数学（第一套）-【国华考试】2026年重庆中考模拟卷

重庆市2026年初中学业水平暨高中招生考试 数学模拟试题（一） 答题卡 姓 名 准考证号 贴条形码区 考生禁填 缺考考生，由监考员贴条形码，并 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 用2B铅笔填涂右面的缺考标记 填涂样例 正确填涂 1.答题前，考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在 注 规定的位置贴好条形码 意 2.选择题必须使用黑色2B铅笔填涂，填空题和解答题必须使用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水 钢笔答题，作图（包括作辅助线）用黑色2B铅笔完成：字体工整、笔迹清晰. 事 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷 项 上答题无效 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要撕破 选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1A]B CD 5AIB☑D 9ANB☑ 2NBC☑ 6ANB可CD 10AIB☑D 3IBC☑D 7 A [BC]D 4AB☑D 8AIBC☑D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 12 13. 14 15. 16. 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给 出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）. 17 -5-4-3-2-1012345 18.① ② ⊙ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须 给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线） 19 七、八年级所抽取学生的 八年级所抽取学生的 竞赛成绩统计表 竞赛成绩扇形统计图 年级 平均数 中位数 众数 A 40% 七年级 84 84 a mo 八年级 84 b 76 B 20. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 重庆·数学·模拟试题（一）·答题卡第1面（共2面） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21. 22. ○ D y 9 87 65 432 1 0123456789x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. 北 C 西十东 南 E 、60. 75 A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24. B O y A小x 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 重庆·数学·模拟试题（一）·答题卡第2面（共2面） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25. G D 图1 B E D C 图2 B D 图3 B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效重庆市2026年初中学业水平暨高中招生考试 简常 让每个学子 数学模拟试题（一） 精彩起来绽放开来 (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回， b 4ac-b2 参考公式：抛物线y=ax2十bz十c(a≠0)的顶点坐标为二2a,4n 对称轴为x=一2a 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面， 都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将 答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1.我国是历史上最早认识和使用负数的国家，可追溯到两千多年前的秦汉时 期，-2026的相反数是 1 A.2026 B.±2026 C.-2026 D.2026 2.雪花晶体是高空中过饱和水汽在低温下凝华、以六方冰晶形态生长而 成，它们每一片都是大自然精巧美丽、独一无二的工艺品.下列以雪花为 主题的图标中，是轴对称图形的是 A B 3.下列调查中，最适合全面调查（普查）的是 A.了解某电视台新闻频道的收视率 B.对2025年成都世界运动会知晓情况调查 C.对某一批导弹杀伤力测试 D.对某校七年级(3)班学生身高情况调查 4.如图，点A,B,C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上.如果 ∠OAB=58°，那么∠ACB的度数是 A.26 B.30° C.32 D.649 ★ ★ ★★ ★★ ★★★ B ① ② 3 第4题图 第5题图 5.观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的.依照此规律，第⑥个图 形中五角星的个数为 A.15 B.21 C.28 D.36 6,反比例函数y=S的图象一定经过的点是 A.(2,3) B.(-4,-2)C.(3,-2) D.(6,-1) 7.下列用科学记数法表示的数中，最小的是 A.3.01×10-5 B.2.33×10-4 C.6.66×103 D.10-5 8某技术部改进工艺降低了某种产品的生产成本，两个月内每件产品的成 本从250元降低到了160元，那么该产品这两个月的成本月平均降低 率为 A.15% B.20% C.5% D.25% 9.如图，在正方形ABCD中，在对角线BD上取一点E,使DE=2BE,连 接CE并延长，交边AB于点H,过点D作DF⊥CE于点F,连接BF。 在DF上取点G,使DG=CF,则B F的值为 H A.√2 E B√3 C.2 D.5 10.已知整式M:anx"十am-1x"-1+…十a2x2十a1x十ao,其中n,ao为自然 数，a1,a2,…,am为正整数，且n十ao十a1十a2十…十an=7. ①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式： ②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1; ③满足条件的所有二次三项式中，使M十1能在实数范围内因式分解 的整式M共有3个 其中正确的个数是、 A.3 B.2 C.1 D.0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直 接填在答题卡中对应的横线上. 11.小丽的书包里装有形状、大小完全相同的6本作业本，其中语文作业本 2本，数学作业本2本，英语作业本1本，物理作业本1本.小丽从中任 意抽取1本，它是数学作业本的概率是 12.如图，AC,BD交于点O,DE∥AC.若∠AOB=53°，则∠ODE的度数 是 F B D M O D 第12题图 第15题图 13.若n为正整数，满足n<√2×(26一√2)<n+1,则n 14若实数x,y同时满足x十|y|=一2，x|一y=6,则x的值 为 15.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AB=5,在边BC上截 取BE=6(BC>6),F是AD上的点，连接AE,BF交于点M,以AE 为直径的⊙0交BM于点G,且tan∠AEG3,∠DAE+∠C=180% 则EG= BG= 重庆·数学·模拟试题（一）第1~3页（共6页） 16.对于一个四位自然数M,将M的千位数字与百位数字的差记为p,M 的十位数字与个位数字的差记为q,若2p=q,则称M为“倍差数”.对 于一个“倍差数”，它的千位数字和十位数字构成的两位数减去百位数 字和个位数字构成的两位数所得的差记为s,将它的百位数字和十位数 字构成的两位数减去千位数字和个位数字构成的两位数所得的差记为 现定：F(M0=十例如：M=8651,因为2×(8-6)=5-1，所2 651是“倍差数”，s=85-61=24,t=65-81=-16,则F(8651)=4.已 知四位自然数4a71是“倍差数”，则F(4a71)= ;若四位自然数 P,Q均为“倍差数”，其中P=1000m+10n+231,Q=1000x+y+ 180,0≤n≤6,1≤x,m≤9,0≤y≤9，m,n,x,y均为整数，当mF(P)+ 2m.x+4m-4x-56=0时，则P+Q的值为 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给 出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解 答过程书写在答题卡中对应的位置上. [3(x+1)-2≥5.x-4,① 17.解不等式组：7-3x <x+6, 并写出所有整数解. 2 解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集， -5-4-3-2-1012345 所以，原不等式组的解集为 所以，原不等式组的所有整数解为 18.在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如 图，在矩形ABCD中，BD是对角线，请根据他的思路完成以下作图和 推理填空： (1)尺规作图：作线段BD的垂直平分线，垂足为O,分别交边AD,BC 于点E,F,连接BE,DF(不写作法，保留作图痕迹)； (2)若∠ABE=30°，求证：CF=2DE, 证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,∠A=90°，① ∴.∠EDO=∠FBO. .OE垂直平分BD, ..OD=OB,DE=BE. 又.∠DOE=∠BOF, ∴.△DOE≌△BOF(ASA). .②· ∴.AD-DE=BC-BF. ∴.AE=CF 在Rt△ABE中，∠ABE=30°， .③ 1 1 .CF-AE-2BE-2 DE. 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须 给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将 解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19.某校举办了数学知识竞赛.现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的 竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析.所有学生的成绩均高 于60分（成绩得分用x表示，共分为三组：A.60<x≤80；B.80<x≤ 90;C.90<x≤100，得分在90分以上为优秀).下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：72,76,81,83,84,84,86,88,92,94. 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：84,86,86. 七、八年级所抽取学生的 八年级所抽取学生的 竞赛成绩统计表 竞赛成绩扇形统计图 年级 平均数中位数 众数 A 40% 七年级 84 84 a mo 八年级 B 84 b 76 (1)求统计表中的a,b和扇形统计图中的m的值； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的数学知识 竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级1200名学生和八年级1000名学生参加了此次数学知 识竞赛，估计该校七、八年级参加此次数学知识竞赛成绩优秀的学 生一共有多少人？ 20.先化简，再求值：2x-Dx+3)2x(x+2)+红十4÷12 2 (x-1 x+x-2),其中x=-12+1一4. x+6 21.列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小 面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面.经测 算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时 制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份 (1)求12月中句两种小面每小时各制作多少份； (2)12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等 待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率.提 速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2 倍.已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉 小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面 每小时增产多少份？ 22.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=3,BC=5,CD= 6,动点P从点A出发，沿着折线A→B→C方向运动到点C停止，速度 为每砂1个单位长度，同时点Q以每秒个单位长度的速度从点A出 发，沿着A→D方向运动到D点停止，过点Q作QM⊥AD交AC于点 M,设点P运动的时间为x秒(0<x<8),记△ACP的面积为y1, △ADC的周长与△AQM的周长之比为y2. (1)请直接写出y1与y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值 范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1和y2的图象，并写出函数 y1的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当y1≤y2时，x的取值范围（近似值保留小数 点后一位，误差范围不超过0.2). y 9 d 65 M 432 D 1 0123456789x 23.如图，小明家A、小福家B、博物馆C、学校D在同一平面内.经“小小数 学家”小明和小福测量：A位于B的东南方向且位于D的正西方5千 米处；B位于D的北偏西75°方向；C位于B的北偏东60°方向.（结果保 留一位小数，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45) (1)求小福家B与学校D的距离； (2)周末，两人约定到博物馆游览，小明从自己家出发，沿A→D→C方 向匀速前往博物馆C;同时小福也从自己家出发，沿B→C方向匀速 前往博物馆C,已知小明和小福的速度之比为3：4.小福到达博物 馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后 得知小明正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到 E正好有一条公路可以直达，公路BE与CD的夹角∠BED=60° (∠BDC<90),且BE的距离比BC的距离还少2千米，于是两人 商定小明在E处等待小福求博物馆C与小福家B的距离. 光 西十东 南 E B60 75° 45° D 重庆·数学·模拟试题（一）第4~6页（共6页） 24.如图，在平面直角坐标系中，越物线y=一合十6x十c交x轴于A,B 两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C,其中点A的坐标为(4,0)， OA=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)P是直线AC上方抛物线上的一动点，连接PB交AC于点D,E是 上一动点，连接PE.当B取得最大值时，求点P PE+5 E的最小值； (3)在、由PD取得最大值的条件下，将抛物线y二二2x十bx十c沿 射线BP方向平移4√2个单位长度得到抛物线y',G是OA的中 点，M是抛物线y对称轴上纵坐标为1的点，N是抛物线y'上一动 点.若∠MGN=∠BCO+∠CAP,请直接写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. y B O A 备用图 25.在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D为边AC上一点（不与 端点重合)，E为△ABC外一点，连接BD,DE,BE,使∠BED=45°. (1)如图1，点E在BD右侧，DE交BC于点G,若BD=BG,∠ABD= a,求∠CBE的度数（用含a的代数式表示）； (2)如图2，点E在BD右侧，若AD=BE,F为边AB上一点，BF= DE,连接EF交BD于点O,求证：O为EF的中点； (3)如图3，点E在BD左侧，若∠DBE=45°，G,P,K分别为BC,AC, DE的中点，连接CE,AE,GK,将△BAE绕点B顺时针旋转a(0< a<90)得到△BA'E,连接A'P,E'D,使∠BA'P=30°，当BE+ GK CE最小时，直接写出P的值. B QGà→E D 图1 图2 G B 图3 备用图重庆市2026年初中学业水平暨高中招生考试 数学模拟试题（一）命题多维细目表 必备知识 考试要求（课标要求） 核心素养 难度 题型题号分值 知识点 领域 了解 理解 掌握运用 抽象 运算 几何 空间 推理 数据 模型 应用 创新 预估 设题情境 能力 能力 直观 观念 能力 观念 观念 意识 意识 难度 3 相反数 数与代数 0.9 2 3 轴对称图形 图形与几何 小 0.9 雪花主题图标 3 全面调查（普查）和抽样调查 统计与概率 0.9 4 3 圆周角定理 图形与几何 0.8 选 图形的变化规律 数与代数 0.8 6 反比例函数图象上点的坐标特征 数与代数 0.8 科学记数法，实数的大小比较 数与代数 √ 0.7 8 一元二次方程的应用 数与代数 √ √ 0.7 产品生产成本 正方形中边的计算 图形与几何 0.5 10 整式推理 数与代数 0.2 11 概举的计算 统计与概率 √ √ √ 0.9 12 平行线的性质 图形与几何 √ √ 0.9 填 13 二次根式的运算与估值 数与代数 √ 0.8 14 绝对值，代数式求值 数与代数 0.7 15 3 平行四边形，圆中的计算 图形与几何 √ 0.6 16 3 数论与计算 数与代数 √ 0.3 17 一元一次不等式组的解法及整数解 数与代数 √ 0.9 18 尺规作图：作线段的垂直平分线，矩形与全等三角形 图形与几何 0.8 19 10 统计图表与数据分析，用样本估计总体 统计与概率 0.8 数学知识竞赛 0 整式、分式的化简与求值，实数的运算 数与代数 0.7 21 10 一元一次方程及分式方程的应用 数与代数 0.7 重庆小面 题 22 0 动态几何与函数 图形与几何、数与代数 √ 0.7 23 10 解直角三角形的应用 图形与几何 0.7 博物馆游览 24 10 二次函数与几何综合 数与代数、图形与几何 0.4 25 10 几何综合 图形与几何 0.2 重庆·数学·参考答案第1页（共12页） K,连接AG,AK交GE于点T.AE是⊙O的直径，∴，∠AGE=∠AKE=$0.在Rt△AGE中，tan∠AEG 参考答案（含精解详析、评分细则） -音0AG:GEAE-985vG-AE酒c-AE,是- 9910 快速对答案 5/10 10 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 在等接三角形ABE中，AK1BE,KE=BE=号×6=3.在R△AKE中，AK=VE-KE=4 题号 12345 6 7 9 10 答案AA D B B :∠AGT=∠EKT,∠ATG=∠ETK,AAGT∽△EKT,E7-ER-元设AT-3a,TE=V而 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）》 x,则TK=4-3x.在Rt△TKE中，(4-3x)2+3=(/10x)2,解得x=1或x=-25(舍去)，∴.AT=3, n号2.1271841461s8000 1010 16.66459 TK=1,TE=而∠BBG-X-号进点G作GLLBE于点L,对L=GE·co∠BBG-碧GL 9.A【解析】四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD.:DF⊥ DG-CF, -GE:n∠BG-员BL=BE-L-器在R△BGL中，G=Bm+GD-0k客案为 CE,.∠DFC=90°..∠GDC=90°-∠DCF=∠FCB.在△GDC和△FCB中，{∠GDC=∠FCB, 13√10√610 DC-CB. 1010 DE CD △GDC≌△FCB(SAS).CG=BF.AB/CD△CDEn△HBE.BE-HB:DE=2BE.HB 16.66459【解析】设四位自然数M=abcd,由题意可知，满足2(a一b)=c一d时，为“倍差数"，s=ac-bd, t=bc-ad.∴.F(M)=2(a-b).①，四位自然数4a71是“倍差数”，.2(4-a)=7-1.∴.a=1..F(4a71)= Cp.夜AB=BC=CD=AD=a,则HB=Cp=24,CH=AB+BC三J(+a2=5a 2×(4-1)=6,②P=m2(#+3)1,Q=x18y满足2m=#+6,2x+y=10.由题意，得m(m一2)+m,x+2m -2x一28=0.整理，得(m一2)(x十m十2)=24.：一1≤m一2≤7,4≤x+m+2≤20，.m-2=3,x十m十 S∠GDC=∠BCB,∠DpC∠CBH=90,d△FDC∽△BCH.-GC,中CF-ACF-5 1 5a. 2=8..m=5,n=4x=1,y=8..P=5271,Q=1188..P十Q=6459.故答紫为66459. 24 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） =0D-pr--原-25=D-G-25。-5-g。 17x≤2.54………2分 ·DG=CF=5。 5a-5a=5a 无>一1444…+4+……44…44…”4分 GF-CRcG=FcF.BF--0G=ECR8器-反4 -5-4-3-2-0124……6分 10.B【解析】由题意，得7一n≥n,解得m≤3.5，∴n的可能值是0,1,2,3.当n=0时，M=7:当n=1时，。十 一1x≤2.5………………7分 a:=6,若a。=0,则a1=6,此时M=6x:当n≥2时，整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M 0,1,2* 中有且仅有2个单项式，①正确：当n=3时，系数和为7一3=4，当4。=0时，一个系数为是2，其余系数都 18.(1)解：作图如图所示. 是1，得到M有3种姑果，它们分别是2x十x十x3或x十2x十x我x十x+2x':当a0=1时，其余三项 系数都是1，得到M=1十x十x2十x3,这些M的和为5x3+5x十5x十1，故②正确：多项式为二次三 项式，.n=2,且a≠0，M=ag十a1x+a2x2,a十a1十a:=7-2=5,即M十1如下：x2十x十4，x2十2x …小5分 十3，x十3x十2,2x2十工十3,2x十2x十2,3x2十x十2，要使得上面的多项式能够因式分解，必须满足△= b2一4e≥0，.只有x2十3x十2满是实数范图内国式分解，故③不正确.故选B 1513而610 (2)①AD∥BC②DE=BF③AE=2BE…8分 10 0【解桥：∠DAE+∠C=180,∴∠D+∠ABC=180,在平 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 行四边形ABCD中，∠D=∠ABC,.∠ABC十∠AEC=180°.又，∠AEB十 19.解：(1)七年级10名学生的竞赛成绩的众数a=84,……1分 ∠AEC=180°，∴∠ABE=∠AEB.∴AE=AB=5.如图，设⊙O与BE交于点 八年级10名学生的竞赛成绩在A组的有10×40%=4（人）， 重庆·数学·参考答案第2页（共12页） :人年级10名学生的竞赛成绩的中位数b一84十86 2x(0<x≤3) 85,……2分 2 22.解：(1)y1- 6 48 44………小2分 八年级10名学生的竞赛成绩在C组的有10一(4十3)=3（人）， 5+5(3<x<8), 3 六人年级10名学生的竞赛成绩在C组人数所占百分比m%一0×100%-30%，即m-30.…3分 z<8. (2)八年级的数学知识竞赛成绩较好.……5分 [如图1，过点B作BH⊥CD于点H,则∠BHD=∠BHC=90° 理由：八年级所抽取学生数学知识竞赛成绩的中位数85大于七年级所抽取学生数学知识竞赛成绩的中位 AB∥CD,AB⊥AD,.∠BAD=∠D=90° 数84（答案不雅一，合理均可）4…7分 ,四边形ABHD是矩形. ,2 ∴.DH=AB=3,AD=BH (3)1200×0+1000×30%-540(人)， ∴.CH=CD-DH=6-3=3. 答：估计该校七、八年级参加此次数学知识竞赛成绩优秀的学生一共有540人，……………10分 在Rt△BCH中，BC=5, 20.解：原式=2x2+5x-3-2x-4x (x-2)2.2(x+2)-(x+6) x(x-1)÷(x-1D(x+2) 由勾股定理，得BH=√BC-CH=√5一3=4， =x-3-（红-2)7 x-2 .AD=BH=4. x(x-1D「(x-1)(x+2) 1 当0<≤3时，Y=7AP·AD=2xX4=2x (x-2)2(x-1)(x+2) =-3x(x一D x-2 当3<x<8时，如图2，过点P作PG⊥AB交AB的延长线于点G, =x-3-x4 AB∥CD,∴.∠PBG=∠BCH. -x2-3x-x2+4 又∠G=LBHC=90,.△PBGn△BCH.∴BC-BH PB PG --3江-4.…8分 PB=-3写3-PG-u-8 5 ,”x=一125十|一4=一1十4=3,4444*4……9分 'SAACP=S△Ae-SaMP' 1 原式=3图一多 ……44…4…]0分 3 2x(0<x3), 21.解：(1)设12月中句杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作(x十80)份. 综上所述，y={6 8 由题意，得2(x+80)=3x+10. 厂5x+5 3<x<8). 解得x=150. QM⊥AD,.∠AQM=∠D=90°，.QM∥CD. .x+80=230 ÷△AQMn△ADC.AD-DCAC AQ QM AM 答，12月中句杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份。………………5分 (2)设提速后，杂酱小面每小时增产y份，则牛肉小面每小时增产2y份。 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=√AD+CD=4+6=2/13. 300150× 5 1 由题意，得230+2y150+y×4 2 QM AM 解得y=25. AQ=2x..462/13QM5 42AM=3 经检验，y=25是原方程的解，且符合题意. .y= 4+6+2丽-，即-0<<8] 答：提速后，杂酱小面每小时增产25份。………… ……10分 ++ 重庆·数学·参考答案第3页（共12页） (2)函数y1和y:的图象如图3所示. 甲（安+8a25-6a a-1+132(负值已舍去.BC-2x11+13,2≈8.4（千米. 7 7 …6分 答：博物馆C与小福家B的距离约为8.4千米。………………10分 24.解：(1)A(4,0),.0A=4. 0123456789x OA=0C,.OC=4..C(0,4) 图3 :厂2X16+6+c=0 (1 函数y的一条性质：当0<x<3时，y1随着x的增大而增大：当3<x<8时，y1随着x的增大而减小.（答 解/1， c=4. c=4. 案不唯一)…………………………………8分 (3)当0<x≤2或7.2≤x<8.0时，y1≤y,………10分 抛物线的表达式为y一2十x十4…2分 23.解：(1)如图，过点A作AH⊥BD于点H,取AF=AB交BD于点F,设AH=x, (2)如图1，过点P作PF∥AB交直线AC于点F. 根据题意可知，AD-5,∠KDB=75°，BM∥KD,∠ABM-45 北 KD∥BM,.∠DBM=∠KDB=75°. 令y=0,则-212十x+4=0,解得x=一2或x=4 南 N ,.∠ABD=∠DBM-∠ABM=75°-45°=30° .B(-2,0)..OB=2.∴.AB=OA+OB=6. H AH⊥BD,.AB=2AH=2x.BH=AB-AH=√3x. F75 :P是直线AC上方抛物线上的一动点， 45 AF=AB,AH⊥BD,∴FH=BH=3x,∠AFH=∠ABH=30 设Pa,-a+m+）0<m< ∠KDA=90°，∠KDB=75, ,A(4,0),C(0,4),.直线AC的表达式为y=一x十4. ∴.∠BDA=15°..∠FAD=∠AFH-∠BDA=30°-15=15 ∴.∠FAD=∠BDA.∴.DF=AF=2x. PF∥AB,∴F(2m-m,-2m+m+4小PF=m-(m-m）-名m+2m .HD=FH+DF=3x+2,BD=BH+FH+DF=23x+2x :AH1BD,AH+HD=AD,即x2+6W3x+2xP=5,则x=55-2(负值已舍去). Fa△÷品-5-言+ 4 1 BD=25×56-②+2x5w6-2)-52≈7.1（千米）. 一2<0，当m-2时，D取得最大值，此时点P的坐标为(2,4)，………4分 4 4 如图2，过点B作BM⊥AB,过点E作EM⊥BM于点M,过点C作CN⊥BM于点 答：小福家B与学校D的距离约为71千米，……………………5分 N,过点P作PH⊥BM于点H,则四边形OBNC为矩形 (2)根据题意，设AD十DE=3a,则2BC=4a, .NC=OB=2,BN=OC=4...BC=CN+BN=25. .BC=2a.DE-3a-AD-3a-5. ,EM⊥BM,CN⊥BM,.ME∥NC.∴.△BME∽△BNC BE的距离比BC的距离还少2千米，∴.BE=2a一2. 如图，过点D作DN⊥BE于点N. 能-器 MEBE.PE BE-PE+ME. ∠BED-60∠EDN=0.EN-2DE-225 :PE十ME≥PH,∴.当点P,E,M在同一条直线上时，PE+ME的最小值为PH的长. DN=3EN=5x3a5_33a-53 ,点P的坐标为(2,4)，.PH=4..PE+ME的最小值为4. 2 2 ÷BN=BE-EN=2a-2-3a,5_4a-4-3a+5_e+1 PE十停E的最小值为么6分 2 2 (3)符合条件的点N的坐标为(6,8)或(10，一4).……4…………………8分 DN⊥BE,.BN+DN=BD, 如图3，连接PG 重庆·数学·参考答案第4页（共12页） 由(2)知，P(2,4) :∠MFH=∠GFK,∠FHM=∠FKG=90°， :G是OA的中点，∴0G=20A=2 ÷△MFHO△GFK,兴误架-停 ∴.PG⊥AB,BG=4,PG=4..BP=√BG+PG=4√2 y :将抛物线)=一号+z十4沿射线B即方向平移4亿个单位长度， 图3 +6 =26, y=5. :将稳物线)y=一号十红十4先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度 y+13 ∴.FM=5.∴.FK=FM+MK=6..F(5,6). “y-名++4=-10+号抛物线y:-5+号， 设直线GF的表达式为y=缸十n, .抛物线y'的对称轴为直线x=5. /2k+n=0, 得名 ①如图4，当GN在x轴上方时，作出抛物线y'的对称轴FK,设NG交该对称 5k十n=6.n=一4. 轴于点F ∴.直线GF的表达式为y=2x一4. OC=PG=4,PG∥OC,∴.四边形OGPC为矩形.∴.PC∥OA. 联立 =2-5+7. ,G是OA的中点，.CP=AG=2. 解得=0 4（不合题意，合去》或=6. by=2x-4, y=-4 y=8. M是抛物线y'对称轴上纵坐标为1的点， M N(6,8); 10分 .M(5,1)..OK=5,MK=1. .KG=OK-0G=3.GM-/KG+MK=/10. ②如图5，当GN在x轴下方时，类比①的解法求得F5,一)， 设AC,PG交于点E. 可求直线NG的表达式为y=一2十1 在△CPE和△AGE中， ∠CEP-∠AEG, --+ ∠CPE=∠AGE=90 联立 CP-AG=2, 2x+1, △CPE≌△AGE(AAS.dPE=GE=2PG=2∴EG=AG=2. x-1, 图5 解得 1(不合题意，舍去)或=10， = y=一4. ∴.△AGE为等腰直角三角形..∠AEG=45. 在△COB和△PGA中， N(10,-4). OB=GA=2, 综上所述，符合条件的点N的坐标为(6,8)或(10，一4).……10分 ∠BOC=∠AGP=90°， 25.(1)解：如图1，：BD=BG,∴.∠3=∠4. CO=PG=4, :∠1+∠E+∠BGE=180°，∠2+∠C+∠DGC=180°，∠BGE=∠DGC, ,.△COB2△PGA(SAS)..∠BCO=∠APG ∠E=∠A=∠C=45 ∴.∠BCO+∠CAP-∠APG+∠CAP-∠AEG-=45 .∠1=∠2. .∠MGN=∠BCO+∠CAP,∴.∠MGN=45°. :∠2+∠3=∠A+∠ABD∠4=∠1+∠E, 如图4，过点M作MH⊥NG于点H,则△MGH为等腰直角三角形. .∠1+∠2+∠E=∠A+∠ABD..2∠1=∠ABD. ∠ABD=a∠CBE=20.3分 设FH=x,FM=y. (2)证明：如图2，延长ED至M,使EM=AB,连接BM,作FN∥DE,交BD于点N. 重庆·数学·参考答案第5页（共12页） 在△ABD和△EMB中， .四边形ABCQ为正方形 AB=EM, AB=AB'=CQ,∠B'=∠QCE,∠B'AE=∠CQE, ∠A=∠BED, ∴△AB'E△QCE(ASA.AE--QE-AQ-AB,即AB=2AE, AD=EB, .△ABD≌△EMB(SAS)..BD=MB,∠ABD=∠M. :∠ABE+∠EBP=∠EBP+∠DBP=45,∴，∠ABE=∠PBD. ∠M=∠BDM.∴.∠ABD=∠BDM. 又，∠BAE=∠BPD=90°，.△ABEc∽△PBD ,FN∥DE,∴.∠1=∠BDM,∠2=∠3. 8品路2，即PB=2PD, ∴.∠1=∠ABD..BF=NF..FN=DE '∠PBD+∠BDP=∠BDP+∠5=90°，∴∠5=∠PBD. 在△OFN和△OED中， 又：∠BPD=∠DNE=90°，BD=DE,.△BDP≌△DEN(AAS). ∠2=∠3， BP=DN..DN=2PD,即P为DN的中点. ∠4=∠5， :K为DE的中点，PK是△DEN的中位线. FN=ED, ∴.KP∥EN..∠DPK-∠DNE=90°. .△OFN≌△OED(AAS). ∴B,P,K三点在同一直线上 FO=EO,即O为EF的中点。…………7分 ∴.△BDPC∽△DKP..DP=2PK. （8)部8能的值为丽0画 20 …10分 ,△ABC为等腰直角三角形，P为AC的中点，∠ABP=∠CBP=∠DBE=45 ,将△BAE绕点B顺时针旋转a(0°<a<90)得到△BA'E‘,∴.△ABE≌△A'BE' [如图3，过点A作AF∥BC,在AB左侧截取AF=AB,连接BF,EF. ∴，A'B=AB,BE'=BE,∠BA'E'=∠BAE=90',∠A'BE'=∠ABE ∠ABC=90°，.∠BAF=∠ABC=90°，∠F=∠ABF=45. ,∠BED=∠DBE=45,∴，∠BDE=90°，△BDE是等腰直角三角形 鄙融-需器- 儒服 ÷8086a-EB即.BE-EBD ,∠ABF+∠ABE=∠DBE+∠ABE,即∠EBF=∠DBA, 图3 .△BEFP△BDA. 融品 ∠1=∠BDA. :∠A'BP=∠A'BE'+∠ABE'+∠ABP,∠E'BD=∠ABE+∠ABE'+∠DBE,∴.∠A'BP=∠E'BD. :∠BDA=∠DBC+∠BCD,∠CBE=∠DBC+∠DBE,∠DBE=∠BCD=45,∴.∠BDA=∠CBE. .△A'BP△E'BD.∴.∠2=∠3=30°. .∠1=∠CBE. 过点B作BM⊥DE于点M,设BD=2a. .EF∥BC. ,∴.BE'=2a,BM=a,E'M=√3a,DM=a. A,E,F三点在同一直线上 ∠BAE=90°，即点E在直线AF上，且△ABE恒为直角三 ∴DE=(5+1Da,PB-名BD-2a,PD-PB-,pPK-PD-2. 5 5 101 角形. 如图3，作点B关于直线AF的对称点B,连接B'E,B'C,则 过点G作6sLBP于点S,则PS-6S=Bp-。kKS=PS+PK3而。 10a BE+CE=B'E+CE≥B'C, D 当B',E,C三点在同一直线上时，BE十CE取最小值. GK-/GST+KST130 104. 如图4，连接BP,GP,KP,过点C作CQ⊥AE于点Q,过点E √130 作EN⊥AD于点N. .DE(3+1)a_390+130,GK_ GK .DE' 10a _390-√130] 130 13 (3+1)a 20 ,.∠ABC=∠BAE=∠AQC=90,AB=BC,∠DNE=∠BPD=S0 4 108 重庆·数学·参考答案第6页（共12页）