专题03 随机变量及其分布（期末真题汇编，陕晋青宁专用）高二数学下学期

专题03 随机变量及其分布 高频考点概览 考点01条件概率与全概率公式 考点02离散型随机变量及其分布列 考点03离散型随机变量的数字特征 考点04二项分布和超几何分布 考点05 正态分布 ( 考点01 条件概率与全概率公式 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·宁夏银川·期中）若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（     ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 2．（24-25高二下·陕西榆林·期中）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西·期末）甲箱中有2个红球和3个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中所有的球仅颜色不同），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，设“从甲箱中取出的球是红球”，“从乙箱中取出的两球都是红球”，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·青海省西宁市·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．记事件A：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件B：“两枚骰子的点数之和是6”，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·山西吕梁·期末）某工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同型号零件，产量占比分别为40%，35%，25%．甲、乙、丙生产线的次品率依次为5%，3%，8%．质检部门随机抽取一个零件，并定义事件为“零件来自甲生产线”；事件为“零件来自乙生产线”；事件为“零件来自丙生产线”；事件B为“零件为次品”．则下列说法正确的是（    ） A．已知抽取的零件来自丙生产线，则该零件为次品的概率为8% B．任意抽取一个零件，该零件是次品的概率为5.05% C．事件和B相互独立 D． 7．（24-25高二下·山西·期末）已知随机事件M，N满足，，则（   ） A．若M，N互斥，则M，N可能相互独立 B．若M，N相互独立，则M，N一定不互斥 C．若，则M，N相互独立 D．若M，N相互独立，则 8．（24-25高二下·山西大同·期末）某商场在店庆期间举行有奖促销活动，凡购买商品超过1000元的顾客就可参加活动.主办方在一个不透明的盒子中放入形状大小完全一样的四个红球和四个白球，充分摇晃后，由顾客（遮盖双眼）从中取出一个小球丢掉，再从剩下的7个小球中取出两个小球，若第二次取出的两个小球都是红球，则可获得一份价值100元的纪念品；若第二次取出的两个小球一红一白，则可获得一份价值50元的纪念品，其余结果没有奖品，则以下说法正确的是（    ） A．顾客甲获得100元纪念品的概率为 B．顾客甲获得50元纪念品的概率为 C．已知顾客甲获得了100元纪念品，则他丢掉的小球也是红球的概率为 D．已知顾客甲获得了50元纪念品，则他丢掉的小球为红球的概率为. 三、填空题 9．（24-25高二下·陕西渭南·期末）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 10．（24-25高二下·宁夏吴忠·期末）从含甲、乙在内的名全国第七次人口普查员中随机选取人到某小区进行人口普查，则在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率是________. 11．（24-25高二下·陕西汉中·期末）一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________． 12．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）如图所示，，分别为过滤管网的入水口与出水口，A，B，C处的过滤装置发生堵塞故障的概率均为，D，E处的过滤装置发生堵塞故障的概率均为，则在入水口打开注水阀门出水口有水流出的条件下，所有过滤装置均正常工作的概率为_____. 四、解答题 13．（24-25高二下宁夏固原·期末）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. ( 考点0 2 离散型随机变量及其分布列 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西省朔州市·期末）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山西·期中）下面是离散型随机变量的是（    ） A．电灯泡的使用寿命 B．小明射击1次，击中目标的环数 C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 二、多选题 5．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）(多选)设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列的一组数据是（    ） A．0，，0，0， B．－0.2，0.2，－0.4，0.4 C．p，1－p(0≤p≤1) D．，，…， 三、填空题 6．（24-25高二下·青海海南·期末）已知随机变量服从两点分布，，则________. 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知离散型随机变量的分布列如下： 则实数的值为________． 四、解答题 8．（24-25高二下·宁夏银川·期末）从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲队队员投中的概率； (2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设为这2名队员中投中的人数，求的分布列； (3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，求，． 9．（24-25高二下·陕西渭南·期末）在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的个白色球和个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中. (1)求第次恰好取完两个黑色球的概率； (2)若取到两个黑色球或者取球次数达到次就停止取球，设停止取球时取球次数为，求的分布列. ( 考点0 3 离散型随机变量的数字特征 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量的分布列如下表，则“”是“”的（   ） 0 1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·山西太原·期末）已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 二、多选题 4．（24-25高二下·山西晋城·期末）从1，2，3，4四个数字中随机抽取一个数字，记事件“取到数字1或数字2”，事件“取到数字1或数字3”，事件“取到数字2或数字4”，则下列说法正确的是（    ） A．事件相互独立 B．事件为对立事件 C． D．设事件发生的次数为，则 5．（24-25高二下·宁夏固原·开学考试）设随机变量X的分布列为，，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·青海海南·期末）已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 0.2 0.35 0.15 0.3 下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二下·宁夏青铜峡市·期末）已知随机变量，，若，且，则_______. 8．（24-25高二下·宁夏吴忠·期末）已知的分布列为 -1 0 1 设，则的数学期望__________. 四、解答题 9．（24-25高二下·山西吕梁·期末）甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 10．（24-25高二下·陕西商洛·期末）某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成. (1)现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队的概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率. (2)因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望. 11．（24-25高二下·陕西汉中·期末）为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 12．（24-25高二下·青海西宁·期末）在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分.已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为；对于第4道题，答对的概率为.记该学生的总得分为. (1)求该学生前3道题至少答对2道题的概率； (2)求的分布列及数学期望. 13．（24-25高二下·青海西宁·期末）某公司组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：每人从装有质地均匀、大小相同的4个黄球、4个红球的箱子中一次性地随机摸出3个球，若恰有1个红球可获得50元优惠券，恰有2个红球可获得100元优惠券，3个都是红球可获得200元优惠券，其他情况无优惠券.小王参加了公司的抽奖活动. (1)求小王恰好摸出1个黄球的概率； (2)设小王获得的优惠券金额为X，求X的分布列与期望. ( 考点0 4 二项分布和超几何分布 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（    ）． A．2 B．4 C． D． 2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西·期末）若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山西太原·期末）已知离散型随机变量，则（    ） A．8 B．2 C．1.6 D．0.8 5．（24-25高二下·青海西宁·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）下列说法错误的是（    ） A．某地连续下雨一百天是不可能事件 B．抛掷一枚骰子一次，点数大于0是必然事件 C．已知某批工件合格率为80%，随机抽查10件工件，一定有2件不合格 D．抽奖两次，一次特等奖，一次未中奖，则特等奖的概率一定为 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现点的概率为，他掷了次骰子，最终有次出现点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高二下·青海西宁·期末）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，表示“正面朝上”出现的次数，则___________，_____________. 9．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知随机变量服从二项分布，则_____. 四、解答题 10．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 11．（24-25高二下·陕西汉中·期末）新春将至，社团联合会推出技能盲盒新春挑战赛，盲盒池内藏3类新春限定技能体验券共100张．其中类（科创年味券）：20张，含无人机新春灯光秀操控、3D打印生肖挂件建模；类（文艺年味券）：35张，含非遗剪纸窗花、即兴新春小品表演；类（运动年味券）：45张，含新春飞盘趣味赛、岩壁新年登高挑战．抽奖分两轮进行，规则如下： 第一轮：不放回抽取2张券； 第二轮：有放回抽取3张券． (1)第一轮抽奖中，求某人抽到类和类券的概率． (2)第二轮抽奖中，记抽到的类券张数为随机变量，求的分布列及数学期望． 12．（24-25高二下·山西运城·期末）在新能源电动汽车的电池质量考核中，“典型里程衰减”是一个重要的指标．某公司的质检员甲从某型号电池的A批次产品中随机获取了一个容量为8的样本进行测试，并记录每个样本点在其性能衰减至初始值的80%时，汽车所行驶的总公里数，得到如下数据（单位：万公里）：24，23，26，22，24，23，26，28． (1)求样本的第40百分位数，平均数和方差； (2)若行驶的总公里数超过24万公里，则认为该电池为优等品．用样本数据估计总体数据，现从A批次电池中随机抽取3个电池进行检测，求这3个电池中优等品的个数不少于2个的概率； (3)该公司的质检员乙同时测试了该型号电池的B批次产品，得到的样本平均数为24.4，方差为1．若A，B两个批次电池质量按照“高均值”和“低波动性”进行选择，你认为应选择哪个批次的电池？请说明你的理由 13．（24-25高二下·山西朔州·期末）在今山西怀仁县，故名．明《大明一统志》有“锦屏山在怀仁县西南二十五里，山旧有磁窑”记载．怀仁陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清．目前怀仁有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.6、0.5、0.75． (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2)经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望． ( 考点0 5 正态分布 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知随机变量，，则（    ） A．0.70 B．0.65 C．0.35 D．0.25 2．（24-25高二下·山西运城·期末）随机变量.若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·陕西汉中·期末）在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 4．（24-25高二下·青海海南·期末）已知某批零件的直径（单位：毫米）服从正态分布.若，则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为（   ） A．0.35 B．0.15 C．0.3 D．0.175 5．（24-25高二下·宁夏银川·期末）如果随机变量，则约等于（　　） （注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 二、多选题 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 7．（24-25高二下·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（    ）． A．样本数据2、4、5、8、11的平均数为6 B．已知随机变量X服从正态分布，若-，则 C．在线性回归分析中，相关系数r的值越小，变量间的相关性越弱 D．永宁县派遣3名教师去3所不同的乡下学校支教，每位教师只去一所学校，每所学校只由一位教师支教，共有6种派遣方法 三、填空题 8．（24-25高二下·山西运城·期末）随机变量，且，则__________． 9．（24-25高二下·陕西西安·期末）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天. 10．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知，若，则______. 11．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则________________. 四、解答题 12．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 13．（24-25高二下·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 随机变量及其分布 高频考点概览 考点01条件概率与全概率公式 考点02离散型随机变量及其分布列 考点03离散型随机变量的数字特征 考点04二项分布和超几何分布 考点05 正态分布 ( 考点01 条件概率与全概率公式 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·宁夏银川·期中）若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（     ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 【答案】A 【详解】测出阳性有两种可能，一种是阳性且试剂准确测出，一种是阴性但被误测为阳性， 概率为. 2．（24-25高二下·陕西榆林·期中）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算教师不站在两端的总排列数，再计算该条件下甲乙相邻的符合条件排列数，两者作商得到所求概率. 【详解】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件， 因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列， 所以； 将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师）， 要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： ， 根据条件概率公式： . 3．（24-25高二下·山西·期末）甲箱中有2个红球和3个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中所有的球仅颜色不同），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，设“从甲箱中取出的球是红球”，“从乙箱中取出的两球都是红球”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式求，再利用条件概率公式或贝叶斯公式求解即可. 【详解】由题意得：， 根据全概率公式可得：， 所以， 故选：C 4．（24-25高二下·青海省西宁市·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．记事件A：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件B：“两枚骰子的点数之和是6”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算得解. 【详解】事件含有的基本事件数为， 事件含有红1蓝5和红2蓝4两个基本事件， 所以． 故选：C 5．（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【详解】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D 二、多选题 6．（24-25高二下·山西吕梁·期末）某工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同型号零件，产量占比分别为40%，35%，25%．甲、乙、丙生产线的次品率依次为5%，3%，8%．质检部门随机抽取一个零件，并定义事件为“零件来自甲生产线”；事件为“零件来自乙生产线”；事件为“零件来自丙生产线”；事件B为“零件为次品”．则下列说法正确的是（    ） A．已知抽取的零件来自丙生产线，则该零件为次品的概率为8% B．任意抽取一个零件，该零件是次品的概率为5.05% C．事件和B相互独立 D． 【答案】ABD 【分析】利用条件概率来判断A，利用全概率公式计算来判断B，利用相互独立概率乘法公式来判断C，利用条件概率来判断D． 【详解】由题知，，， ，，， 所以已知抽取的零件来自丙生产线，则该零件为次品的概率为8%，故A正确； 由．故B正确； 由，又因为，， ，故事件和B不独立，故C错误； 由，故D正确． 故选：ABD． 7．（24-25高二下·山西·期末）已知随机事件M，N满足，，则（   ） A．若M，N互斥，则M，N可能相互独立 B．若M，N相互独立，则M，N一定不互斥 C．若，则M，N相互独立 D．若M，N相互独立，则 【答案】BC 【分析】对于A，由M，N互斥，可得，判断是否成立，即可判断A；对于B，根据M，N相互独立，可得，再判定是否为0，即可判断B；对于C，先根据条件概率的公式将变形，再判断是否成立，即可判断C，对于D，由B知，，即可判断D. 【详解】若M，N互斥，则，则，所以M，N一定不相互独立，故A错误； 若M，N相互独立，则，所以M，N一定不互斥，故B正确； 由，所以，所以M，N相互独立，故C正确； 由B知，若M，N相互独立，则M，N一定不互斥，所以，故D错误. 故选：BC. 8．（24-25高二下·山西大同·期末）某商场在店庆期间举行有奖促销活动，凡购买商品超过1000元的顾客就可参加活动.主办方在一个不透明的盒子中放入形状大小完全一样的四个红球和四个白球，充分摇晃后，由顾客（遮盖双眼）从中取出一个小球丢掉，再从剩下的7个小球中取出两个小球，若第二次取出的两个小球都是红球，则可获得一份价值100元的纪念品；若第二次取出的两个小球一红一白，则可获得一份价值50元的纪念品，其余结果没有奖品，则以下说法正确的是（    ） A．顾客甲获得100元纪念品的概率为 B．顾客甲获得50元纪念品的概率为 C．已知顾客甲获得了100元纪念品，则他丢掉的小球也是红球的概率为 D．已知顾客甲获得了50元纪念品，则他丢掉的小球为红球的概率为. 【答案】ACD 【分析】设出事件，根据全概率和条件概率公式，结合古典概型和组合公式求解即可. 【详解】解析：设事件“丢掉一个小球后任取两个小球均为红球”，事件“丢掉的小球为红球”， 事件“丢掉的小球为白球”，事件“丢掉一个小球后任取两个小球为一红一白”， 则， ，由全概率公式可得 .故A对； ，故B错； ，故C对； ，故D对， 故选:ACD. 三、填空题 9．（24-25高二下·陕西渭南·期末）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 【答案】0.8/ 【分析】设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 设发送信号为1的概率为，利用全概率公式得到方程，解得即可. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 故答案为：0.8 10．（24-25高二下·宁夏吴忠·期末）从含甲、乙在内的名全国第七次人口普查员中随机选取人到某小区进行人口普查，则在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率是________. 【答案】 【分析】利用条件概率计算结果. 【详解】设甲被选中设为事件，乙被选中设为事件，则. 故答案为： 11．（24-25高二下·陕西汉中·期末）一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用缩小样本空间的方法，结合古典概率求出条件概率. 【详解】第一次取出1个白球后，袋子里还有2个白球和2个红球， 所以第二次取出红球的概率为. 故答案为： 12．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）如图所示，，分别为过滤管网的入水口与出水口，A，B，C处的过滤装置发生堵塞故障的概率均为，D，E处的过滤装置发生堵塞故障的概率均为，则在入水口打开注水阀门出水口有水流出的条件下，所有过滤装置均正常工作的概率为_____. 【答案】 【分析】本题为求条件概率，需要分别计算：出水口有水流出的概率，所有过滤装置均正常工作的概率，再利用条件概率计算公式求解 【详解】出水口有水流出意味着至少有一条从 到 O 的路径是通的。根据假设的结构，这需要： A、B、C 中至少一个不堵塞，且D，E中至少一个不堵塞， 设“出水口有水流出”为事件A，则 设“所有过滤装置均正常工作”为事件B，则 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高二下宁夏固原·期末）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由独立乘法公式、对立事件的概率即可求解； （2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率为； （2）令事件“从乙箱中取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”， 事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”， 则两两互斥，且， 则，，， 则 . ( 考点0 2 离散型随机变量及其分布列 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 【答案】A 【分析】利用分布列的性质，将射中环数为9、10环对应的概率相加即可得解． 【详解】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9，10环，其概率为， 故他射击一次为优秀的概率是0.55. 故选：A. 2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质，根据条件求出的值，从而求出结果. 【详解】因为随机变量的分布列为，所以，解得， 所以，故， 故选：C. 3．（24-25高二下·山西省朔州市·期末）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列中所有概率和为1求解． 【详解】由题意，． 故选：A． 4．（24-25高二下·山西·期中）下面是离散型随机变量的是（    ） A．电灯泡的使用寿命 B．小明射击1次，击中目标的环数 C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 【答案】B 【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可. 【详解】对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意； 对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意； 对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意； 对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意. 故选：B. 二、多选题 5．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）(多选)设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列的一组数据是（    ） A．0，，0，0， B．－0.2，0.2，－0.4，0.4 C．p，1－p(0≤p≤1) D．，，…， 【答案】BD 【分析】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且0≤P≤1.逐一判断选项即可. 【详解】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且0≤P≤1. 对于A：因为0++0+0+=1，且满足0≤P≤1，所以A选项能成为X的概率分布列的一组数据； 对于B：因为－0.2+0.2－0.4+0.4=0，且不满足0≤P≤1，所以B选项不能成为X的概率分布列的一组数据； 对于C：因为p+1－p=1，且满足0≤p≤1，故C选项能成为X的概率分布列的一组数据； 对于D：因为＋＋…＋＝1－＝，所以D选项不能作为随机变量的分布列的一组概率取值， 故选：BD. 三、填空题 6．（24-25高二下·青海海南·期末）已知随机变量服从两点分布，，则________. 【答案】0.44/ 【分析】利用两点分布的概率性质易得. 【详解】因随机变量服从两点分布，故. 故答案为：0.44. 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知离散型随机变量的分布列如下： 则实数的值为________． 【答案】 【分析】由分布列中概率之和为可求得的值. 【详解】在分布列中，概率之和为，则，解得. 故答案为：. 四、解答题 8．（24-25高二下·宁夏银川·期末）从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲队队员投中的概率； (2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设为这2名队员中投中的人数，求的分布列； (3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，求，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)， 【分析】（1）利用频率估计概率求解； （2）求出的可能取值及对应的概率可得分布列； （3）利用队员投中的概率和掌握了定点投篮技巧的概率，结合全概率公式列式分别求出即可. 【详解】（1）从甲队随机抽取10名队员进行定点投篮测试，有8人投中，得， 所以甲队队员投中的概率为. （2）记从甲队抽取的队员投中为事件，乙队抽取的队员投中为事件， 则，的可能取值为， ，， ， 所以X的分布列为 0 1 2 （3）记事件为“甲队队员掌握了定点投篮技巧”，其概率为， 事件为“乙队队员掌握了定点投篮技巧”，其概率为， 由甲队队员掌握了技巧，有90%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得， 由乙队队员掌握了技巧，有80%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得. 9．（24-25高二下·陕西渭南·期末）在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的个白色球和个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中. (1)求第次恰好取完两个黑色球的概率； (2)若取到两个黑色球或者取球次数达到次就停止取球，设停止取球时取球次数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析 【分析】（1）分析可知前三次取球中恰好有一次取到黑球，且第次也取到黑球，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列. 【详解】（1）解：若第次恰好取完两个黑色球，则前三次取球中恰好有一次取到黑球，且第次也取到黑球， 故所求概率为. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： ( 考点0 3 离散型随机变量的数字特征 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量的分布列如下表，则“”是“”的（   ） 0 1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据期望和方差的计算公式即可结合充分必要条件的定义求解. 【详解】由分布列可得，， 若，则，此时，故充分性成立， 若，则，解得或，故必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．（24-25高二下·山西太原·期末）已知随机变量均服从两点分布，且，则下列结论正确的是（    ） 1 0 1 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用期望、方差公式求出，再比较大小即得. 【详解】依题意，，而，则； ，同理， ， 因此. 故选：C 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 【答案】C 【分析】根据两点分布的期望公式即可求解. 【详解】因为随机变量服从参数为的两点分布， 所以， 又，所以. 故选：C. 二、多选题 4．（24-25高二下·山西晋城·期末）从1，2，3，4四个数字中随机抽取一个数字，记事件“取到数字1或数字2”，事件“取到数字1或数字3”，事件“取到数字2或数字4”，则下列说法正确的是（    ） A．事件相互独立 B．事件为对立事件 C． D．设事件发生的次数为，则 【答案】AB 【分析】根据相互独立事件的定义即可判断A；根据对立事件的定义即可判断B；利用条件概率公式即可判断C；写出的所有可能取值，求出对于概率，再根据期望公式求期望即可判断D. 【详解】对于A，， 则， 所以事件相互独立，故A正确； 对于B，因为抽取到的数字是或或或， 而事件不可能同时发生且必有一个发生， 所以事件为对立事件，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，由题意可取， 则， 所以，故D错误. 故选：AB. 5．（24-25高二下·宁夏固原·开学考试）设随机变量X的分布列为，，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用分布列的性质可得概率之和为1，得出，利用概率的性质可判断A选项，再利用均值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可. 【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得， 对于A，，故A不正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D不正确. 故选：BC. 6．（24-25高二下·青海海南·期末）已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 0.2 0.35 0.15 0.3 下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用期望方差的定义直接求解判断. 【详解】，A错误，B正确； ， 所以，C正确，D错误. 故选：BC 三、填空题 7．（24-25高二下·宁夏青铜峡市·期末）已知随机变量，，若，且，则_______. 【答案】4 【分析】利用方差的线性关系公式来求解即可. 【详解】由. 故答案为：4 8．（24-25高二下·宁夏吴忠·期末）已知的分布列为 -1 0 1 设，则的数学期望__________. 【答案】 【分析】根据分布列的性质和数学期望求解. 【详解】由分布列可知，得， 则数学期望，. 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高二下·山西吕梁·期末）甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析；期望为， 【分析】（1）求出的可能值，利用相互独立事件的概率公式求出对应概率，列出分布列. （2）求出的可能值，由（1）的信息求出对应概率，列出分布列并求出期望、方差. 【详解】（1）X的可能取值为：， ，，， X的分布列为 X 0 3 P 0.2 0.5 0.3 （2）Y的可能取值为：， 由（1）得，，， ，， ， Y的分布列为： Y 0 3 6 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 所以， . 10．（24-25高二下·陕西商洛·期末）某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成. (1)现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队的概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率. (2)因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 【分析】（1）利用全概率公式即可求解； （2）的所有可能取值为0，2，4，分别求得概率即可得到分布列，利用期望公式即可求出期望. 【详解】（1）设事件为“调派社区支援队”，事件为“调派城区保障队”，事件为“选中男队员”， 则 . 所以选中男队员的概率为. （2）从社区支援队抽调2名女队员，支援后城区保障队中有3名男队员，3名女队员，， 从社区支援队抽调1名男队员1名女队员，支援后城区保障队中有4名男队员，2名女队员，， 从社区支援队抽调2名男队员，支援后城区保障队中有5名男队员，1名女队员，， 的所有可能取值为0，2，4， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 4 数学期望. 11．（24-25高二下·陕西汉中·期末）为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)小明应选择方案二，理由见解析 【分析】（1）由题意可得X的可能取值为0，1，4，9，16，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列； （2）根据期望公式分别求出方案一和方案二的期望，进行比较即可. 【详解】（1）X的可能取值为0，1，4，9，16. ， . X 0 1 4 9 16 P （2）由（1）可知若小明选择方案一， 则. 若小明选择方案二，记Y为小明的累计得分，Z为小明答对题目的数量，则， 又，所以， 则. 因为，所以小明应选择方案二. 12．（24-25高二下·青海西宁·期末）在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分.已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为；对于第4道题，答对的概率为.记该学生的总得分为. (1)求该学生前3道题至少答对2道题的概率； (2)求的分布列及数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望14.5. 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的加法公式计算即得. （2）求出的可能值及各个值相应的概率值，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）记该学生前3道题答对道为事件，前3题中至少答对2道题为事件， 则， ，， 所以. （2）依题意，的取值可能为， ，， ， ，. 所以的分布列为： 0 5 10 15 20 数学期望. 13．（24-25高二下·青海西宁·期末）某公司组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：每人从装有质地均匀、大小相同的4个黄球、4个红球的箱子中一次性地随机摸出3个球，若恰有1个红球可获得50元优惠券，恰有2个红球可获得100元优惠券，3个都是红球可获得200元优惠券，其他情况无优惠券.小王参加了公司的抽奖活动. (1)求小王恰好摸出1个黄球的概率； (2)设小王获得的优惠券金额为X，求X的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型公式计算求解即可； （2）分情况写出离散型随机变量的分布列及数学期望即得. 【详解】（1）记事件：小王恰好摸出1个黄球，则. （2）由题意，得的可能取值为0，50，100，200， ，， ，. 所以X的分布列为 X 0 50 100 200 P 所以. ( 考点0 4 二项分布和超几何分布 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（    ）． A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据超几何分布求解分布列，即可根据期望公式求解. 【详解】随机变量可取， ，，，， ， 故选：C 2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛掷一次掷出的点数为3的倍数的概率，再根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子，出现的点数可能为，其中点数为3的倍数的为， 所以抛掷一次质地均匀的骰子，掷出的点数为3的倍数的概率为， 所以抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率为. 故选：C. 3．（24-25高二下·山西·期末）若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项分布的期望求出，再利用二项分布的概率公式求出概率. 【详解】由，，得，解得， 所以. 故选：B 4．（24-25高二下·山西太原·期末）已知离散型随机变量，则（    ） A．8 B．2 C．1.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式直接求解即可. 【详解】因为离散型随机变量， 所以. 故选：B 5．（24-25高二下·青海西宁·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结合二项分布概率公式以及方差公式求解即可. 【详解】因为，，所以，即， 解得，即，所以. 故选D. 二、多选题 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）下列说法错误的是（    ） A．某地连续下雨一百天是不可能事件 B．抛掷一枚骰子一次，点数大于0是必然事件 C．已知某批工件合格率为80%，随机抽查10件工件，一定有2件不合格 D．抽奖两次，一次特等奖，一次未中奖，则特等奖的概率一定为 【答案】ACD 【分析】对于AB，使用必然事件与不可能事件的概念结合实际情况分析可得A错误B正确，对于C，由题意得，不合格件数的期望值为2，但实际可能是中任意一种情况，故C错误；对于D，特等奖的概率应由抽奖规则决定，频率不能等同于概率，故D错误， 【详解】对于A，某地连续下雨一百天是小概率随机事件，故A错误； 对于B，投掷骰子时，点数只能是，均大于0，必然发生，故B正确； 对于C，由题意得，从该批工件中抽查的10件工件里合格数量服从二项分布， 不合格的件数期望值为2，并非一定有2件不合格，故C错误； 对于D，是频率，不能等同于特等奖的概率，特等奖的概率应由抽奖规则决定，故D错误. 故选：ACD. 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现点的概率为，他掷了次骰子，最终有次出现点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由二项分布的定义可判断A选项；利用独立重复试验的概率公式可判断B选项；求得的表达式，由此列不等式，求出的取值范围，可判断C选项；利用二项分布的期望公式以及的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，每次掷出后出现点的概率为， 由二项分布的定义可知，A对； 对于B选项，由独立重复试验的概率公式可得，B错； 对于C选项，最大即为满足， 解得，C对； 对于D选项，因为，故为整数时， 结合题设要求，； 不为整数时为小于，，故，D对. 故选：ACD. 三、填空题 8．（24-25高二下·青海西宁·期末）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，表示“正面朝上”出现的次数，则___________，_____________. 【答案】 2 1 【分析】利用二项分布的数学期望与方差公式计算即得. 【详解】一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，且每次是否正面朝上相互独立，所以， 所以，. 故答案为：2；1. 9．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知随机变量服从二项分布，则_____. 【答案】/ 【分析】借助二项分布方差公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 四、解答题 10．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 【答案】(1) (2)选择第二种抽奖方案，理由见详解 【分析】（1）根据题意结合独立重复性实验的概率公式运算求解； （2）根据题意结合二项分布以及期望的性质分别求两种方案的期望值，比较大小分析判断. 【详解】（1）若选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 每一次摸到白球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，所以. （2）因为每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为， 设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，则，可得， 若按方案一抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 若按方案二抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 因为，所以应选择第二种抽奖方案. 11．（24-25高二下·陕西汉中·期末）新春将至，社团联合会推出技能盲盒新春挑战赛，盲盒池内藏3类新春限定技能体验券共100张．其中类（科创年味券）：20张，含无人机新春灯光秀操控、3D打印生肖挂件建模；类（文艺年味券）：35张，含非遗剪纸窗花、即兴新春小品表演；类（运动年味券）：45张，含新春飞盘趣味赛、岩壁新年登高挑战．抽奖分两轮进行，规则如下： 第一轮：不放回抽取2张券； 第二轮：有放回抽取3张券． (1)第一轮抽奖中，求某人抽到类和类券的概率． (2)第二轮抽奖中，记抽到的类券张数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，0.6 【分析】（1）根据古典概型公式进行计算； （2）根据二项分布的概率公式求出对应的概率，进而列出分布列，求出期望. 【详解】（1）记抽到的2张券为类券和类券为事件， 则事件包含第一次抽到类券且第二次抽到类券和第一次抽到券且第二次抽到券． 则． （2）有放回的抽取时，抽到类券的概率，抽不到类券的概率， 随机变量表示3次抽取中抽到类券的张数，则，可能的取值为0，1，2，3． ∴， 则的分布列为     0 1 2 3 0.512 0.384 0.096 0.008 ∴． 12．（24-25高二下·山西运城·期末）在新能源电动汽车的电池质量考核中，“典型里程衰减”是一个重要的指标．某公司的质检员甲从某型号电池的A批次产品中随机获取了一个容量为8的样本进行测试，并记录每个样本点在其性能衰减至初始值的80%时，汽车所行驶的总公里数，得到如下数据（单位：万公里）：24，23，26，22，24，23，26，28． (1)求样本的第40百分位数，平均数和方差； (2)若行驶的总公里数超过24万公里，则认为该电池为优等品．用样本数据估计总体数据，现从A批次电池中随机抽取3个电池进行检测，求这3个电池中优等品的个数不少于2个的概率； (3)该公司的质检员乙同时测试了该型号电池的B批次产品，得到的样本平均数为24.4，方差为1．若A，B两个批次电池质量按照“高均值”和“低波动性”进行选择，你认为应选择哪个批次的电池？请说明你的理由 【答案】(1)24，24.5，3.5 (2) (3)B批次，理由见解析 【分析】（1）根据百分位数，平均数和方差的定义求解即可； （2）先得到从样本中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为，可估计从A批次电池中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为，进而求解即可； （3）求出平均值和方差降低的百分比，即可进行选择. 【详解】（1）把样本数据按从小到大的顺序排列：22，23，23，24，24，26，26，28， 因为，所以样本的第40百分位数取第4个数据，为24． 样本的平均数为， 方差为． （2）样本数据中超过24的有3个，故从样本中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为， 用样本数据估计总体数据，所以从A批次电池中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为， 故所求概率为． （3）虽然B批次产品的平均值比A批次降低了， 但B批次产品的方差比A批次降低了，说明B批次电池的质量更好， 所以应选择B批次的电池． 13．（24-25高二下·山西朔州·期末）在今山西怀仁县，故名．明《大明一统志》有“锦屏山在怀仁县西南二十五里，山旧有磁窑”记载．怀仁陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清．目前怀仁有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.6、0.5、0.75． (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2)经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】(1)0.38 (2)分布列见解析，0.9 【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意结合二项分布求分布列和期望. 【详解】（1）第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为： ． （2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为： ，，． 所以， 故随机变量的可能取值为0，1，2，3，且． 故；； ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 故随机变量的数学期望． ( 考点0 5 正态分布 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知随机变量，，则（    ） A．0.70 B．0.65 C．0.35 D．0.25 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的对称性计算即可求解. 【详解】因为随机变量，所以正态分布的对称轴为，所以， 又因为，则． 故选：C． 2．（24-25高二下·山西运城·期末）随机变量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解. 【详解】因为，且， 则， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·陕西汉中·期末）在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【分析】利用频率估计概率结合正态分布的对称性可得考试成绩在分的概率，据此估计相应人数． 【详解】因为成绩近似服从正态分布，所以其对称轴为， 由，根据对称性可得， 因此，成绩在分的概率为， 则此次考试成绩在分的人数约为， 故选：C． 4．（24-25高二下·青海海南·期末）已知某批零件的直径（单位：毫米）服从正态分布.若，则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为（   ） A．0.35 B．0.15 C．0.3 D．0.175 【答案】B 【分析】利用正态曲线的对称性易得. 【详解】因，且， 利用正态曲线的对称性可得：. 故选：B. 5．（24-25高二下·宁夏银川·期末）如果随机变量，则约等于（　　） （注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【答案】B 【分析】由正态分布对称性结合原则直接计算即可求解. 【详解】由题得. 故选：B 二、多选题 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 【答案】ACD 【分析】利用正态分布的对称性求出和的值，再比较两条密度曲线的对称轴位置与最高点高度，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，且，根据正态分布的对称性， ，A正确； 对于B：的对称轴是，的对称轴是， 所以的对称轴在的右边，B错误； 对于C：因为，且， 又， 所以，解得，C正确； 对于D：因为正态分布密度曲线的最高点为， 所以的最高点为，的最高点为， 因为，所以的最高点在的最高点的上方，D正确； 故选：ACD. 7．（24-25高二下·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（    ）． A．样本数据2、4、5、8、11的平均数为6 B．已知随机变量X服从正态分布，若-，则 C．在线性回归分析中，相关系数r的值越小，变量间的相关性越弱 D．永宁县派遣3名教师去3所不同的乡下学校支教，每位教师只去一所学校，每所学校只由一位教师支教，共有6种派遣方法 【答案】ABD 【分析】计算平均数即可判断A，利用正态分布的对称性即可判断B，根据相关系数的定义即可判断C，利用排列数即可判断D. 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，由服从正态分布，所以，故B正确； 对于C，在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1， 变量间的相关性越强，越接近0，变量的相关性越弱，故C错误； 对于D，由已知有，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 8．（24-25高二下·山西运城·期末）随机变量，且，则__________． 【答案】0.3/ 【分析】利用正态分布的对称性有，即可求. 【详解】因为，即，且， 所以， 则. 故答案为： 9．（24-25高二下·陕西西安·期末）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天. 【答案】60 【分析】根据满足：，由求解. 【详解】因为营业额不低于4000元的天数为90， 所以， 所以， 所以该公司每天营业额在的天数约为， 故答案为：60 10．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知，若，则______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算. 【详解】由，，得. 故答案为： 11．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则________________. 【答案】0.4 【分析】根据正态曲线的对称性易得. 【详解】因为，所以，又， 由正态曲线的对称性，可得. 故答案为：0.4. 四、解答题 12．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 13．（24-25高二下·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质，代入计算，即可得到结果： （2）根据题意，由正态分布的概率公式可得，再由二项分布的期望公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得． （2）由题意得 ， 则，， ，， 即随机变量Y的期望约为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $