江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高二数学周练12

**基本信息** 以现实情境为载体，融合概率统计、空间几何等高二核心知识，通过互联网行业调查、商店利润计算等实例，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正态分布、排列组合、概率|结合扇形图考条件概率（第3题）| |多选题|3/18|随机变量分布、二项式定理|对比不放回与有放回摸球差异（第11题）| |填空题|3/15|组合数、余数问题、函数最值|需转化思想求函数最小值（第14题）| |解答题|5/77|排列组合、空间向量、概率统计、导数|销售利润期望计算（第17题）、导数极值点证明（第19题）|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练12 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是 （ ） A． B． C． D． 2．已知方程，若均为正整数，则称为该方程的正整数解，则方程有（ ）个正整数解 A． B． C． D． 3．某机构对重庆市互联网行业进行了调查统计，得到如下互联网行业从业者年龄分布扇形图（90后指1990年及以后出生人口，80后指1980-1989年之间出生人口，80前指1979年及以前出生人口）和90后从事互联网行业，岗位分布条形图，且据统计重庆市互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为，现从重庆市互联网行业从业人员中任选1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为 （ ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为 （ ） A． B． C． D． 5．高二某班共有50个学生，其中有3个学生的生日在四月份，从中随机抽取10个学生参加问卷调查，则抽取的10个学生中至少有1个学生的生日在四月份的概率为 （ ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上，若，则线段的长度为 （ ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面的距离为 （ ） A． B． C． D． 8．生活中常常会因为谐音闹误会，数学课上，某同学会把“复数”和“负数”听混淆，已知老师说“复数”时，学生理解为“负数”的概率为；老师说“负数”时，学生理解为“复数”的概率为，假设在评讲试卷时，老师说“复数”和“负数”是等可能的，已知学生理解的是“负数”，则此时老师说的是“复数”的概率为 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知随机变量的分布列如右： 若，则以下结论中正确的是 （ ） A． B． C． D． 10．已知，且存在正整数，满足 ，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 展开式中二项式系数最大的项为第四项或第五项 11．一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比，现从袋子中随机取出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数，则 （ ） A． B．若 C．若 D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，，则 . 13．除以9所得余数是 . 14．设函数的最小值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．用0，1，2，3，4，5这六个数字：（最后运算结果请以数字作答） （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？ （3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ 16．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是的中点． （1）计算：； （2）求证：； （3）求异面直线和所成角的余弦值． 17．东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价元，售价元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区天的销售量如下表： 销售量（份） 15 16 17 18 天数 20 30 40 10 （视样本频率为概率） （1）根据该产品天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望 （2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进或份，哪一种得到的利润更大？ 18．（1）已知k，，且，求证：； （2）若，且，证明：； （3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数. 19．已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学周练12 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是 （ B ） A． B． C． D． 2．已知方程，若均为正整数，则称为该方程的正整数解，则方程有（ A ）个正整数解 A． B． C． D． 3．某机构对重庆市互联网行业进行了调查统计，得到如下互联网行业从业者年龄分布扇形图（90后指1990年及以后出生人口，80后指1980-1989年之间出生人口，80前指1979年及以前出生人口）和90后从事互联网行业，岗位分布条形图，且据统计重庆市互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为，现从重庆市互联网行业从业人员中任选1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为 （ C ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为 （ A ） A． B． C． D． 5．高二某班共有50个学生，其中有3个学生的生日在四月份，从中随机抽取10个学生参加问卷调查，则抽取的10个学生中至少有1个学生的生日在四月份的概率为 （ D ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上，若，则线段的长度为 （ B ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面的距离为 （ A ） A． B． C． D． 8．生活中常常会因为谐音闹误会，数学课上，某同学会把“复数”和“负数”听混淆，已知老师说“复数”时，学生理解为“负数”的概率为；老师说“负数”时，学生理解为“复数”的概率为，假设在评讲试卷时，老师说“复数”和“负数”是等可能的，已知学生理解的是“负数”，则此时老师说的是“复数”的概率为 （ D ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知随机变量的分布列如右： 若，则以下结论中正确的是 （ABD） A． B． C． D． 10．已知，且存在正整数，满足 ，则下列结论正确的是 （ BD ） A． B． C． D． 展开式中二项式系数最大的项为第四项或第五项 11．一个袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比，现从袋子中随机取出3个球，用分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数，则 （ ABD ） A． B．若 C．若 D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，，则 . 13．除以9所得余数是 . 14．设函数的最小值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．用0，1，2，3，4，5这六个数字：（最后运算结果请以数字作答） （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？ （3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ 15．解：（1）符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时有个； 第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个． （2）符合要求的数可分为两类： 第一类：个位数上的数字是0的四位数有个； 第二类：个位数上的数字是5的五位数有个． 故满足条件的五位数的个数共有个． （3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类： 第一类：形如，共个； 第二类：形如，共有个； 第三类：形如，共有个； 第四类：形如，共有个； 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有： 个． 16．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是的中点． （1）计算：； （2）求证：； （3）求异面直线和所成角的余弦值． 16．解：（1）设，，， 则，． ，， 则； （2）因为 所以 . 所以，即. （3），， ， ，， ， 由于异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17．东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价元，售价元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区天的销售量如下表： 销售量（份） 15 16 17 18 天数 20 30 40 10 （视样本频率为概率） （1）根据该产品天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为，求的分布列与期望 （2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进或份，哪一种得到的利润更大？ 17．（1）根据题意可得，， ，， ，， ，的分布列如下： （2）当购进份时，利润为 ， 当购进份时，利润为 ，可见，当购进份时，利润更高. 18．（1）已知k，，且，求证：； （2）若，且，证明：； （3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数. 18．解：（1）左边， 右边， 所以； （2）， 而， 所以. 所以. 所以，原命题成立. 另法：， 要证，只需证. 设， 由， 两边同时求导， 得 令，得， 即得证. 所以，原命题成立. （3）由条件，设等差数列，，，…，的公差为d，， 则 . 因为，所以对任意的，是关于x的一次函数. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第一问的证明，后续证明需要第一问的结论，利用二项式定理和等差数列的性质也是本题的关键. 19．已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 19．解：（I），则， 又，则切线方程为； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 6 学科网（北京）股份有限公司 $