暑假作业02 二次根式求值与最值（6题型60题）（巩固培优）八年级数学新教材人教版

**基本信息** 本暑假作业聚焦二次根式求值与最值，通过6题型60题构建“基础巩固-能力提升-培优拓展”三层训练体系，强化从单一知识点到综合应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|简单代入求值、非负性综合、高频易错点|强调“先化简后代入”原则，规范解题步骤| |能力提升|整体代换、变形化简|突出高次式降次、分母有理化等技巧，培养代数变形能力| |培优拓展|双根号最值、综合应用|融合几何情境（如矩形篱笆问题），运用配方法解决压轴题，发展模型意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 二次根式求值与最值6题型60题 【知识点1 简单根式代数式的代入求值】 1.题型特征 已知含简单二次根式的字母取值（如），代入结构简单的整式、根式代数式，计算式子最终数值。 2.标准解题步骤 第一步：化简已知字母的根式取值，化为最简二次根式；第二步：化简待求代数式（能合并、化简的优先化简，不保留复杂原式）；第三步：代入数值；第四步：规范计算、二次化简结果，保证最终答案为最简形式。 3.基础解题原则 先化简，后代入。杜绝直接盲目代入复杂式子计算，减少基础计算失误。 【知识点2 三大非负性综合求解未知数（核心必考模型）】 1.三大非负性公式 二次根式非负：； 平方数非负：； 绝对值非负：。 2.核心解题模型 若，则可直接得出：，依次列方程求解未知数。 3.常见考法 两个非负式相加为0、三个非负式混合相加为0，求解字母的值，再代入代数式求值，是基础解答题高频题型。 【知识点3 基础题型高频易错点（必规避）】 盲目代入：不化简代数式、不化简根式取值，直接代入计算，步骤繁琐、极易算错； 非负性漏项：多个非负式子相加为0时，遗漏其中一项，未全部令其等于0； 符号错误：平方、绝对值化简时符号判断失误，根式化简不彻底，结果未化为最简； 【知识点4 复杂根式代数式整体代换求值】 1.题型特征 已知字母取值为复杂根式（如），待求代数式为高次整式、复杂分式，直接代入计算量极大、易出错。 2.核心解题思路 不单独求字母具体数值，对已知条件变形，构造整体结构（如），再将待求代数式拆解为含该整体的形式，整体代入快速求值。 3.高频整体构造技巧 已知，优先变形出，两边平方消去根号，得到整式等式，用于高次代数式降次求值。 【知识点5 根式代数式变形化简求值】 1.核心能力要求 结合整式运算、分式通分约分、乘法公式（平方差、完全平方）对根式式子变形化简，先化简、后求值，从根源简化计算。 2.常用变形方法 高次式降次、分式拆分、根式分母有理化，规避复杂小数、根式的直接运算。 【知识点6 含双根号式子的最值求解（培优难点）】 1.题型特征 式子中包含两层嵌套根号或两个独立根式（双根号），求代数式的最大值、最小值，是单元压轴小题高频题型。 2.核心解题逻辑 依托根式非负性和配方思想，将双根号式子转化为“非负数+常数”的形式，根据非负数≥0的性质，确定式子的最值。 【知识点7 根式与整式、分式综合求值】 1.题型特点 融合二次根式、整式乘除、分式化简、因式分解的综合题型，题型综合性强，是期中、期末高频解答题。 2.解题核心流程 因式分解化简分式→根式有理化→整体代换→最终化简求值，全程规避无意义的繁琐计算。 【知识点8 核心解题方法（重点训练）】 1.配方法（最值、化简专用） 针对双根号最值、根式高次代数式化简，通过配方构造完全平方式，利用平方、根式的非负性确定式子取值范围与最值，是解决根式最值题型的万能方法。 2.换元法（简化复杂式子） 将复杂的根式整体设为新字母，简化原式结构，降低运算难度，计算完成后再回代，完美解决式子繁琐、易出错的问题。 【题型1 求二次根式的最值】 1．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 2．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_________． 【答案】3 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴n的最小正整数值是：3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与定义，正确化简二次根式是解题关键． 3．代数式的最小值为__________． 【答案】2 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 【题型2 二次根式中的化简最值问题】 4．已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时， 取最大值，最大值为 【分析】（1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得，根据例题，即可获得答案； （3）将代数式变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，代数式取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）解：∵， ∴， ∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， ∴此时代数式有最大值，最大值为， ∴当时，取最大值，最大值为． 5．我们知道，，所以当时，的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式和进行了以下的探索： ∵，∴，∴， ∴当时，的最小值为1． ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为． (1)求的最小值和的最大值； (2)求的最小值； (3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为多少？ 【答案】(1)当时，的最小值为；时，的最大值为3 (2)当时，的最小值为4 (3)三角形面积的最大值为 【分析】（1）仿照例题，根据非负数的性质以及二次根式的性质，即可求解； （2）仿照例题，将根号内的代数式配方，进而即可求解； （3）将已知数据代入代数式，根据例题的方法求得最大值即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴当时，的最小值为. ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为3. （2）∵ ∴当时，的最小值为4. （3）当，时，， ∵， ∴ ∴ ∴的最大值为， 【点睛】本题考查了二次根式的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 6．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有______个； (3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)，4 (3)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，分式加减乘除混合运算，利用二次根式的性质化简，解题关键是理解新定义运算． （1）先设，，可得出，将，，代入后根据当且仅当时式子有最小值，求出及最小值即可； （2）先将已知式子化为，再根据为整数，且为整数，得出关于的方程求解； （3）先将式子化为，再得出，然后根据当且仅当时式子有最小值，求出及原式的最大值． 【详解】（1）解：设，，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解： 为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数的值有4个， 故答案为：，4； （3）解： ， 当且仅当时，即时，式子有最小值为6， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【题型3 最简二次根式中的最值】 7．下列说法错误的是（ ）． A．是二次根式 B．是最简二次根式 C．是非负数 D．的最小值是 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义、二次根式的性质、最简二次根式，根据二次根式的定义、二次根式的性质、最简二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、只有在时才是二次根式，故原说法错误，符合题意； B、是最简二次根式，故原说法正确，不符合题意； C、是非负数，故原说法正确，不符合题意； D、由于，故，故的最小值是，故原说法正确，不符合题意； 故选：A． 8．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是2． 故答案为：2 9．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是________． 【答案】2 【分析】让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【题型4 同类二次根式中的最值】 10．将式子 (a为正整数)化为最简二次根式后，可以与合并． （1）a的最大值为_____； （2）所有符合条件的a的和为_____． 【答案】 33 80 【分析】（1）根据最简二次根式，进行计算即可解答； （2）根据，，，分别进行计算即可解答． 【详解】解：（1）， 当时，， 与可以合并， 的最大值为33， 故答案为：33； （2）当时，， 与可以合并， 当时，， 与可以合并， 当时，， 与可以合并， ， 所有符合条件的的和为80， 故答案为：80． 【点睛】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 11．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 12．若能与合并，则正整数的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的化简是解决此题的关键．首先要明确同类二次根式能合并的条件，即被开方数相同，所以要使能与合并， 化简后被开数必须为3，由此来即可确定m的值． 【详解】解：∵ 能与合并， ∴ 化简后被开数必须为3， ∴设（k为正整数）， ∵正整数取最小值， ∴当时， ， 解得：， 故答案为：2 ． 【题型5 已知字母的值，化简求值】 13．已知． (1)若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． (2)若，求的最小值． 【答案】(1)① ② ③ (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式及完全平方公式的应用，关键是灵活应用知识点解题； （1）①直接根据平方差公式计算即可； ②先通分，再展开，然后将的结果代入即可； ③先提出，再仿照②解答； （2）由已知得，再将待求式整理为含，的式子，然后分两种情况讨论最小值即可． 【详解】（1）①解：由题意得：． 故答案为：； ②解：∵， ∴ ∴原式； ③解：原式 ； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵有实数根， ∴， 即： 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式最小，最小值为：， 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式的值最小，最小值为； 综上所述，的最小值为． 14．已知． (1)若，计算M的值； (2)若M的值为整数，求正整数a的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，化简二次根式： （1）先根据二次根式的混合计算法则求出，据此代值计算即可得到答案； （2）根据（1）所求结合题意得到是正整数，即是为正的完全平方数，由此即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：由（1）得， ∵M的值为整数，a是正整数， ∴是正整数，即是为正的完全平方数， ∴a得最小值为4． 【题型6 复合二次根式的化简】 15．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)46或14 【分析】（1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先推导出，得到 ∴，继而推导出，求出或，再分别代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 16．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意给出的公式进行求解即可； （2）先将化为，得到，继而化简即可； （3）先化简，得到，继而推导出， 则， 再化简代数式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 17．阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 【答案】(1) (2)9 (3)米 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， 米． 1．函数有意义，则x应（　　） A．有最小值 B．有最大值 C．可为0 D．不可为 【答案】D 【分析】根据分式有意义时分母不为0，零指数幂的底数不为0以及二次根式有意义的条件即可作答． 【详解】∵函数有意义， ∴，且， ∴，且， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，零指数幂的底数不为0以及二次根式有意义的条件等知识，掌握相应的考点知识是解答本题的关键． 2．已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先化简原式的二次根式，再估算无理数的取值范围，即可得到满足条件的最大整数n． 【详解】解：， ∵ ，，且 ∴ ， ∵ ，且n为整数， ∴ n的最大值为6． 3．已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的大小比较，先计算，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴的最大值为； 故选：C 4．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用．当时，直接根据公式计算即可求解． 【详解】解：当时，， ∴的最小值为3， 故选：D． 5．通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，分别根据，依次将①②中的等式进行变形，即可进行判断，对于③，先设设花圃的宽为，篱笆的总长为，得到y关于x的表达式，再进行变形，即可得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵； ∴； 故②正确； 设花圃的宽为，篱笆的总长为， 则， 故③正确； 故选：D． 6．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 7．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是掌握以上性质． 作点关于的对称点，连接，则，当，且点在上时，则取得最小值，利用求解可得答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， 当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形， 点在上， ， ， 由， 得， 解得：， 即的最小值是； 故选：B． 8．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∴，当三点共线时最小即，当时最短，即为所求， ∵， 是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∵， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 9．如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∴，当三点共线时最小即， ∵当时，最短， ∴即为所求， ∵， 是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∵， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 10．已知x为正整数，是整数，可根据，得到x的最小值为10．设y为正整数，若是比1大的整数，则y的最大值与最小值的差为__________． 【答案】72 【分析】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．根据y为正整数， 是大于1的整数，先求出y的值可以为3、12、75，再求出结果即可． 【详解】解：∵，是大于1的整数， ∴． ∵y为正整数 ∴y的值可以为3、12、75， y的最小值是3，最大值是75， ∴y的最大值与最小值的差为． 故答案为：72． 11．在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值______； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为______． 【答案】 15 10 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）由题意知，，然后求解作答即可； （2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：10． 12．如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得，由此可求最值． 【详解】解：，时，， ， ， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 13．等边和等边按如图位置放置，，，将绕点在平面内自由旋转，连接，则的最大值为______，最小值为______． 【答案】 / / 【分析】本题考查了线段的和与差，等边三角形的性质．画出图形，利用线段的和与差计算即可求解． 【详解】解：如图，当点在线段的延长线上时，有最大值， 的最大值为； 如图，当点在线段上时，有最小值， 的最小值为； 故答案为：；． 14．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为___________． 【答案】75 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质结合题意计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且n为正整数，是大于1的整数， ∴n的最大值为， 故答案为：． 15．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为_______，最大值为______，的小数部分为______． 【答案】 3 75 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时， ， ， 故的小数部分为 故答案为：3；75； 16．已知的值大于，小于，则正整数n的最大值与最小值的差等于_______． 【答案】45 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，先把原式化简，得，，再次化简得，，由正整数，得，，再按题意计算即可． 【详解】解： ∵的值大于，小于， ∴，， ∴，， ∴, , ∴，， ∴，， ∴，， ∵正整数， ∴，， ∴， ∴正整数n最大为574，正整数最小为529， ∴正整数n的最大值与最小值的差等于， 故答案为：45． 17．如图，四边形中，，垂直于的角平分线于点D，点E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，二次根式的乘法运算，三角形中线等分面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点，设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，即可求解． 【详解】解：延长交于点H，设交于点．   ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为4， 故答案为：4． 18．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)6，4 (2) (3)100 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：6，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 19．阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 20．阅读下面材料：聪明的小张在学习完全平方公式后发现，当，时，，∵，∴，∴，当且仅当时，取最小值． 例如：当时，，当且仅当，即时，取最小值2． 请利用上述结论解决以下问题： (1)若，当________时，式子有最小值为________；若，求当取何值时．式子有最大值，最大值为多少？ (2)若，当取何值时，有最小值，请求出这个最小值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，当的面积为5时，求四边形面积的最小值，并直接写出此时四边形的形状． 【答案】(1)，；当时，有最大值，最大值为； (2)时，有最小值，最小值为； (3)四边形面积的最小值为，四边形为等腰梯形． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，等高三角形的面积问题，正确理解已知结论，并灵活运用是解题关键． （1）直接根据公式计算即可； （2）将原式变形为，再利用计算即可； （3）先求出，设，根据等高三角形的性质得到，则四边形的面积，可求出四边形面积最小值为，证明，即可得出四边形为等腰梯形． 【详解】（1）解：当时，， ∴当，即时，有最小值，最小值为， 当时，即，， ∴， 当且仅当时，等号成立，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴当时，式子有最大值，最大值为； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵与，与同高，且与，与同底， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴当，即时，四边形面积有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为等腰梯形． 21．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)的值为或7 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可； （2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． （2）解：原式， 当时，原式，解得，符合条件； 当时，原式，舍去； 当时，原式，解得，符合条件． ∴的值为或7． 22．【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【答案】（）；（），；【拓展应用】． 【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等， （）根据二次根式的性质即可求出答案； （）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案； 解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系． 【详解】解：（）原式， ∵（显性条件）， 由题意得（隐含条件）， ∴， ∴， ∴原式， ； （）∵三角形的三边长分别为， ∴， ∴的取值范围是，（隐含条件） ∴原式 ， ， 故答案为：； 【拓展应用】由题意得， ∴（隐含条件）， ∴原方程可化为：， 解得，符合题意． 23．阅读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解     合理分组     提取公因式     整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 (1)问题1：因式分解：_________ (2)问题2：已知，求代数式的值． (3)问题3：化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将各二次根式分解为，再提出公因式，然后整体提出公因式即可； （2）先求出，再整理待求式的倒数，并代入求值，进而得出答案； （3）先将分子进行因式分解，然后借鉴（2）根据倒数转化的方法进行化简． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． ∵或0（舍去）， ∴； （3）解：， 设： ， ， 则原式， ， ． 1．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式，在两人的解法中（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次根式运算，先判断的正负，再根据化简，最后将代入计算即可． 【详解】当时，， ， ∴乙计算正确． 观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确， 故选B． 2．我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故x＞0，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（    ） A． B．﹣12 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，且 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于较难题型． 3．算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的形式； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握其性质是关键； 根据算术平方根的性质化简表达式，说法①有4种结果，说法②结果有3种，说法③先计算出，计算当时，即可判断． 【详解】解：① ∵，，， ∴， 由于a和b符号组合，有4种结果：， 故①正确； ② ∵要求，即， ∴原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 结果有3种不同结果，故②错误； ③ ∵， ∴， 当时，均为负，均为正， ， 当时，， 故③错误； 综上，①正确； 故选B． 4．已知整式，其中和n为自然数，，，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②满足条件的所有整式中，有且仅有2个整式，使得的化简结果为整式； ③当时，关于x的方程（为对应整式的常数项）总存在整数解． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，当和时，可分别求出整式中各有1个单项式，即可判断； 对于②，针对，1，2，3，4等5种情况，对满足条件的所有整式逐一判断即可； 对于③，针对，2，3，4等4种情况，逐一解方程判断即可． 【详解】解：，，，为正整数，且，和n为自然数， ， 当，则，整式A为4，是单项式； 当，则， 令，，整式A为，是单项式； ①错误； 当，为整式； 当，则，， 不存在，的值，使得的化简结果为整式； 若，则， 满足条件的所有整式是，，，，，， 其中只有，即，时， 则整式A为，为整式； 当时，满足条件的所有整式是，，，， 其中所有的整式均不满足的化简结果为整式； 当时，， ，， 整式为，，不符合题意； 满足条件的所有整式中，有且仅有2个整式，使得的化简结果为整式； ②正确； 当时，整式是，，，， 关于x的方程分别是，，，， 以上方程的解分别是，，，， 方程的解均为整数； 当时，整式是，，，，，， 关于x的方程分别是，，，，，， 以上方程的解分别是，；，；，；，；，；，， 以上方程均有整数解； 当时， 关于x的方程分别是，，，， 以上方程的解分别是；，；；， 所有方程均有整数根； 当时，整式为， 关于x的方程分别是， 因式分解得， 解得，， 方程有整数根； 综上所述，当时，关于x的方程（为对应整式的常数项）总存在整数解； ③正确； 正确的是②③． 5．已知x，y为实数，且，则的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的性质，二次根式的化简，不等式组的解法，由二次根式性质得，故，再化简绝对值，二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； ∴， ∴ ； 故选：B 6．给出下列命题： ①关于x的方程的解为， ②存在唯一实数a，使方程组无解 ③对任意实数x，y都有成立 ④方程的解，一定都是无理数． 其中正确命题个数有（   ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据分式方程、二元一次方程组、因式分解、二元一次方程的解和实数运算等相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：当时，， ∴方程的解是或，故①错误； ②－得，， 当时，无解，即原方程组无解， 故②正确， ∵， ∴， 故③正确； 当，时，，即的解可以是，故④错误， 综上可知，正确的命题是②③， 故选：C 【点睛】此题考查了命题，解题的关键是熟练掌握分式方程、二元一次方程组、因式分解、二元一次方程的解和实数运算等知识． 7．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简：_____； （2）若，求的取值范围：______． 【答案】 【分析】本题考查了化简二次根式，绝对值，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先将化简为，然后分类讨论：当时，当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴，即， ， ∴原式 ； （2）， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 8．算术平方根有如下运算：，，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的为_________（ 填序号即可 ） 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．分别根据算术平方根的意义化简各式后，再进行判断即可． 【详解】解：①， 所以，有4种不同的结果，故①正确； ② ∵， ∴， 当时，原式； 当，原式； 当，原式； ∴②错误； ③∵， ∴ 前8项为从开始依次减2直到1，故前8项的和为64； 从第9项起为从1开始依次加2，直到，和为， 则， 当时，； ； （n为正整数，舍去负值）； ，故③正确； 故③正确， 所以，正确的结论是①③， 故答案为：①③． 9．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则______； （2）化简的正确结果为_______． 【答案】 3 / 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、运用二次根式的性质化简、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式、二次根式的性质将原式化成完全平方式，进而求得a、b的值，然后代入求值即可； （2）根据二次根式的性质和完全平方公式逐步化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：3． （2） ． 故答案为：． 10．在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． (1)已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为______． (2)设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为______． 【答案】(1)19 (2) 【分析】（1）根据题中化简方法可得，再根据是整数，即可求解； （2）根据题意可得当时，m取最大值；当时，m取最小值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵是整数， ∴a的最小值为19， 故答案为：19； （2）解：∵b为正整数，m是大于1的整数，， ∴当时，m取最大值，即为；当时，m取最小值，即为， ∴m的最大值与m的最小值的积为， ∴24的平方根为． 11．阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，这种化简的过程叫做分母有理化． 材料二：换元思想是非常重要的一种数学思想，它可以简化我们的计算；比如解方程，小毛是这样计算的， 原方程变形为：，设，原方程变为： ，解得；即，，解得或． (1)化简：． (2)已知是正整数，，，，求． (3)已知，求的值． 【答案】(1)44 (2) (3) 【分析】（1）先分母有理化，再相加即可； （2）先对a、b分母有理化，计算出的值，再整体代入后，解方程即可求解； （3）设，则；对原式进行化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：，，…，， 原式 ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， 则， 解得． （3）解：设，则； 原式= ； ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与混合运算，分母有理化，求代数式的值等知识，正确运算是解题的关键． 12．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1)12 (2)4 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确题意，利用类比的方法解答． （1）仿照例题，可以求得所求式子的值； （2）仿照例题，将a的值分母有理化，然后变形，即可求得所求式子的值． 【详解】（1） （2）∵ ∴ ∴，即， ∴， ∴ ． 13．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵，∴，∴， 即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：的值 (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，熟练进行变形是解决本题的关键． （1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将a分母有理化得，移项并平方得到，变形后代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 14．小芳在解决问题：“已知，求的值”时，她是这样分析与解的： ， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值：________． 【答案】(1)10 (2)①5② 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值； ②将式子整理成，再代入，即可求解． 本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 故答案为： 15．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的非负性，求出的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可； （2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可； （3）利用完全平方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ， ∴， ∴ ； （2）解： ，经检验，符合题意； （3）解： ∵ 即 ∴， ∴． 16．阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ， 故答案为：3； （2）解：由题意可知：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， ∴，故符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：； （3）解：原方程可化为：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时， ∴，， ∴， ∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，， ∴原方程化为：， ∴，符合题意； 综上所述，或． 17．阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用，其实，有一个方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，，可知，而 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下列问题： (1)比较和的大小，给出过程； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)，过程见解析； (2)，大，； (3)最大值为，最小值为． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解，再比较大小即可； （2）先将分子有理化，再根据的取值即可得出答案； （3）先求出的取值范围，再根据函数的单调性，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∵当时，分母随的增大而增大， ∴随的增大而减小， 当时，取最大值，此时， 当时，分母趋近于，，但无法取到最小值， 故答案为：，大，； （3）解：∵， ∴， 解得：， 当从增大到时，先增大后减小，但整体趋势由的增长主导，导致随增大而单调递减， ∴当时，取最大值，最大值为， 当时，取最小值，最小值为， ∴最大值为，最小值为． 18．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 19．阅读下列三份材料： 材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式” 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式； 类似的，假分式也可以化为带分式．如：； 材料2：在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 材料3：由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令a=x，，则由，得，当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4． 请你根据上述材料，解答下列各题： (1)已知，填空： ①把假分式化为带分式的形式是________； ②式子的最小值为________； ③式子的最小值为________； (2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (3)已知，分别求出分式和的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）． 【答案】(1)①；②；③24 (2)当长为8，宽为4时，所用篱笆最短16米； (3)有最小值，有最小值 【分析】（1）①根据已知材料1，将分子改写成x+2-3，进一步计算即可； ②根据材料2，将原式化成完全平方式加常数的形式，即可可到答案； ③根据材料3，将原式进行改写，即可得到答案； （2）首先设长方形的长为x，然后根据材料3 进行计算即可得到答案； （3）根据材料1和材料3，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案； 【详解】（1）①解：； 故答案为； ②解：， ∵， ∴， ∴当x=-4时，原式的最小值为-1； 故答案为-1； ③解：∵，设， 则：， ∴， ∴，当仅当时，即x=3时取等号， ∴当x=3时，原式的最小值为24； 故答案为24； （2）设长为x，宽为y．则xy=32，欲使x+2y最小， ∵x＞0，y＞0， ∴， 当且仅当x=2y时取得等号， 由，解得，x=8，y=4， 即长为8，宽为4时，所用篱笆最短． 最短篱琶为16米． （3）解： ， ∵， ∴，当仅当时取等号， ∴， ∴， 故当时，有最小值； = = =， ∵ ∴，当且仅当时，即x=2时取等号， ∴ ∴ ∴ ∴ 故当x=2时，有最小值． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 20．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 又例如：求代数式的最小值． 可知：当时，的最小值是，因此有最小值，最小值是． 请你用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________； (2)请你求的最小值； (3)若a、b满足，请计算； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题． （1）利用配方法分解因式； （2）利用配方法变式，再根据平方的性质求最小值； （3）利用配方法变式分组因式分解，求出，，再代入算式中计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 所以当时，它有最小值是，所以的最小值是． （3）， ， ， ， ，， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 二次根式求值与最值6题型60题 【知识点1 简单根式代数式的代入求值】 1.题型特征 已知含简单二次根式的字母取值（如），代入结构简单的整式、根式代数式，计算式子最终数值。 2.标准解题步骤 第一步：化简已知字母的根式取值，化为最简二次根式；第二步：化简待求代数式（能合并、化简的优先化简，不保留复杂原式）；第三步：代入数值；第四步：规范计算、二次化简结果，保证最终答案为最简形式。 3.基础解题原则 先化简，后代入。杜绝直接盲目代入复杂式子计算，减少基础计算失误。 【知识点2 三大非负性综合求解未知数（核心必考模型）】 1.三大非负性公式 二次根式非负：； 平方数非负：； 绝对值非负：。 2.核心解题模型 若，则可直接得出：，依次列方程求解未知数。 3.常见考法 两个非负式相加为0、三个非负式混合相加为0，求解字母的值，再代入代数式求值，是基础解答题高频题型。 【知识点3 基础题型高频易错点（必规避）】 盲目代入：不化简代数式、不化简根式取值，直接代入计算，步骤繁琐、极易算错； 非负性漏项：多个非负式子相加为0时，遗漏其中一项，未全部令其等于0； 符号错误：平方、绝对值化简时符号判断失误，根式化简不彻底，结果未化为最简； 【知识点4 复杂根式代数式整体代换求值】 1.题型特征 已知字母取值为复杂根式（如），待求代数式为高次整式、复杂分式，直接代入计算量极大、易出错。 2.核心解题思路 不单独求字母具体数值，对已知条件变形，构造整体结构（如），再将待求代数式拆解为含该整体的形式，整体代入快速求值。 3.高频整体构造技巧 已知，优先变形出，两边平方消去根号，得到整式等式，用于高次代数式降次求值。 【知识点5 根式代数式变形化简求值】 1.核心能力要求 结合整式运算、分式通分约分、乘法公式（平方差、完全平方）对根式式子变形化简，先化简、后求值，从根源简化计算。 2.常用变形方法 高次式降次、分式拆分、根式分母有理化，规避复杂小数、根式的直接运算。 【知识点6 含双根号式子的最值求解（培优难点）】 1.题型特征 式子中包含两层嵌套根号或两个独立根式（双根号），求代数式的最大值、最小值，是单元压轴小题高频题型。 2.核心解题逻辑 依托根式非负性和配方思想，将双根号式子转化为“非负数+常数”的形式，根据非负数≥0的性质，确定式子的最值。 【知识点7 根式与整式、分式综合求值】 1.题型特点 融合二次根式、整式乘除、分式化简、因式分解的综合题型，题型综合性强，是期中、期末高频解答题。 2.解题核心流程 因式分解化简分式→根式有理化→整体代换→最终化简求值，全程规避无意义的繁琐计算。 【知识点8 核心解题方法（重点训练）】 1.配方法（最值、化简专用） 针对双根号最值、根式高次代数式化简，通过配方构造完全平方式，利用平方、根式的非负性确定式子取值范围与最值，是解决根式最值题型的万能方法。 2.换元法（简化复杂式子） 将复杂的根式整体设为新字母，简化原式结构，降低运算难度，计算完成后再回代，完美解决式子繁琐、易出错的问题。 【题型1 求二次根式的最值】 1．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 2．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_________． 3．代数式的最小值为__________． 【题型2 二次根式中的化简最值问题】 4．已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 5．我们知道，，所以当时，的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式和进行了以下的探索： ∵，∴，∴， ∴当时，的最小值为1． ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为． (1)求的最小值和的最大值； (2)求的最小值； (3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为多少？ 6．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有______个； (3)已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【题型3 最简二次根式中的最值】 7．下列说法错误的是（ ）． A．是二次根式 B．是最简二次根式 C．是非负数 D．的最小值是 8．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是______． 9．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是________． 【题型4 同类二次根式中的最值】 10．将式子 (a为正整数)化为最简二次根式后，可以与合并． （1）a的最大值为_____； （2）所有符合条件的a的和为_____． 11．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 12．若能与合并，则正整数的最小值是______． 【题型5 已知字母的值，化简求值】 13．已知． (1)若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． (2)若，求的最小值． 14．已知． (1)若，计算M的值； (2)若M的值为整数，求正整数a的最小值． 【题型6 复合二次根式的化简】 15．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 16．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 17．阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 1．函数有意义，则x应（　　） A．有最小值 B．有最大值 C．可为0 D．不可为 2．已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 5．通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 8．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 10．已知x为正整数，是整数，可根据，得到x的最小值为10．设y为正整数，若是比1大的整数，则y的最大值与最小值的差为__________． 11．在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值______； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为______． 12．如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为____________． 13．等边和等边按如图位置放置，，，将绕点在平面内自由旋转，连接，则的最大值为______，最小值为______． 14．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为___________． 15．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为_______，最大值为______，的小数部分为______． 16．已知的值大于，小于，则正整数n的最大值与最小值的差等于_______． 17．如图，四边形中，，垂直于的角平分线于点D，点E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为______． 18．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 19．阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 20．阅读下面材料：聪明的小张在学习完全平方公式后发现，当，时，，∵，∴，∴，当且仅当时，取最小值． 例如：当时，，当且仅当，即时，取最小值2． 请利用上述结论解决以下问题： (1)若，当________时，式子有最小值为________；若，求当取何值时．式子有最大值，最大值为多少？ (2)若，当取何值时，有最小值，请求出这个最小值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，当的面积为5时，求四边形面积的最小值，并直接写出此时四边形的形状． 21．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 22．【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 23．阅读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解     合理分组     提取公因式     整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 (1)问题1：因式分解：_________ (2)问题2：已知，求代数式的值． (3)问题3：化简： 1．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式，在两人的解法中（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定 2．我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故x＞0，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（    ） A． B．﹣12 C． D． 3．算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的形式； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知整式，其中和n为自然数，，，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②满足条件的所有整式中，有且仅有2个整式，使得的化简结果为整式； ③当时，关于x的方程（为对应整式的常数项）总存在整数解． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知x，y为实数，且，则的化简结果为（   ） A． B． C． D． 6．给出下列命题： ①关于x的方程的解为， ②存在唯一实数a，使方程组无解 ③对任意实数x，y都有成立 ④方程的解，一定都是无理数． 其中正确命题个数有（   ） A．4 B．1 C．2 D．3 7．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简：_____； （2）若，求的取值范围：______． 8．算术平方根有如下运算：，，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的为_________（ 填序号即可 ） 9．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则______； （2）化简的正确结果为_______． 10．在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． (1)已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为______． (2)设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为______． 11．阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，这种化简的过程叫做分母有理化． 材料二：换元思想是非常重要的一种数学思想，它可以简化我们的计算；比如解方程，小毛是这样计算的， 原方程变形为：，设，原方程变为： ，解得；即，，解得或． (1)化简：． (2)已知是正整数，，，，求． (3)已知，求的值． 12．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)化简； (2)若，求的值． 13．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵，∴，∴， 即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：的值 (2)若，求的值； 14．小芳在解决问题：“已知，求的值”时，她是这样分析与解的： ， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值：________． 15．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 16．阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 17．阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用，其实，有一个方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，，可知，而 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下列问题： (1)比较和的大小，给出过程； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)求的最大值和最小值． 18．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 19．阅读下列三份材料： 材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式” 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式； 类似的，假分式也可以化为带分式．如：； 材料2：在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 材料3：由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令a=x，，则由，得，当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4． 请你根据上述材料，解答下列各题： (1)已知，填空： ①把假分式化为带分式的形式是________； ②式子的最小值为________； ③式子的最小值为________； (2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (3)已知，分别求出分式和的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）． 20．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 又例如：求代数式的最小值． 可知：当时，的最小值是，因此有最小值，最小值是． 请你用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________； (2)请你求的最小值； (3)若a、b满足，请计算； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $