江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高二数学周练14

**基本信息** 以概率统计、立体几何为核心，融入庞加莱面包问题等真实情境，通过分层设计实现周测巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不放回抽样概率、正态分布等级划分|基础概念与简单应用结合| |多选|3/18|口袋红球操作概率、网格移动概率|多情境概率问题，培养推理意识| |填空|3/15|组合数计算、最小数期望|抽象问题具体化，发展抽象能力| |解答|5/77|排列组合应用、正态分布与分布列、四棱锥线面角|庞加莱面包情境体现数据观念，空间几何问题发展空间观念与推理能力|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练14 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异，现从中依次不放回地随机抽取2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为 （ ） A． B． C． D． 2．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，为底面内一点，且，，则 （ ） A． B． C． D． 3．某校高二年级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为四个等级，若小明的数学成绩为100分，则属于等级（ ） （附：） A． B． C． D． 4．已知由样本数据）组成的一个样本，得到经验回归方程为，增加两个样本点，得到新样本的经验回归方程为，在新的经验回归方程下，当时，的估计值为 （ ） A． B． C． D． 5．若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，设随机变量，则 ( ) A． B． C． D． 7．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆放到书架的同一层上，则统一科目的书都不相邻的概率是 （ ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，而过点，且以不同时为0）为法向量的平面方程为+，若平面过点，且满足方程，直线也过点，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．甲、乙两个口袋个装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，则 （ ） A． B． C． D． 10．如图，在一个的正方形网格中，某人初始位置为网格中心的，每次投掷一枚质地均匀的正四面体，其四个面分别标有“前、后、左、右”字样，根据朝下一面的标注，沿网格线移动1格，且各次投掷相互独立，则 （ ） A．经过连续2次移动，有可能回到初始位置 B．经过连续3次移动，有可能回到初始位置 C．经过连续移动4次，最终位置落在网格边界上的概率为 D．经过连续移动4次，恰好回到初始位置的概率为 11．已知正方体的棱长为1，一个质点点出发，每次等可能地移动1个单位到此正方体的其余顶点，则 （ ） A．质点移动2次返回点的概率为 B．质点移动3次到达点的概率为 C．质点移动4次，在两次经过点的条件下，第4次到达点的概率为 D．质点移动次后到达点的条件下，移动次到达点的概率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12． .（结果用组合数表示） 13．已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望 . 14．随机变量 ；若，则的最大值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(列式并用数字作答) （1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球； （2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； （3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球 （4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒. 16．已知函数（，）． （1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项； （2）若，且， ①求的值； ②求的最大值． 17．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布. （1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题. ①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由； （2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望. 附： ①随机变量服从正态分布，则，， ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生 18．如图，在四棱锥中，，，，，是棱的中点，且平面，点是棱上的一点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 19．已知 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②是的极值点，求证： 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练14 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异，现从中依次不放回地随机抽取2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为 （ B ） A． B． C． D． 2．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，为底面内一点，且，，则 （ B ） A． B． C． D． 3．某校高二年级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为四个等级，若小明的数学成绩为100分，则属于等级（ B ） （附：） A． B． C． D． 4．已知由样本数据）组成的一个样本，得到经验回归方程为，增加两个样本点，得到新样本的经验回归方程为，在新的经验回归方程下，当时，的估计值为 （ D ） A． B． C． D． 5．若，则的值为 （ B ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，设随机变量，则 ( C ) A． B． C． D． 7．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆放到书架的同一层上，则统一科目的书都不相邻的概率是 （ B ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，而过点，且以不同时为0）为法向量的平面方程为+，若平面过点，且满足方程，直线也过点，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为 （ B ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．甲、乙两个口袋个装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，则 （ ABC ） A． B． C． D． 10．如图，在一个的正方形网格中，某人初始位置为网格中心的，每次投掷一枚质地均匀的正四面体，其四个面分别标有“前、后、左、右”字样，根据朝下一面的标注，沿网格线移动1格，且各次投掷相互独立，则 （ ACD ） A．经过连续2次移动，有可能回到初始位置 B．经过连续3次移动，有可能回到初始位置 C．经过连续移动4次，最终位置落在网格边界上的概率为 D．经过连续移动4次，恰好回到初始位置的概率为 11．已知正方体的棱长为1，一个质点点出发，每次等可能地移动1个单位到此正方体的其余顶点，则 （ ABC ） A．质点移动2次返回点的概率为 B．质点移动3次到达点的概率为 C．质点移动4次，在两次经过点的条件下，第4次到达点的概率为 D．质点移动次后到达点的条件下，移动次到达点的概率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12． .（结果用组合数表示） 13．已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望 . 14．随机变量 ；若，则的最大值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(列式并用数字作答) （1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球； （2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； （3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球 （4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒. 15．解：（1）； （2）或； （3）或； （4） 或 16．已知函数（，）． （1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项； （2）若，且， ①求的值； ②求的最大值． 16．解：（1）当时，的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以或； （2）①的通项公式为，且，所以，解得， 所以， ，令，得 ②的通项公式为，所以， 设为()中的最大值，则， 解得，，，所以， 所以. 17．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布. （1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题. ①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由； （2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望. 附： ①随机变量服从正态分布，则，， ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生 17．解：（1）（i）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量 由已知结论可知， 由附①数据知， （ii），由附②知，事件“”为小概率事件， 由题25个面包质量的平均值， 小概率事件“”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报 （3）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为，则的取值为0，1，2 设“所取两个面包来自第箱”，所以 设“所取两个面包有各黑色面包”，由全概率公式 ， ， ， 所以黑色面包个数的分布列为 0 1 2 所以 18．如图，在四棱锥中，，，，，是棱的中点，且平面，点是棱上的一点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 18．解：（1）取的中点，连接. 因为，所以. 在中，，是的中点， 所以. 在中，，所以. 所以，又， 所以平面，又平面，所以. 在中，因为，为的中点，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 而，平面，所以平面. （2）由（1）知，，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 那么，，. 由（1）知平面，而平面，所以. 所以. 所以. 设平面与平面的法向量分别为. 所以，. 即：，. 令，则；. 所以平面与平面的法向量分别为. 所以. 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，因为，， 所以，设平面的法向量为， 则，令，则. 所以平面的法向量为.而 所以. 化简得，解得或者 根据相似可得，所以或者. 所以或者. 19．已知 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②是的极值点，求证： 19．解：（1）函数， ， 当时，，则， 所以上单调递增； 当时，令， 当单调递减， 当单调递增， 综上，当时，上单调递增； 当时，上单调递减；上单调递增； （2）①由（1）知，当时，上单调递增；此时至多有一个零点，不符合题意， 当时，上单调递减；上单调递增； 所以的极小值也是最小值， 令， 又因为， 所以由零点存在定理可知，当有两个零点， 所以，实数的取值范围是； ②由①知，，， 即， 要证， 只要证， 即证 设，上不等式可化为， 令， ， ， 即是单调递增，， 故不等式成立， 所以 6 学科网（北京）股份有限公司 $