专题07 解三角形的范围与最值问题6种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦解三角形范围与最值6类考法，通过分层题型构建从单一元素到综合表达式的逻辑训练体系，培养数学思维与问题转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |与角度有关的最值|多个典例|涉及角的范围、三角函数性质|以正余弦定理为基础，结合三角恒等变换推导角的函数关系| |与边长有关的最值|多个典例|边的取值范围、解的个数判断|通过定理建立边与角的联系，运用不等式或函数单调性求范围| |与周长有关的最值|多个典例|周长整体范围、边的组合关系|整合边长关系，利用基本不等式或三角形性质构建周长函数| |三角形面积的最值|多个典例|面积表达式的最值、条件约束|结合面积公式与边角关系，转化为函数或不等式问题| |四边形面积的最值|多个典例|分割转化为三角形、综合条件|将四边形分割为三角形，利用已知条件建立面积关联式| |与具体表达式有关的最值|多个典例|代数式、向量式等综合最值|运用数学语言转化表达式，结合定理与函数性质求解|

专题07 解三角形的范围与最值问题6种常考考法归类 题型一 与角度有关的最值问题 题型四 三角形面积的最值问题 题型二 与边长有关的最值问题 题型五 四边形的面积最值问题 题型三 与周长有关的最值问题 题型六 与具体表达式有关的最值问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 与角度有关的最值问题 1．（2026高二·浙江杭州·期中）在中，内角所对的边分别为，满足． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可. （2）利用（1），求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值. 【详解】（1）由题， 由正弦定理：， 所以， 整理， 所以，结合三角形内角性质， 或（舍）, . （2）由，则由（1）问，得：， 所以， 且 又， 令，则， 所以 因为, 当时，所求的最大值为. 2．（2026高三·内蒙古锡林郭勒·开学考试）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从以下条件①，条件②中选择一个作为已知． ①        ② ． (1)求角A； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①：由正弦定理得，求得，即可求解； 若选②：由正弦定理化简得到即，再由余弦定理得，即可求解； （2）由（1）化简得到，根据题意，求得，得到．进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：（1）若选①：由， 因为，可得， 所以，即． 又由正弦定理得， 因为，所以 ，，所以，． 若选②：因为， 由正弦定理可得，可得，即， 所以．因为，所以. （2）解：由（1）知，可得， 则． 因为为锐角三角形，可得， 可得，所以．可得． 所以．所以的取值范围是． 3．（2026高一·福建三明·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)若，且，求△ABC的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可. （2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值. 【详解】（1）由，故，而， 所以，故. （2）由，故，即， 由余弦定理知：，即， 所以，即，又， 故， 由，则或（舍）， 所以，则，即， ，而， 所以，当时有最大值为. 【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值. 4．（2026高三·全国·阶段检测）的三个内角所对的边分别是，向量，且. （1）求证：； （2）求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得的值，进而求得的大小，利用余弦定理，结合基本不等式证得. （2）由（1）求得的大小，得到的关系式，利用同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、辅助角公式化简，根据三角函数的最值的求法，求得的最小值. 【详解】（1）证明：， 又， 即解得或 又 由余弦定理的推论，即 又,当且仅当a=b,等号成立 （2） 由题意，则 当，即时，有最小值. 【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数最值的求法，考查三角恒等变换，考查向量垂直的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 5．（2026高一·四川乐山·阶段检测）在中，内角对应的边分别是，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积是，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果； （3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. （3）由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 6．（2026高一·广东江门·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且 (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用余弦定理角化边求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解. （3）由（1）令，再利用锐角三角形条件及和差角的正弦求出范围. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 而，解得，而，所以. （2）由及，得，解得，而，则， 由余弦定理得，所以. （3）由（1）知，令， 由为锐角三角形，得，则， 因此， 所以的取值范围是. 7．（2026高一·江苏苏州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若是外一点（，分别位于两侧），且，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)当时，的值为,当时，的值为. 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦展开式化简可得答案； （2）求出的范围，利用两角和的正弦展开式化简可得答案； （3）在中，由余弦定理求出 ，在中，由余弦定理求出 或2，进而由余弦定理可得，利用两角和的正弦公式计算可得答案. 【详解】（1）由，可得， ，则， 即， 在中，因为，所以，，所以. （2）因为为锐角三角形，，则，所以. ， 因为，所以，所以， 所以 即的取值范围. （3）在 中，由余弦定理 ， 在中，由余弦定理或2， 又 ， 当时，， 所以，所以. 当时，， 所以，所以， 综上，当时，的值为，当时，的值为. 8．（2026高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的取值范围； (3)若，求外接圆面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式和正弦定理可得，进而利用余定理可得结论； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式与（1）可得的取值范围； （3）利用（2）求得，进而求得外接圆的半径的最小值，可求面积的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 由余弦定理：， 所以， 即， 所以； （2）由余弦定理得 又因为，所以 所以的取值范围是：； （3）由（2）可得， 所以外接圆， 所以外接圆面积的最小值为. 9．（2026高二·重庆·开学考试）在中，内角对应的边分别是、、，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角可得，求出，再由余弦定理，结合，求出，再根据三角形面积公式求解即可； （2）由三角形内角和为，结合，化简可得，再由锐角三角形求出，然后求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 因为，所以，所以，则， 由余弦定理知，代入数据得，解得， 所以，所以的面积为. （2）， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 10．（2026高二·浙江温州·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示转化，再利用正弦定理边角互化，再结合三角形内角的范围即可求出角； （2）由（1）可知，将其代入，利用差角的正、余弦公式化简变形为，再结合角的范围及在上的单调性即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理可得， 即.因为，所以， 所以，即.因为，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以，即， 所以， 即的取值范围为. 题型2 与边长有关的最值问题 11．（2026高一·河南·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据余弦定理对题目条件进行化简，求出边长的关系，进而根据余弦值的范围列出不等式，再构造函数，根据函数单调性，判定自变量的范围，求出结果. 【详解】由题意可知，化简得， 即， 因为，即， 将代入得，化简得， 设函数， 根据对勾函数可知，当时，单调递减，当时，单调递增， 可知，所以当时，， 即，解得，即. 所以a的取值范围是. 12．（2026·山西·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若的面积为3，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角恒等变换及余弦定理化简得证； （2）由三角形面积公式得到的关系，利用正弦函数的取值范围求的最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以，即， 所以，即. 证毕. （2）因为，， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以当时，的最小值为. 13．（2026高三·广东揭阳·阶段检测）记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由辅助角公式即可求解； （2）由三角形为锐角三角形确定范围，再结合正弦定理得到，由正切函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，代入 ， 得 ， 即 得 ，即 ， 因为是三角形内角，所以， 所以 （2）由（1），三角形内角和得：，即， 因为为锐角三角形， 三个内角均小于： ， 由正弦定理，， 得： ， 展开 ， 代入化简得： 因此，则 则， 所以的取值范围为 . 14．（2026高一·陕西·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)等腰三角形，因为，根据正弦定理，所以 ，则 ， 则 . 因为，，所以 ，则 ， 则 ，即，从而为等腰三角形. (2) （i）或；（ii）. 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系化简得到 ，再求解即可. （2）（i）根据三角形面积公式求出，再余弦定理求出. （ii）根据（i）得到，再根据余弦定理得到，结合等腰三角形以及锐角三角形求出的范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）因为的面积为，所以. 又，所以 ， 即，则. 由余弦定理知. 当时，，得； 当时，，得. （ii）由（i）可得 ，则. 因为为锐角三角形，且，所以 解得，则，则 ， 则 ，故的取值范围为. 15．（2026高一·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】 如图所示，在中，内角，作于， 要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中， 即，因此边长的取值范围为，故A正确. 16．（2026·河南郑州·模拟预测）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入 ，利用面积关系得到一个等式，然后用余弦定理表示边，最后转化为角的函数来求最值即可． 【详解】取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，，，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为． 17．（2026高一·四川资阳·期中）在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 【答案】 【分析】设，由已知确定范围，在与中分别用正弦定理，得到与的关系求解即可. 【详解】因为为的平分线， 所以可设，则，， 因为为锐角三角形，所以，即,所以. 在中，由正弦定理得，③ 在中，由正弦定理得，④ ④÷③得， 又，所以， 设，又， 所以，所以在上为增函数， 所以． 18．（2026高一·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答； （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【详解】（1）设，依题意，， 则，， 即，而， 所以. （2）连接，中，，，    由余弦定理得， 则，即，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 19．（2026·山东泰安·模拟预测）已知内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，为中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，结合两角和与差的正弦公式求解即可. （2）解法一：利用余弦定理结合基本不等式求解出的最大值，再利用向量的方法求解出的最大值即可.解法二：利用结合余弦定理求解最大值即可.解法三：在分别使用余弦定理求解即可. 【详解】（1）， ， ， ， ，，即， ，，，解得. （2）， 由余弦定理，，即. 由基本不等式，， 即， 当且仅当时，等号成立 解法一，两边取平方，可得： ， ， 当且仅当时，等号成立，取得最大值为. 解法二：,, 整理得，故， ，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值为. 解法三：， 整理得，故， ，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值为. 20．（2026高一·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角； （2）利用正弦定理将所给等式转化为关于的等式，结合余弦定理即可求出； （3）利用三角形面积公式，将角平分线表示为，对边对角模型，，转化为三角函数求值域． 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为，所以， 所以，又，所以. （2）由正弦定理，得， 由得：， 即， 由余弦定理得，， 联立解得. （3） 如图所示，由（1）知，由于， ， ， 由（2）知， 因为，所以， 则 令，则， 因为是锐角三角形，则， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以，即 即长度的范围为 21．（2026高一·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 22．（2026高一·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边化角可得的值，再结合可得角B的大小.又根据和爪型定理，可得，两边平方后可将BD用表示，又有，消元可得关于的二次函数，进而求出BD的最小值 【详解】由题结合正弦定理可得：， 因为，所以， ，为钝角，. ，，由爪型定理可得 两边平方可得： ， ，， 当时，取得最小值，即最小值为. 题型3 与周长有关的最值问题 23．（2026高一·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围. 【详解】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 24．（2026高一·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理实现边角互化，结合三角形内角的取值范围求解角B. （2）借助余弦定理求出边c的长度，代入三角形面积公式计算即可. （3）利用余弦定理结合基本不等式求的取值上界，结合三角形三边关系确定取值下界，最终得到周长的取值范围. 【详解】（1）∵ 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）. ∴ ，. 代入得. ∵ ，∴ ， 两边同时约去，得，即. 又∵ ，∴ . （2）∵ ，，， 由余弦定理得， 代入得， 即，整理得. 解得或（边长为正，舍去）. ∴ 的面积. （3）由余弦定理得， 即. 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， ∴ ， ∴ ，即，当且仅当时等号成立. 又∵ 三角形两边之和大于第三边，∴ ， ∴ ， ∴ 的周长. 【点睛】方法归纳：本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求范围，解题核心是合理进行边角互化，求取值范围时注意结合几何性质限定边界. 25．（2026高一·浙江绍兴·期中）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解； （2）由余弦定理结合基本不等式求得，进而求得答案； （3）设，在和中，分别由余弦定理结合，可得，在中，由余弦定理可得，进而求得，利用三角形面积公式得解. 【详解】（1）因为，所以， 故， 又因为，所以； （2），， 由余弦定理可得：， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； （3）如图所示： 设，则， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为与互补， 所以， 所以①， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② 由①②可得：， 解得， 所以. 26．（2026高一·江苏南京·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求； (2)若，求周长的最大值； (3)若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量共线条件得到边角关系，再通过正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换与，直接求出，得； （2）用余弦定理结合基本不等式，将转化为关于的不等式，求出最大值，进而得周长最大值； （3）先由锐角三角形条件确定A的取值范围，再用正弦定理将b表示为关于A的函数，结合tanA的范围求出b的范围，最后代入面积公式，得到面积范围. 【详解】【小题1】在中，， 与共线，， 由正弦定理可得 ， ， ，又，所以． 【小题2】由（1）知，又，由余弦定理， 得， 即，因为，当且仅当时等号成立， 所以， 即，则，所以周长的最大值为112． 【小题3】为锐角三角形，且角，所以，故， 由正弦定理得，   ， 所以， 所以， 即， 面积的取值范围为． 27．（2026高二·浙江·阶段检测）已知锐角中，. (1)求B的大小; (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合内角和消去角A，通过恒等变换解出B的正切值从而求得角B， （2）利用正弦定理将周长转化为关于角A的三角函数，并利用锐角三角形的条件限定角A的取值范围，进而求出周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 在中，，则， 则， 即， 即，因为，所以， 则，即，因为，所以. （2）由正弦定理得， 即， 则 ， 由题意得，即，解得，则， 由正弦函数的性质得， 则，即，则. 28．（2026高一·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 29．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，且. (1)求； (2)若的面积为，求，； (3)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换化简即可以求出角的值； （2）利用三角形面积公式结合（1）中角的可以求得，，再使用余弦定理，，，联立方程求出; （3）方法一：由正弦定理，得，，把周长转化为三角函数求解周长的取值范围；方法二：因为，，由余弦定理，得，使用均值不等式求出周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得 , , 由于， ， 因为，所以， 因为，解得； （2）由（1）知，则，所以， 由余弦定理，，又， 则 ， 解得，所以； （3）（法一）因为，，由正弦定理， 得， 又因为，所以 所以 又因为，所以 所以 ，所以 即，所以 所以三角形的周长的取值范围. （法二）因为，，由余弦定理，得， 即，又，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，又因为，所以，所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 30．（2026高一·江西南昌·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的共线结合正弦定理可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，，且， 所以. 又由正弦定理得， 因为，所以 又因为，所以. （2）因为中，，，由（1）知， 由余弦定理， 即，所以， 解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由（1）知，且，由余弦定理， 得， 即，，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为108. 又 的周长取值范围为 31．（2026高一·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式可得； （2）利用以及余弦定理可得； （3）利用正弦定理得，结合三角函数求值域. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 在中， ， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以， ， 又，所以，所以， 又因为，所以． （3）由正弦定理得，可得， ， ， ， 因为是锐角三角形，且，则， 得，得，，， 故的周长最大值为106． 题型4 三角形面积的最值问题 32．（2026高三·全国·一轮复习）在中，，求面积的最大值. 【答案】 【详解】由均值不等式和琴生不等式可知 当且仅当时取等号， 因为，则， 所以 ． 33．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 【答案】 【分析】由已知条件可得，进而可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，最后根据求出三角形面积最大值. 【详解】解：由，则， 化简整理得，即， 则，此时，则， 或，，则，在三角形中不合题意， 因此，， 由余弦定理可得，又，代入化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积最大值为. 34．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，通过二次函数求最值的方法即可得到面积的最大值. 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 35．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 36．（2026高一·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 37．（2026高一·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 38．（2026高一·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）应用周长结合余弦定理及之间的关系计算求解边长.（2）（ⅰ）利用三角形面积公式以及余弦定理求解出的值，由此可求的值；（ⅱ）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系. 【详解】（1）因为，且的周长等于6，所以， 因为，由余弦定理得， 将代入上式解得，所以， 则. （2）（ⅰ）因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，所以， 所以，又，所以； （ⅱ）因为，所以， 又，所以， 所以. 由，解得，所以， 所以， 所以面积的取值范围是. 39．（2026高一·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 40．（2026·广西桂林·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③. (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理和正弦的半角公式进行求解；选择条件②：利用正弦定理和正弦的和角公式进行求解；选择条件③：利用正弦定理和余弦定理进行求解. （2）利用三角形面积公式和正弦定理，结合锐角三角形角度的大小进行求解. 【详解】（1）选条件①： 由正弦定理得， 又， 所以 ， 又，所以， 解得，或， 因为，所以，即. 选条件②: 由正弦定理得， 所以， 因为在中，， 所以，即， 则，因为，所以. 选条件③： ， 整理得， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）已知，，则面积， 由正弦定理得，其中. 化简得： ， 为锐角三角形，且， 所以，得， 所以，，即， 因此 所以面积的取值范围是. 41．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先根据向量等式和外心的性质，转化得出，再根据锐角三角形利用余弦定理得出和的取值范围，最后用面积公式求出面积范围. 【详解】 分别取边，，的中点，，， 因为为锐角的外心，根据中垂线易知， 同理，，， 所以， 同理，． 由题意得，即，于是． 因为为锐角三角形， 所以，所以， 同理，，即． 令，由，得，则且，解得． 又，所以． 又，所以，所以， 又，所以， 又，所以. 题型5 四边形的面积最值问题 42．（2026高一·山西晋中·期中）在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助余弦定理计算可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得， 由点为边的中点，则， 故， 即，即， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 43．（2026高一·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 44．（2026高一·浙江·期中）在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 【答案】 【分析】应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求. 【详解】由题设，即（负数舍去）， 又外接圆的半径， 要使四边形的面积最大，只需的面积最大， 由到的距离，则中边上的最大高为， 所以最大. 45．（2026高一·江苏·期末）在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______. 【答案】 【分析】在和中由余弦定理表示出，可得，再求出凸四边形ABCD面积，由此求出的面积的最大值，进而求出的最大值. 【详解】连接，在和中，， ，所以， 设凸四边形ABCD面积为，所以， 所以 ， 所以当时，有最大值，即有最大值， 所以S的最大值为. 46．（2026·山东威海·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)14 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角差的正弦公式可得的值，进而可得结果； （2）设，通过余弦定理用表示，将四边形的面积表示为关于的函数，求出函数的最大值即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 可得， 因为，所以， 因为，所以． （2）设，平面四边形ABCD的面积为S， 在中，由余弦定理得， 所以 ， 因为，所以， 当，即时，平面四边形ABCD面积的最大值为114． 47．（2026高一·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    48．（2026高一·江苏·期中）如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析. (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理进行判断；（2）利用平行线性质和正弦定理并设，用三角函数表示各边，得到周长关于的函数；（3）利用三角函数表示出各相关线段长度，进而得到四边形面积关于变量的函数，再利用函数求最值的方法求解最大值. 【详解】（1）证明：已知扇形半径，，，故. 设，则，在中由正弦定理， 代入得. 若为中点，则，得. 若是弧中点，则，此时，矛盾. 因此不是弧的中点. （2）由正弦定理得，周长， 代入得， 化简，， 故，的最大值为（当时取到）. 因此周长最大值为. （3）设，，，故，，.四边形为直角梯形， 由梯形面积公式得， 化简得， 利用三角恒等变换， 由辅助角公式得的最大值为， 因此面积最大值为. 49．（2026高一·江苏南通·期中）在四边形中，，，. (1)若四边形是圆的内接四边形，求 ①； ②； (2)求四边形的面积的最大值. 【答案】(1)①；② (2). 【分析】（1）由圆内接四边形的性质及余弦定理可得；以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示求得；或用数量积的定义结合余弦定理求得； （2）用三角形的面积公式，结合余弦定理，可获得四边形的面积与的关系，由的取值，可得四边形的面积的最大值. 【详解】（1）连接，在圆中， ，所以. 在中，由余弦定理， 得. 在中，由余弦定理， 得. 所以，所以. 方法一： 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，，， 则，， 解得(舍)或． 因为，， 所以． 方法二： 在中，由余弦定理， 得.           在中，由余弦定理， 得.             所以，所以. 所以. 延长交于点，则. 所以. 所以． （2）四边形的面积为 ． 所以. 由（1）得， 所以. 所以 . 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以.     所以四边形的面积的最大值是. 50．（2026高一·上海·期中）某动物园要为刚入园的小动物建造活动区域为四边形，形状如图，设想在其中规划出两个功能区：为动物乐园区，为动物探险区．已知，． (1)若，求的周长（结果精确到）； (2)若，求的大小（结果精确到100.1度）； (3)求动物乐园区面积的最大值． 【答案】(1)135.18米； (2)或； (3)为正三角形，最大面积为平方米． 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理直接计算即得． （2）利用直角三角形边角关系求出，再利用正弦定理求解即得． （3）利用余弦定理建立关系，再借助均值不等式求解即得． 【详解】（1）在中，由正弦定理得： ， 所以的周长为（米）． （2）在中，由，得，， ，又，则， 在中，由正弦定理得，而， 所以或． （3）在中，由余弦定理得： 则，即， 当且仅当时取等号， 所以， 所以当， 即是正三角形时，面积取得最大值平方米． 51．（2026高一·广东梅州·阶段检测）如图，圆内接四边形中，， (1)若，求和四边形的面积. (2)若，当四边形面积最大时，求长. 【答案】(1)，四边形的面积， (2)8 【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件求出，结合正弦定理求出四边形的外接圆半径，从而可求出，再结合勾股定理和三角形的面积公式可求出四边形的面积； （2）设,利用余弦定理和基本不等式可求得当时四边形面积取得最大值，然后结合余弦定理和正弦定理可求出长. 【详解】（1）圆内接四边形中，， 由余弦定理得. 设圆内接四边形的半径为，由正弦定理得. 因为，所以为圆内接四边形的直径， 所以. 在中，由勾股定理得， 同理，所以四边形的面积为 （2）四边形面积为：， 要使四边形的面积最大，只要最大. 设,由余弦定理得，即， 又，故，，当且仅当时取等号， 此时. 此时，所以为等边三角形，所以， 所以， 在中，，即， 所以， 所以， 所以，. 52．（2026高一·河北雄安·阶段检测）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示的四边形.考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形中，将三角形的区域设立成花卉观赏区，三角形的区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，. (1)如果烧烤区是一个占地面积为平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（，精确到米）？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1)米 (2)应设计观赏步道米 【分析】（1）利用三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系可求出的值，再利用余弦定理可求得的长，即为所求； （2）利用三角形的面积公式可知当是直角三角形时，烧烤区的占地面积最大，求出的长，设，，利用正弦定理、三角形的面积公式以及三角恒等变换可化简面积的表达式，根据面积最大求出的值，即可求得、的长，即为所求. 【详解】（1），解得. 因为为钝角，所以. 由余弦定理得 （米）. （2），当且仅当时等号成立， 所以当是直角三角形时，烧烤区的占地面积最大，此时. 设，. 在中，由正弦定理得. 则 ， 因为，则， 故当且仅当，即时等号成立，此时， 所以应设计观赏步道米. 题型6 与具体表达式有关的最值问题 53．（2026高一·河北·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积满足，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意，结合三角形面积公式及二倍角公式得到，然后利用正弦定理边化角以及角的取值范围即可求解. 【详解】由题意得，锐角的面积， 由于，所以，化简得， 利用二倍角公式，代入得，解得， 则，则， 由正弦定理， 由于，则，解得， 由于在上单调递增， 当时，，则； 当时，，则； 因此的取值范围为. 54．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C．边上的中线长为 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】借助三角形内角和关系、两角和的正弦公式、正弦定理将角化边后计算即可得A；利用两角差的正弦公式与A中所得计算即可得B；借助余弦定理与A中所得计算即可得C；利用C中所得，结合三角形三边关系计算即可得D. 【详解】对A：， 由正弦定理可得，由， 则，故A正确； 对B：由正弦定理可得， 则， 由A知，则， 故， 故或， 由可知与同号， 若同为负数，则，不符， 故、同为正数，故不符，舍去， 故，故B错误； 对C：设中点为，则，即， 故，即， 由余弦定理可得，， 故，整理得， 由A知，，则，整理得， 故，故，故C正确； 对D：由C知，，则，故， ，则，整理得， 左右同除，可得，解得； 综上可得的取值范围是，故D正确. 55．（2026·安徽合肥·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理对已知边角关系式化角，约去后展开两角差余弦公式，化简求得角； （2）由正弦定理把转化为正弦形式，将用代换，经三角恒等变换化简得；根据锐角三角形求出的范围，进而即得. 【详解】（1）由正弦定理， 为外接圆半径. 因为，所以， 即，化简为， 即，因为，所以． （2）因为，所以， 又， 所以． 又是锐角三角形，则，解得， 所以，. 所以的取值范围为． 56．（2026高一·内蒙古赤峰·期中）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简所给等式，根据，即可得解； （2）利用正弦定理，三角恒等变换，求出的范围，再由面积公式可得解； （3）令，由正弦定理及（2）可得的取值范围，再由对勾函数的单调性求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即，所以， 即，因为是锐角，所以. （2）因为， 所以， 因为，解得, 由正弦定理可得， 因为， 所以, 由，可知，所以, 所以，所以. （3）由，可设， 则， 由正弦定理，， 由（2）知，，， 由对勾函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，当时，， 所以，即的取值范围为. 57．（2026高一·广西百色·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求解角； （2）结合三角形面积公式求出的值，再通过完全平方公式和余弦定理计算边； （3）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合锐角三角形条件确定角的范围，再通过辅助角公式化简，求出的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，展开并整理得. 结合余弦定理，可得，又，故. （2）由三角形面积公式，代入、，得，解得. 由，得. 结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）. （3）由正弦定理，，故，. 由，得. 因为锐角三角形，故，解得. 则，展开并化简得. 由，得，故，因此. 58．（2026高二·浙江·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求的值； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，即可得出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，其中，，且为锐角，利用正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）由及正弦定理，可得， 其中， 所以， 所以， 因为、，则， 所以，则，得. （2）若，由正弦定理，， 所以，， 由（1）知，，则， 所以， ，其中，，且为锐角， 因为，则，所以， 当时，即时，取得最大值. 59．（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得,再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 60．（2026高一·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得. （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故. 61．（2026高一·四川遂宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. (1)若是等腰三角形，，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件得到，在中利用三角函数的定义即可求得； （2）先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出，设，再在中用正弦定理求出，最后用二倍角公式计算； （3）利用三角形面积关系得到与、的关系，再结合余弦定理和基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）因是等腰三角形，，为的平分线， 则，在中，； （2）由正弦定理，将转化为， 整理得. 因为，所以，即. 由于，所以，所以，则. 设，在中，由正弦定理得， 代入、，得. 因为是角平分线，则， 故. （3）因为是角平分线，同（2），设，则. 由面积关系，得， 化简可得，即. 在中，由余弦定理知，代入和， 得：， 将代入上式得：， 整理得：， 由基本不等式，得， 代入得：， （或）， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 62．（2026高一·广东珠海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，． (1)求角； (2)若，为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，为锐角三角形，且为的外心，满足，求的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式求解即可. （2）根据正弦定理及辅助角公式，结合正弦型三角函数的性质求解即可. （3）根据向量数量积的运算律结合为的外心得到，即，同理可得，联立求得，，进而得到；根据正弦定理及两角差的正弦公式得到，结合求出的范围，再结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，， 即， 又，所以，所以， 又，所以. （2）由正弦定理，从而 ， 由为锐角三角形，得，解得， 从而，则，， 故的周长的取值范围. （3）取中点，连接，    因为为的外心，所以，所以， 又， 所以， 故，即， 同理，， 故，即， 联立解得，. 故. 由正弦定理得， 由（2）知，，所以，所以， 则，当且仅当时，等号成立. 因此. 故的取值范围为. 63．（2026高一·山东泰安·期中）记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理和特殊角的三角函数值得到答案； （2）由平面向量基本定理可用表示向量，两边平方，由基本不等式可得，从而由三角形面积公式可得最大值； （3）由锐角三角形得到角的范围，由正弦定理，将边化角，求出取值范围 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； （2）， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， （3）由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 64．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，内角的对边分别为， (1)若的面积为102.求角； (2)若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用余弦定理结合三角形面积公式可得，进而可求角； （2）由为锐角三角形，先求得，再利用正弦定理可得，然后化简式子，根据对勾函数的性质求范围即可． 【详解】（1）解：由余弦定理，得①， 由面积公式，得②. ②÷①，得，即. 由，得. （2）由题意，得外接圆的直径为4， 则由正弦定理，得， 所以. 因为是锐角三角形， 所以解得， 所以，则， 所以， 由对勾函数的性质，得在上单调递减， 所以的取值范围为. 65．（2026高一·重庆·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解； ②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【详解】（1）①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以 所以， . （2），，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 令，， ，在单调递增， 所以. 66．（2026高一·山东淄博·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且 (1)求角； (2)若是边的中点，，，求的面积； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简方程，即可求出角； （2）利用中点结合向量得出，两边平方解出，即可求出的面积； （3）求出的范围，利用正弦定理得出，的表达式，进而得出的表达式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题意，在中，， 由正弦定理， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，又， ∴，解得， ∴. （2）由题意及（1）知，， ，， ∵是边的中点， ∴， ， 解得， ∴. （3）由题意，及（1）知， 在锐角中，，， ，解得， 由正弦定理，， ∴， ， ∴ ， ∵，，， ∴. $专题07 解三角形的范围与最值问题6种常考考法归类 题型一 与角度有关的最值问题 题型四 三角形面积的最值问题 题型二 与边长有关的最值问题 题型五 四边形的面积最值问题 题型三 与周长有关的最值问题 题型六 与具体表达式有关的最值问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 与角度有关的最值问题 1．（2026高二·浙江杭州·期中）在中，内角所对的边分别为，满足． (1)求证：； (2)求的最大值． 2．（2026高三·内蒙古锡林郭勒·开学考试）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从以下条件①，条件②中选择一个作为已知． ①        ② ． (1)求角A； (2)求的取值范围． 3．（2026高一·福建三明·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)若，且，求△ABC的面积； (2)求的最大值． 4．（2026高三·全国·阶段检测）的三个内角所对的边分别是，向量，且. （1）求证：； （2）求的最小值. 5．（2026高一·四川乐山·阶段检测）在中，内角对应的边分别是，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积是，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 6．（2026高一·广东江门·期中）在中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且 (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 7．（2026高一·江苏苏州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若是外一点（，分别位于两侧），且，，，，求的值． 8．（2026高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的取值范围； (3)若，求外接圆面积的最小值. 9．（2026高二·重庆·开学考试）在中，内角对应的边分别是、、，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 10．（2026高二·浙江温州·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 题型2 与边长有关的最值问题 11．（2026高一·河南·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______． 12．（2026·山西·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若的面积为3，求的最小值． 13．（2026高三·广东揭阳·阶段检测）记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． (1)求； (2)求的取值范围． 14．（2026高一·陕西·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 15．（2026高一·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·河南郑州·模拟预测）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 17．（2026高一·四川资阳·期中）在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 18．（2026高一·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 19．（2026·山东泰安·模拟预测）已知内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，为中点，求的最大值． 20．（2026高一·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 21．（2026高一·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 22．（2026高一·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型3 与周长有关的最值问题 23．（2026高一·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（2026高一·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 25．（2026高一·浙江绍兴·期中）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 26．（2026高一·江苏南京·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求； (2)若，求周长的最大值； (3)若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． 27．（2026高二·浙江·阶段检测）已知锐角中，. (1)求B的大小; (2)若，求周长的取值范围. 28．（2026高一·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 29．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，且. (1)求； (2)若的面积为，求，； (3)求周长的取值范围. 30．（2026高一·江西南昌·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 31．（2026高一·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 题型4 三角形面积的最值问题 32．（2026高三·全国·一轮复习）在中，，求面积的最大值. 33．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 34．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 35．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 36．（2026高一·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 37．（2026高一·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 38．（2026高一·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 39．（2026高一·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 40．（2026·广西桂林·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③. (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 41．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____． 题型5 四边形的面积最值问题 42．（2026高一·山西晋中·期中）在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 43．（2026高一·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 44．（2026高一·浙江·期中）在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 45．（2026高一·江苏·期末）在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______. 46．（2026·山东威海·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 47．（2026高一·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 48．（2026高一·江苏·期中）如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 49．（2026高一·江苏南通·期中）在四边形中，，，. (1)若四边形是圆的内接四边形，求 ①； ②； (2)求四边形的面积的最大值. 50．（2026高一·上海·期中）某动物园要为刚入园的小动物建造活动区域为四边形，形状如图，设想在其中规划出两个功能区：为动物乐园区，为动物探险区．已知，． (1)若，求的周长（结果精确到）； (2)若，求的大小（结果精确到100.1度）； (3)求动物乐园区面积的最大值． 51．（2026高一·广东梅州·阶段检测）如图，圆内接四边形中，， (1)若，求和四边形的面积. (2)若，当四边形面积最大时，求长. 52．（2026高一·河北雄安·阶段检测）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示的四边形.考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形中，将三角形的区域设立成花卉观赏区，三角形的区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，. (1)如果烧烤区是一个占地面积为平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（，精确到米）？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 题型6 与具体表达式有关的最值问题 53．（2026高一·河北·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积满足，则的取值范围为________． 54．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C．边上的中线长为 D．的取值范围是 55．（2026·安徽合肥·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 56．（2026高一·内蒙古赤峰·期中）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)求的取值范围. 57．（2026高一·广西百色·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 58．（2026高二·浙江·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求的值； (2)若，求的最大值． 59．（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 60．（2026高一·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 61．（2026高一·四川遂宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. (1)若是等腰三角形，，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，求的最小值. 62．（2026高一·广东珠海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，． (1)求角； (2)若，为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，为锐角三角形，且为的外心，满足，求的取值范围； 63．（2026高一·山东泰安·期中）记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 64．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，内角的对边分别为， (1)若的面积为102.求角； (2)若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围. 65．（2026高一·重庆·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围． 66．（2026高一·山东淄博·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且 (1)求角； (2)若是边的中点，，，求的面积； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围． $