专题05 条件概率及全概率公式与贝叶斯公式十一种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第二册）

专题05 条件概率及全概率公式与贝叶斯公式十一种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用定义求条件概率………………………………………………………3 类型二、条件概率的乘法公式应用…………………………………………………5 类型三、利用条件概率公式进行推理 7 类型四、古典概型中的条件概率 8 类型五、分组分配问题中的条件概率 10 类型六、条件概率的性质及应用 11 类型七、条件概率与互斥，对立，相互独立事件的结合 14 类型八、全概率公式及应用 17 类型九、全概率公式与递推数列（马尔科夫链） 19 类型十、贝叶斯概率公式及应用 22 类型十一、全概率公式与贝叶斯公式的综合运用 24 压轴能力测评（10题） 28 1、条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 注：（1）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （2）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （3）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． （4）P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 2、条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 3、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. 注：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 4、贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 类型一、利用定义求条件概率 例．（1）元末明初诗人高启在他的《田园书事》中这样描述谷雨时节：叶过谷雨花犹在，衣近梅天润易生.谷雨时节，已知甲､乙两地每天下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为.则在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记“甲地下雨”为事件A，“乙地下雨”为事件B， 由题意可知：，，， 可得， 所以在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为. （2）小张､小王两人计划报兴趣班，他们分别从“篮球､书法､游泳､钢琴”这四个兴趣班中随机选择一个，记事件为“两人至少有一人选择篮球”，事件为“两人选择的兴趣班不同”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：两人都没选择篮球，即， 所以， 而事件：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则， 所以 故选：D 【变式训练1】某学校高三（）班要从名班干部（其中名男生，名女生）中选取人参加学校优秀班干部评选，事件男生甲被选中，事件有两名女生被选中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得， 事件男生甲与两名女生被选中，则， 因此，. 故选：B. 【变式训练2】52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 【答案】 【解析】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C, 则. 故答案为：； 【变式训练3】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”， 则，则 故选：C 类型二、条件概率的乘法公式应用 例．（1）（多选）现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M：该球为红球，事件：该球出自编号为的袋子，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】由题意可知， 故, , 故选：ACD 【变式训练1】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，知. 故选：C. 【变式训练2】已知，则 ． 【答案】 【解析】由概率乘法公式可知，， 已知，代入上式则，解得 故答案为： 【变式训练3】（多选）袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD 类型三、利用条件概率公式进行推理 例．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （2）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）因为， 所以 所以， （2）由已知，， 又，， 所以 【变式训练1】给定两个随机事件，且，，则的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因,则由可得，, 去分母得：，即：， 即是的充分条件； 由可得，， 即，因，， 若，则,必有； 当时，可得，即得， 故是的必要条件. 即的充要条件是. 故选：C 类型四、古典概型中的条件概率 例．（1）从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】第一次取到的是偶数有：，共有种方法，在第一次是偶数的条件下， 第二次取到的是3的倍数共有11种方法， 故选：A （2）元宵节是中国的传统节日之一，“元宵”作为食品，在我国也由来已久.宋代，民间即流行一种元宵节吃的新奇食品．这种食品，最早叫“浮元子”后称“元宵”．元宵即“汤圆”以白糖、玫瑰、芝麻、豆沙、黄桂、核桃仁、果仁、枣泥等为馅，用糯米粉包成圆形，可荤可素，风味各异，可汤煮、油炸、蒸食，有团圆美满之意．某商店有6种馅的汤圆，其中4种素的和2种荤的，美华随机取出两袋购买，事件A“取到的两袋同为荤或素”，事件B“取到的两袋都是素的”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：， 所以. 故选：C. 【变式训练1】从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.25 D．0.125 【答案】A 【解析】因为，， 故选：A. 【变式训练2】五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率是 【答案】 【解析】设“甲在五一假期值班两天”，“甲连续值班”， 因为已知甲在五一长假期间值班2天， 所以丙和乙分别值班一天、两天或两天、一天， 所以五一假期甲乙丙三人值班方案共有种， 又因为甲在五一长假期间连续值班两天，可以是第1，2两天或第2，3两天或第3，4两天或第4，5两天， 所以甲在五一长假期间值班2天且甲连续值班的方案共有种， 所以由条件概率公式得 故答案为： 类型五、分组分配问题中的条件概率 例．（1）在学校春季运动会中，甲､乙､丙､丁4名同学被安排到跳远､跳高､迎面接力这三个比赛项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】甲不去跳远为事件， 乙被安排到跳远为事件， 所以 故选：C （2）（多选）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立 C． D． 【答案】D 【解析】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能， 事件A含有的基本事件数为，则，同理， 事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则， 对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确； 对于B，，即事件A与C相互不独立，B不正确； 对于C，，C不正确； 对于D，，D正确. 故选：D 【变式训练1】一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为 ． 【答案】 【解析】若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”， 所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为， 而，，故 故答案为： 【变式训练2】有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】用事件A表示“甲被安排到了冰壶”，B表示“乙被安排到了冰壶”， 在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A发生的条件下，事件B发生， 相当于以A为样本空间，考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，包含的样本点数， 事件A发生的样本点数， 所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为 故选：A 类型六、条件概率的性质及应用 例．（1）已知事件 A、B、C，满足 则P(B∪C|A)=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，. 故选：A （2）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则，故， 而，则，又， 所以. 故选：D （3）（多选）已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B． C．若B和C是两个互斥事件，则 D．当时， 【答案】ACD 【解析】因为，所以．A正确． ，B错误． 若B和C是两个互斥事件，则，C正确． 因为，所以． ，D正确． 故选：ACD 【变式训练1】已知随机事件A.B满足，则_____ 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 故答案为： 【变式训练2】（多选）已知事件A，B，且，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】AC 【解析】对于A，由，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，D，由，， 则，故C正确；D错误． 故选：AC． 【变式训练3】（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于C，因为，，，，则，故C正确； 对于A，因为，所以，则，，即，故A正确． 对于B，因为，所以，则，故B错误． 对于D，因为，所以，则，故，故D正确． 故选：ACD． 类型七、条件概率与互斥，对立，相互独立事件的结合 例．（1）（多选）已知.若事件相互独立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为， 所以，故B正确； 又因为事件相互独立，所以， 所以，故A正确； 因为事件相互独立，所以相互独立， ，故C错误； 因为事件相互独立，所以相互独立， ，故D正确. 故选：ABD. （2）（多选）一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球､两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】对于A，与可以同时发生，即两次取到的都是红球，则与不互斥，故A错误； 对于B，箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，则，故B正确； 对于C，，， 则，故C正确； 对于D，，，， 则有与相互独立，故D正确. 故选：BCD. （3）甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果， 因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件. 其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为. 同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为. 所以每一轮甲得分低于3分的概率为． 设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分. 则，. 事件可分三类情形： ①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为； ②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为； ③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为. 所以， 所以. 故选：B． 【变式训练1】对于随机事件，记为事件的对立事件，且，则 . 【答案】 【解析】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以 故答案为： 【变式训练2】随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由已知，， 因为，所以， 所以， 所以，故错误； 因为，故错误； ，故正确； ， 又，，， 所以，故正确. 故选：CD. 类型八、全概率公式及应用 例．（1）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为 故选：C （2）已知为两个随机事件，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由为两个随机事件，，且，，, 可得， 即，解得. 故选：D 【变式训练1】在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设事件为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色， 事件为第二次再从中随机摸出一个球是黄球， 则 . 故选：B. 【变式训练2】已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件， 买到的灯泡是乙厂产品为事件，记事件从该地市场上买到一个合格灯泡， 则，，，， 所以. 故选：B. 类型九、全概率公式与递推数列（马尔科夫链） 例．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示． 当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 【答案】(1)，(2)证明见解析； (3)时，，当时，，统计含义见解析 【解析】（1）当时，赌徒已经输光了，因此. 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率. （2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件, , 即， 所以， 所以是一个等差数列， 设，则， 累加得，故，得， （3），由得,即, 当时，， 当时，， 当时，，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏， 只要赌徒一直玩下去就会的概率输光． 【变式训练1】（多选）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设表示经过第次传球后，球在甲手中， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 则， 所以，， ， 所以，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以， ，故C错误； . 故选：AD 【变式训练2】（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ） A． B． C．是等比数列 D．是递减数列 【答案】AD 【解析】根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5， 则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为， 则，又由， 则，故A正确； 对于，变形可得，，则， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，变形可得， 对于B，，，则，故B错误； 对于C，， 此时，而， 所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，， 由于，故是递减数列，故D正确. 故选：AD. 类型十、贝叶斯概率公式及应用 例．（1）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】记事件A表示甲车间生产的产品， 记事件表示乙车间生产的产品， 记事件表示丙车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 ， 若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为： . 故选：C （2）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为 . 【答案】/ 【解析】设小红取出个球，其中红球的个数为个的事件为，从小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件为， 由题意可得：，； ，； ，； 则， 所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为. 故答案为： 【变式训练1】某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件， 则, 因此， 所以选“使命”队参加比赛的概率. 故选：D 【变式训练2】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为 . 【答案】 【解析】设表示“取到的零件是第台车床加工”，表示“取到的零件是次品”， 则 ， ， 故. 故答案为：. 类型十一、全概率公式与贝叶斯公式的综合运用 例．（1）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为________；再从近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h的概率为________. 【答案】 【解析】令“玩手机时间超过2h的学生”，“玩手机时间不超过2h的学生”，B＝“任意调查一人，此人近视”， 则，且，互斥，，，，， ①依题意，， 解得，所以所求近视的概率为； ② 故答案为： （2）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为 . 【答案】/ 【解析】设小红取出个球，其中红球的个数为个的事件为，从小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件为， 由题意可得：，； ，； ，； 则， 所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为. 故答案为：. （3）（多选）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第二次抽到3号球的概率为 C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种 【答案】ABC 【解析】记第一次抽到第号球的事件分别为则有 对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为故A选项正确； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，即第二次抽到3号球的事件为，， 故B选项正确； 对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为， 记第二次抽到3号球的事件为，, 第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同， 即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确； 对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误； 故选：ABC. 【变式训练1】第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ． 【答案】 【解析】记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”， 则，， 故， 即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为； 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则，， ，， 所以 ， 所以， 即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是. 故答案为：； 【变式训练2】有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求： (1)它是第1台机床生产的概率是多少? (2)它是次品的概率是多少． (3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明． 【答案】(1) (2)0.048 (3)3，说明见解析 【解析】（1）由题意第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件， 它是第1台机床生产的概率； （2）设事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”， ， ， 现任取一个零件，它是次品的概率 （3）， ， ， 而，所以它是第3台机床生产的可能性最大． 1．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 2．从数字中随机取一个数字，记为，再从数字中随机取一个数字，则第二次取到的数字为2的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】记事件为“第一次取到数字n”， ， 事件B为“第二次取到的数字为2”， 由题意知是两两互斥的事件，且（样本空间）， , 故选：B 3．元宵节是中国的传统节日之一，“元宵”作为食品，在我国也由来已久.宋代，民间即流行一种元宵节吃的新奇食品．这种食品，最早叫“浮元子”后称“元宵”．元宵即“汤圆”以白糖、玫瑰、芝麻、豆沙、黄桂、核桃仁、果仁、枣泥等为馅，用糯米粉包成圆形，可荤可素，风味各异，可汤煮、油炸、蒸食，有团圆美满之意．某商店有6种馅的汤圆，其中4种素的和2种荤的，美华随机取出两袋购买，事件A“取到的两袋同为荤或素”，事件B“取到的两袋都是素的”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：， 所以. 故选：C 4．（多选）已知，，，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项：因为，，所以，A正确； B选项：因为，，所以，因此，B正确； C选项：因为，所以，C错误； D选项：因为，，所以，又因为，所以，D正确. 故选：ABD 5．（多选）一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，黑球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A．经过两次试验后，试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为 B．若第一次试验抽到一个黑球，则第二次试验后，试验者手中有黑白球各1个的概率为 C．经过7次试验后试验停止的概率为 D．经过7次试验后试验停止的概率最大 【答案】AB 【解析】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则， 从箱子中不放回地抽球，记“第次抽到白球”，记“第次抽到黑球”，“第次硬币正面朝上且抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到黑球”， 对于A，，， 经过两次实验后，试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为： ，A正确； 对于B，第一次抽到黑球后，第二次抽到白球的概率为：，B正确； 对于C，实验7次结束，则前6次有4次硬币正面朝上，第7次硬币正面朝上， 则其概率为：，C错误； 对于D，实验次结束的概率为，则，， 令，得化简可得，解得，即， 所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，D错误. 故选：AB 6．（多选）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ） A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是 B．第二次抽到红球的概率是 C．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 D．小明获得块月饼的概率是 【答案】ACD 【解析】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 对于选项A，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是，所以选项A正确； 对于选项B，因为，又，，， 由全概率公式知，所以选项B错误， 对于选项C，如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， 所以选项C正确， 对于选项D，若小明获得块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得块月饼的概率是，故选项D正确， 故选：ACD. 7．设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 【答案】 【解析】因为，故， 因为互斥，所以， 所以 ， 解得，所以 故答案为： 8．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 【答案】 【解析】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件， 则，，，， 故， 则所求概率为. 故答案为： 9．有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球. (1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率； (2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 ①求；②求 【答案】(1) (2)①，，；② 【解析】（1）； （2）①， ， ， ； ②， . 10.在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） (1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率； (2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）设事件“种子选手第局上场”， 事件“甲队最终获胜且种子选手上场”. 由全概率公式知， 因为每名队员上场顺序随机，故， ，，. 所以， 所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为. （2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”， ，，， ， 因为.    由（1）知，所以. 所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 条件概率及全概率公式与贝叶斯公式十一种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用定义求条件概率………………………………………………………3 类型二、条件概率的乘法公式应用…………………………………………………5 类型三、利用条件概率公式进行推理 7 类型四、古典概型中的条件概率 8 类型五、分组分配问题中的条件概率 10 类型六、条件概率的性质及应用 11 类型七、条件概率与互斥，对立，相互独立事件的结合 14 类型八、全概率公式及应用 17 类型九、全概率公式与递推数列（马尔科夫链） 19 类型十、贝叶斯概率公式及应用 22 类型十一、全概率公式与贝叶斯公式的综合运用 24 压轴能力测评（10题） 28 1、条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 注：（1）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （2）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （3）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． （4）P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 2、条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 3、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. 注：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 4、贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 类型一、利用定义求条件概率 例．（1）元末明初诗人高启在他的《田园书事》中这样描述谷雨时节：叶过谷雨花犹在，衣近梅天润易生.谷雨时节，已知甲､乙两地每天下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为.则在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A． B． C． D． （2）小张､小王两人计划报兴趣班，他们分别从“篮球､书法､游泳､钢琴”这四个兴趣班中随机选择一个，记事件为“两人至少有一人选择篮球”，事件为“两人选择的兴趣班不同”，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】某学校高三（）班要从名班干部（其中名男生，名女生）中选取人参加学校优秀班干部评选，事件男生甲被选中，事件有两名女生被选中，则（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 【变式训练3】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ） A． B． C． D． 类型二、条件概率的乘法公式应用 例．（1）（多选）现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M：该球为红球，事件：该球出自编号为的袋子，则（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知，则 ． 【变式训练3】（多选）袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 类型三、利用条件概率公式进行推理 例．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （2）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 【变式训练1】给定两个随机事件，且，，则的充要条件是（ ） A． B． C． D． 类型四、古典概型中的条件概率 例．（1）从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（ ） A． B． C． D． （2）元宵节是中国的传统节日之一，“元宵”作为食品，在我国也由来已久.宋代，民间即流行一种元宵节吃的新奇食品．这种食品，最早叫“浮元子”后称“元宵”．元宵即“汤圆”以白糖、玫瑰、芝麻、豆沙、黄桂、核桃仁、果仁、枣泥等为馅，用糯米粉包成圆形，可荤可素，风味各异，可汤煮、油炸、蒸食，有团圆美满之意．某商店有6种馅的汤圆，其中4种素的和2种荤的，美华随机取出两袋购买，事件A“取到的两袋同为荤或素”，事件B“取到的两袋都是素的”，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.25 D．0.125 【变式训练2】五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率是 类型五、分组分配问题中的条件概率 例．（1）在学校春季运动会中，甲､乙､丙､丁4名同学被安排到跳远､跳高､迎面接力这三个比赛项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是（ ） A． B． C． D． （2）（多选）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立 C． D． 【变式训练1】一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为 ． 【变式训练2】有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（ ） A． B． C． D． 类型六、条件概率的性质及应用 例．（1）已知事件 A、B、C，满足 则P(B∪C|A)=（ ） A． B． C． D． （2）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ） A． B． C． D． （3）（多选）已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B． C．若B和C是两个互斥事件，则 D．当时， 【变式训练1】已知随机事件A.B满足，则_____ 【变式训练2】（多选）已知事件A，B，且，，，则（ ） A B. C. D. 【变式训练3】（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A． B． C． D． 类型七、条件概率与互斥，对立，相互独立事件的结合 例．（1）（多选）已知.若事件相互独立，则（ ） A． B． C． D． （2）（多选）一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球､两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 （3）甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】对于随机事件，记为事件的对立事件，且，则 . 【变式训练2】随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 类型八、全概率公式及应用 例．（1）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． （2）已知为两个随机事件，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A. B. C. D. 类型九、全概率公式与递推数列（马尔科夫链） 例．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示． 当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 【变式训练1】（多选）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ） A． B． C．是等比数列 D．是递减数列 类型十、贝叶斯概率公式及应用 例．（1）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. （2）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为 . 【变式训练1】某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为 . 类型十一、全概率公式与贝叶斯公式的综合运用 例．（1）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为________；再从近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h的概率为________. （2）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为 . （3）（多选）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第二次抽到3号球的概率为 C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种 【变式训练1】第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ． 【变式训练2】有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求： (1)它是第1台机床生产的概率是多少? (2)它是次品的概率是多少． (3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明． 1．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（ ） A． B． C． D． 2．从数字中随机取一个数字，记为，再从数字中随机取一个数字，则第二次取到的数字为2的概率是（ ） A. B. C. D. 3．元宵节是中国的传统节日之一，“元宵”作为食品，在我国也由来已久.宋代，民间即流行一种元宵节吃的新奇食品．这种食品，最早叫“浮元子”后称“元宵”．元宵即“汤圆”以白糖、玫瑰、芝麻、豆沙、黄桂、核桃仁、果仁、枣泥等为馅，用糯米粉包成圆形，可荤可素，风味各异，可汤煮、油炸、蒸食，有团圆美满之意．某商店有6种馅的汤圆，其中4种素的和2种荤的，美华随机取出两袋购买，事件A“取到的两袋同为荤或素”，事件B“取到的两袋都是素的”，则（ ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，，，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，黑球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A．经过两次试验后，试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为 B．若第一次试验抽到一个黑球，则第二次试验后，试验者手中有黑白球各1个的概率为 C．经过7次试验后试验停止的概率为 D．经过7次试验后试验停止的概率最大 6．（多选）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ） A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是 B．第二次抽到红球的概率是 C．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 D．小明获得块月饼的概率是 7．设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 8．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 9．有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球. (1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率； (2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 ①求；②求 10.在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） (1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率； (2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$