专题04 圆柱与圆锥（期末复习知识清单，6常考题型4易错归因）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题04 圆柱与圆锥 8.1 圆柱的认识 1. 圆柱的形成：以矩形的一边为旋转轴，其余三边旋转形成的立体旋转体。 2. 圆柱的基本特征 底面：2个完全相等的圆形底面，大小、形状完全一致。 侧面：1个光滑的曲面，不属于平面图形。 高：圆柱两个底面之间的垂直距离，圆柱有无数条高，且所有高的长度全部相等。 3. 圆柱侧面展开图规律 圆柱侧面沿高剪开展开后是长方形（特殊情况为正方形）；长方形的长等于圆柱底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。 当圆柱底面周长和高相等时，侧面展开图为正方形。 8.2 圆柱的侧面积与表面积 1. 基础通用字母含义：r=底面半径，d=底面直径，C=底面周长，h=圆柱的高，π常规取值3.14 2. 核心计算公式 底面周长： 圆柱侧面积： 圆形底面积： 圆柱表面积： 3. 实际应用场景（必考易错） ① 无盖水桶、蓄水池、鱼缸：表面积=1个底面积+侧面积（无上底面） ② 通风管、烟囱、滚筒：表面积=侧面积（无上下底面） ③ 油桶、罐头、密封圆柱容器：表面积=2个底面积+侧面积（完整表面积） 8.3 圆柱的体积 1. 体积推导原理：将圆柱沿半径切割拼接，可转化为近似长方体，拼接前后体积不变。长方体的长为圆柱底面半周长，宽为底面半径，高与圆柱的高一致。 2. 核心公式及逆推公式 圆柱体积： 逆推求底面积： 逆推求高： 3. 圆柱切割表面积变化考点 ① 横切（平行于底面切割）：每切割1次，增加2个完整的底面积；切割n次，增加2n个底面积。 ② 竖切（沿底面直径、垂直底面切割）：切面为长方形，当圆柱的高=底面直径时，切面为正方形；每切割1次，增加2个长方形切面，面积为2dh。 8.4 圆锥的认识 1. 圆锥的形成：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余两边旋转形成的立体旋转体。 2. 圆锥的基本特征 底面：1个圆形底面；侧面：1个曲面；高：圆锥顶点到底面圆心的垂直距离，圆锥仅有1条高。 3. 圆锥侧面展开图规律 圆锥侧面展开为扇形；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。 8.5 圆锥的体积 1. 核心等量关系：等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍。 2. 核心公式及逆推公式 圆锥体积： 逆推求底面积： 逆推求高： 8.6 圆柱与圆锥体积比例关系（高频考点） 1. 等底等高：，圆锥体积比圆柱体积少，体积比 2. 等底等体积：圆锥的高是圆柱高的3倍，高的比 3. 等高等体积：圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，底面积比 8.7 全章高频易错点汇总 1. 圆锥体积计算极易遗漏乘，是本章最高频错误点； 2. 圆柱表面积实际应用中，多算、漏算底面数量（通风管、无盖容器场景）； 3. 忽略单位统一，半径、直径、高单位不一致直接计算； 4. 概念混淆：侧面积与表面积、体积与容积的定义区分不清。 题型一：圆柱侧面积基础计算 例1．（24-25六年级下·上海·期末）如果将一个圆柱的底面半径和母线长都扩大到原来的3倍，那么它的侧面积扩大到原来的（    ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．27倍 【答案】C 【知识点】 圆柱的侧面积 【分析】此题考查了求圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱侧面积公式是解题的关键；侧面积公式为底面周长乘以母线长．当底面半径和母线长同时扩大3倍时，侧面积的变化由两者的乘积倍数决定，据此进行求解即可． 【详解】解：原圆柱的侧面积公式为，其中 为底面半径， 为母线长． 当半径和母线长均扩大到原来的3倍时，新侧面积为： 因此，侧面积扩大到原来的9倍， 故选：C． 例2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）圆柱的侧面积为，母线长是，则它的底面半径是______． 【答案】/3厘米 【知识点】 圆柱的侧面积 【分析】本题考查了圆柱的计算，根据圆柱的侧面积等于底面周长乘母线长，进而得出底面半径． 【详解】解：设圆柱的底面半径为， 则有， ∴， ∴它的底面半径是． 故答案为：． 变式1．（24-25六年级下·上海·期末）如图，一个高为的圆柱体的底面圆周在数轴上滚动，若滚动前圆柱体底面圆周上的点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置上，则这个圆柱体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、 圆柱的侧面积 【分析】本题考查了数轴，圆柱体的侧面积，解题的关键是借助数轴求出圆柱体的底面周长． 根据点的位置变化，可得圆柱体的底面圆周长，代入圆柱体的侧面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，圆柱体的底面圆周长为， ∵圆柱体的高为， ∴这个圆柱体的侧面积， 故选：． 变式2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）一个底面半径为2的圆柱的侧面是一个正方形，这个圆柱的侧面积是___________．（结果保留） 【答案】 【知识点】 圆柱的侧面积 【分析】本题主要考查圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式的应用，因为该圆柱的侧面展开后是正方形，根据“圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”可知：该圆柱的底面周长和高相等，因为圆柱的底面是圆形，所以求出圆柱的底面周长，即圆柱的高即可． 【详解】解：， ， 所以，这个圆柱的侧面积是． 故答案为：． 变式3．（24-25六年级下·上海松江·期末）把一个底面直径和高都是3厘米的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是_____． 【答案】 【知识点】 圆柱的侧面积 【分析】本题考查的是圆柱的侧面积的计算，由展开图的含义可得沿圆柱的母线展开可得展开图是长方形，而不规则的展开图的面积等于展开图是长方形的面积，从而可得答案. 【详解】解： （平方厘米）； 故答案为：． 题型二：圆柱表面积实际应用 例3．（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图，把一个底面周长为厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，切拼后表面积增加了平方厘米，那么原来这个圆柱的高是（取）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 圆柱的表面积 【分析】本题考查了圆柱的表面积，设圆柱的底面半径为，高为，由图可知：增加的表面积为，据此即可求解； 【详解】解：设圆柱的底面半径为，高为， 由题意得：，解得； 由图可知：增加的表面积为， ∴； 解得：， 故选：B 例4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是厘米，宽是2厘米，这个圆柱体的表面积是________厘米．（结果保留） 【答案】或 【知识点】 圆柱的表面积 【分析】本题主要考查了圆柱的表面积计算，圆柱的侧面展开图，当圆柱的底面圆周长大于其高时，圆柱的侧面展开图的长为圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的高；当圆柱的底面圆周长小于其高时，圆柱的侧面展开图的宽为圆柱底面圆的周长，长为圆柱的高，据此求出圆柱的底面圆半径，再根据圆柱表面积计算公式求解即可． 【详解】解：当圆柱的底面圆周长大于其高时： ∵把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是厘米，宽是2厘米， ∴这个圆柱的底面圆周长为厘米，高是2厘米， ∴这个圆柱的底面圆半径为厘米， ∴这个圆柱体的表面积是平方厘米； 当圆柱的底面圆周长小于其高时： ∵把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是厘米，宽是2厘米， ∴这个圆柱的底面圆周长为厘米，高是厘米， ∴这个圆柱的底面圆半径为厘米， ∴这个圆柱体的表面积是平方厘米； 综上所述，这个圆柱体的表面积是平方厘米或平方厘米 故答案为：或． 变式1．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）有一张长方形铁皮，如图，剪下图中两个圆与中间部分的长方形正好可以制成一个圆柱．关于制成的圆柱下列说法：①圆柱的高为；②圆柱的高为；③圆柱的侧面积为；④圆柱的表面积为中，正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【知识点】 圆柱的表面积、 圆柱的展开图、 圆柱的侧面积 【分析】此题考查了圆柱的侧面积和表面积，圆柱的表面展开图，根据圆柱的侧面积和表面积公式求解即可． 【详解】∵剪下图中两个圆的半径为， 根据题意得，圆柱的高为，故①正确，②错误； ∴圆柱的侧面积为，故③正确； ∴圆柱的表面积为，故④错误； 综上所述，正确的是①③． 故选：A． 变式2．（24-25六年级下·上海金山·期末）一个圆柱形无盖玻璃容器的底面直径是10厘米，高是30厘米．做这样一个容器需要玻璃________平方厘米．（结果保留π） 【答案】 【知识点】 圆柱的表面积 【分析】本题考查了圆柱的表面积，根据圆柱的表面积公式计算即可得解，熟练掌握圆柱的表面积公式是解此题的关键． 【详解】解：（平方厘米）， 故答案为：． 变式3．（24-25六年级下·上海宝山·期末）生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），当把它的底面（包含上底面和下底面）和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2）． (1)一个有盖的圆柱形易拉罐，底面半径为，高为，做这个易拉罐至少需要多少面积的材料？（不计接缝，结果保留） (2)如图3，把一张长的长方形纸板剪成一个长方形和两个圆，正好可以做成一个有盖的圆柱形笔筒，那么这个圆柱形笔筒的底面半径是______；（不计接缝，取） (3)有一批铝材和塑料板，它们都是边长为的正方形，现用于制作底面半径为，高为的有盖圆柱形盒子，铝材用于制作圆柱形盒子的侧面，塑料板用于制作圆柱形盒子的底面．如果最大限度利用这批材料，且全部裁剪完这批材料后剪成的侧面和底面正好配套，则铝材张数与塑料板张数之比是______．（取） 【答案】(1) (2)3 (3) 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、 圆柱的表面积 【分析】本题考查圆柱的侧面积和表面积，理解底面、侧面之间的关系和计算方法是解决问题的关键． （1）根据表面积侧面积底面积，根据侧面积、底面积计算方法进行计算即可； （2）根据由底面圆的周长等于展开图长方形的长，列方程求解即可； （3）求出利用一张正方形的纸单独做底面的个数、单独做侧面的个数，然后做几套的比即可． 【详解】（1）解：侧面积底面积得，， 答：制作这样一个易拉罐需要面积为平方厘米的材料； （2）解：设底面半径为， 长方形纸长是圆直径，是底面圆周长）， 因为，则， 解得， 故答案为： 3 ； （3）解：∵， ∴圆柱侧面积， 正方形铝材边长，一张铝材可做侧面个数：（取整）， 一个底面面积， 一个有盖圆柱需 2 个底面， 边长的正方形一行可剪圆的个数：，一列也 6 个， 一张塑料板可做底面个数：（ 2 个底面为一套）， 设铝材张，塑料板张， ∵侧面总数和底面总数配套，侧面总数，底面总数（一个盒子 2 个底面）， 则， ∴， 故答案为：． 题型三：圆柱体积基础计算 例5．（24-25六年级下·上海青浦·期末）一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则这个圆柱体的体积（   ） A．扩大到原来的12倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的18倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【知识点】 圆柱的体积 【分析】本题考查了圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式是解题的关键．根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，则圆柱的底面积扩大到原来的4倍， 高扩大到原来的3倍，则这个圆柱体的体积扩大到原来的倍． 故选：A． 例6．（24-25六年级下·上海宝山·期末）圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积是__________（结果保留π）． 【答案】 【知识点】 圆柱的体积 【分析】根据圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，得圆柱的高为4，底面圆的周长为4，根据圆柱的体积公式解答即可． 本题考查了圆柱的侧面展开，圆柱的体积，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形， 故圆柱的高为4，底面圆的周长为4， 故， 解得， 故圆柱的体积为：， 故答案为：． 例7．（24-25六年级下·上海金山·期末）如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6和的长方形，求这个圆柱的体积（结果保留π）． 【答案】或270 【知识点】 圆柱的体积 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，本题关键是熟练掌握圆柱的体积公式，注意分类思想的运用． 分两种情况：6为圆柱的高，为底面圆的周长；为圆柱的高，6为底面圆的周长，逐项计算，即可求解． 【详解】解：圆柱的体积 ①当6为圆柱的高，为底面圆的周长时： ②当为圆柱的高，6为底面圆的周长时： 答：这个圆柱的体积为或270． 变式1．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作，侧面积分别记作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 圆柱的体积、 圆柱的侧面积 【分析】本题考查了圆柱的体积和侧面积，掌握圆柱的体积和侧面积公式是解题关键．根据题意分别求出和，比较即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ，， 则， 故选：A． 变式2．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，把一个底面周长为4厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加64平方厘米，原来这个圆柱的体积是___________（保留）． 【答案】 【知识点】 圆柱的体积 【分析】先根据圆柱底面周长求出底面半径，再由拼成近似长方体后表面积增加的部分求出圆柱的高，最后利用圆柱体积公式计算体积．本题主要考查了圆柱的切拼、圆的周长公式、长方形面积公式以及圆柱体积公式的应用，熟练掌握这些公式及切拼后表面积的变化特点是解题的关键． 【详解】解：由题意可得 ， 解得厘米． 圆柱的高厘米． 圆柱的体积立方厘米． 故答案为： ． 变式3．（24-25六年级下·上海宝山·期末）底面周长为的圆柱体，从中间斜着截去一段后，截后的形状如图所示，则截后的体积______．（取3.14） 【答案】62.8 【知识点】截一个几何体、 圆柱的体积 【分析】本题主要考查了圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键，难点是再取一个截后的几何体，用两个这样的几何体拼成一个圆柱体．先求出圆柱体底面圆的半径为：（厘米），再将截后的几何体倒过来拼成一个圆柱体，则拼成圆柱体的高为：，然后利用圆柱的体积公式求出所拼成的圆柱体的体积，进而可得截后几何体的体积． 【详解】解：∵圆柱体的底面圆的周长为， ∴该圆柱体底面圆的半径为：，再取一个截后的几何体，用两个这样的几何体拼成一个圆柱体，则拼成圆柱体的高为：， ∴所拼成的圆柱体的体积为：， ∴截后几何体的体积为：． 故答案为：62.8． 变式4．（24-25六年级下·上海普陀·期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图，已知长方形铁皮的长为，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（取） 【任务二】如图1，用一块长为，宽为的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图1上画出裁剪示意图．（标注尺寸，取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图2上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，取3） 【答案】任务一：；任务二：见详解；任务三：方案B利用率更高 【知识点】 圆柱的展开图、 圆柱的体积 【分析】该题考查了圆柱的体积和展开图，圆面积，理解题意是解题的关键． 任务一：设圆柱底面圆半径为，根据题意可得，得出，根据圆柱的体积公式求解即可． 任务二：方案A：根据题意可得，故圆柱形容器的高，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可； 方案B：以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，则，故圆柱形容器的高，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可； 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，，则该半圆的半径为，根据利用率（半圆面积圆的面积小长方形的面积）大长方形的面积求解即可；如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，，则该半圆的半径为，根据利用率（半圆面积圆的面积小长方形的面积）大长方形的面积求解即可． 【详解】解：任务一：设圆柱底面圆半径为， 根据题意可得， 即， 解得：， 则这个圆柱形容器的体积． 任务二：方案A：根据题意可得， 故圆柱形容器的高， 该圆柱形容器的体积， 示意图如下： 方案B：以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长， 则， 故圆柱形容器的高， 示意图如下： 该圆柱形容器的体积， ， 故以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长时体积最大． 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，， ∵， ∴该半圆的半径为， ∴该半圆的面积， 利用率； 如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，， ∵， ∴该半圆的半径为， ∴该半圆的面积， 利用率； ∵， 故方案B利用率更高． 题型四：求圆锥侧面积计算 例8．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积底面周长母线长． 先求出圆锥的底面周长，然后根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：底面圆的直径为，则底面周长， 则圆锥侧面积为． 故选：A． 例9．（24-25六年级下·上海宝山·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么这个圆锥的表面积为______（保留）． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查的是求解圆锥的表面积，先求解底面积，再求解侧面积，最后求和即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为， 它的底面积为，侧面积为， 这个圆锥的表面积为， 故答案为：． 变式1．（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是______． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的全面积，解题的关键是熟记圆锥的侧面积公式：，其中是底面半径，是母线长． 根据圆锥的全面积等于圆锥的底面圆的面积与圆锥的侧面积之和即可得． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的底面圆的面积为， 这个圆锥的侧面积为， 则这个圆锥的全面积为， 故答案为：． 变式2．（24-25六年级下·上海长宁·期末）若圆锥的底面圆半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为__________．（取） 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：， 所以该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 变式3．（24-25六年级下·上海松江·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】4 【知识点】求圆锥侧面积、求弧长 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式，代入计算即可． 【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于 8 ，则， ∴半径为，弧长为， ∴这个圆锥的侧面积是． 故答案为：4． 变式4．（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【知识点】求圆心角、求圆锥侧面积 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 题型五：等底等高圆柱圆锥体积关系 例10．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一个圆柱与一个圆锥，它们的体积之比是，底面积之比是，那么圆柱与圆锥高的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查的是圆锥的体积、圆柱的体积，熟记圆锥、圆柱的体积公式是解题的关键．根据圆锥与圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：设圆柱的底面积为，则圆锥的底面积是，设圆柱的高为，圆锥的高为， 根据题意可知：， 所以． 故选：D． 例11．（24-25六年级下·上海青浦·期末）如图，甲是一个直角三角形，乙是一个长方形，如果将图绕旋转一周，经过的空间形成了立体图形，此时甲和乙形成的立体图形的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比的应用、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查圆柱与圆锥体积的关系，解题的关键是正确理解题意． 根据题意可知，甲和乙形成的立体图形为等底等高的圆锥和圆柱，从而可得体积之比． 【详解】解：根据题意可知，甲和乙形成的立体图形为等底等高的圆锥和圆柱， ∴甲和乙形成的立体图形的体积之比是， 故选：． 例12．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图所示，圆锥形容器中装有7升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水______升． 【答案】49 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，根据圆锥体积计算公式计算出，即这个容器一共能装56升水，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 所以， 所以， 所以这个容器一共能装56升水， 所以还可以装升水， 故答案为：49． 例13．（24-25六年级下·上海闵行·期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，取3.14，结果精确到）？ (2)模型的最大注水量大约是多少（取3.14，结果精确到）？ 【答案】(1) (2) 【知识点】 圆柱的体积、 圆锥的认识及特征、 圆柱的侧面积、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查圆锥与圆柱的计算，近似数与有效数字，解题的关键是理解题意，正确计算． （1）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积即可得出答案； （2）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． 【详解】（1）解：因为圆柱的底面积为， 所以由可得：， 所以， 圆锥侧面积：， ， 圆柱侧面积： ， 总面积； 答：至少需要的塑料． （2）解：圆柱体积：， 圆锥体积：． 注水量：， 答：最大注水量大约为． 变式1．（24-25六年级下·上海金山·期末）若一个圆柱和一个圆锥的体积之比为，且它们的底面半径之比为，则圆柱与圆锥的高之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积公式．根据圆柱和圆锥的体积公式，结合已知的体积比和底面半径比，建立方程求解高之比． 【详解】解：根据题意，设圆柱的底面半径为，高为；圆锥的底面半径为，高为． 圆柱体积为， 圆锥体积为． 由题意，体积之比为，即： ， 化简得： ， 因此，圆柱与圆锥的高之比为， 故选：A． 变式2．（24-25六年级下·上海普陀·期末）四个立体图形如图所示，给出这四个立体图形体积之间的关系：①，②，③，④．这四个关系式中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题主要考查了圆锥与圆柱的体积计算，根据圆锥与圆柱的体积计算公式分别计算图四幅图的体积即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴，，，， ∴正确的有①②④， 故选；D． 变式3．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）一个圆锥的体积是，底面直径是，它的高是_________．（结果保留） 【答案】 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】此题考查了圆锥的体积公式，解题的关键是掌握圆锥的体积公式为底面积高．根据圆锥的体积公式底面积高，用圆锥的体积乘3再除以底面积即可得到这个圆锥的高． 【详解】解： 答：这个圆锥的高是， 故答案为：． 变式4．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如图，将圆柱形容器和圆锥形容器均盛满水．同时开启两容器底部的放水孔开始漏水．19分钟后，圆柱形容器的水面高度降至原高度的，圆锥形容器的水面高度降至原高度的（此时水面半径为圆锥底面半径的），假设每个容器的漏水速度始终保持不变，当圆锥形容器中的水漏完后，再过______分钟，圆柱形容器中的水恰好漏完． 【答案】11 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题主要考查了圆锥的体积公式以及列代数式，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式． 利用圆锥的体积公式进行求解即可． 【详解】解：假设圆锥底面圆半径为，则19分钟后圆锥底面圆半径为， 根据题意得，开始时圆锥中水的体积为， 19分钟后剩下水的体积为， ∴19分钟漏掉的水的体积为， ∴圆锥容器漏水速度为， ∴圆锥中剩下的水漏完所需时间为（分钟）， 根据19分钟后，圆柱形容器的水面高度降至原高度的， ∴圆柱中所剩的水漏完所需时间为19分钟， （分钟）， 所以，当圆锥形容器中的水漏完后，再过11分钟，圆柱形容器中的水恰好漏完． 故答案为：11． 变式5．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径； (2)如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【知识点】扇形的周长和面积、 圆柱与圆锥体积的关系、 圆锥的认识及特征 【分析】（1）根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长即可求出答案； （2）根据圆锥的体积公式计算即可， 本题考查了圆锥的计算和圆锥的体积，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 【详解】（1）解：（1）根据题意，得： 解得， 答：该圆锥形环保纸杯的底面直径d为； （2） 答：该圆锥形环保纸杯的体积为． 题型六：圆柱圆锥组合体体积（综合题型） 例14．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，一个立体图形是从高为，底面直径为的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为，求该立体图形的表面积．(结果保留) 【答案】 【知识点】 组合体的表面积 【分析】本题考查了圆锥和圆柱的表面积，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．利用扇形的面积公式即可求得内面的面积，利用圆面积公式求得底面的面积，然后利用矩形的面积公式求得外侧面的面积，三个的和就是表面积． 【详解】解： 例15．（24-25六年级下·上海宝山·期末）下面图形的体积（结果保留）． 【答案】 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系、 组合体的体积 【分析】本题考查了圆锥的体积，圆柱的体积，熟练掌握圆锥的体积公式，圆柱的体积公式是解题的关键． 根据圆锥和圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：， 答：图形的体积为． 例16．（24-25六年级下·上海·期末）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体．如图，圆柱底面的直径是8米，高是3米，圆锥的高是3米，母线长5米．如果每立方米小麦约重750千克； (1)为确保粮食的安全性，需为粮囤定制外部防护材料，一个粮囤，要定制多大面积的外部包裹材料？（不含粮囤底部面积，不考虑损耗，π取3） (2)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库需要多少个这样的粮囤存储这些小麦？（π取3） 【答案】(1)要定制的外部包裹材料 (2)粮库需要10个这样的粮囤存储这些小麦 【知识点】 组合体的表面积、 组合体的体积 【分析】本题考查圆锥和圆柱体的侧面积，圆锥和圆柱体的体积，熟练掌握相关计算公式是解题的关键： （1）求出圆锥和圆柱体的侧面积之和即可； （2）根据圆锥和圆柱体的体积公式，求出一个粮囤的体积，进而求出一个粮囤的囤粮的质量，再用总质量除以一个粮囤的囤粮的质量，即可得出结果． 【详解】（1）解：圆柱和圆锥的底面圆的半径为：， ∴圆柱和圆锥的侧面积之和为：； 故要定制的外部包裹材料； （2）， ， （个）； 答：粮库需要10个这样的粮囤存储这些小麦． 变式1．（24-25六年级下·上海·期末）如图，有一个零件的形状是由一个圆柱上底面的正中心再焊接一个圆锥组成，求这个零件的外表面积． 【答案】 【知识点】 组合体的表面积 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、圆柱的表面积，根据零件的外表面积=圆柱的表面积+圆锥的侧面积-圆锥和圆柱重叠的部分求解即可． 【详解】解∶ 圆锥底面圆的半径为， 零件的外表面积为∶ ． 变式2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）计算： (1)如图圆柱的表面积．（取） (2)如图图形旋转一周后形成图形的体积．（取） 【答案】(1) (2) 【知识点】 圆柱的表面积、 组合体的体积 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积计算，圆柱的表面积计算，熟知圆柱与圆锥的体积计算公式，圆柱的表面积计算公式是解题的关键． （1）先求出圆柱底面圆半径，再根据圆锥的表面积计算公式求解即可； （2）旋转后的图形下部分是一个圆柱，上部分是一个圆锥，据此根据圆柱与圆锥体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 变式3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米． (1)该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） (2)为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（结果保留）； (3)求这顶蒙古包的容积（结果保留）． 【答案】(1)② (2) (3) 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系、 组合体的表面积、 组合体的体积 【分析】本题考查圆柱的计算，认识立体图形． （1）根据蒙古包的横切面判断即可； （2）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积和即可； （3）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． 【详解】（1）解：该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第②幅图绕其轴旋转一周而成； 故答案为：②； （2）解：圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， ． 答：制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要毛毡； （3）解：这顶蒙古包的容积． 变式4．（24-25六年级下·上海浦东新·期末）（本题结果保留） 大家都知道圆柱和圆锥这两个立体图形可以看成由一个平面几何图形绕着某条直线旋转一定角度构造而成，学校“深度探索”小组在学完这一章后自然想到：如果改变平面几何图形或者改变直线的位置或者改变旋转的角度，会得到怎样有趣的立体图形呢？ (1)小张用一个平面几何图形绕着某条直线旋转一周发现了下面这个立体图形，请你把小张所用的平面几何图形和其所绕的直线画出来． (2)小查用下面的直角绕着所在的直线旋转，已知长，长，的长度为，求扫过所形成的立体图形的表面积． (3)小戚用下面的长方形绕着直线旋转一周，与直线平行且相距，已知长，长，求长方形扫过所形成的立体图形的表面积和体积． (4)请发挥你的想象力构造出一种不同于上面的立体图形，说出你的构造方法：是由什么平面图形绕着哪条直线（可画出示意图）旋转多少度所成，并求出你所构造的立体图形的体积或表面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 (4)见详解 【知识点】 组合体的表面积、 组合体的体积 【分析】本题考查的知识点有将一个图形旋转一定的度数、圆锥、圆柱的体积和表面积计算．记住圆锥、圆柱的体积公式和表面积公式是求解的关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据题意得出直角绕着所在的直线旋转，形成的立体图形是底面半径为的一个半圆锥，再根据半圆锥的表面积半圆锥的侧面积竖面等腰三角形面积底面半圆面积，解答即可． （3）画出直线，分两种情况分别求解即可． （4）根据三角形与正方形的特征，以为轴，旋转一周，可得到一个圆锥与圆柱的组合体，根据圆锥的体积公式即可求出这个圆锥的体积；根据圆柱的体积公式即可求出这个圆柱的体积；二者相加就是几何体的体积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：直角绕着所在的直线旋转，形成的立体图形是底面半径为的一个半圆锥， 半圆锥的侧面积， 半圆锥的表面积． （3）解：如图，直线有图中两种位置， 图1中，长方形扫过所形成的立体图形的表面积， 长方形扫过所形成的立体图形的体积； 图2中，长方形扫过所形成的立体图形的表面积， 长方形扫过所形成的立体图形的体积； （4）解：如图，将如下图形绕所在直线旋转一周形成一个由底面相同的圆锥和圆柱组成的立体图形． 则该立体图形体积．（答案不唯一，合理即可） 易错1：圆柱和圆锥的体积关系（最高频易错点） 1．等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，圆锥的体积是________立方米． 【答案】 【分析】本题考查了等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的倍． 根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的倍列式计算即可． 【详解】解：等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米， 圆锥的体积是（立方米）， 故答案为：． 2．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是24立方厘米，那么圆柱的体积是________立方厘米． 【答案】18 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积关系，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，再结合二者的体积之和为24立方厘米即可得到答案． 【详解】解：∵一个圆柱和一个圆锥等底等高， ∴这个圆柱的体积是这个圆锥的体积的3倍， ∵它们的体积之和是24立方厘米， ∴圆柱的体积是立方厘米， 故答案为：18． 易错2：圆柱侧面展开图理解偏差 3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形．这个圆柱的高是底面直径的（ ）倍． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：，据此解答即可． 【详解】解：一个圆柱的侧面展开图是一个正方形．那么这个圆柱的底面周长和高相等，由圆周率的意义，圆周率（），所以这个圆柱的高是底面直径的倍． 易错3：圆柱切割后表面积增加量计算错误 4．在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想．（π取） (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米? (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图2），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积．如果设这个圆柱体底面的半径为r，高为h，体积为V，那么这个长方体的长=______，宽=_____，所以圆柱体的体积______． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的图形如图3所示，求这个截后的体积是多少立方厘米? 【答案】(1)平方厘米 (2)，， (3)立方厘米 【详解】（1）解：设圆的半径为厘米，由题意得， ， 解得， 圆的面积为（平方厘米）， 答：这个圆的面积是平方厘米； （2）由（1）可知，所拼成的长方体的长为圆周长的一半，即，宽为圆的半径， 由于长方体的体积为长宽高， 所以圆柱的体积为， 故答案为：，，； （3）设圆柱底面半径为厘米，则， 解得， 所以截后的体积为 （立方厘米）， 答：截后的体积为立方厘米． 易错4：混淆圆锥母线与高 5．如图，一种太空设备的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知下半部的圆柱的半径，，母线，上半部的圆锥的高，母线，该太空设备在重返地球大气层时，需承受与空气摩擦产生的高热，故其外表面需做特别处理． (1)该太空设备要接受防高热处理的面积大约是多少？（保留π） (2)该太空设备的容积大约是多少？（保留π） 【答案】(1)22.4 (2)16 【分析】本题考查圆锥和圆柱体的侧面积，圆锥和圆柱体的体积，熟练掌握相关公式，是解题的关键： （1）求出圆锥和圆柱体的侧面积之和再加上圆柱的底面圆的面积即可； （2）求出圆锥和圆柱体的体积之和即可． 【详解】（1）解：该太空设备要接受防高热处理的面积大约是； （2）解：该太空设备的容积大约是. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆柱与圆锥 8.1 圆柱的认识 1. 圆柱由________绕其中一条边旋转而成，旋转的这条边为________。 2. 圆柱的底面是________的圆，侧面是________，圆柱的高有________条，且长度________。 3. 圆柱侧面沿高展开是________，图形的长对应圆柱的________，宽对应圆柱的________；当________时，侧面展开图为正方形。 8.2 圆柱的侧面积与表面积 1. 圆柱底面周长公式：________=________；圆柱侧面积公式：________=________。 2. 圆柱表面积=________+________，公式：________。 3. 无盖圆柱容器表面积=________；通风管、烟囱的表面积=________。 8.3 圆柱的体积 1. 圆柱切割拼接后可转化为近似________，拼接前后图形________不变。 2. 圆柱体积公式：________=________；逆推公式：________，________。 3. 圆柱横切1次，表面积增加________；竖切1次（过直径），表面积增加________。 8.4 圆锥的认识 1. 圆锥由________绕一条直角边旋转而成，旋转的直角边为圆锥的________。 2. 圆锥的底面是________，侧面是________，圆锥的高有________条。 3. 圆锥侧面展开图是________，展开图的弧长等于圆锥的________，展开图的半径等于圆锥的________。 8.5 圆锥的体积 1. 等底等高的圆柱和圆锥，________，________。 2. 圆锥体积公式：________=________；逆推公式：________，________。 8.6 圆柱与圆锥比例关系填空 1. 等底等高：圆柱与圆锥体积比=________。 2. 等底等体积：圆锥与圆柱的高之比=________。 3. 等高等体积：圆锥与圆柱的底面积之比=________。 8.7 易错知识填空 1. 计算圆锥体积必须乘________；解决圆柱表面积实际问题，关键判断________数量。 2. 立体图形计算前，必须先统一________，避免计算错误。 题型一：圆柱侧面积基础计算 例1．（24-25六年级下·上海·期末）如果将一个圆柱的底面半径和母线长都扩大到原来的3倍，那么它的侧面积扩大到原来的（    ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．27倍 例2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）圆柱的侧面积为，母线长是，则它的底面半径是______． 变式1．（24-25六年级下·上海·期末）如图，一个高为的圆柱体的底面圆周在数轴上滚动，若滚动前圆柱体底面圆周上的点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置上，则这个圆柱体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）一个底面半径为2的圆柱的侧面是一个正方形，这个圆柱的侧面积是___________．（结果保留） 变式3．（24-25六年级下·上海松江·期末）把一个底面直径和高都是3厘米的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是_____． 题型二：圆柱表面积实际应用 例3．（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图，把一个底面周长为厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，切拼后表面积增加了平方厘米，那么原来这个圆柱的高是（取）（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是厘米，宽是2厘米，这个圆柱体的表面积是________厘米．（结果保留） 变式1．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）有一张长方形铁皮，如图，剪下图中两个圆与中间部分的长方形正好可以制成一个圆柱．关于制成的圆柱下列说法：①圆柱的高为；②圆柱的高为；③圆柱的侧面积为；④圆柱的表面积为中，正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 变式2．（24-25六年级下·上海金山·期末）一个圆柱形无盖玻璃容器的底面直径是10厘米，高是30厘米．做这样一个容器需要玻璃________平方厘米．（结果保留π） 变式3．（24-25六年级下·上海宝山·期末）生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），当把它的底面（包含上底面和下底面）和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2）． (1)一个有盖的圆柱形易拉罐，底面半径为，高为，做这个易拉罐至少需要多少面积的材料？（不计接缝，结果保留） (2)如图3，把一张长的长方形纸板剪成一个长方形和两个圆，正好可以做成一个有盖的圆柱形笔筒，那么这个圆柱形笔筒的底面半径是______；（不计接缝，取） (3)有一批铝材和塑料板，它们都是边长为的正方形，现用于制作底面半径为，高为的有盖圆柱形盒子，铝材用于制作圆柱形盒子的侧面，塑料板用于制作圆柱形盒子的底面．如果最大限度利用这批材料，且全部裁剪完这批材料后剪成的侧面和底面正好配套，则铝材张数与塑料板张数之比是______．（取） 题型三：圆柱体积基础计算 例5．（24-25六年级下·上海青浦·期末）一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则这个圆柱体的体积（   ） A．扩大到原来的12倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的18倍 D．缩小到原来的 例6．（24-25六年级下·上海宝山·期末）圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积是__________（结果保留π）． 例7．（24-25六年级下·上海金山·期末）如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6和的长方形，求这个圆柱的体积（结果保留π）． 变式1．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的长、宽所在直线为轴，将其旋转一周，形成甲、乙两个圆柱，其体积分别记作，侧面积分别记作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，把一个底面周长为4厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加64平方厘米，原来这个圆柱的体积是___________（保留）． 变式3．（24-25六年级下·上海宝山·期末）底面周长为的圆柱体，从中间斜着截去一段后，截后的形状如图所示，则截后的体积______．（取3.14） 变式4．（24-25六年级下·上海普陀·期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图，已知长方形铁皮的长为，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（取） 【任务二】如图1，用一块长为，宽为的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图1上画出裁剪示意图．（标注尺寸，取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图2上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，取3） 题型四：求圆锥侧面积计算 例8．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 例9．（24-25六年级下·上海宝山·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么这个圆锥的表面积为______（保留）． 变式1．（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是______． 变式2．（24-25六年级下·上海长宁·期末）若圆锥的底面圆半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为__________．（取） 变式3．（24-25六年级下·上海松江·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是_____． 变式4．（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 题型五：等底等高圆柱圆锥体积关系 例10．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一个圆柱与一个圆锥，它们的体积之比是，底面积之比是，那么圆柱与圆锥高的比是（    ） A． B． C． D． 例11．（24-25六年级下·上海青浦·期末）如图，甲是一个直角三角形，乙是一个长方形，如果将图绕旋转一周，经过的空间形成了立体图形，此时甲和乙形成的立体图形的体积之比是（   ） A． B． C． D． 例12．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图所示，圆锥形容器中装有7升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水______升． 例13．（24-25六年级下·上海闵行·期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，取3.14，结果精确到）？ (2)模型的最大注水量大约是多少（取3.14，结果精确到）？ 变式1．（24-25六年级下·上海金山·期末）若一个圆柱和一个圆锥的体积之比为，且它们的底面半径之比为，则圆柱与圆锥的高之比是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级下·上海普陀·期末）四个立体图形如图所示，给出这四个立体图形体积之间的关系：①，②，③，④．这四个关系式中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 变式3．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）一个圆锥的体积是，底面直径是，它的高是_________．（结果保留） 变式4．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如图，将圆柱形容器和圆锥形容器均盛满水．同时开启两容器底部的放水孔开始漏水．19分钟后，圆柱形容器的水面高度降至原高度的，圆锥形容器的水面高度降至原高度的（此时水面半径为圆锥底面半径的），假设每个容器的漏水速度始终保持不变，当圆锥形容器中的水漏完后，再过______分钟，圆柱形容器中的水恰好漏完． 变式5．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径； (2)如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积（结果保留）． 题型六：圆柱圆锥组合体体积（综合题型） 例14．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，一个立体图形是从高为，底面直径为的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为，求该立体图形的表面积．(结果保留) 例15．（24-25六年级下·上海宝山·期末）下面图形的体积（结果保留）． 例16．（24-25六年级下·上海·期末）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体．如图，圆柱底面的直径是8米，高是3米，圆锥的高是3米，母线长5米．如果每立方米小麦约重750千克； (1)为确保粮食的安全性，需为粮囤定制外部防护材料，一个粮囤，要定制多大面积的外部包裹材料？（不含粮囤底部面积，不考虑损耗，π取3） (2)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库需要多少个这样的粮囤存储这些小麦？（π取3） 变式1．（24-25六年级下·上海·期末）如图，有一个零件的形状是由一个圆柱上底面的正中心再焊接一个圆锥组成，求这个零件的外表面积． 变式2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）计算： (1)如图圆柱的表面积．（取） (2)如图图形旋转一周后形成图形的体积．（取） 变式3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米． (1)该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） (2)为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（结果保留）； (3)求这顶蒙古包的容积（结果保留）． 变式4．（24-25六年级下·上海浦东新·期末）（本题结果保留） 大家都知道圆柱和圆锥这两个立体图形可以看成由一个平面几何图形绕着某条直线旋转一定角度构造而成，学校“深度探索”小组在学完这一章后自然想到：如果改变平面几何图形或者改变直线的位置或者改变旋转的角度，会得到怎样有趣的立体图形呢？ (1)小张用一个平面几何图形绕着某条直线旋转一周发现了下面这个立体图形，请你把小张所用的平面几何图形和其所绕的直线画出来． (2)小查用下面的直角绕着所在的直线旋转，已知长，长，的长度为，求扫过所形成的立体图形的表面积． (3)小戚用下面的长方形绕着直线旋转一周，与直线平行且相距，已知长，长，求长方形扫过所形成的立体图形的表面积和体积． (4)请发挥你的想象力构造出一种不同于上面的立体图形，说出你的构造方法：是由什么平面图形绕着哪条直线（可画出示意图）旋转多少度所成，并求出你所构造的立体图形的体积或表面积． 易错1：圆柱和圆锥的体积关系（最高频易错点） 1．等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，圆锥的体积是________立方米． 2．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是24立方厘米，那么圆柱的体积是________立方厘米． 易错2：圆柱侧面展开图理解偏差 3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形．这个圆柱的高是底面直径的（ ）倍． A． B． C． D． 易错3：圆柱切割后表面积增加量计算错误 4．在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想．（π取） (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米? (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图2），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积．如果设这个圆柱体底面的半径为r，高为h，体积为V，那么这个长方体的长=______，宽=_____，所以圆柱体的体积______． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的图形如图3所示，求这个截后的体积是多少立方厘米? 易错4：混淆圆锥母线与高 5．如图，一种太空设备的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知下半部的圆柱的半径，，母线，上半部的圆锥的高，母线，该太空设备在重返地球大气层时，需承受与空气摩擦产生的高热，故其外表面需做特别处理． (1)该太空设备要接受防高热处理的面积大约是多少？（保留π） (2)该太空设备的容积大约是多少？（保留π） 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $