8.2.4 三角恒等变换的应用 期末复习限时作业十五-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦三角恒等变换应用，通过分层题型整合公式应用与函数性质，强化运算能力与推理意识，体现数学思维的逻辑性与知识应用的系统性。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|6题（单选1-4、填空7-8）|公式直接应用与基本运算|从三角公式到简单函数求值，构建概念生成链条| |性质探究|2题（多选5-6）|函数周期、对称性等性质辨析|公式变形与函数性质关联，体现原理推导逻辑| |综合运用|2题（解答9-10）|单调区间、最值及图象变换|三角恒等变换与函数模型构建，实现应用拓展|

高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.2.4 三角恒等变换的应用期末复习限时作业十五 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】本题考查两角和差公式和辅助角公式，属于基础题． 首先利用两角和差公式将展开，再利用辅助角公式得到． 【解答】 解： ． 2.已知函数，则下列关于该函数图象对称性的描述正确的是(    ) A.  关于点对称 B.  关于点对称 C.  关于直线对称 D.  关于直线对称 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了函数的图象与性质，属于容易题． 求出函数的图象与性质，函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可． 【解答】 解： ， 令，其中， 所以， 当时，，故的图像关于直线对称， 因为无整数解，故直线不是函数图像的对称轴． 令，其中， 所以，因为无整数解，故点不是函数图像的对称中心， 同理也不是函数图像的对称中心． 故答案为． 3.函数的最小正周期为    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由题可知，辅助角相加减类型，以其中一项计算即可， 则，故选B． 4.已知函数，，则函数的值域是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查三角函数的值域以及三角恒等变换，属于基础题． 利用三角恒等变换的相关公式化简可得，再利用正弦函数的性质求值域． 【解答】 解： ， 当时， 故选B． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数，则(    ) A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 的单调递减区间为， 【答案】ACD  【解析】选项 A分析： 函数化简为，根据余弦函数周期公式，得最小正周期，故A正确。 选项 B分析： 余弦函数对称轴处函数值为。计算，不是最值，故不是对称轴， B错误。 选项 C分析： 计算。 由奇函数定义，知是奇函数，故 C正确。 选项 D分析： 余弦函数的单调递减区间为。令，则，解得： ，故单调递减区间为，，D正确。 6.下列各式中，值为的是(    ) A. B. C. D. 【答案】AB  【解析】逐一分析各选项： 选项A：，符合要求。 选项B：，符合要求。 选项C：根据两角差的正弦公式，原式可化为，不符合要求。 选项D：根据二倍角的正切公式，原式可化为，不符合要求。 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，在第二象限，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题． 利用同角三角函数的基本关系求出，利用半角公式求得的值． 【解答】 解：已知，在第二象限，， ， 故答案为：． 8.函数在区间上的最大值为______ 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二倍角公式和辅助角公式，在闭区间上的最值问题，主要考查学生的灵活应用能力，属于基础题． 先应用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，得，再利用整体代换思想求得的范围，结合正弦函数图象求得最值即可． 【解答】 解：， 令， 由得， 所以当，即时，取到最大值， 即． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． Ⅰ求函数的单调递增区间； Ⅱ设时，函数的最小值是，求的最大值． 【答案】解：Ⅰ ， 由， 得 函数的单调增区间为． Ⅱ当，， ， 由， 可知  所以的最大值是．  【解析】本题考查辅助角公式及二倍角公式，同时考查正弦函数的性质，属于基础题． Ⅰ由函数，利用二倍角公式及辅助角公式将化简然后求得单调递增区间 Ⅱ求出的范围，然后利用正弦函数的性质即可求出最大值． 10.本小题分 已知函数的最大值为． 求的值 将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，求的单调递减区间以及在区间上的值域． 【答案】． 由于的最大值为，故． 由知， 所以． 因为的单调递减区间为，， 所以令，，得，， 所以的单调递减区间为，． 注：写，也对． 当时，，， 所以，即在区间上的值域为． 【解析】思路点拨先利用两角和与差的三角公式化简的解析式，再根据三角函数的值域得到的值． 根据题意得到的解析式，再根据三角函数的性质得到单调区间和值域． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.2.4 三角恒等变换的应用期末复习限时作业十五 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则的值是(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，则下列关于该函数图象对称性的描述正确的是(    ) A.  关于点对称 B.  关于点对称 C.  关于直线对称 D.  关于直线对称 3.函数的最小正周期为    ． A. B. C. D. 4.已知函数，，则函数的值域是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数，则(    ) A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 的单调递减区间为， 6.多选下列各式中，值为的是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，在第二象限，则          ． 8.函数在区间上的最大值为______ 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． Ⅰ求函数的单调递增区间； Ⅱ设时，函数的最小值是，求的最大值． 10.本小题分 已知函数的最大值为． 求的值 将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，求的单调递减区间以及在区间上的值域． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.2.4三角恒等变换的应用期末复习限时作业十五 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知cos-)-号则c0x+cos-)的值是() A.、23 3 B.±3 3 C.-1 D.±1 2.已知函数f(x)=sin2x+√3cos2x,则下列关于该函数f(x)图象对称性的描述正确的是 () A.关于点(G,0)对称 B.关于点(-，)对称 C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称 3.函数fx)=3sin2x+V3cos2x的最小正周期为(). A月 B.π c D.2π 4已知函数)=2 2sinxco+骨+，xC[0,引，则函数)的值域是() A.[-5] B.[-9 C.[-1,] D[-] 第1页，共3页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5已知函数W-os2x-9n2x,则() A.f(x)的最小正周期为π B.fx)的图象关于直线x=7对称 121 C.f(-)是奇函数 D.0)的单调递减区间为kn-石，km+引，k∈乙 6.(多选)下列各式中，值为的是() 1-c0s120° A 2 B.cos2 12 sn2 12 C.cos15°sin45°-sin15cos45° D品 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知sina=},c在第二象限，则tan=一 8.函数f0x)=V3inm2x+2cosx在区间[-，上的最大值为 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知函数fx)=six-2W3cos2+V3+a. ①求函数f(x)的单调递增区间： ()设x∈[O,π]时，函数f(x)的最小值是-2，求fx)的最大值. 第2页，共3页 10.(本小题14分) 己知函数f0x)=cos(《+)+cos-)-six+t的最大值为1. (①求t的值； (II)将x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的二，得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调 递减区间以及gx)在区间[，]上的值域. 第3页，共3页高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.2.4三角恒等变换的应用期末复习限时作业十五 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题) 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知cos-3)-写则cosx+cosc-9)的值是(） A.-23 3 B±9 C.-1 D.±1 【答案】C 【解析】【分析】本题考查两角和差公式和辅助角公式，属于基础题， 首先利用两角和差公式将cosx+cos(x-)展开，再利用辅助角公式得到cosx+cos(x- )=V3co8(x-g)=-1. 【解答】 解：cosx+cosK-3=cosx+cosx+9six-cosx+ incox+in)-3corx)1. 2.已知函数f(x)=sin2x+V3cos2x,则下列关于该函数f(x)图象对称性的描述正确的是 () A.关于点（侣，0）对称 B.关于点（晋，0）对称 C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称 【答案】D 第1页，共7页 【解析】【分析】 本题考查了函数y=Asin(ωx+p)的图象与性质，属于容易题. 求出函数y=Asin(ωx+p)的图象与性质，函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即 可 【解答】 解：fx)=sin2x+√3cos2x V3 =2(5sin2x+ os2x) π =2(cos sin2x+sin cos2x) =2sin(2x+写)， 令2x+智=km+5,其中kez, 所以x=受+品，kEZ, 当k=0时，x=故f()的图像关于直线x=对称， 因为号+-无整数解k,故直线x一不是函数图像的对称轴。 令2x+S=km,其中kEZ, 所以x=经-名，kE乙，因为9-无整数解k,故点（信，）不是函数图像的对称中心， 同理(-受，0)也不是函数图像的对称中心. 故答案为D 3.函数f(x)=3sin2x+V3cos2x的最小正周期为(). A B.π c D.2π 【答案】B 【解析】由题可知，辅助角相加减类型，以其中一项计算即可， 则r高-兰=故选B. 4.已知函数f)=2 2sinxcos(x+)+5,xE[0,1,则函数f)的值域是() A【-91 B[-5, c.[-1,] D.[-动 第2页，共7页 【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查三角函数的值域以及三角恒等变换，属于基础题. 利用三角恒等变换的相关公式化简可得fx)=s(2x+),再利用正弦函数的性质求值 域. 【解答】 解：f)=2simx0os6c+3+9 V3√3 2 in2x、 2(1-c02)+V3 V =sin(2x+), 当xEo,]时，2x+号e[写，智1， √3 m2x+3e[-号，刂 故选B. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数f6)=o2x-5n2x,则() A.f(x)的最小正周期为π B.f)的图象关于直线x=对称 C.f(x-)是奇函数 D.f()的单调递减区间为kπ-，km+引，kEZ 【答案】ACD 【解析】1选项A分析： 函数化简为f)=c0(2x+),根据余弦函数周期公式7=高o=2),得最小正周 期T=π，故A正确。 2.选项B分析： 第3页，共7页 余弦函数对称轴处函数值为士1。计算f()=c02×受+)=cos(g+)=c0(野)=0， 不是最值，故x=晋不是对称轴，B错误。 3选项C分析： 计算fex-3)=co[2x-)+月=cos(2x-g+9=cos(2x-3)=8in2x。 由奇函数定义sin(-2x)=-sin2x,知sin2x是奇函数，故C正确。 4选项D分析： 余弦函数cos9的单调递减区间为2km,2kn+m]kEZ)。令0=2x+写则2kn≤2x+号≤ 2kπ+π，解得： kn-≤x≤k红+kEZ☑，故单调递减区间为kn-名km+],kEZ,D正确。 6.下列各式中，值为的是() A. 1-cos120° 2 Bcos品-r号 12 C.cos15°sin45°-sinl5°cos45° D品 【答案】AB 【解析】逐一分析各选项： 选项A: 1-c0s120° sn120 =in60°=3 符合要求。 2 选项B: cos品-imr-co(2×)=c0s-,符合要求.。 选项C: 根据两角差的正弦公式，原式可化为sin(45°-159)=sin30°=子不符合要求。 选项D:根帮二倍角的正切公式，原式可化为tm2x15列-tams0°×号=气不符 合要求。 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知sina=多a在第二象限，则tam号=一 第4页，共7页 【答案】3 【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题 利用同角三角函数的基木关系求出c0s0,利用半角公式求得m导的值。 【解答】 3 解：~已知sin-3,a在第二象限，cos-V1-sina= 4 3 tan sina 、3 1+c0s0 1人3， 故答案为：3. 8函数f)=V3n2x+2cos2x在区间-，习上的最大值为 【答案】3 【解析】【分析】 本题主要考查二倍角公式和辅助角公式，y=Asn(ωx+p)+B在闭区间上的最值问题， 主要考查学生的灵活应用能力，属于基础题. 先应用二倍角公式和辅助角公式对fx)进行化简，得fx)=2sn(2x+)+1,再利用整体 代换思想求得2x+的范围，结合正弦函数图象求得最值即可. 【解答】 解：f6)=√3sin2x+2cos2x=V3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+g)+1, 令t=2x+ 由x∈[-，]得tE[-,], 所以当t=即x=时，f()取到最大值， 即f(x)max=f()=2sin(2×+)+1=3. 故答案为3. 第5页，共7页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知函数fx)=simx-2W3cos2号+√3+a. ①求函数f(x)的单调递增区间： 设xE[0,π]时，函数f(x)的最小值是-2，求f(x)的最大值. 【答案】解：（①'f(x)=sinx-√3(1+cosx)+V3+a =sinx-v3cosx+a=2sin(x-)+a, 由-+2km≤x-晋s≤+2km,kEz, 得2km-名≤x≤2km+g,kEZ 函数f)的单调增区间为2kn-石，2kn+],kEZ。 四当xe0,小，x-号e[-号，1， 2sin(x-)e[-V3,2], 由f(x)mn=-V3+a=-2, 可知f(x)max=2+(-2+V③)=V3. 所以f(x)的最大值是V3 【解析】本题考查辅助角公式及二倍角公式，同时考查正弦函数的性质，属于基础题. 四由函数fx)=six-2V3cos2号+√3+a,利用二倍角公式及辅助角公式将fx)化简然后 求得单调递增区间； ()求出x一的范围，然后利用正弦函数的性质即可求出最大值. 第6页，共7页 10.(本小题14分) 已知函数f)=cos(x+)+cos(x-)-simx+t的最大值为1. (0求t的值； (ID将f(x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数g()的图象，求g(x)的单调 递减区间以及g(x)在区间[，]上的值域。 【答案】(0f()=2 cosxcos石-simx+t=V3cosx-simx+t=2cos(x+)+t. 由于f(x)的最大值为1，故t=-1. (ID由(0知fx)=2cos(x+g)-1, 所以g()=2c0s(2x+2)-1. 因为y=coSx的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z, 所以令2kπ≤2x+名≤2km+元，kEZ,得kn-是≤x≤km+贺kEZ, 所以g)的单调递减区间为[kn-是，km+],kEZ. 注：写(km-,kπ+)，kEZ也对. 当xE[匠，]时，2x+e[,],cos(2x+8E[-1,0], 所以2cos(2x+)-1∈[-3，-1，即gx)在区间[，]上的值域为[-3，-1]。 【解析】思路点拨()先利用两角和与差的三角公式化简f(x)的解析式，再根据三角函数 的值域得到t的值， (D根据题意得到g(x)的解析式，再根据三角函数的性质得到单调区间和值域. 第7页，共7页