经过第一、二、三象限，可得2m-3>0,3n+1>0,计算求解即可. 【详解】解：：一次函数y=2m-3)x+3n+1的图象经过第一、二、三象限， ∴.2m-3>0,3n+1>0, 3 1 解得，m>2n>3 故选：B 17.(22-23八年级上广东·期末)若一次函数y=（k+1)x+2k-4的图像不经过第二象限，则k的取值范围 是 【答案】-1<k≤2 【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第二象限列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可， 【详解】解：一次函数y=(k+1)x+2k-4的图形不经过第二象限， 11/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 [k+1>0 2k-4≤0' 解得：-1<k≤2. 故答案为：-1<k≤2. 18.(24-25八年级下·广东广州期末)己知一次函数y=(m+3)x+m-2的图象如图所示，则m的取值范围 为() A.m>-3 B.7m<2 C.m<-3或m>2D.-3<m<2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是关键；由图象知m+3>0,且 m-2<0,解不等式组即可求解 【详解】解：由图象知，函数图象从左往右是上升的，即m+3>0;且图象与y轴交点位于y轴负半轴上， 即m-2<0, m+3>0 m-2<0’ 解得：-3<m<2, 故选：D, 19.(23-24八年级下·广东广州期末)若函数y=-3x+k的图象经过第二、三、四象限，下列关于函数 y=kx+k的描述正确的是() A.y随x的增大而增大 B.图象不经过第三象限 C.必过定点(-1,0) D.与x轴的交点坐标为(0，k) 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题 的关键， 根据函数y=-3x+k的图象经过第二、三、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可. 【详解】解：因为函数y=-3x+k的图象经过第二、三、四象限， 12/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以k<0, 所以函数y=kx+k,y随x的增大而减小，图象不经过第一象限，必过定点(-1,0)，与y轴的交点坐标为 (0,k), 故选项C符合题意。 故选：C 20.(24-25八年级下·广东汕尾期末)对于函数y=x-2,下列说法正确的是() A.它的图象经过二、三、四象限 B.y随x增大而减小 C.它的图象经过点1，-1) D.它的图象与y轴的交点为0,2) 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 根据一次函数y=x-2的解析式逐一判断即可 【详解】解：A.:k=1>0,b=-2<0,它的图象经过一、三、四象限，原说法错误 B.:k=1>0,y随x增大而增大，原说法错误 C.当x=1时y=1-2=-1,原说法正确 D.当x=0时y=0-2=-2≠2，原说法错误 故选：C 21.(24-25八年级下·广东东莞期末)关于一次函数y=一2x+1,下列结论正确的是() A.图象过点(-1，-3) B.当x>0时，总有y<1 C.图象不经过第四象限 D.y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括点是否在图象上、函数值的范围、图象经过的象限以及函 数的增减性 【详解】解：选项A:将x=-1代入y=-2x+1,得y=-2x(-1+1=3,故点(-1，-3)不在图象上，错误. 选项B:当x>0时，-2x<0,则y=-2x+1<1,恒成立，正确 选项C:因k=-2<0,b=1>0,图象经过第一、二、四象限，故经过第四象限，错误， 选项D:k=-2<0,故y随x的增大而减小，错误. 故选：B 22.（25-26八年级上·广东佛山期末)下列有关一次函数y=kx+3(k≠0)的说法：①函数图象与y轴的交 13/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 点为0,3)；②当k>0时，y的值随着x增大而增大；③当k<0时，函数图象经过第二、三、四象限.其中 正确的是（ ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质.根据一次函数的系数与图象、增减性的关系逐一判断说法的正 误 【详解】解：①当x=0时，y=k×0+3=3, :.函数图象与y轴的交点为(0,3)，故①正确. ②：一次函数y=x+b(k≠0)中，当k>0时，y的值随x值的增大而增大 ·.当k>0时，此函数y随x增大而增大，故②正确 ③：当k<0,b=3>0时，一次函数图象经过第一、二、四象限，故③错误. 综上，正确的是①② 故选A 23.(23-24八年级下·广东潮州期末)已知一次函数y=x+1中，y随x的增大而减小，则k的值可能是() A.0 B.4 C.5 D.-6 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据函数的增减性，判断k的范围，即可得出结果. 【详解】解：：一次函数y=+1中，y随x的增大而减小， .k<0, 故k的值可能是-6； 故选D. 24.(23-24八年级下·广东东莞·期末)一次函数y=x+2的值随x的增大而增大，则点P(m,-m)所在的象 限为() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质、点的坐标特征，由一次函数的性质得出m>0,-m<0,再由点的坐 标特征即可得出答案 【详解】解：：一次函数y=x+2的值随x的增大而增大， ∴.m>0, 14/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 -m<0, 点P(m,-m)所在的象限为第四象限， 故选：D 25.(23-24八年级下·广东广州期末)关于函数y=x+k-2(k为常数)，下列说法不正确的是（) A.当k≠0时，该函数是一次函数 B.若点A(-1,y),B(3,y2)在该函数图象上，且y<2,则k>0 C.若该函数图象不经过第四象限，则k>2 D.该函数图象恒过点(-1，-2) 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的性质等； A.由一次函数的定义得即可判断： B.将点A(-1,y),B(3,y2代入解析式，由y<y2,即可判断： C.当k-2=0时，当k-2≠0时，即可判断； D.解析式化为y=k(x+1-2,当x+1=0时，即可判断： 理解一次函数定义及性质是解题的关键。 【详解】解：A.由一次函数的定义得，结论正确，不符合题意； B.乃=-2,2=4k-2,:乃<y2,“-2<4k-2，解得：k>0,结论正确，不符合题意： C.当k-2=0时，k=2,∴y=2x,此时不经过第四象限；当k-2≠0时，：函数图象不经过第四象限， k>0 k-2>0'解得k>2::k22,结论错误，符合题意， D.y=k(x+)-2,当x+1=0时，x=-1,y=-2,:函数图象恒过点(-1，-2)，结论正确，不符合题意： 故选：C 26.(24-25八年级下·广东汕头期末)若点A2,m,B(3,n)都在一次函数y=kx+3(k<0)的图象上，则m 与n的大小关系是() A.m<n B.m=n C.m>n D.无法比较 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，当斜率k<0时，函数值y随x的增大而 15/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 减小，由此可比较m和n的大小。 【详解】解：：一次函数y=x+3,且k<0 y随x的增大而减小， :点A(2,m,B(3,n)都在一次函数y=kx+3(k<0的图象上，且2<3， ∴.m>n. 故选：C 24.23.(24-25八年级下·广东汕头期末)一次函数y=kx-4(k<0)的图象上有两点(-1，)，(2，y2), 则，的大小关系是() A.y>y2 B.y=y2 C.y<y2 D.不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质.对于一次函数y=x+b,当k<0时，函数值y随x的增大而减小，根 据这一性质，比较两点横坐标的大小即可判断对应函数值的大小关系. 【详解】解：一次函数y=c-4中k<0,所以y随x的增大而减小， 由点(-1，y),(2,y2)可知-1<2， .y>y2 故选：A. 24.（24-25八年级下·广东湛江·期末)点A(x,y)和点B(x2,y2)在同一直线y=-2x+b上，若x1>x2,则 y,y2的大小关系是() A.y>y2 B.y<y2 C.=y2 D.无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的增减性.由一次函数y=-2x+b的性质可得：y随x的增大而减小，从而 可得答案， 【详解】解：：y=-2x+b,k=-2<0, y随x的增大而减小， :x1>2 <2, 16/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故选：B 25.（25-26八年级上·广东阶段检测)己知Ax,y)、B(x2,y2)两点在一次函数y=(m-1)x+n的图象上， 且当x<x时，片<y2,则m的取值范围是 【答案】m>1 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的增减性求解即可，掌握一次函数的图象与性 质是解题的关键. 【详解】解：：A(x,)、B(x2,y2)两点在一次函数y=(m-)x+n的图象上，且当x<2时，乃<2， y随x的增大而增大， m-1>0, 解得m>1, 故答案为：m>1. 26.(23-24八年级下广东广州期末)已知点A3,y),B(5,y2)在直线y=x+b上，若片<2，则() A.b>0 B.b<0 C.k>0 D.k<0 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的增减性，熟记一次函数的性质是解本题的关键，根据35，乃<y2,可 得答案： 【详解】解：：点A(3,y),B(5,y2)在直线y=c+b上，乃<y2, “y随x的增大而增大， k>0, 函数的增减性与b无关， C符合题意； 故选C 27.(20-21八年级下·广东广州期末)当1s≤10时，一次函数y=3x+b的最小值为18，则b=() A.10 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【分析】由3>0可得一次函数y随x的增大而增大，进而可得当x=1时，一次函数有最小值，然后问题可 求解， 【详解】解：由题意得：3>0， 17/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∴y随x的增大而增大， 1x10, :当x=1时，一次函数有最小值， 3+b=18,解得：b=15, 故选B. 【点晴】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键 28.(23-24八年级下广东汕头期末)当1≤x≤10时，一次函数y=-3x+b的最大值为18，则b= 【答案】21 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据系数得出函数的增减性是解题关键，由一次函数的系数判断函 数的增减性，可知当x=1时，函数值最大，列出关于b的方程，解之即可 【详解】解：一次函数y=-3x+b, :-3<0,即y随x的增大而减小， :当x=1时，函数值最大， 由题意可知：-3×1+b=18, 解得：b=21 故答案为：21. 29.(24-25八年级下·广东广州·期末)将直线y=2x沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式 是() A.y=2x+3 B.y=2x-3 C.y=-2x+3 D.y=-2x-3 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握平移的性质。 直线平移时，沿y轴方向平移只需调整常数项，向上平移3个单位即在原解析式后加3. 【详解】解：原直线为y=2x,向上平移3个单位长度后，所有点的纵坐标增加3； 因此，平移后的解析式为y=2x+3, 故选：A. 30.(24-25八年级上甘肃兰州·期末)将一次函数y=-2x+4的图象平移得到图象的函数关系式为y=-2x, 则移动方法为() A.向左平移4个单位 B.向右平移4个单位 C.向上平移4个单位 D.向下平移4个单位 【答案】D 18/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移.根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解 【详解】解：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移4个单位得到图象的函数关系式为y=-2x. 故选：D 31.(24-25八年级下.广东广州期末)在平面直角坐标系中，一次函数y=kx-3k≠0)的图象向上平移3个 单位长度后经过点P,且y随x的增大而减小，则点P的坐标可能是() A.（3,0) B.（-1,-2) C.（2,3 D.-1,6) 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、一元一次方程的知识，结合题意，根据一次函数的性质可得：k<0,原函 数为y=x-3,向上平移3个单位后得到y=x,由各选项中点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特 征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，取k值为负的选项即可得出结论， 【详解】解：一次函数y随x的增大而减小， .k<0, 原函数为y=x-3,向上平移3个单位后得到y=c A.当x=3,y=0时，则0=k3,解得k=0,不符合题意，故该选项不符合题意； B.当x=-1,y=-2时，则-2=k-1),解得k=2>0,不符合题意，故该选项不符合题意； C.当x=2,y=3时，则3=k·2,解得k=1.5>0,不符合题意，故该选项不符合题意； D.当x=-1,y=6时，则6=k-1,解得k=-6<0,符合题意，故该选项符合题意； 故选：D, 32.(25-26八年级上广东清远期末)已知两个一次函数y=x+1,2=2x-1,其中y,=x+1的图象如图 所示，请结合图象回答下列问题： 19/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)画出函数y2=2x-1的图象： (②)若点Am1,n)和B(m2,2)在一次函数y2=2x-1的图象上，当m1>m2时，判断n与n2的大小，说明理由； (3)观察图象，当x>2时，比较片与的大小，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)当m>m2时，乃>乃2，理由见解析 3)当x>2时，片<y2,理由见解析 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知 一次函数的相关知识是解题的关键 (1)先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； (2)根据一次函数的增减性求解即可： (3)求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案， 【详解】(1)解：列表如下： 0 。44 2=2x-1 -1 函数图象如下所示： y2=2x-1 yx1 (2)解：当m>m2时，>n,理由如下： :y2=2x-1,2>0, ·随x的增大而增大， 20/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :点A(m1,)和B(m2,n2)在一次函数y2=2x-1的图象上，且m,>m2, .乃>乃2； (3)解：当x>2时，y<y,理由如下： y=x+1 x=2 联立 2=2x-1' 解得 y=3 一次函数y=x+1和y2=2x-1的交点坐标为2,3)， :由函数图象可知，当x>2时，y<2· 目目 考点03 待定系数法求一次函数的表达式 1. (23-24八年级下·广东期末)若一次函数y=x+b的图象与直线y=-x+1平行，且过点(8,2)， 则该一次函数的解析式为() A.y=-x-2B.y=-x-6 C.y=-x-1 D.y=-x+10 【答案】D 【分析】根据平行直线的解析式的k值相等求出k,然后把点(8,2)的坐标代入一次函数解析式计算即可得 解.本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的k值相等求出一次函数解析式的k值是解题的 关键. 【详解】解：一次函数y=kx+b的图象与直线y=-x+1平行， k=-1, 一次函数过点(8,2) .2=-8+b 解得b=10, .一次函数解析式为y=-x+10 故选：D 2.（23-24八年级下广东期末)已知y-1与x+3成正比例，当x=-1时，y=3. (I)求出y与x的函数关系式： (2)设点(a,-2)在这个函数的图象上，求a的值. (3)试判断点(-2,5)是否在此函数图像上，说明理由. 21/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)y=x+4 (2)a=-6 3)点(-2,5)不在此函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程， 熟练掌握相关知识的运用是解答的关键 (1)设y-1=k(x+3),将x、y值代入求出k值即可求解： (2)将点(a,-2)代入(1)中函数关系式中求解即可： (3)将x=-2代入(1)中函数关系式中求解判断即可. 【详解】(1)根据题意，设y-1=k(x+3), 当x=-1时，y=3, .3-1=k(-1+3), 解得：k=1, y-1=x+3,即y=x+4, y与x的函数关系式为y=x+4; (2)将点(a,-2)代入y=x+4得：-2=a+4, 解得：a=-6; (3)当x=-2时，y=-2+4=2≠5， 则点(-2,5不在此函数的图象上. 3.(24-25八年级下·广东潮州期末)已知一次函数的图象经过M(-4,9)和N(2,3)两点，求这个一次函数的 解析式。 【答案】y=-x+5 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=x+b,则需要两组x,y的值.也考查 了一次函数图象上点的坐标特征. 利用待定系数法求一次函数解析式 【详解】解：设这个一次函数的解析式为y=kx+bk≠0)， :一次函数的图象经过点M(-4,9)和N(2,3), 22/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 「-4k+b=9 [k=-1 2k+b=3 解得 b=5’ ·这个函数的解析式为y=-x+5. 4. (25-26八年级上·广东佛山期末)如图，在平面直角坐标系中，一条直线与y轴交于点B(0,6),与x 轴交于点A(3,0),点M在线段AB上. B ○ A (I)求直线AB的表达式； (2)当S4oM=3时，求点M的坐标. 【答案】(1)y=-2x+6 2)M(2,2 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的表达式， (1)利用待定系数法求解即可； (2)利用三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)解：设直线AB的表达式为y=x+b(k≠0)， 将A3,0),B(0,6)代入得： b=6 3k+b=0' b=6 解得：k=-2 .直线AB的表达式为y=-2x+6: (2)解：：A3,0),.0A=3. :SM0w=3, 23/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 204w=3,即x3xw=3. 1 yw=2. 将y=2代入y=-2x+6得：2=-2x+6, 解得：x=2. M2,2. 5.(22-23八年级下·广东广州期末)己知y是x的一次函数，部分对应值如表所示. 0 2 3 m (1)求该一次函数的表达式： (2)求n+。m的值。 【答案】(1)该一次函数的表达式为y=-2x+3; 《2)2±72的值为多 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法 和一次函数的性质。 (1)设一次函数解析式，代入数据解方程组，即可得一次函数的解析式： (2)把(n,m)代入(1)所得的解析式，即可得n+2m的值。 【详解】(1)解：设该一次函数的表达式为y=x+b, 把(0,3)，(2，-1)分别代入y=+b, b=3 得 k=-2 2k+b=-1’解得， b=3 .y=-2x+3, 答：该一次函数的表达式为y=-2x+3. (2)解：把(n,m)代入y=-2x+3, 得m=-2n+3, .2n+m=3, 13 n+2m=2 24/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 答：n+m的值为2 2 6.(24-25八年级下·广东期末)如图，直线1分别交x轴和y轴于点A,B,A(3,0)，AB=3. A (1)求点B的坐标； (2)若点C在x轴的负半轴上，ABC的面积为4，求直线BC的解析式. 【答案】(1)(0,2 (2)y=2.x+2 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用， 三角形面积，求得点的坐标是解题的关键 (1)先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标； (2)先根据ABC的面积为4，求得AC的长，得到C的坐标，再根据点B、C的坐标，运用待定系数法 求得直线BC的解析式. 【详解】(1)解：：A3,0),AB=V3, 0A=3, B0=VAB2-0A2=V13-9=2, .B的坐标为0,2)； (2)解：：ABC的面积为4， 1 六24C-0B=4, 21C×2=4,即4C=4, :A0=3, .C0=4-3=1, C(-1,0), b=2 设直线BC的解析式为y=x+b,则 -k+b=01 25/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 「k=2 解得 b=2' :直线BC的解析式为y=2x+2. 7. (23-24八年级下，广东梅州期末)已知一次函数y=(a-1)x-2a+1,其中a≠1. 嘴点- 在y的图象上，求a的值： (2)当-2≤x≤3时，若函数有最大值2，求y的函数表达式： 【答案】()a=2 31 ②%=3x-7或%=x+2 【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质： 1)将点1,2 1 代入关系式y=(a-1x-2a+1,求出a,即可求解； (2)①当a-1>0时，即：a>1,利用一次函数的增减性得当x=3时，y=2,将此代入即可求解；②当 a-1<0时，即：a<1,利用一次函数的增减性得当x=-2时，=2，将此代入即可求解； 掌握一次函数的性质，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键. 【详郭】0D解：-司引代入万a--2a1a-小-a+1= 2， 解得：a=2 (2)当a-1>0时，即a>1,y随x的增大而增大， 当x=3时，月=2，即3(a-1)-2a+1=2, 解得：a=4, 函数表达式为y=3x-7; 当a-1<0时，即a<1,y随x的增大而减小， 当x=-2时，4=2，即-2(a-1-2a+1=2, 解得：a= 49 31 :函数表达式为八=一4+2 综上所述，函数表达式为y=3x-7或y-3x+ -x+ 4 26/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25八年级上广东河源期末)己知函数y=-2x-4. 0 y=-2x-4 0 4 3 2 1 5-432912345 -3 -4 -5 (①)填表，并画出这个函数的图象； (②)若将函数y=-2x-4的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,求 △ABO的面积， 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键 (1)将x=0代入即可求出y的值，将y=0代入即可求出x的值；用描点法即可画出图象， (2)先求出平移后的直线的表达式，再求出A、B两点的坐标，即可得出答案. 【详解】(1)解：当x=0时，y=-2×0-4=-4, 当y=0时，即-2x-4=0, 解得：x=-2. 填写表格如下， 0 -2- y=-2x-4 4 0 图象见下图： 27/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 5 4 3 2 -5-4-3--1012345x (2)解：平移后的直线为y=-2x-4+2, 即y=-2x-2, 当x=0时，y=0-2=-2, 当y=0时，0=-2x-2, 解得：x=-1, 则点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(0，-2). 所以&480的面积=01x0B=x1x2=1, a+b=3 9.(25-26八年级上广东揭阳·期末)若方程组b+c=2的解满足k=a+b+c c+a=1 (I)求关于x的函数y=kcx-k的解析式； (2)设函数y=x-k的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,求AB的长度. 【答案】(1)y=3x-3 (2)10 【分析】本题考查了一次函数，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，求k的值是解题的关键，如果分 别求a、b、c的值就显得麻烦，注意解题的简便思路 (1)让方程组中的三个方程相加得2(a+b+c=6,再由k=a+b+c,可得k的值，从而求出解析式； (2)根据(1)中求出的函数解析式得到A、B两点的坐标，再利用勾股定理求出AB的长度. 【详解】(1)解：将方程组中的三个方程相加得：2(a+b+c)=6, .a+b+c=3, 28/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .k=a+b+c, k=3, :把k=3代入y=-k得：y=3x-3; (2)解：“y=3x-3, y=0时，则x=1,x=0时，则=-3， .A1,0),B(0,-3), AB=VOA2+0B2=VP+32=10. 目目 考点04 次函数与方程（组）、不等式 1.(24-25八年级下·广东惠州期末)一次函数y=c+b与x轴相交于点P(5,0,则关于x的方程kx+b=0 的解为() A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.无法求解 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数图象与x轴交点的横坐标等于对 应方程的解，据此即可解答。 【详解】解：：一次函数y=c+b的图象与x轴交于点P(5,0), :关于x的方程kx+b=0的解为x=5, 故选：C 2.(24-25八年级下·广东期末)如图，直线y=mr+n过点A,B,则关于x的方程mx+n=0的解是() 4 B A.x=3 B.x=0 C.x=-4 D.x=-1 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由直线y=mx+n过点B(-4,0)即可得解，采用数形结合的 思想是解此题的关键 【详解】解：：直线y=mx+n过点B(-4,0), .关于x的方程mx+n=0的解是x=-4, 29/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故选：C 3.(23-24八年级下，广东广州期末)若x=4是方程kx+b=0的解，则直线y=x+b的图象与x轴交点的 坐标为() A.(4,0) B.(0,4) C.(0,-4) D.(-4,0) 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程ax+b=0的解就是一次函数y=ax+b 与x轴交点的横坐标值.根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为 ax+b=0(a,b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时， 求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=x+b确定它与x轴交点的横坐标即可得答案. 【详解】解：：一元一次方程kx+b=0的解是x=4, 当x=4时，y=kx+b=0, 故直线y=x+b的图像与x轴的交点坐标是(4,0). 故选：A 4.(23-24八年级下广东期末)一次函数y=x+b(k、b为常数，且0)的图象如图所示.根据图象信 息可求得关于x的方程x+b=-3的解为 y=kx+b (2,3) (0,1) 【答案】x=-4; 【分析】直接结合图象求解出一次函数的解析式，再列出一元一次方程即可求解出值. 【详解】：一次函数y=a+b过(2,3)，(0,1)点， [2k+b=3 k=1 b=1 ,解得 1b=1 .一次函数的解析式为：y=x+1, 列方程x+1=-3,解得x=-4. 故答案为：x=-4. 【点晴】本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，能结合图象确定一次函数解析式，再列方程是解答 本题的关键 30/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25八年级下.广东广州期末)如图，一次函数y=ax+b(a,b为常数且a<0)与正比例函数=kx(k为 常数且k>0)的图象交于点P(-4,-2),则关于x的方程(a-k)x+b=0的解是· 2=k -4 y=ax+b 【答案】x=-4 【分析】本题考查了一次函数的交点问题。 根据交点作答即可。 【详解】解：：一次函数片=ax+(a,b为常数且a≠0)与正比例函数2=kx(k为常数且k≠0)的图象交于 点P(-4,-2), :关于x的方程ar+b=kx的解是x=-4, 即关于x的方程(a-k)x+b=0的解是x=-4. 故答案为：x=-4. 6.(21-22八年级下·广东广州期末)如图，直线y=x+5和直线y=a+b相交于点P,观察其图象可知方程 x+5=ax+b的解（) y个 =x+5 y=ax+b 25 P(20,25) 20 A.x=15 B.x=25 C.x=10 D.x=20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解。 【详解】解：直线y=x+5和直线y=+b相交于点P(20,25), 31/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∴.方程x+5=a+b的解为x=20. 故选：D 【点晴】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象 上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值 7.(25-26八年级上广东佛山期末)如图，直线y=-3x+b与直线y=x-2相交于点A(2,1),则方程组 y=-3x+b y=-2 的解是() =-3x+b =kx-2 x=2 x=1 x=2 x=0 A C y=1 y=2 y=0 v=1 【答案】A 【详解】解：：直线y=-3x+b与直线y=kx-2相交于点A(2,1), :点A(2,)的坐标同时满足两个直线的解析式， y=-3x+b x=2 “.方程组 y=-2 的解是 y=1 8. (25-26八年级上广东佛山期末)在同一平面直角坐标系中，直线y=2x-1与y=-3x+4相交于点 A1,m,则关于x,y的方程组 2x-y-1=0 3x+y-4=0 的解为 x=1 【答案】 y=1 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，核心知识点是：二元一次方程组的解就是对应的两 个一次函数图象的交点坐标.解题时先利用点在直线上的性质求出交点A的完整坐标，再结合一次函数与 方程组的对应关系，直接得出方程组的解 【详解】解：：点A(1,m)在直线y=2x-1上， .m=2×1-1=1, 32/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :点A的坐标为(1，)： 又：方程组 2x-y-1=0 y=2x-1 可变形为 3x+y-4=0 y=-3x+4 而直线y=2x-1与y=-3x+4的交点为A(1,1), x=1 .该方程组的解为 y=1 x=1 故答案为： y=1 9.(25-26八年级上广东佛山期末)如图，在平面直角坐标系中，两条直线l:y=x+b和l2:y=kx+2相交 于点A-2,3,作直线l2:y=kx+2关于x轴对称的直线：y=mx-2,则关于x,y的二元一次方程组 y=x+b y=x-2的解为() A y=x+b y=k+2 x=-2 x=-12 x=-14 x=-9 A. B C y=-7 D y=-3 y=-9 y=-14 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是明确“两直线的交点坐标就是对应方程 2+2与x轴交于点(4,0)，由 1 组的解，先求出直线：y=x+5,直线：y=2x+2,再求出直线，：y= 作直线l2:y=kx+2关于x轴对称的直线：y=mx-2,则直线l:y=mx-2过点(4,0)，进而求出直线 y=x+5 ,:y=2-2,根据两直线交点坐标与方程组解的关系，解方程组 1 1 即可. x-2 2 【详解】解：：直线l:y=x+b和l2:y=kx+2相交于点A-2,3, 3=-2+b,3=-2k+2, 33/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解得b=5,k=2' 1 1 直线1：y=+5,直线y=2x+2, 1 令y=-2x+2=0,解得x=4, 直线马y=x+2与x轴交于点4,0 作直线l2:y=kx+2关于x轴对称的直线l:y=mx-2,则直线y=mx-2过点(4,0)， 将点(4,0)代入y=mx-2,则0=4m-2, 朝得四 “直线：y=x-2, 2 y=x+5 解方程组 1 2-2' x=-14 解得 y=-9’ 故选：C 10.(24-25八年级下·广东期末)若一次函数y=kx+bk≠0)的图象如图所示，则不等式kx+b<0的解集 是() 2 3 A.x<2 B.x<3 C.x>3 D.x>2 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b(k≠0)的 值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b(k≠0)在x轴上（或 下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.直接根据图象在x轴下方时所对应的x的取值范围进行解答即 可. 【详解】解：由图象可知，不等式kx+b<0的解集为：x>3. 34/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故选：C 11.(23-24八年级下·广东汕头阶段检测)一次函数y=+b的图象如图所示，当x+b>3时，x的取值 范围是() 2八 A.x>0 B.x<0 C.x<2 D.x>2 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想 解答。 根据题目中的函数图象，当y>3时，函数的图象在x轴的左侧，写出对应x的取值范围即可. 【详解】解：由一次函数y=c+b的图象可知， 当y>3时，x<0, 故选：B 12.（23-24八年级下·广东阶段检测)如图，一次函数y=ax+b与y=mx+n的图象交于点P(-1,2),则关 于x的方程ax+b=mx+n的解是 y=ax+b y=mxin 【答案】x=-1 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图象的交点的横坐标就是方程ax+b=mx+n的解即可 求解，熟练掌握基础知识是解题的关键。 【详解】解：由图象得： 方程ax+b=mx+n的解是x=-1, 35/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：x=-1 13.(24-25八年级下·广东·期末)数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=-x-1 与y=mx+n(m,n为常数，m≠0)的图象相交于点1，-2)，则不等式-x-1<mx+n的解集在数轴上表 示为() y=-x-1 y y=mx+n ○ A 02B.3210C.102→D.3210 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直接根据一次函数的图象 即可得出x的取值范围，然后在数轴上表示即可，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键， 【详解】解：由一次函数的图象可知，当x>1时，一次函数y=-x-1的图象在一次函数y=mx+n的图象下 方， :不等式-x-1<mx+n的解集是x>1, 在数轴上表示的解集为 103 故选：A 14.(22-23八年级下·广东佛山期末)己知一次函数y=kx+bk>0)的图象过点(1,0)，则不等式 k(x+2)+b>0的解集是() A.x>-2 B.x>-1 C.x>0 D.x>1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式（组）的综合应用.把点(1,0)代入一次函数得到：b=-k,据此 化简不等式，进而即可求出其解集 【详解】解：：一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(1,0)， ∴.b=-k, 36/102 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :k(x+2)+b>0, kx+2-k>0, k(x+2-1>0, .k>0, .x+2-1>0 解得：x>-1, 故选：B 15.(24-25八年级下·广东广州期末)如图，一次函数y=ax+b(a≠0)和y=mx+n(m≠0)与x轴的交点分 ax+b>0 别为A-3,0)和B1,0).则关于x的不等式组 mr+n≥0的解集是 y=ax+b B y=mx+n 【答案】-3<x≤1 【分析】利用函数图象，写出两个函数图象在x轴上所对应的自变量的范围，然后根据不等式组解集的表 示方法求解。 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个 函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集， 【详解】解：：一次函数y=ax+b(a≠0和y=mx+nm≠0)与x轴的交点分别为A(-3,0)和B(1,0). 当x>-3时，ax+b>0;当x≤1时，mx+n≥0， ax+b>0 :关于x的不等式组 的解集是-3<x≤1. mx+n≥0 故答案为：-3<x≤1. 16.(25-26八年级上广东佛山期末)如图，一次函数y=x+b和y2=mx2+n相交于点A 2且与： 轴相交于点B(-1,0),则0<y<y2的取值范围为_ 37/102 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 2=1mx2十n y=kx+b B 0 【答案】-1<x< 【分析】本题考查了一次函数交点与不等式的解集问题. 直接根据函数图象作答即可. 【详解】解：由函数图象可知，当0<y<,时，-1<x< 3 。1 故答案为：-1<x< 3 17.(23-24八年级下·广东期末)如图，直线y=x+b经过点A(-1,-2)和B(-2,0);直线y=2x过点A, 则不等式2x<kx+b<0的解集为() A.-2<x<-1B.-1<x<0 C.-2<x<0 D.x<-2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与不等式，找到直线y=+b在x轴下方且在直线y=2x上方的部分对应的自 变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知：2x<kx+b<0的解集为-2<x<-1; 故选A. 18.(23-24八年级下·广东珠海·期末)一次函数y=x+b(k、b为常数，且k≠0)中的x与y的部分对应 值如下表： 1 0 m(m>0) -2 38/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 下列四个结论：①方程kx+b=0的解在0和1之间：②若点P（x,y),P(x,+1,y2)在直线y=x+b上，则 乃<y2; ③k>2:④不等式x+b>-m的解集为x>)时，k=6.其中正确的结论有() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程. 根据图象可对①进行判断；根据图象可得函数y=x+b的增减性，即可对②进行判断：由题意b=-2, m=k-2>0,解得k>2,可对③进行判断；由b=-2,m=k-2,将不等式kx+b>-m化为kx-2>2-k, 到>4-太，根据不等式的解集得到4-解得=3，可对④进行判面 【详解】解：根据题意可画出图象为： ○ 由图可得一次函数y=+b的图象与x轴的交点横坐标在0和1之间， .方程kx+b=0的解在0和1之间，故①正确； 由图可得一次函数y=+b的图象从左向右上升，即y随x的增大而增大， :点Px,),P2x+1,y2)在直线y=kc+b上，且x,<x+1, ∴乃<y,故②正确： :一次函数y=cx+b的图象经过点(0，-2)、(1，m,其中m>0, b=-2, ∴m=k-2>0, k>2,故③正确： :b=-2,m=k-2, 二不等式kx+b>-m化为kx-2>2-k, .kx>4-k, :不等式kx+b>-m的解集为x> 3 39/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 4-k1 k3 解得k=3,故④正确： 综上所述，正确的结论有①②③④. 故选：D 19.(23-24八年级下·广东揭阳期末)如图所示，一次函数y=c+b(k,b是常数，k≠0)与正比例函数 y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1,2),下列判断错误的是() y=mx M1,2) y=kx+b A.关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B.关于x的不等式mx<x+b的解集是x>1 C.当x<0时，函数y=x+b的值比函数y=mx的值大 D.关于x,y的方程组 y-mx=0 x=1 y-kx=b 的解是 y=2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质.方程组 的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一 次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标 根据条件结合图象对各选项进行判断即可 【详解】解：：一次函数y=x+b(k,b是常数k≠O)与正比例函数y=mx(m是常数，m≠O)的图象相交于点 M(1,2), A.:关于x的方程，mx=kx+b的解是x=1,选项A判断正确，不符合题意； B.关于x的不等式mx<kx+b的解集是x<1,选项B判断错误，符合题意； C.当x<0时，函数y=+b的值比函数y=mx的值大，选项C判断正确，不符合题意； x=1 D.关于x,y的方程组 y-x=0 的解是 y=kx-b 少=2'选项D判断正确，不符合题意. 故选：B 40/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(24-25八年级下·广东广州期末)如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P,下列结论： ①d<b;②ac>0;③ ;④当x>1时，ax+b<cr+d.其中正确的结论有 v=ax+b y=cx+d 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即 比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集.也考查了一次函数图象，先根 据直线与y轴的交点位置可对①选项进行判断；根据一次函数的性质对②选项进行判断；根据交点坐标的 意义可对③进行判断；结合函数图象写出一次函数y=ax+b的图象在y=cx+d的图象上方的取值范围，从 而可对④进行判断。 【详解】解：：一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象分别交y轴于点(0，b),(0,d), .b>d,所以①正确； :一次函数y=ax+b的图象经过第二、四象限， ∴.a<0 :一次函数y=cx+d的图象经过第一、三象限， .c>0, :ac<0,所以②错误； :一次函数y=ar+b与y=cx+d的图象的交点P的横坐标为1， a+b=c+d,所以③正确； 当x>1时，cx+d>ax+b,所以④选项符合题意. 故答案为：①③④ 1 21.(22-23八年级下·广东云浮期末)如图，在平面直角坐标系中，直线L:y=-二x+6分别与x轴、y轴 2 交于点A、B,且与直线L,:y=2x交于点C. 41/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C (I)求出A、B、C的坐标： 1 ②)直接写出关于x的不等式x+6>)x的解集 【答案】(1)A(12,0),B(0,6),C(6,3) (2)x<6 【分析】)根据点在函数图象上，把点代入函数解新式，即可，根据交点坐标的性质，得一+6= 1 2 解出x,把x代入直线L或直线L2,求出y,即可； (2)根据函数图象，当-1x 1 x+6>。x,则直线L在直线L的上方，即可. 2 2 详解】D解：：直线马y=+6分别与x铺、y轴交于点A、8, .当x=0时，y=6, .点B(0,6): 当0时，0= 2x+6,解得：x=12, 点A(12,0): :直线L与直线L交于点C, 1 1 2x+6=2, 2 解得：x=6, 1 把x=6代入L,y=x,得)=3， 点C(6,3. 2》当+6>时，直线L在直线九的上方，交点为C6,3那 .x<6, 不等式 2x+6>2x的解集为：x<6. 2 42/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【点晴】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式的结合 22.(23-24八年级下广东惠州期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线：y=kx+b(k≠0)与直线 3:y=mx+n(m≠0)相交于点P,与x轴、y轴分别交于A、B两点. 备用图 (1)若点A、B、P的坐标分别为(1,0)0,3)，3，-2).直接写出下列各小题答案. ①方程kx+b=0的解是 y=kx+b ②方程组{ 的解是 y=mx+n ③不等式kx+b<mx+n的解集是 ④不等式kx+b23的解集是· (2)若点A,B的坐标分别为1,0,0,2)，直线的表达式为y=2x-6,求△B0P的面积； (3)在(2)的基础上，点C是x轴上的一点，且使得ABC是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点 C的坐标 X=3 【答案】(1)①x=1; ③x>3;④x≤0； (2)2: 65+105+10)-10)或0 【分析】(1)根据交点坐标及函数图象即可求解： (2)利用待定系数法求出的解析式，再联立函数解析式求出点P坐标，最后根据三角形面积公式计算即 可求解： (3)设点C的坐标为t,0),可得AB=√？+2？=√5，分点A、B、C分别为顶点三情况解答即可求解： 本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐 43/102 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键 【详解】(1)解：①：直线y=kx+b与x轴的交点为A(1,0), :方程kx+b=0的解为x=1, 故答案为：x=1; ②：直线：y=kx+bk≠0)与直线l2:y=mx+n(m≠0)的交点为P(3,-2), y=kx+b “方程组 的解为 x=3 y=mx+n y=-2' x=3 故答案为： y=-2 ③由图象可得，当x>3时，kx+b<mx+n, “不等式kx+b<mx+n的解集是x>3, 故答案为：x>3; ④由函数图象可得，当x≤0时，kx+b23, :不等式kx+b≥3的解集是x≤0， 故答案为：x≤0； (2)解：把1,0,0,2)代入y=x+b得， 0=k+b 2=b, k=-2 解得6=2 :.直线的函数解析式为y=-2x+2, y=-2x+2 x=2 由 y=2x-6 得， y=-2 P2,-2), 1 S.ae=20Bp=2X2x2=2: 2 44/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 备用图 (3)解：设点C的坐标为(1,0 :A1,0,B(0,2), “AB=V2+22=√5， 当点A为顶点时，AC=AB=√5， .t-1=5, “t=V5+1或t=-5+1, :点C的坐标为5+1,0或(-5+1,0)； 当点B为顶点时，0C=0A=1, “点C的坐标为-L,0): 当点C为顶点时，则AP=BP, ·1-a=V0-a2+(2-0)2, 3 解得a=- 2 3 点C的坐标为 综上，点c的坐标为5+10)成(-5+1,0)成-10或(-0 26. (25-26九年级上广东茂名期末)在平面直角坐标系xOy中，函数y,=x+bk≠0)的图象过点(1,0) 和3,2). (①)求函数y,=x+b(k≠0)的解析式： (2)已知函数为y2=2x-1,y=片-，若函数值y满足1<y<5,求x的取值范围 45/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1) 1,1 =2x+2 (2) 7 3 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、解一元一次不等式组. ()用待定系数法求出一次函数的解析式： ②油21，为方+分可得y=多+号 兮由1<y<5,可得不等式组1<-x+25，解不等式组 即可求出x的取值范围， 【详解】(1)解：：函数y=kx+bk≠0的图象过点(-1,0)和(3,2)， 「-k+b=0 可得： 3k+b=2' 1 k= 2 解得： 函数的解析式为八=2x+2 1 1 2 1 (2)解：：y2=2x-1,= 2 当1<y<5, .1< 33 2t× <5, 2 3 3 1< -x+ 整理可得： 2 33 2x+2<5 2 1 解得： <x< 3 3· 目目 考点05 一次函数的实际应用 1.（25-26八年级上·广东清远期末)生物学研究发现，某种植物的生长高度y(单位：m)与生长时间x单 位：天)满足一次函数关系若该植物初始生长高度为8cm,生长5天后高度达到18cm,则生长了20天的高度 46/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 为()cm A.38 B.40 C.42 D.48 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用.根据一次函数关系，设y=c+b,利用初始高度和生长5天后的高 度求出k和b,再代入x=20计算y值. 【详解】解：：初始高度为8cm,即x=0时y=8,b=8. :生长5天后高度为18cm,即x=5时y=18, 18=5k+8, 解得k=2. ·函数为y=2x+8 当x=20时，y=2×20+8=48 ·生长20天的高度为48cm. 故选：D, 2.(24-25八年级下·广东期末)从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过1千克 收费12元，超过1千克的部分每千克收费5元，设快递物品的重量为x千克(x>,那么从大连发快递到北 京的快递费y(元)与物品重量x(千克)的函数表达式为 【答案】y=5x+7 【分析】本题考查一次函数的应用，依据题意得y=12+5(x-1),从而可以判断得解，解题时要能读懂题意， 列出关系式是解题的关键。 【详解】解：由题意得：y=12+5x-), y=5x+7. 故答案为：y=5x+7 3.20.(24-25八年级下·广东云浮期末)如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信 息，解答问题： 碗的数 1 4 5 量x/个 高度 7 8.2 10.611.8 v/cm 47/102 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 10.6cm (①)求整齐叠放在桌面上碗的高度y(单位：Cm)与碗的数量x(单位：个)之间的函数关系式. (2)当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是多少？ 【答案】1)y=1.2x+5.8 (2)15.4cm 【分析】本题主要考查了一次函数的应用： (1)由表可知，叠放在桌面上碗的高度y(cm)与碗的数量x(个)之间满足一次函数关系，设y与x的函数 关系为y=c+b,再利用待定系数法求解即可； (2)把x=8代入函数关系式进行计算即可解答. 【详解】(1)解：由表可知，叠放在桌面上碗的高度y(cm)与碗数x(个)之间满足一次函数关系， 设y与x的函数关系为y=kc+b, k+b=7 将点1,7)和(2,8.2)代入，得： 2k+b=8.2' k=1.2 解得： b=5.8' 整齐叠放在桌面上碗的高度y(cm)与碗的数量x(个)之间的关系式：y=1.2x+5.8; (2)解：当x=8时，y=1.2×8+5.8=15.4(cm, :当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是15.4cm. 4.(25-26八年级上·广东佛山期末)综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹.有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 首重费用15元(1千 A公司 克以内)，超出部分按 每千克5元计费. 48/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 无首重，统一按每千克 B公司 7元计费. 每月交18元会员费后， C公司 每千克收1元（无首 重) (①)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象： /元 y4公司 40 35 30 2 20 10 5 0123456789101112x/年克 (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (③)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益.若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究 m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 【答案】(1)图见解析 (2)0<x<3,选择B公司最省钱；x=3,选择B,C公司一样省钱，x>3,选择C公司最省钱； (3)见解析 【分析】(1)求出三个公司对应的函数表达式，描点，连线，画出函数图象即可； (2)根据图象，进行说明即可； (3)分2种情况，进行讨论求解即可. 15(0<x≤1 【详解】(1)解：由题意，=5+5x-1)=5x+10x>1小，，=7x,=x+18, 对于yB=7x,当x=0时，y=0,当x=5时，y=35: 故yg=7x过点(0,0，(5,35)； 对于yc=x+18,当x=0时，y=18,当x=2时，y=20: yc=x+18过点(0,18,2,20； 49/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 画图如下： /元 ⅓公司 y公司 40 35 0 25 y公司 20 15 10 0123456789101112x/年克 (2)解：当7x=x+18时，x=3; 由(1)图可知：当0<x<3时，选择B公司最省钱；当x=3时，选择B,C公司一样省钱，当x>3时，选择 C公司最省钱： (3)解：由题意，当7x=5x+10时，x=5,此时y=35, 调整后yc=x+m, 当yc=x+m经过(5,35)时，则：m=30, 故当18<m≤30时，令7x=x+m,x=m 6 当0<x<”时，选择B公司最省钱；当x=”时，选择B,C公司一样省钱，当x>”时，选择C公司最省钱： 6 6 6 当>30时，令=5+10，m0,此时m0>5, 4 则当0<x<5时，选择B公司最省钱，当x=5时，选择4公司和B公司一样省钱，当5<x<m10时，选择 4 4公司最省钱，当x=m-一10时，选择A公司和C公司一样省钱，当x>m一10时，选择C公司最省钱 4 4 5.(24-25八年级下·广东肇庆期末)2025年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，李明 的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车，请帮李明父子解决以下问题： 燃油车 纯电动汽车 油箱容积：40升 电池容量：80千瓦时 油价：7.5元/升 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 续航里程：m千米 每千米行驶费用： 每千米行驶费用： 40×7.5 元 孔 m 50/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元. ①分别求出这两款车的每千米行驶费用： ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为4000元和7200元，设一年内李明爸爸的行驶里程为x千 米，燃油车和纯电动汽车所需的年费用分别为片和元，请分别写出y和乃关于x的函数表达式（年费用 =年行驶费用+年其它费用)，假如你是李明，你会给爸爸提出怎样的购车建议？ 【答案】(44 (2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动汽车每千米行驶费用为0.11元： ②y,=0.75x+4000,2=0.11x+7200,建议：若行驶里程小于5000千米，则买燃油车； 若行驶里程等于5000千米，则两种均可； 若行驶里程大于5000千米，则买纯电动汽车 【分析】本题考查列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用. (1)根据表中的信息，可以表示纯电动汽车的每千米行驶费用： (2)①根据燃油车的每千米行驶费用比纯电动汽车多0.64元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然 后求解即可，注意分式方程要检验： ②根据①中结论结合题意直接列出表达式，比较两表达式，即可提出建议」 【详解】(1)解：纯电动汽车的每千米行驶费用为：80x0.55_44 (元)， m m 44 故答案为： 元 (2)①由题意得40x75_4=0.64, mm 解得m=400, 经检验，m=400是原分式方程的解， .40×7.5 44 =0.75(元)， =0.11(元)， 400 400 答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，纯电动汽车的每千米行驶费用为011元； ②由题意得：1=0.75x+4000;y2=0.11x+7200. 当y<2,即0.75x+4000<0.11x+7200时，解得x<5000; 当y=y2,即0.75x+4000=0.11x+7200时，解得x=5000; 51/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 当y1>y2,即0.75x+4000>0.11x+7200时，解得x>5000; 建议：若行驶里程小于5000千米，则买燃油车； 若行驶里程等于5000千米，则两种均可； 若行驶里程大于5000千米，则买纯电动汽车 6.(23-24八年级下·广东江门期末)坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二课堂， 准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球.购买时，发现商场正在进行两种优惠 促销活动。 活动甲：买一副羽毛球拍送一简羽毛球； 活动乙：按购买金额打9折付款， 学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球x(x210)筒. (I)写出每种优惠办法实际付款金额y(元)，z(元)与x(筒)之间的函数关系式. (②)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？ (3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛 球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案. 【答案】(1)y厘=10x+500,y2=9x+540, (2)当10≤x<40时，按活动甲付款更省钱；当x=40时，两种活动付款一样；当x>40时，按活动乙付款更 省钱； (3)同时用两种优惠办法购买最省钱，即按甲活动方案购买10副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握分类讨论的思想和函数的数学思想解决问题是解题的关键。 (1)根据题意，即可列出y(元)，z(元)与x(筒)之间的函数关系式即可； (2)根据(1)得出的函数关系式，分三种情况讨论进行解答即可： (3)根据题意计算三种方案的花费，再比较大小即可解答。 【详解】(1)解：由题意可知，年=60x10+10(x-10)=10x+500,2=(60×10+10x×9-=9x+540, 10 即y年=10x+500,yz=9x+540: (2)解：分三种情况讨论： 当y<yz时，10x+500<9x+540,解得：x<40; 当y厘=yz时，10x+500=9x+540,解得：x=40; 52/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 当y>z时，10x+500>9x+540,解得：x>40: x210, :当10≤x<40时，按活动甲付款更省钱；当x=40时，两种活动付款一样：当x>40时，按活动乙付款更 省钱； (3)解：由题意可知，购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒，即x=60, :甲活动方案：y厘=10×60+500=1100（元）； 乙活动方案：yz=9×60+540=1080(元)； 种活动方案买：10×60+10×60-10×0三1050（元 :同时用两种优惠办法购买最省钱，即按甲活动方案购买10副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买。 7.(24-25八年级上·广东期末)某服装经销商计划购进A型、B型两种型号的童装.若购进1件A型童装 和1件B型童装需用50元，若购进2件A型童装和3件B型童装需用120元 (I)求每件A型童装和每件B型童装的进价各多少元： (2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进A型童装和B型童装共100件.若A型童装的定价为260元； B型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装.该经销商获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每件A型童装的进价30元，每件B型童装的进价20元 (2)该经销商获得最大利润是21500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： (1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系 式 (1)设每件A型童装的进价是x元，每件B型童装的进价是y元，根据购进1件A型童装和1件B型童装 需用50元，购进2件A型童装和3件B型童装需用120元，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即 可得出结论： (2)设购进m件A型童装，则购进(100-m)件B型童装，根据进货总价不超过2500元，可列出关于m的 一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设售完该批童装该经销商获得的总利润为w元，利用总利润 每件A型童装的销售利润×购进A型童装的数量+每件B型童装的销售利润×购进B型童装的数量，可找出 w关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题， 【详解】(1)设每件A型童装的进价x元，每件B型童装的进价y元， x+y=50 根据题意得： 2x+3y=120' 53/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解得： x=30 y=201 答：每件A型童装的进价30元，每件B型童装的进价20元. (2)设购进A型童装a件，则B型童装(100-ad)件，利润为W元，根据题意得： W=(260-30)a+(220-20)100-a) 即：W=30a+20000, 30a+20(100-a)≤2500， a≤50 :30>0 W随着a的增大而增大， :当a=50时，W最大，最大值为： 30×50+20000=21500 :该经销商获得最大利润是21500元 8.(25-26八年级上广东梅州期末)去年中国航空工业迎来了一个历史性的时刻一在短短96小时内， 两款六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动.受此消息影响， 飞机模型在网上爆火.某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为80元和60元的A、B 两种型号的飞机模型，表格是近两天的销售情况： 销售数量 销售时段 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 4件 5件 955 第二天 2件 6件 810 (I)求A、B两种型号的飞机模型的销售单价： (2)该玩具店准备再采购这两种型号的飞机模型共50件且A型号飞机不多于35件，应该怎样采购玩具店可 获利最多？此时利润为多少？ 【答案】(1)A种型号的飞机模型销售单价为120元，B种型号的飞机模型销售单价为95元 (2)采购A型号35件，B型号15件时获利最多，此时利润为1925元 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决销售问题，求最值，解题的关键是找准等量关系 (1)设A种型号的飞机模型销售单价为x元，B种型号的飞机模型销售单价为y元，根据销售方式列出方 54/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 程组求解即可； (2)购买A型号飞机a件，则购买B种型号的飞机为(50-a)件，且a≤35，设利润为w,根据题意列出关 系式，然后求出最值即可。 【详解】(1)解：设A种型号的飞机模型销售单价为x元，B种型号的飞机模型销售单价为y元，根据题 意得， 4x+5y=955 2x+6y=810 [x=120 解得 y=95 :A种型号的飞机模型销售单价为120元，B种型号的飞机模型销售单价为95元： (2)解：购买A型号飞机a件，则购买B种型号的飞机为50-件，且a≤35，设利润为w,根据题意得， w=(120-80)a+(95-60)(50-a=5a+1750, :w随a的增大而增大， :当a=35时，w的值最大，最大值为w=5×35+1750=1925, 此时，50-35=15， :采购A型号35件，B型号15件时获利最多，此时利润为1925元. 9.(24-25八年级下·广东惠州·期末)为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地， 准备种植A,B两种蔬菜.若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种 蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元. (1)求种植A,B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，问应如何 种植A,B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 【答案】(1)种植A种蔬菜每亩收入0.4万元，B种蔬菜每亩收入0.6万元 (②)4种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： (1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系 式 (1)设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组 可得出答案； 55/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元，根据题意得出w=-02m+150,根据一次函数的性质可得出 答案。 【详解】解：(1)设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元， 30x+50y=42 根据题意得： 50x+30y=38 x=0.4 解得： y=0.6 答：种植A种蔬菜每亩收入0.4万元，B种蔬菜每亩收入0.6万元 (2)设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元， 根据题意得：w=0.4m+0.6250-m)=-0.2m+150, :要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍， .m≥1.5250-m）, 解得：m≥150， 又w=-0.2m+150,-0.2<0, w随m的增大而减小， .当m=150,w取得最大值，w=-0.2×150+150=120(万元)， A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元. 答：A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元. 10.(24-25八年级下·广东广州期末)已知A、B两地相距60千米，甲于某日下午2时骑车从A地出发前 往B地，乙也于同日下午开车按相同路线从A地出发前往B地.如图所示，图中的折线EFG和线段MN分 别表示甲、乙所行驶的路程s和时间t的关系. 个路程/千米 60 50 40H 30 20 10H 0 EM 123456时间/时 根据图象解答下列问题： 56/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()甲和乙比较，谁先出发，谁先到达B地，先到多少时间？ (2)求乙的行驶速度： (3)求甲在行驶过程中，行驶的路程▣关于时间t的函数解析式： (④)甲、乙在下午什么时间相遇？并求相遇地点到B地的距离. 【答案】)甲，乙，2小时 (2)60千米/时 [30t-60(2≤1≤3) (3)s= 10t3<t≤6) (43时36分，24千米 【分析】(1)观察图象解答即可； (2)根据速度=路程÷时间计算即可； (3)根据速度=路程÷时间和路程=速度×时间计算列出函数解析式即可； (4)求出线段MN对应的函数关系式，从而求出两图象交点坐标再进行有关计算即可； 本题考查一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键。 【详解】(1)解：由函数图象可知，甲先出发，乙先到达B地，先到6-4=2小时： (2)解：60÷4-3=60千米/时， 答：乙的行驶速度为60千米/时： (3)解：甲在EF段的速度为30÷3-2)=30千米)，则s=30(1-2)=301-60; 甲在FG段的速度为60-30)÷(6-3)=10千米/时，则s=30+10(1-3)=10t; :甲在行驶过程中，行驶的路程s关于时间t的函数解析式为s= 30r-60(2≤1≤3)： 10t(3<t≤6) (4)解：线段MN对应的函数关系式为s=60(t-3)=60t-180, s=10t 当甲、乙相遇时，由 s=60t-180' t=3.6 解得 s=36' :3.6小时=3时36分， .甲、乙在下午3时36分相遇， 57/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 此时相遇地点到B地的距离为60-36=24千米 11.(24-25八年级下·广东东莞期末)A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台 和D市8台·己知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为200元和400元；从B市调运一台机器到 C市和D市的运费分别为300元和250元. (①)设A市运往D市机器x台，求总运费w关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过5000元，共有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 【答案】(1)W=250x+3800(2≤x≤8，且x为整数)； (2)有3种调运方案； 3)A市运往C市10台；运往D市2台：B市运往C市0台；运往D市6台.最小值是4300元. 【分析】(1)根据A市运往D市机器数量x,结合A、B两市库存及C、D两市需求，分别表示出A运往 C、B运往C、B运往D的机器数量，再依据各自运费列出总运费w关于x的函数关系式，同时根据数量非 负确定x的取值范围。 (2)利用(1)中总运费函数关系式，结合总运费不超过5000元的条件列不等式，结合x的取值范围确定 整数解，从而得调运方案数量 (3)根据一次函数性质(k值正负判断增减性)，结合x的取值范围确定使总运费最低的x值，进而得最 低运费及调运方案 【详解】(1)解：由题意可知：W=400x+200×12-x+250×8-x)+300×x-2) 由此W=250x+3800. 12-x≥0 由题意得： 8-x20, x-2≥0 .2≤x≤8，且x为整数： (2)解：由题意得250x+3800≤5000， x≤4.8. :2≤x≤8， .2≤x≤4，且x为整数， .x可取2,3,4， ·有3种调运方案； (3)解：：2≤x≤4，且W=250x+3800随x的值增大而增大， 58/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 当x=2时，w的值最小，最小值是4300元. 此时的调运方案是： A市运往C市10台；运往D市2台；B市运往C市0台；运往D市6台.最小值是4300元 【点晴】本题主要考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用以及不等式组确定取值范围，熟练 掌握一次函数的性质、根据实际问题列函数关系式和不等式（组）是解题的关键. 目目 考点06 次函数与几何综合（压轴题） 1.(24-25八年级下·广东惠州期末)如图1，直线AD为y=x+b,分别与坐标轴交于点A(0,6)、D(8,0】 ·点O关于直线AB的对称点C在直线AD上 D B D 图1 图2 (I)求直线AB、AD的解析式， (②)若OC交AB于点E,在线段AD上是否存在一点F,使ABC与△AEF的面积相等？若存在，求出F点 坐标；若不存在，请说明理由。 (3)如图2，过点D的直线l:y=mx+n,当它与直线AB的夹角为45°时，请直接写出相应m的值. 3 【答案】（①）直线AB解析式为y=-2x+6,直线AD解析式为y=-+6 存在，F6,2 3)m=3或m= 3 【分析】()由A0,61、D8,0),得直线4D解析式为y=-2x+6,求出AD=O+OD=10,得 CD=AD-AC=4,设BC=0B=x,可得x2+42=(8-x)2,解得x=3,B(3,0),可得直线AB解析式为 y=-2x+6, (2)存在点F,使SAMc=SAr,连接并延长FB交y轴于G,连接EG，得S,BCE=SFCE,得BF∥CE,证 明△ABG≌△4BF(ASA),得BG=BF,点G,F关于AB对称，由AB=3N5, 59/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 S。ABG 号8-6-=号4G-0B,4G=6+0c,得BG=oG,由oG2+9=BG,得0G+9=0G+6 5 5 解得0G得c0-引 由G,F关于点B对称符F6引： (3)设直线DH,DI与直线AB夹角等于45°，即△DHI为等腰直角三角形.作HMlx轴，IN∥x轴，过 点D作直线MN∥y轴，分别交HM,IN于点M,N.证明aDHM≌△IDN(AAS).得HM=DN,DM=IN.由 D(8,0),得直线1的解析式为y=mx-8m.设点H坐标为(1，-21+6)，得1点坐标为2+21,1-8).得 1-8=-22+2刘+6.解得1=2.得H2.2斗，16-60.当直线1过H点时，m=号 当直线1过1点时， m=3. 【详解】(1)解：：A0,6、D(8,0), 设直线AD解析式为y=x+6, 则8k+6=0, 解得k=- Γ4’ y=-3x+6, 0A=6,0D=8,∠A0D=90°， AD=√0A2+0D2=10, 由折叠知，BC=0B,∠ACB=LA0B=90°，AC=0A=6, .∠BCD=180°-∠ACB=90,CD=AD-AC=4, 设BC=OB=x, 则BD=OD-0B=8-x, BC+CD=BD2, x2+42=(8-x2, 解得x=3, 0B=3, B(3,0), 设直线AB解析式为y=x+6, 则3g+6=0, 60/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得s=-2, .y=-2x+6; (2)解：存在点F,使S△Bc=S△Er· 连接并延长FB交y轴于G,连接EG, S.AC=S.ACE+S.BCE S.AEF=S.ACE+S.FCE S.BCE S.FCE BF∥CE, 由折叠知，AB垂直平分OC, ∴AB⊥BF, ∠ABF=∠ABG=90°， :AB=AB,∠BAF=∠BAG, △ABG≌△ABF(ASA), .BG=BF, 点G,F关于AB对称， :0A=6,0B=3, AB=√0A2+0B2=3V5, :Sx5AB-8G=4G-0B,4G=6+0G. :.3V5BG=36+OG), BG=0G+6 5， OG2+OB2=BG2, .OG2+9=BG2, 0G2+9=0G+62 5 化简，得40G2-120G+9=0, 解得0G= 3 -引 61/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B(3,0), 3x2-0=6,( 个y A E D八 (3)解：如下图，设直线DH,DI与直线AB夹角等于45°， 即△DHI为等腰直角三角形 ∠HDI=90,DH=DI. 作HMx轴，IN∥x轴，过点D作直线MN∥y轴，分别交HM,IN于点M,N. A H M B D 则HM⊥MN,IN⊥MN, ∴∠M=∠N=90°. :∠MDH+∠MHD=90°. .∠MDH+∠NDI=90°， .∠MHD=∠NDI. △DHM≌△IDN(AAS). .HM DN,DM =IN. :直线1过D(8,0), .0=8m+n. 解得n=-8m. 62/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :直线1的解析式为y=mx-8m. 设点H坐标为，-2t+6), HM DN =8-t,DM IN =-2t+6. 1点坐标为2+21,1-8). :I点在直线AB上， 、.1-8=-2(2+2t+6 解得t=2. .H2,2),1(6,-6). 当直线1过H点时，2m-8m=2. 解得m=一3 1 当直线1过1点时，6m-8m=-6. 解得m=3. 故m=3或m= 1 3 【点晴】查考查了一次函数与几何综合.熟练掌握待定行数法求一次函数解析式，一次函数的图象的性质， 轴对称性质，面积法求三角形的高，勾股定理，三角形全等的判定和性质，分类讨论，是解题的关键。 2.(25-26八年级上·广东茂名·期末)【基础知识】 将含有45°的三角板的直角顶点放在直线1上，过两个锐角顶点分别向直线1作垂线，这样就可以得到两个全 等的直角三角形， 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，等腰直角ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,过点A作AD⊥ED交于点D,过点B作 BE⊥ED交于点E.直接写出AD与EC的数量关系 【基本技能】 (2)已知：直线y=x+4(k≠0)的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B. 63/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 4 ①如图2，当k=-。时，在第一象限构造等腰直角△ABE,LABE=90°，求直线BE的表达式： 3 ②如图3，当k的取值变化，点A随之在x负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角△ABN,∠ABN=90°， 连接ON,问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出△OBN面积；若变，请说明理由. 【应用拓展】 (3)如图4，直线y=2x+4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,若点C在x轴上，且∠ABC=45°， 请直接写出点C的坐标. 【答案】()0=5C:2)①直线BE为y=+4,②不变，3=8：3) 或-12,0) 【分析】(I)根据LACB=90°，过点A作AD⊥ED交于点D,过点B作BE⊥ED交于点E,得出 ∠EBC=∠ACD,证明△BEC≌△CDA(AAS),即可证出AD=EC, （2)①当k=手时，则直线=红+4+0为直线y=专+4，先求出80,4,43,0，则 OA=3,OB=4,过点E作ED⊥OB于D,如图所示：证明△BED≌△ABO(AAS),得出 DE=OB=4,BD=OA=3,求出点E的坐标为4,7，待定系数法求出直线BE的解析式为)=x+4. 3 ②根据当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动，得出k>0,过点N作NM⊥OB于M,证明 △BMW≌aAOB(AAS,得出MN=OB=4,再根据S,oN=，xOB.MN,即可求解； 2 (3)根据点C的位置分两种情况：①如图，过A作AE⊥AB轴交BC于点E,过E作ED⊥x轴于点D,先 求出点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,4)，得出0A=2,0B=4,根据∠ABC=45°，得出 ∠1=∠ABC=45°，则AB=AE,证明△ABO≌△EAD(AAS),则AO=DE=2,BO=AD=4,求出E(-6,2, 待定系数法求出直线BE的解析式为y=x+4,再令y=0,即可求出C(-12,0: ②如图，过C作CD⊥BC交AB于点D,过C作CE⊥x轴，过B作BE⊥CE交CE于点E,过D作DF⊥CE 交CE于点F,根据∠ABC=45°，得出L4=∠ABC=45°，证出BC=DC,证明△BCE≌△CDF(AAS),则 BE=CF,CE=DF=4,设C(c,0),则OC=BE=CF=c,得出D(c-4,-c,根据点D(c-4,-c在直线 y=2x+4的图象上，代入求解即可. 【详解】解：(1)AD=EC. 证明：：∠ACB=90°，过点A作AD⊥ED交于点D,过点B作BE⊥ED交于点E, 64/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 y .∠EBC+∠BCE=LBCE+LACD=90°， ■ D ∠EBC=∠ACD, 在BEC和ACDA中 ∠EBC=∠ACD ∠E=∠D=90°， BC=AC △BEC≌△CDA(AAS), :AD=EC. 2)①当k=号时，则直线)=红+4k子0)为直线y= 3+4, 当x=0时，y=4, B0,4), 当y=0时，x=3, A3,0, ∴OA=3,OB=4, 过点E作ED⊥OB于D,如图所示： B○ ∠BDE=∠A0B=90°， .∠2+∠3=90°， :△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴.AB=BE,∠ABE=90°， .∠1+∠2=90°， 65/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠1=∠3， △BED≌△ABO(AAS, ∴.DE=OB=4,BD=OA=3, 0D=0B+BD=7, 点E的坐标为(4,7)， 设直线BE的解析式为y=kx+b, b=4 把B(0,4)与E(4,7)代入得： 4k+b=7' [6=4 解得： 3 k4 3 .直线BE的解析式为y=三x+4. 4 ②当k变化时，△OBN的面积是定值，S。oa=8, 理由如下： :当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动， k>0, 过点N作NM⊥OB于M, :∠NMB=∠A0B=90°， 0 :∠1+∠3=90°， :BN⊥AB, .∠ABN=90°， ∠1+∠2=90°， ∠2=∠3， .BN=BA,∠NMB=∠AOB=90°， 66/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △BMN≌△40B(AAS, MN=0B=4, 5am-号x0B-h0N=号x44=8, 1 :k变化时，△OBN的面积是定值，S.oN=8; (3)①如图，过A作AE⊥AB轴交BC于点E,过E作ED⊥x轴于点D, VA B 2X3 :直线y=2x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点， .点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,4)， 0A=2,0B=4, :∠ABC=450, .∠1=∠ABC=45°， .AB=AE, :∠EAB=∠A0B=90°， .∠2+∠3=∠3+∠4=90°， ∴∠2=∠4， :△ABO≌△EAD(AAS, :AO=DE=2,BO=AD=4, ∴0D=2+4=6, E(-6,2, 设直线BE的解析式为y=k2x+4, 把E(-6,2)代入得：-6k2+4=2, 67/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解得：k=3 1 1 .直线BE的解析式为y=三x+4, 3 1 令y=0,则y=。x+4=0,解得：x=-12, 3 则C(-12,0； ②如图， B 如图，过C作CD⊥BC交AB于点D,过C作CE⊥x轴，过B作BE⊥CE交CE于点E,过D作DF⊥CE交 CE于点F, :∠ABC=45°， ∠4=LABC=45°， .BC=DC, :∠BEC=∠BCD=90°， .∠2+∠3=∠1+∠2=90°， ∠1=∠3， △BCE≌△CDF(AAS, .BE =CF,CE=DF=4, 设C(c,0, 则0C=BE=CF=c, Dc-4,-c, :点D(c-4,-c在直线y=2x+4的图象上， .2(c-4)+4=-c, 68/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 4 :c3' c 综上，c-2或c0 【点晴】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、一次函数解析式求解、坐标与图形 等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确 作出辅助线构造全等三角形解题是关键， 4.(24-25八年级下·广东广州期末)在平面直角坐标系x0y中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正 半轴上，0A=0B=10,点P是x轴上的动点. (1)求直线AB的解析式： (2)当Sarm时，求点P的坐标： (3)若点P为线段OB的中点，点M是线段OA上的动点，点N是线段AB上的动点，当△PMN的周长取得最 小值时，求点M和点N的坐标 【答案】(1)y=-x+10 ②点P80-50 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，轴对称的性质，灵活运用这些性 质解决问题是解题的关键 (1)先求出点A,点B坐标，利用待定系数法可求直线AB解析式： (2)由面积关系列出方程可求解： (3)作点P关于y轴的对称点P",作点P关于直线AB的对称点P,连接P'P",交AB于N,交y轴于M ,此时。PMN的周长有最小值，利用待定系数法可求直线P'P"的解析式，可求点M坐标，联立方程组可求 点N坐标 【详解】(1)解：设直线AB的解析式为y=x+b, “点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA=OB=10, .A(0,10),B10,0), 「10=b 0=10k+b' 解得：k=-1,b=10, 69/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 :直线AB的解析式为y=-x+10: (2)设点P(x,0), OF.00. 32 :BP=30P, 10-x=3x, x=5或x=-5, 2 点0-50， (3)如图，作点P关于y轴的对称点P",作点P关于直线AB的对称点P,连接P'P",交AB于N,交y 轴于M, 此时，△PMN的周长=PM+PN+MN=P"M+P'W+MN=P'P",即△PMN的周长的最小值为P'P', 点P为线段OB的中点， P"O ∴.OP=PB=5, :点P(5,0), “点P"与点P关于y轴对称， 0p=Op"=5, :点P"-5,0), :点P与点P关于直线AB对称， :BP=BP'=5,∠ABP'=∠ABP=45°， ∠PBp'=90°， :点P'10,5), 设直线P'p"的解析式为y=c+b, 0=-5k+b 5=10k+b' 70/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 k= 解得： 3 5 b= 3 直线Pp的解析式为y=+3】 1 当x=0时，y=3 :点M0 5 :点N是直线AB与直线P'P"的交点， y=-x+10 1.5, y=3+3 25 X= 解得： 4 15 y= 4 ·点w2515 4’4 5.(24-25八年级下·广东江门期末)已知，四边形0ABC是正方形，OA=8,D是x轴上一点，以D为直 角顶点向CE右侧构造等腰直角三角形，设点D的坐标为a,O). D 图1 图2 图3 ()如图1，点E的横纵坐标之间是否满足某种函数关系？若有请写出并证明，若无请说明理由. (2)如图2，若点D是线段OA上一点（不与O、A重合）且CE与AB交于点F,连接DF.请判断线段OD, DF,BF的数量关系并证明 (3)如图3，若点G,H分别是线段OC,CE的中点，连接GH,AH,GH+AH是否存在最小值，若存在 请求出最小值时点D坐标，若不存在请说明理由 【答案】()y=x-8,证明见解答 (②)OD+BF=DF,证明见解答 3)存在， 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知 71/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 识点，灵活构造全等三角形证明关键边和角相等是解答本题的关键 (1)通过辅助线构造aCDO≌△DEF,可得OD=EF,CO=DF,然后根据点E的横纵坐标之间的关系求 解答案。 (2)延长AB,使BG=OD,连接CG.根据SAS证明aCOD≌aCBG,得出CD=CG,∠DCO=LGCB,然 后再证明△DCF≌aGCF即可得出结论. (3)先根据(1)中结论得出点H的轨迹，然后确定当点H在线段AG上时GH+AH有最小值AG,再根 据△AOG的面积求出点H的坐标，进而求出点E的纵坐标，然后根据(1)中yE=a即可求解. 【详解】(1)解：点E横纵坐标之间的函数关系为：y=x-8. 理由：如图，过点E向x轴作垂线，垂足为F E:aCDE是等腰直角三角形， D A CD=DE,∠CDO=90°-∠EDF=∠DEF, ∠CDO=∠DEF 在△CDO和△DEF中， ∠COD=∠DFE=90°， CD=DE .△CDO≌△DEF(AAS, :.OD=EF=a,CO=DF=OA=8. 设点E坐标为x,y), .x=a+8,y=a, y=x-8. 故点E的横纵坐标所满足的函数关系式为y=x-8. (2)解：结论：OD+BF=DF 证明：如图，延长AB,使BG=OD,连接CG 72/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 根据题意可知，C0=CB,∠C0D=LCBG=90°， :△COD≌ACBG(SAS), CD=CG,∠DC0=∠GCB. :aCDE是等腰直角三角形， .∠DCF=45°， :∠GCF=GCB+∠BCF=∠DC0+∠BCF=90°-∠DCF=45°=∠DCF. CD=CG 在aDCF和aGCF中， ∠DCF=∠GCF, CF=CF △DCF≌△GCF(SAS), .FG=DF, :.OD +BF DF. (3)解：由(1)可知，点E横纵坐标满足函数关系式y=x-8. :点H为线段CE的中点， “点H横纵坐标为：4= 2,4=+8 2 ∴.xE=2xH,yE=2yH-8. 代入y=x-8得：yH=xH :点H在直线y=x上. 当点H位于直线y=x与AG的交点时，GH+AH存在最小值，为AG的长度. 设此时点H的坐标为(m,m), 1 S.A0G= A0.G02m:40m-G0,40=8,G0=4 2 8 ∴.m= 3 73/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 点H坐标为行3 88 16 .XE=2XH= 3’e=2g-8=- 3 由(1)知：yε=a, 8 4=- 点D的坐标为 6.(24-25八年级下·广东阳江·期末)如图1，直线1与y轴交于点A0,2),与x轴交于点B(4,0),直线2经 过点A,C(-1,0. C B B 图1 图2 (1)求直线4与马的函数解析式. (2)求ABC的面积. (3)如图2，P是线段AB上的一动点，Q是线段AC上的一动点，连接OP,OQ,PO.若△PQA与△POO全 等，求点P的坐标， 【答案】()y=- 2 x+2,y=2x+2 (2)5 2》 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质，掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答 本题的关键 (1)用待定系数法求一次函数的解析式即可； (2)根据三角形的面积公式计算即可； (3)分为△PQA≌△PQO或△PQA≌△QPO两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可. 【详解】(1)解：设直线的函数解析式为y=kx+b. 将点A(0,2),B(4,0)代入， 74/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 b=2, 得 解得 k1= 4k+b=0, 2 b=2, :直线的函数解析式为y=- -x+2 设直线2的函数解析式为y=k2x+b2 将点A(0,2),C(-1,0)代入， b2=2 「b2=2, 得 -k2+b2=0, 解得1k=2, 直线的函数解析式为y=2x+2 (2)解：：点A(0,2),B(4,0),C(-1,0, BC=5,0A=2, 1 ∴SABc=5 BCxOA=5 (3)解：分两种情况： ①如图1，当△POA≌△PQO时，0P=AP,∠APQ=∠OPQ 12 B 图1 .PM =PM, △APM≌△OPM, LAMP=∠OMP=90°，AM=OM=5OA=1 1 把y=1代入y=-2x+2,得x=2, :点P(2,1 ②如图2，当△PQA≌△QPO时，∠AQP=∠OPQ, 75/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图2 ..AOlOP :直线AC的函数解析式为y=2x+2, 直线OP的函数解析式为y=2x X= 将y=2x与y=-。x+2联立，解得 8 综上所述，点P的坐标为2，或 48 5'5 7.(24-25八年级下·广东期末)如图，在平面直角坐标系中，直线：y=x+4与x轴交于点A,与y轴交 于点B,另一条直线1：y=2x+2与x轴交于点E,与交于点F(2,m. B 备用图 (1)求m的值和☑的解析式： (2)当点C为直线Z上一动点，且△CEF的面积为8，求点C的坐标； (3)点M为x轴一动点，点P是直线马上一动点，是否存在△FPM以PM为直角边的等腰直角三角形，若存 在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由 3 【答案】(1)1；y=-三x+4 (2)点C(-6,13)或C,(10,-11) 76/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ③存在：0或或-2或 10 【分析】(1)根据y=- 2x+2过点F(2,m,确定F2,m坐标，后代入y=c+4的解析式，解答即可： (2)设点C0-+4,当点C在x轴的上方时，此时-0+40，Sm=a-Sm=8:点C在 3 轴的下方时，此时 2m+40,S.cr=ScE+Sr=8,分类解答即可. (3)根据等腰直角三角形的性质，构造一线三直角全等模型，分类解答即可 本题考查了待定系数法，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌 握性质是解题的关键， 【详解】)解：y=-2x+2过点F2: 1 故m=-1+2=1, F(2,1, .1=2k+4, k=3 .的解析式为y= 2+4 解：根据直线的解析式为y三-x+4,得 30 (8 由直线y=分+2，得540小，故 AE=4- 84 331 又F(2,1, 3 设点Cm,-2m+4 当点C在x轴的上方时，此时-3n+4>0, 根据题意，得△CEF的面积为8， S.CEF=SACE-S.AEF =8 号4D4-8, 143n+4_1x4x1=8, n+4 232”23 3 -2+4=13, 解得n=-6, .点C(-6,13): 77/102 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 当点C在x轴的下方时，此时n+4<0 根据题意，得△CEF的面积为8， SCEF =S.ACE +S.AEF =8 4p小+A6p,=8, 1 2 143.14 2×2+4+2 ×1=8, 2n-4=11, 解得n=10, .点C,(10,-11; 综上所述，点C(-6,13)或C10,-11. (3)解：存在aFPM是以PM为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 设M(m,0), 1 P(P:-2p+2 当PF为直角边时，过P作NQ/x轴，过M作MN⊥NQ于N,过F作FQ⊥NQ于Q,如图： y B 2 No :△FPM为等腰直角三角形， .MP=FP,∠MPF=90°， .∠MPN=90°-∠QPF=∠PFQ, 78/102 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :∠N=90°=∠Q, △MPN≌APFO(AAS), ..MN=PO, 1 2p+22-p, 8 解得p=0或p :此时点P的横华标为0安： 当MF为直角边时，过P作PH⊥x轴于H,过F作FG⊥x轴于G,如图： HMO GA 同理可得.∴△PHM≌△MGF(AAS), :PH=MG,HM =FG=2, m-p=1 解得P=-2或p=2(此时P,F重合，舍去)或p=10 综上所运，P约横坐标为0或或-？或 10 3 8。《2425八年级下广东梅州期未)如图，在平面直角坐标系中，直线4：y宁+1与x铺交于点8，直线 =mx+n与直线.x轴分别交于点A号 C(4,0). 79/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (①)不等式2x+1>mx+m的解集为 (②)在x轴上是否存在一点M，使得△ABM是以AB为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点M的坐标； 如果不存在，请说明理由. (3)若D,E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D,E,使得以A,B,D,E为顶点，AB为一边的 四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(I)x>1 (2)存在， 2+350或M-235 2,0 或M(4,0) 3)存在，E(0,-1)或E(0,5 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想 进行求解是解题的关键： (1)直接利用图象法求出不等式的解集即可： (2)分AB=AM,AB=BM两种情况进行讨论求解即可； (3)分四边形ABDE为平行四边形和四边形ABED为平行四边形，两种情况进行讨论求解即可. 详解】D解：“直线弘y=mx+n与直线交于点A1)Y 由图象可知： 2x+1>mr+n的解集为：x>1; (2)存在： 当y=2+1=0时，x=-2, B-2,0, 当AB=AM时，设M(m,0), :B-2,0),A12 80/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :m2-1, ∴.m=4, M4,0, A M MBO M2 C 3 (3)把4》，C4,0)代入y=mr+,得： m+n= 2, 4m+n=0 1 解得： m=-2, n=2 1 y= 2x+2, 1 设Da,2a+2 :以A,B,D,E为顶点，AB为一边的四边形是平行四边形， AB∥DE,AB=DE, B(-2,0), :点A先向左移动3个单位，再向下移动？个单位得到点B, 当四边形ABED为平行四边形时， 点D+2]先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点E, 3 2 “点E在y轴上， a-3=0, a=3, 81/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E(0,-1): 当四边形ABDE为平行四边形时， ÷点E先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点D40+2, Ea+3,2+2+3 2 :点E在y轴上， .a=-3, .E(0,5) 综上：E(0,-1)或E(0,5). B 9(2425八年级下广东汕头期末)【问题背景】如图，直线y-子+3与x轴，y轴分别交于点A,点B, 点D(0,1)为y轴上一点. B E D E D (备用图) 【构建联系】 (1)求点A,点B的坐标： (2)点C为线段OA上一点，连接BC,AD交于点E,若∠AEC=45°， ①求直线BC的解析式： 82/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ②点P(0,-2)为y轴负半轴上一点，求点P到直线BC的距离： 【深入探究】 (3)点M为y轴上一点，在平面上是否存在点N,使以点A,D,M,N为顶点的四边形是菱形，若存在， 直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】(1D4机40,80，：(2)①y=x+3:②l1534,3)存在，N的坐标为-4,7)或 31 34 (-4,-17)或(4,0)或 7 4,2 【分析】本题考查一次函数综合应用，全等三角形判定与性质，菱形的性质。 （1)在y-x+3中，令x=0得y=3,令=0得x=-4,即得A-4,0),B0,3: (2)①过B作BH⊥AD于H,过H作GK∥y轴，过B作BG⊥GK于G,过E作EK⊥GK于K,求出直线 4D解所式为y+1,设Bee+,+),证明BHG空：HEK,可得BG=R,GH=EK,即可 1 5 列出e,t的方程组，解得E的坐标，再用待定系数法可得直线BC解析式为y=三x+3; ②过P作PT1BC于7，连接PE,由勾股定理求出BE,由面积法可得点P到直线BC的距离为15V34 34 (3)设M(0,m),N(p,q),，又A(-4,0),D(0,1),分三种情况列方程组可解得答案. 【详解】解：(1)在y=子x+3中，令x=0得y=3,令)=0得x=-4, A(-4,0),B(0,3); (2)①过B作BH⊥AD于H,过H作GK∥y轴，过B作BG⊥GK于G,过E作EK⊥GK于K,如图： VA 设直线AD解析式为y=+b, 将A(-4,0),D0,1)代入得 -4k+b=0 b=1 解得： b=1 83/102 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 即直线AD解析式为y=二x+1, 4 1 1 设Ee4e+,H,子+， :∠AEC=∠BEH=45°，BH⊥AD, :△BEH是等腰直角三角形， .BH=EH,∠BHE=90°， ∠BHG=90°-∠EHK=∠HEK, :∠G=∠K=90°， .△BHG≌△HEK(AAS), .BG=HK,GH=EK, j=*-e 4 e=-24 解得 17 8 -7 2411 17'17 设直线BC解析式为y=ax+C, 24 。11 2411Y a+c= 将 ( B(0,3)代入得17 17, 17'17 c=3 5 解得： a23, c=3 5 即直线BC解析式为y=3+3: ②过P作PT⊥BC于T,连接PE,如图： 84/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B(0,3),P(0,-2), BP=5, 2411 E717 1 2460 1717 +312 8V34 17 17 18v34 217 PT=60 7 P7=15V34 34 ÷点P到直线BC的距离为15V34 34 (3)在平面上存在点N,使以点A,D,M,N为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设M(0,m),N(p,q), 又A(-4,0),D0,1), ①当AM,DN为对角线时，AM,DN的中点重合，且AD=DM, -4=p m=9+1 17=(m-2 p=-4 P=-4 解得9=7 或{g=-7 m=V17+1m=-V17+1 .N(-4,17)或(-4，-V17) -4+p=0 ②当AN,DM为对角线时，同理可得9=m+1, 16+m2=17 85/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 p=4 p=4 解得q=2(此时M与D重合，舍去)或{9=0， m=1 m=-1 N(4,0): -4=p ③当AD,MN为对角线时，同理得1=m+q 16+m2=(m-1)2 =-4 17 解得4=2 15 1m=- 2 综上所运，N的坐标为(-4或4)或低0或() 10.(24-25八年级下广东东莞期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线：y=-x+b与直线2：y=x-1交 于点C(L,2),直线与x轴，y轴分别交于点A,B. yG B 0 A M衣 图1 图2 (①)求k和b的值； (2)如图2，点M(m,0)(m≠1)是x轴上的动点，过点M作垂直于x轴的直线，分别与直线1和Z交于D,E两 点，过点D作DF∥x轴，交直线马于点F,以DE,DF为边作矩形DEGF. D连接GC，当m>1时，试别新。产的值否为定值？右光，请求出这个定值：若不元，带说明理由： ②当动点M在x轴上运动时，发现顶点G始终落在一条直线上，请直接写出该直线的函数解析式. 【答案】(1)b=3,k=3 86/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 20c为定值3：②点G在直线y=-9r+11上 S.ccF 【分析】(1)直接利用待定系数法求解即可： ②)①求解C1,2,如图，Mm,0m>,求解m,3m,Dm,-m+3,F-m+36 4-m 再进一步求解即可：@0将：G(;3训-小可得 3，再进一步求解即可 y=3m-1 【详解】(1)解：直线4，：y=-x+b与直线l:y=x-1交于点C(1,2), .-1+b=2,k-1=2, 解得：b=3,k=3, 直线l:y=-x+3,直线：y=3x-1; (2)解：①联立 y=-x+3 y=3x-1· x=1 解得： y=2 C1,2), 如图，：M(m,0)(m>1,矩形DEGF, G B D M A E(m,3m-1,D(m,-m+3), .yr yo=-m+3, 4-m .XE= 3， 26E=m1-,C线6E的距离：1-2-3 87/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 “Scoe=)(3m-3)x4m-4 2 3 同理：GF=3m-1+m-3=4m-4,C到GF的距离为：1-4-m=m-1, 3 3 5mm-4 3 -2*3m-3x 1 4m-4 SGCF b4m-4xm-13 3 SccE是定值3： SGCF ②由①得： G4m,3m-1 3 x= 4-m 3， y=3m-1 由y=3m-1可得：m=y+ 由x4-m 3， 3x=4-m, 3x=4-y+ 3 整理得：y=-9x+11 【点晴】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数的交点坐标，矩形的性质， 坐标与图形面积，理解题意是解本题的关键 11.(24-25八年级下·广东惠州期末)数学建模 【模型建立】如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型.这种 模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用. 【模型探索】 (1)如图2，一次函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于：P,Q两点.以线段P9为直角边在PQ的 右边作等腰直角△POR,直接写出点的坐标：P，Q，R· (2)如图3，一次函数y=-x+10的图象与x轴、y轴分别交于B,A两点，M,N是直线y=x上的两 动点，连接BM,AN,若BM⊥MN,BM=6,求AN长的最小值. 【模型应用】 (3)如图4，在（2)的情况下，经过点B的直线y=。x-5与y轴交于点C,H为线段OB上的一点，作 88/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 射线CH.若LBCH=45°，求直线CH的函数解析式. B 图1 图2 图3 图4 【答案】(1)(2,0)，(0,4)，(6,2)；(2)8；(3)y=3x-5 【分析】(1)过点R作RA⊥x轴于点A,由一次函数解析式可得P(2,0),Q(0,4),即得0P=2,O9=4 再证明△APR≌△OOP(AAS),得到AR=OP=2,AP=OQ=4,进而即可求解； (2)当AN⊥MN时，AN最小，由一次函数解析式可得A0,10),B(10,0),即得0B=A0=10,进而证 明aBOM≌aOAN(AAS),，得到OM=AN,利用勾股定理求出OM即可求解； (3)过点B作BT⊥CH于点T,过点T作MN⊥y轴于点N,交过点B和y轴的平行线于点M,可得 aTCB为等腰直角三角形，即得CT=BT,同理(2)可证△ONT≌△TMB(AAS),得到CN=TM, TN=BM,又由四边形NOBM为矩形可得ON=MB,NM=OB,由一次函数解析式得C(O,-5),即得 OC=5,设T(x,y),则CN=TM=5+y,TN=BM=x,由NT+TM=NM=OB,NT=BM列出方程组求 出x、y的值，进而得到点T的坐标，最后再利用待定系数法解答即可求解， 【详解】解：(1)如图2，过点R作RA⊥x轴于点A,则∠PAR=∠QOP=90°， R 图2 :一次函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于P,Q两点， P2,0,00,4, 0P=2,O0=4, :△POR是以PQ为直角边的等腰直角三角形， PR=PQ,∠RPQ=90°， 89/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠APR+∠QPO=90°， :∠APR+∠PRA=90°， ∠PRA=∠QPO, :△APR≌aOQP(AAS), .AR=OP=2,AP=00=4, 0A=0P+AP=2+4=6, R6,2), 故答案为：（2,0)，(0,4)，(6,2)； (2)如图，当AN⊥MN时，AN最小， B M :∠A0B=90°， ∴.∠A0N+∠B0M=∠A0N+∠NA0=90°， .∠B0M=∠OAN, :一次函数y=-x+10的图象与x轴、y轴分别交于B,A两点， A0,10),B10,0, 0B=A0=10, 又：∠AN0=∠0MB=90°， △BOM≌a0AN(AAS), .OM=AN, 在Rt△BOM中，OB=10,BM=6, 0M=V102-62=8, AN=8, AN长的最小值为8； (3)如图，过点B作BT⊥CH于点T,过点T作MN⊥y轴于点N,交过点B和y轴的平行线于点M, 90/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y◆ A M OH B C :∠TCB=45°， “△TCB为等腰直角三角形， :.CT=BT, 同理(2)可证△ONT≌aTMB(AAS), .CN=TM,TN=BM, :∠NOB=∠ONM=∠NMB=90°， :.四边形NOBM为矩形， .ON =MB,NM=0B, 直线y)x-5与y轴交于点C C(0,-5), .0C=5, 设T(x,y), .CN=TM=5+y,TN=BM=x, .NT +TM =NM =OB,NT=BM, x+5+y=10 x=y (5 x= 解得 2 y=2 引 设直线CH的至数解新式为y=红+b,把C0,-列和7(3)代入得。 -5=b -k+b 22 91/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 [k=3 解得 b=-5 :直线CH的函数解析式为y=3x-5. 【点晴】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的几何应用，勾 股定理，待定系数法求一次函数解析式，正确作出辅助线是解题的关键， 12.(24-25八年级下·广东江门期末)己知：如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=6,在AD上取一点 E,AE=2,点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN,使点N落在CD边上，点M落在 矩形ABCD内或其边上.若AF=x,△BFM的面积为S· D D F 图1 图2 备用图 (I)如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌aEDN; (2)如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S关于x的函数解析式； (3)请问：当x分别取何值时，△BFM的面积S取最大值、最小值？（提示：借助备用图） 【答案】(1)见解析： (2)S=18-2x; ③)当=25时，S默=18-45：当x-时，S-29 3 【分析】(1)利用余角性质可得∠AFE=∠DEN,进而根据AAS即可求证： (2)如图2，连接FN,作MQ⊥FB于Q,证明△MFQ≌△END(AAS),可得MQ=ED=4,进而根据三 角形的面积公式即可求解； (3)由一次函数的性质可得S随x的增大而减小，当点N与D重合时，x的值最小，此时△FBM的面积最 大，当点M在BC上时，x的值最大，此时△FBM的面积最小，分别画出图形据此解答即可求解， 【详解】(I)证明：：四边形EFMN是正方形，四边形ABCD是矩形， :EF=NE,∠FEN=∠A=∠D=90°， ∴.∠AEF+∠DEN=90°，∠AEF+∠AFE=90°， ∴∠AFE=LDEN, .△FAE≌EDN(AAS; (2)解：如图2，连接FN,作MQ1FB于Q,则∠MQF=∠D=90°， 92/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 图2 :四边形ABCD是矩形， AD=BC=6,AB∥CD, :ED=AD-AE=6-2=4,∠NFQ=∠DNF, :四边形EFMN是菱形， FM=EN,EN∥FM, .∠NFM=∠ENF, :.∠NFQ-∠NFM=∠DNF-∠ENF, 即∠MFQ=∠END, :.△MFQ≌aEND(AAS, :MO=ED=4, .AB=9,AF=x, ..BF=9-x, 25-8Fw0-X9-小x4=-2r+18, 即S与x的函数关系式为S=-2x+18; (3)解：由(2)得S=-2x+18, .S随x的增大而减小， 如图3，当点N与D重合时，x的值最小，此时aFBM的面积最大， D(N) M E B 图3 AD=BC=6,AE=2, EF=DE=6-2=4, 93/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时x=AF=VEF2-AE2=V42-22=2V5; 则S=-2×2√5+18=18-45； 如图4，当点M在BC上时，x的值最大，此时△FBM的面积最小， D B 图4 连接NF,同理（2)可证△AEF≌aCMW(AAS), .AF CN=x, :DN =9-x, EF EN, .AE2+AF2=DE2+DN2, 即AE2+AF2=DE2+DN2 22+x2=42+9-x), 解得= 6 S=-2x3 +18= 3+18=23 ， 当r=25时，5默=18-5，当时S答 【点晴】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的几 何应用，一次函数的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键. 13.(24-25八年级下·广东广州期末)如图1，已知直线y=-x+6与x轴、y轴分别交于点A、点C,以 OA为边在第一象限作正方形OABC,动点P在直线x=3上运动，连接PO,将线段PO绕点P顺时针方向 旋转90°得线段PQ(点Q在直线BC上方) 94/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (①)点A的坐标为，点C的坐标为： (②)设点P(3,m),请求出点Q的坐标（用含m的式子表示），并判断点Q是否在直线AC上，若是，请证 明，若不是，请说明理由； (3)如图2，连接BP并延长，交线段O0于点M,当∠BM0=90°时，求BM的长. 【答案】(1)6,0)，(0,6) (2)Q(3-m,3+m),点Q在直线AC上 (3)3√6 【分析】(1)根据一次函数图象上点的坐标特点求解即可； (2)过点Q作QG垂直于直线x=3交于点G,证明△POG≌aOPH(AAS),可求Q3-m,3+m,再判定点Q 在直线AC上； (3》由题可知M是00的中点，设P(3,m,则Q3-m,3+m,M3-m,3+m 22 求出直线PB的解析式为 y=6,mx+2m-6,M点在PB上，即可求m的值，从而确定点M的坐标，求出BM即可， 3 【详解】(1)解：当y=0时，-x+6=0,解得x=6, .A6,0, 当x=0时，y=6, C(0,6, 故答案为：(6,0)，（0,6： (2)解：点Q是否在直线AC上，理由如下： 过点Q作QG垂直于直线x=3交于点G, 95/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 G D ∠QP0=90°， 0 图1 .∠QPG+∠OPH=90°， :∠QPG+∠PQG=90°， .∠OPH=∠PQG, .PO=PO, :△PQG≌△OPH(AA, .PG=OH=3,PH=GO=m, Q3-m,3+m）, 当x=3-m时，y=-x+6=m-3+6=m+3, :点O在直线AC上； (3)解：：∠BM0=90°， .BM⊥OQ, ..PO=OP, :M是QO的中点， 设P(3,m),则0(3-m,3+m, .M 3-m3+m） (2,2 根据题意B(6,6), 设直线BP的解析式为y=c+b, 6k+b=6 3k+b=m k= 6-m 解得 3, b=2m-6 96/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 直线PB的解析式为y= 6-m 3 x+2m-6, :M点在PB上， .6-m×3-m+2m-6= +m 3 2 2 解得m=3√5， ∴.M 3-3V33+3V5 2 2 2 .BM= 3-3V5 3+35 6 6 2 =3V6 2 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质， 熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键， 3 14.(2-23八年级上广东揭阳期末)已知：如图，一次函数y=-3的图像分别与轴、y轴相交于点 A(4,0)、B(0,-3),且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y=c+b的图像相交于点D,直线CD与y轴 相交于点E,E与B关于x轴对称，OA=30C. E C B D D 备用图 (I)求直线CD的函数表达式和点D的坐标； (2)点P为线段DE上的一个动点，连接BP. ①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标： ②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存 在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线CD的函数表达式为：y=二x+3,点D的坐标为(-4，-6). 4 ②0点P的坐标为-多-到或（多小： ②存在点P,将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线 8上方的坐标维上，点P坐标为多叹（兰引 97/102 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(I)根据题意，利用已知条件得到点C,点E坐标，用待定系数法可求出直线CD的解析式，联 立直线CD和直线AB的解析式可求出点D的坐标， (2)①过点D作DF⊥x轴于点F,先求出△ACD的面积，直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，需要 分两种情况：当点P在线段CD上时，则有S=乙Sm,由此建立方程求解，得到答案：当点P在线段 16 C配上时，设直线BP与x袖交于点Q,此时有S06S么，由此建立方程求解，得到答案 ②将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上，需要分三种情况：当点D落在 x轴负半轴上；当点D落在y轴上；当点D落在x轴正半轴上，画出图形，求出答案. 【详解】(1)解：根据题意得： 点A4,0、B0,-3), ：0A=4, :E与B关于x轴对称，OA=30C, :E0,3),0C=3 4 把点C和点E的坐标代入一次函数y=c+b, 3+b=0 b=3 9 k= 解得 4， b=3 :直线CD的函数表达式为：y=2x+3, 4 令9x+3=2x-3, 3 41 4 解得：x=-4, 3 ·y=2×(-4)-3=-6, 4 :点D的坐标为(-4，-6). (2)①如图，过点D作DF⊥x轴于点F,连接BC, 98/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E FC DF=6, P B D :0A=4,0C= 4 :4C=16 , 4C-DF=x16x6=16, 1 23 :A4,0)、B(0,-3、D(-4,-6), :点B是线段AD的中点， :S△DBc=S△4cB, 当点P在线段CD上时，则有 SADEr-16 SAACD' 1 S.o-(-)BE. +6- ×16, 16 解得：。=3 川3引 当点P在线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q,如图，此时有 S△AB016 C B 2403=7,解得40=14 99/102 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 143 2 00= 3 3 直线80的解析式为y=-9 -3, 9 23, 8 解得：x=一9' r 综上所述，若直线BP将4CD的面积分为7：9两部分，点P的坐标为到或( ②存在，理由如下： 将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上，分三种情况： 当点D落在x轴负半轴上D处，如图， D'C A x D 由折叠性质可知，∠DBP=∠D,BP,BD=BD, 由题意可知，0B=3,0A=4, 则AB=5, :BD=AB=5, :BD1=5, 0D1=4, ·△AB0≌△DB0(SSS, ∠OAB=∠ODB, ∠DBD1=∠OAB+∠ODB, 100/102命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题05 一次函数 ☆高频考点概览 考点01一次函数的概念 考点02一次函数的图象与性质 考点03待定系数法求一次函数的表达式 考点04一次函数与方程（组）、不等式 考点05一次函数的实际应用 考点06一次函数与几何综合（压轴题） 目目 考点01 次函数的概念 1.(24-25八年级下·广东江门期末)下列式子中，表示y是x的正比例函数的是() A.y=x2 B.y=3 C.y=x D.y=2x 2.（23-24八年级下·广东惠州期末)下列函数是正比例函数的是() A.y=3x B.y C.y=x2+1 D.y=3x+1 3.(23-24八年级下·广东汕头期末)下列函数中，是一次函数有() A.y=x2+1 B.y=3 C.y=2x-1 D.y=2 4.(23-24八年级下广东汕头期末)下列函数中，是一次函数的是() A.y=2x2-x B.y=-2+1 C.ytl D.y=3x2 5.(22-23八年级上·广东揭阳期末)若y=(（k-2)x2+(k-2)x是y关于x的正比例函数，则k的值为() A.±2 B.-2 C.2 D.3 6.(23-24八年级下·广东期末)己知一次函数y=(3-k)x+9-k2是正比例函数，则k=· 7.(24-25八年级下广东汕头期末)若y=(m+1)x2四+1是关于x的一次函数，则m的值为() A.1 B.-1 C.±1 D.±2 8.(21-22八年级下广东惠州期末)若关于x的函数y=kx3-x+5x≠0)是一次函数，则k= 9.(24-25八年级下·广东广州期末)下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y; ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x; ③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数x 1/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 10. (24-25八年级下.广东阳江期末)己知y关于x的函数y=(2m+6)x+m2-9,且该函数是正比例函 数，求m的值， 目目 考点02 一次函数的图象与性质 1.(24-25八年级下.广东汕头期末)关于正比例函数y=5x的描述，错误的是() A.图象是一条过原点的直线 B.y随x的增大而增大 D.图象过一、三象限 2. (23-24八年级下·广东·期末)已知正比例函数y=一之下列结论正确的是（ ) A.图象是一条射线 B.图象必经过点(-1,2) C.图象经过第一、三象限 D.y随x的增大而减小 3.(23-24八年级下·广东惠州期末)如图，正比例函数y=mx,y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如 图所示.则比例系数m,n的大小关系是mn.(填“>”、“<”或“=”) y=mx y=nx 4.(24-25八年级下·广东中山期末)已知正比例函数y=3x,则当-1≤x≤2时，函数的最大值为() A.-6 B.-3 C.3 D.6 5.(23-24八年级上广东佛山期末)若点(-1，y)、(2,y2)都在函数y=-2x的图象上，则乃与2的大小关 系是() A.y<y2 B.=y2 C.y>y2 D.无法确定 6.(24-25八年级上广东揭阳期末)已知点Ax,y)和点B(x2,2)是正比例函数y=-k2+1)x图象上的两 个点，如果x>x2,那么y和的大小关系是() A.y>y, B.y<y2 C.y=y2 D.无法判断 7.(22-23八年级下·广东广州·期末)已知函数y=k-3)x是正比例函数，且y随着x的增大而减小，则下 2/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 面判断正确的是() A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3 8.(22-23八年级下·广东期末)已知正比例函数y=x(k是常数，k≠0)，y的值随着x的值的增大而 增大，请写出一个满足条件的正比例函数的解析式：y= 9.(22-23八年级上广东茂名期末)己知正比例函数y=x图像经过二、四象限，则k0. 10.(24-25八年级上陕西西安期中)已知正比例函数y=(m-1)x㎡的图象经过第一、三象限，则m的 值为 11.（23-24八年级下·广东·期末)若正比例函数y=(m-2)x的图象经过点A(x1,y)和点B(x2,y2), 当<x2时y>y2,则m的取值范围是 12.(24-25八年级上·广东清远期末)一次函数y=kx+k与正比例函数y=-x的大致图象是（) yA v=kx+k y=-kx y=kx+k B v=kx+k 13.(23-24八年级下·广东广州期末)一次函数y=x+b(b≠0)不经过第三象限，则y=bx+k的大致图象 是() 14.(24-25八年级上·广东佛山期末)若点(a,b)在第四象限，则函数y=ax+b的图象大致是() 3/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 15.(25-26八年级上广东清远期末)在平面直角坐标系中，直线y=-3x+12经过的象限有() A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 16.(23-24八年级下·广东期末)已知一次函数y=2m-3)x+3n+1的图象经过第一、二、三象限，则m、 n的收值范围是() B.m>,>背C.烟<经n<写D烟><写 3 3 A.m>3,n>3 3 1 3 17.(22-23八年级上广东·期末)若一次函数y=(k+1x+2k-4的图像不经过第二象限，则k的取值范围 是 18.(24-25八年级下·广东广州期末)己知一次函数y=(m+3)x+m-2的图象如图所示，则m的取值范围 为() A.m>-3 B.m<2 C.m<-3或m>2D.-3<m<2 19.(23-24八年级下·广东广州期末)若函数y=-3x+k的图象经过第二、三、四象限，下列关于函数 y=kx+k的描述正确的是() A.y随x的增大而增大 B.图象不经过第三象限 C.必过定点(-1,0 D.与x轴的交点坐标为0，k) 4/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 20.(24-25八年级下·广东汕尾期末)对于函数y=x-2,下列说法正确的是() A.它的图象经过二、三、四象限 B.y随x增大而减小 C.它的图象经过点(1，-1) D.它的图象与y轴的交点为(0,2) 21.(24-25八年级下·广东东莞期末)关于一次函数y=-2x+1,下列结论正确的是() A.图象过点(-1，-3) B.当x>0时，总有y<1 C.图象不经过第四象限 D.y随x的增大而增大 22.(25-26八年级上·广东佛山期末)下列有关一次函数y=kx+3(k≠0)的说法：①函数图象与y轴的交 点为(0,3)；②当k>0时，y的值随着x增大而增大；③当k<0时，函数图象经过第二、三、四象限.其中 正确的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 23.(23-24八年级下·广东潮州期末)已知一次函数y=x+1中，y随x的增大而减小，则k的值可能是() A.0 B.4 C.5 D.-6 24.(23-24八年级下·广东东莞·期末)一次函数y=x+2的值随x的增大而增大，则点P(m,-m)所在的象 限为() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 25.(23-24八年级下·广东广州期末)关于函数y=x+k-2(k为常数)，下列说法不正确的是() A.当k≠0时，该函数是一次函数 B.若点A(-1,y),B(3,y2)在该函数图象上，且y<y2,则k>0 C.若该函数图象不经过第四象限，则k>2 D.该函数图象恒过点(-1，-2 26.(24-25八年级下·广东汕头期末)若点A2,m,B(3,)都在一次函数y=kx+3(k<0)的图象上，则m 与n的大小关系是() A.m<n B.m=n C.m>n D.无法比较 24.23.(24-25八年级下·广东汕头期末)一次函数y=kx-4(k<0)的图象上有两点(-1，y),（2,y2), 则乃，的大小关系是() A.y>y2 B.y=y2 C.y<y2 D.不能确定 24.(24-25八年级下·广东湛江·期末)点A(x,乃)和点B(x2,y2)在同一直线y=-2x+b上，若x>x2,则 5/26 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ,y2的大小关系是() A.y>y2 B.y<y2 C.y=y2 D.无法确定 25.(25-26八年级上广东阶段检测)己知A(x,)、B(x2,y2)两点在一次函数y=(m-1)x+n的图象上， 且当x<x,时，为<y2,则m的取值范围是一· 26.(23-24八年级下·广东广州期末)己知点A3,y),B(5,y2)在直线y=x+b上，若片<y2，则() A.b>0 B.b<0 C.k>0 D.k<0 27.(20-21八年级下·广东广州期末)当1≤x≤10时，一次函数y=3x+b的最小值为18，则b=() A.10 B.15 C.20 D.25 28.(23-24八年级下·广东汕头期末)当1≤x≤10时，一次函数y=-3x+b的最大值为18，则b= 29.(24-25八年级下·广东广州·期末)将直线y=2x沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式 是() A.y=2x+3 B.y=2x-3 C.y=-2x+3 D.y=-2x-3 30.(24-25八年级上·甘肃兰州期末)将一次函数y=-2x+4的图象平移得到图象的函数关系式为y=-2x, 则移动方法为() A.向左平移4个单位 B.向右平移4个单位 C.向上平移4个单位 D.向下平移4个单位 31.(24-25八年级下广东广州期末)在平面直角坐标系中，一次函数y=kx-3k≠0)的图象向上平移3个 单位长度后经过点P,且y随x的增大而减小，则点P的坐标可能是() A.（3,0) B.-1,-2 C.(2,3 D.（-1,6) 32.(25-26八年级上广东清远期末)已知两个一次函数y=x+1,2=2x-1,其中%=x+1的图象如图 所示，请结合图象回答下列问题： 6/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)画出函数y2=2x-1的图象： (2)若点A(m1,n1)和B(m2,n2)在一次函数y2=2x-1的图象上，当m1>m2时，判断n与n2的大小，说明理由； (3)观察图象，当x>2时，比较片与的大小，说明理由 0 1 y2=2x-1 -1 目目 考点03 待定系数法求一次函数的表达式 1. (23-24八年级下·广东期末)若一次函数y=kc+b的图象与直线y=-x+1平行，且过点(8,2)， 则该一次函数的解析式为() A.y=-X-2B.y=-x-6 C.y=-x-1 D.y=-x+10 2.(23-24八年级下广东期末)已知y-1与x+3成正比例，当x=-1时，y=3. (①)求出y与x的函数关系式： (2)设点(a,-2)在这个函数的图象上，求a的值. (3)试判断点(-2,5)是否在此函数图像上，说明理由. 3.(24-25八年级下·广东潮州期末)已知一次函数的图象经过M(-4,9)和V(2,3)两点，求这个一次函数的 解析式. 4.(25-26八年级上广东佛山期末)如图，在平面直角坐标系中，一条直线与y轴交于点B(0,6),与x 轴交于点A(3,O),点M在线段AB上. 7/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M A (I)求直线AB的表达式： (2)当S4oM=3时，求点M的坐标 5. (22-23八年级下·广东广州·期末)已知y是x的一次函数，部分对应值如表所示. 0 m (①)求该一次函数的表达式： ②)求n+m的值。 6.(24-25八年级下广东期末)如图，直线1分别交x轴和y轴于点A,B,A3,0),AB=13. B (1)求点B的坐标 (2)若点C在x轴的负半轴上，ABC的面积为4，求直线BC的解析式. 7.(23-24八年级下广东梅州期末)已知一次函数y,=（a-1x-2a+1,其中a≠1. 0若点1》 在y的图象上，求a的值； (2)当-2≤x≤3时，若函数有最大值2，求乃的函数表达式： 8. (24-25八年级上·广东河源期末)已知函数y=-2x-4. 0 y=-2x-4 0 8/26 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 4 2 1 -5-4-3-2-19 1 2345 -2 -4 -5 (①)填表，并画出这个函数的图象： (2)若将函数y=-2x-4的图象向上平移2个单位，设平移后的直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,求 △ABO的面积. 0 -2- y=-2x-4 -4- 0 a+b=3 9.(25-26八年级上·广东揭阳期末)若方程组{b+c=2的解满足k=a+b+c c+a=1 (I)求关于x的函数y=c-k的解析式： (②)设函数y=-k的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,求AB的长度， 目目 考点04 次函数与方程（组）、不等式 1.(24-25八年级下·广东惠州期末)一次函数y=+b与x轴相交于点P(5,0),则关于x的方程kx+b=0 的解为() A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.无法求解 2.(24-25八年级下·广东期末)如图，直线y=mx+n过点A,B,则关于x的方程mx+n=0的解是() 3 A.x=3 B.x=0 C.x=-4 D.x=-1 3.(23-24八年级下广东广州期末)若x=4是方程x+b=0的解，则直线y=c+b的图象与x轴交点的 坐标为（) 9/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(4,0) B.(0,4) C.(0,-4) D.(-4,0) 4.(23-24八年级下·广东期末)一次函数y=x+b(k、b为常数，且0)的图象如图所示.根据图象信 息可求得关于x的方程x+b=-3的解为 v=kx+b 2,3) (0,1) 5.(24-25八年级下·广东广州期末)如图，一次函数y=ax+b(a,b为常数且a<0)与正比例函数y2=ax(k为 常数且k>0)的图象交于点P(-4,-2),则关于x的方程(a-k)x+b=0的解是· y2=kx y=ax+b 6.(21-22八年级下广东广州期末)如图，直线y=x+5和直线y=a+b相交于点P,观察其图象可知方程 x+5=ax+b的解() y个 y=x+5 y=ax+b 25 P(20,25) 20 A.x=15 B.x=25 C.x=10 D.x=20 7.(25-26八年级上广东佛山期末)如图，直线y=-3x+b与直线y=c-2相交于点A(2,1),则方程组 y=-3x+b y=-2的解是（) 10/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1y=-3x+b A y=kx-2 x=2 B. x=1 [x=2 D x=0 C. v=1 y=2 y=0 y=1 8.(25-26八年级上·广东佛山期末)在同一平面直角坐标系中，直线y=2x-1与y=-3x+4相交于点 A1,m),则关于x,y的方程组 2x-y-1=0 的解为 3x+y-4=0 9.(25-26八年级上广东佛山期末)如图，在平面直角坐标系中，两条直线l:y=x+b和l2:y=kx+2相交 于点A-2,3,作直线l2:y=kx+2关于x轴对称的直线：y=mx-2,则关于x,y的二元一次方程组 y=x-2的解为() y=x+b y=x+b y=kx+2 B. x=-12 x=-14 C. y=-7 y=-9 D.9 y=-14 10.(24-25八年级下·广东·期末)若一次函数y=kx+bk≠0)的图象如图所示，则不等式kx+b<0的解集 是() 0 3 A.x<2 B.x<3 C.x>3 D.x>2 11.(23-24八年级下·广东汕头阶段检测)一次函数y=x+b的图象如图所示，当x+b>3时，x的取值 11/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 范围是() 2* A.x>0 B.x<0 C.x<2 D.x>2 12.(23-24八年级下·广东阶段检测)如图，一次函数y=ax+b与y=mx+n的图象交于点P(-1,2),则关 于x的方程ax+b=mx+n的解是 y=ax+b y=mxin 2 13.（24-25八年级下·广东期末)数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=-x-1 与y=mx+n（m,n为常数，m≠0)的图象相交于点(1，-2)，则不等式-x-1<mx+n的解集在数轴上表 示为() y=mx+n A寸0子8.310沁102D.310 14.(22-23八年级下·广东佛山期末)己知一次函数y=kx+bk>0)的图象过点(1,0)，则不等式 k(x+2+b>0的解集是() A.x>-2 B.x>-1 C.x>0 D.x>1 12/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 15.(24-25八年级下·广东广州期末)如图，一次函数y=ax+b(a≠0)和y=mx+n(m≠0)与x轴的交点分 ax+b>0 别为A(-3,0)和B1,0).则关于x的不等式组 的解集是· mx+n≥0 y=ax+b B y=mx+n 16.(2526八年级上广东佛山期末)图，一次函数=：+6和=m:+n相交于点4行2]且y与x 轴相交于点B(-1,0),则0<<2的取值范围为· VA y2=mx2十n y=kx +b 17.(23-24八年级下广东·期末)如图，直线y=+b经过点A(-1,-2)和B(-2,0);直线y=2x过点A, 则不等式2x<kx+b<0的解集为() A.-2<x<-1B.-1<x<0 C.-2<x<0 D.x<-2 18.(23-24八年级下·广东珠海期末)一次函数y=x+b(k、b为常数，且k≠0)中的x与y的部分对应 值如下表： 1 0 y m(m>0) -2 下列四个结论：①方程kx+b=0的解在0和1之间：②若点Px,y),P（x+1,y2)在直线y=+b上，则 13/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y<为；③k>2:④不等式kx+b>-m的解集为x>。时，k=6.其中正确的结论有() 3 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 19.(23-24八年级下广东揭阳期末)如图所示，一次函数y=x+b(k,b是常数，k≠0)与正比例函数 y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1,2),下列判断错误的是（) y号mx M1,2) y=kx+b A.关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B.关于x的不等式mx<kx+b的解集是x>1 C.当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大 y-mx=0 (少-：=b的解是) x=1 D.关于x,y的方程组 y=2 20.(24-25八年级下·广东广州期末)如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P,下列结论： ①d<b;②ac>0;③ ;④当x>1时，ax+b<cx+d.其中正确的结论有 Y y=ax+b y=cx+d 21.(22-23八年级下·广东云浮期末)如图，在平面直角坐标系中，直线L:y=-二x+6分别与x轴、y轴 2 交于点A、B,且与直线L,:y=。x交于点C. B (1)求出A、B、C的坐标： 14/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 (2)直接写出关于x的不等式-二x+6>二x的解集； 2 22.（23-24八年级下·广东惠州期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线l:y=kx+b(k≠0)与直线 :y=mx+n(m≠0)相交于点P,与x轴、y轴分别交于A、B两点. 备用图 (1)若点A、B、P的坐标分别为(1,0)，0,3)，(3，-2).直接写出下列各小题答案. ①方程kx+b=0的解是 ②方程组 y=kx+b 的解是 y=mx+n ③不等式kx+b<mx+n的解集是 ④不等式kx+b≥3的解集是 (2)若点A,B的坐标分别为1,0,0,2)，直线的表达式为y=2x-6,求△B0P的面积： (3)在(2)的基础上，点C是x轴上的一点，且使得ABC是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点 C的坐标， 26.(25-26九年级上广东茂名·期末)在平面直角坐标系xOy中，函数y1=kx+b(k≠0)的图象过点(-1,0 和3,2). (I)求函数y,=k红+b(k≠0)的解析式： (2)已知函数为y2=2x-1,y=片-，若函数值y满足1<y<5,求x的取值范围. 目目 考点05 一次函数的实际应用 1.(25-26八年级上广东清远期末)生物学研究发现，某种植物的生长高度y(单位：c)与生长时间x(单 位：天)满足一次函数关系若该植物初始生长高度为8cm,生长5天后高度达到18cm,则生长了20天的高度 15/26 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 为()cm A.38 B.40 C.42 D.48 2.(24-25八年级下·广东·期末)从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过1千克 收费12元，超过1千克的部分每千克收费5元，设快递物品的重量为x千克(x>1),那么从大连发快递到北 京的快递费y(元)与物品重量x(千克)的函数表达式为 3.20.(24-25八年级下·广东云浮期末)如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信 息，解答问题： 碗的数 1 5 量x/个 高度 7 8.2 10.611.8 y/cm 10.6cm (I)求整齐叠放在桌面上碗的高度y(单位：cm)与碗的数量x(单位：个)之间的函数关系式. (2)当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是多少？ 4.(25-26八年级上广东佛山期末)综合与实践 主题：借助函数分析解决生活中的决策问题 某商家每天需要寄出多个包裹，有三家快递公司给出了收费方案： 公司 方案 首重费用15元(1千 A公司 克以内)，超出部分按 每千克5元计费. 无首重，统一按每千克 B公司 7元计费， C公司 每月交18元会员费后， 16/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 每千克收1元（无首 重)· (①)在下面同一平面直角坐标系中，绘制B公司和C公司收费方案的函数图象； 以元 公司 40 30 5 20 15 0 5 0123456789101112x年克 (2)分析不同重量情况下，商家选择哪家快递公司最省钱？ (3)C公司欲通过调整会员费的方式提升经营效益.若将会员费调整为每月m元，单位运费计价不变，探究 m数值的变化会如何影响不同重量情况下的最佳选择结果？ 5.(24-25八年级下·广东肇庆期末)2025年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，李明 的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车，请帮李明父子解决以下问题： 燃油车 纯电动汽车 油箱容积：40升 电池容量：80千瓦时 油价：7.5元/升 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 续航里程：m千米 每千米行驶费用： 每千米行驶费用： 40×7.5 元 元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用： (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元. ①分别求出这两款车的每千米行驶费用： ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为4000元和7200元，设一年内李明爸爸的行驶里程为x千 米，燃油车和纯电动汽车所需的年费用分别为片和元，请分别写出片和关于x的函数表达式（年费用 =年行驶费用+年其它费用)，假如你是李明，你会给爸爸提出怎样的购车建议？ 6.(23-24八年级下·广东江门期末)坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二课堂， 准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球.购买时，发现商场正在进行两种优惠 17/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 促销活动。 活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 活动乙：按购买金额打9折付款， 学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球x(x≥10)筒. (1)写出每种优惠办法实际付款金额y（元)，2（元）与x(筒)之间的函数关系式 (②)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？ (3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛 球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案， 7.(24-25八年级上·广东期末)某服装经销商计划购进A型、B型两种型号的童装.若购进1件A型童装 和1件B型童装需用50元，若购进2件A型童装和3件B型童装需用120元. ()求每件A型童装和每件B型童装的进价各多少元： (2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进A型童装和B型童装共100件.若A型童装的定价为260元： B型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装.该经销商获得的最大利润是多少？ 8.(25-26八年级上·广东梅州期末)去年中国航空工业迎来了一个历史性的时刻一在短短96小时内， 两款六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动.受此消息影响， 飞机模型在网上爆火.某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为80元和60元的A、B 两种型号的飞机模型，表格是近两天的销售情况： 销售数量 销售时段 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 4件 5件 955 第二天 2件 6件 810 (1)求A、B两种型号的飞机模型的销售单价： (②)该玩具店准备再采购这两种型号的飞机模型共50件且A型号飞机不多于35件，应该怎样采购玩具店可 获利最多？此时利润为多少？ 9.(24-25八年级下·广东惠州·期末)为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地， 准备种植A,B两种蔬菜.若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种 蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元. 18/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ()求种植A,B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的1.5倍，问应如何 种植A,B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 10.(24-25八年级下·广东广州期末)己知A、B两地相距60千米，甲于某日下午2时骑车从A地出发前 往B地，乙也于同日下午开车按相同路线从A地出发前往B地.如图所示，图中的折线EFG和线段MN分 别表示甲、乙所行驶的路程s和时间t的关系 个路程/千米 G 60 50 40 30 20A 10 0 1 23456时间/时 根据图象解答下列问题： ()甲和乙比较，谁先出发，谁先到达B地，先到多少时间？ (2)求乙的行驶速度； (3)求甲在行驶过程中，行驶的路程s关于时间t的函数解析式： (④)甲、乙在下午什么时间相遇？并求相遇地点到B地的距离， 11.(24-25八年级下·广东东莞·期末)A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台 和D市8台·已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为200元和400元；从B市调运一台机器到 C市和D市的运费分别为300元和250元. (I)设A市运往D市机器x台，求总运费w关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过5000元，共有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 目目 考点06 一次函数与几何综合（压轴题） 1.(24-25八年级下·广东惠州期末)如图1，直线AD为y=+b,分别与坐标轴交于点A(0,6)、D(8,0 .点O关于直线AB的对称点C在直线AD上 19/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D D 图1 图2 (I)求直线AB、AD的解析式. (2)若OC交AB于点E,在线段AD上是否存在一点F,使ABC与△AEF的面积相等？若存在，求出F点 坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，过点D的直线4：y=mx+n,当它与直线AB的夹角为45°时，请直接写出相应m的值. 2.(25-26八年级上广东茂名·期末)【基础知识】 将含有45°的三角板的直角顶点放在直线I上，过两个锐角顶点分别向直线1作垂线，这样就可以得到两个全 等的直角三角形. B 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，等腰直角ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,过点A作AD⊥ED交于点D,过点B作 BE⊥ED交于点E,直接写出AD与EC的数量关系 【基本技能】 (2)已知：直线y=x+4(k≠0)的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B ①如图2，当k=4时，在第一象限构造等腰直角△ABE,LABE=90°，求直线BE的表达式： 3 ②如图3，当k的取值变化，点A随之在x负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角△ABN,∠ABN=90°， 连接ON,问△OBN的面积是否发生变化？若不变，求出△OBN面积；若变，请说明理由. 【应用拓展】 (3)如图4，直线y=2x+4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,若点C在x轴上，且∠ABC=45°， 请直接写出点C的坐标. 4.(24-25八年级下，广东广州期末)在平面直角坐标系x0y中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正 20/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 半轴上，0A=0B=10,点P是x轴上的动点. (I)求直线AB的解析式： ②)当Sr=S,m时，求点P的坐标： (3)若点P为线段OB的中点，点M是线段OA上的动点，点N是线段AB上的动点，当△PMN的周长取得最 小值时，求点M和点N的坐标. 5.(24-25八年级下广东江门期末)已知，四边形OABC是正方形，OA=8,D是x轴上一点，以D为直 角顶点向CE右侧构造等腰直角三角形，设点D的坐标为a,O). 图1 冬2 图3 (1)如图1，点E的横纵坐标之间是否满足某种函数关系？若有请写出并证明，若无请说明理由。 (②)如图2，若点D是线段OA上一点（不与O、A重合）且CE与AB交于点F,连接DF.请判断线段0D, DF,BF的数量关系并证明. (3)如图3，若点G,H分别是线段OC,CE的中点，连接GH,AH,GH+AH是否存在最小值，若存在 请求出最小值时点D坐标，若不存在请说明理由 6.(24-25八年级下·广东阳江·期末)如图1，直线4与y轴交于点A0,2),与x轴交于点B(4,0),直线2经 过点A,C(-1,0. 2 C/O B C/O B 图1 图2 (1)求直线（与马的函数解析式. (2)求ABC的面积， (3)如图2，P是线段AB上的一动点，Q是线段AC上的一动点，连接OP,OQ,PQ.若△P2A与△PQO全 等，求点P的坐标. 21/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25八年级下·广东期末)如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=+4与x轴交于点A,与y轴交 1 于点B,另一条直线，：y=-。x+2与x轴交于点E,与4交于点F(2,m. 2 B 备用图 (1)求m的值和Z的解析式； (2)当点C为直线L上一动点，且△CEF的面积为8，求点C的坐标： (3)点M为x轴一动点，点P是直线马上一动点，是否存在△FPM以PM为直角边的等腰直角三角形，若存 在，请直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由， 8.(24-25八年级下广东梅州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线：y=2x+1与x轴交于点B，直线 马：少=心+a与直线，x轴分别交于纹月》 ,C(4,0). (①)不等式x+1>mr+n的解集为一 (2)在x轴上是否存在一点M，使得△ABM是以AB为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点M的坐标； 如果不存在，请说明理由， (3)若D,E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D,E,使得以A,B,D,E为顶点，AB为一边的 四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 9(2425八年级下广东汕头期末)【问题背景】如图，直线y=+3与x轴，y轴分别交于点4，点B, 点D(0,1)为y轴上一点. 22/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A D 中P (备用图) 【构建联系】 (1)求点A,点B的坐标； (2)点C为线段OA上一点，连接BC,AD交于点E,若LAEC=45°， ①求直线BC的解析式： ②点P(0,-2)为y轴负半轴上一点，求点P到直线BC的距离； 【深入探究】 (3)点M为y轴上一点，在平面上是否存在点N,使以点A,D,M,N为顶点的四边形是菱形，若存在， 直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由， 10.(24-25八年级下·广东东莞期末)如图1，在平面直角坐标系中，直线4：y=-x+b与直线：y=x-1交 于点C(1,2),直线I与x轴，y轴分别交于点A,B. B B D M A 图1 图2 (I)求k和b的值； (2)如图2，点M(m,0)(m≠1)是x轴上的动点，过点M作垂直于x轴的直线，分别与直线和交于D,E两 点，过点D作DF∥x轴，交直线Z于点F,以DE,DF为边作矩形DEGF. ①连接6C,当m>1时，试判断c的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由： S.GCF ②当动点M在x轴上运动时，发现顶点G始终落在一条直线上，请直接写出该直线的函数解析式. 23/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25八年级下·广东惠州期末)数学建模 【模型建立】如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型.这种 模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用， 【模型探索】 (1)如图2，一次函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于：P,Q两点.以线段P?为直角边在PQ的 右边作等腰直角△PQR,直接写出点的坐标：P，Q，R· (2)如图3，一次函数y=-x+10的图象与x轴、y轴分别交于B,A两点，M,N是直线y=x上的两 动点，连接BM,AN.若BM⊥MN,BM=6,求AN长的最小值. 【模型应用】 (3)如图4，在(2)的情况下，经过点B的直线y=二x-5与y轴交于点C,H为线段OB上的一点，作 2 射线CH.若LBCH=45°，求直线CH的函数解析式 B C 图1 图2 图3 图4 12.(24-25八年级下·广东江门期末)已知：如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=6,在AD上取一点 E,AE=2,点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN,使点N落在CD边上，点M落在 矩形ABCD内或其边上.若AF=x,△BFM的面积为S. D 图1 图2 备用图 (I)如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN; (2)如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S关于x的函数解析式； (3)请问：当x分别取何值时，△BFM的面积S取最大值、最小值？（提示：借助备用图） 13.(24-25八年级下·广东广州期末)如图1，已知直线y=-x+6与x轴、y轴分别交于点A、点C,以 OA为边在第一象限作正方形OABC，动点P在直线x=3上运动，连接PO,将线段PO绕点P顺时针方向 旋转90°得线段PQ(点Q在直线BC上方) 24/26 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (1)点A的坐标为，点C的坐标为； (②)设点P(3,m),请求出点Q的坐标（用含m的式子表示），并判断点Q是否在直线AC上，若是，请证 明，若不是，请说明理由； (3)如图2，连接BP并延长，交线段OQ于点M,当∠BM0=90°时，求BM的长. 3 14.(22-23八年级上广东揭阳期末)己知：如图，一次函数y=二x-3的图像分别与x轴、y轴相交于点 A(4,0)、B(0,-3),且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y=c+b的图像相交于点D,直线CD与y轴 相交于点E,E与B关于x轴对称，OA=30C. C A x o A x B 备用图 (I)求直线CD的函数表达式和点D的坐标； (②)点P为线段DE上的一个动点，连接BP. ①若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，试求点P的坐标： ②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存 在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 25/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 26/26