精品解析：宁夏六盘山高级中学2024-2025学年高二下学期期末测试数学试卷

宁夏六盘山高级中学 2024-2025学年第二学期高二期末测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：杨笑 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象经过的定点是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 5. 若对任意恒成立，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知奇函数定义域为，对任意均有，且当时，. 将的图象向左平移个单位，在该过程中，的图象恰好经过点共次，则的取值集合是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 若，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 的值域为 D. 的值域为 10. 已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数 C. 在上单调递减 D. 在内有4个零点 11. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数n的取值可以是（ ） A. 10 B. 11 C. 14 D. 18 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 13. 的二项展开式中，第4项的系数是_________.(用数字作答) 14. 某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过_____________小时（参考数据：） 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （1）已知，求的值； （2）化简； （3）． 16. 已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 17. 2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． （1）若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； （2）为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 18. 某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成. （1）求回归系数； （2）从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； （3）现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2024-2025学年第二学期高二期末测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：杨笑 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶次根式和分式的意义来求定义域即可. 【详解】由题意得： 故函数的定义域为， 故选：A. 2. 函数的图象经过的定点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，确定函数的图象经过的定点. 【详解】由条件可知，，所以函数的图象经过的定点是. 故选：C 3. 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数在上单调递减，所以在上单调递增，即可得结论. 【详解】，在上单调递减，，故，所以， 又，在上单调递增，，故， 即，所以. 故选：A. 4. “幂函数在单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可． 【详解】若为幂函数，则，解得或， 因为当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：A. 5. 若对任意恒成立，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】赋值可解. 【详解】由对任意恒成立， 令，得， 解得. 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法可得结论. 【详解】由，解得，所以函数的定义域为， 记，可得， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B； 由，可得，所以函数与x轴有两交点，排除CD；A符合. 故选：A. 7. 已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围. 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 8. 已知奇函数的定义域为，对任意均有，且当时，. 将的图象向左平移个单位，在该过程中，的图象恰好经过点共次，则的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得到函数的对称性与周期性，即可画出函数图象（部分），依题意可得的图象在区间上与直线有个交点，结合图象得到的取值集合. 【详解】因为为定义域为的奇函数，所以， 又对任意均有，所以，所以关于对称， 所以，所以为周期为的周期函数， 又当时，， 所以部分图象如下所示： 因为将的图象向左平移个单位，在该过程中，的图象恰好经过点共次， 所以的图象在区间上与直线有个交点，又，结合图象可知的取值集合为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出函数的对称性与周期性，再数形结合. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 若，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 的值域为 D. 的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，B，先判断的定义域是否关于原点对称，再求出，即可判断函数的奇偶性；对C，D，先对利用分离常数法进行化简，再根据指数函数的值域以及不等式的性质即可求出的值域. 【详解】解：对A，由知：， 解得：， 故的定义域为：且关于原点对称， ， 即为奇函数，故A错； 对B，由A知为奇函数，故B对； 对C，， ， 或， 则或， 即或， 即或， 即或， 故的值域为，故C对； 对D，由C知的值域为，故D错. 故选：BC. 10. 已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数 C. 在上单调递减 D. 在内有4个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】由是偶函数可得关于直线对称，所以A正确；由是奇函数可得关于点对称，结合选项A可推出的周期为8，由此判断B；由关于点对称及时，，可知在单调递增，由此判断C；根据函数的对称性和周期性可求出在内的零点个数，由此判断D. 【详解】对于A：是偶函数，， 关于直线对称，故A正确； 对于B：由A可知关于直线对称，①， 又是奇函数，，即， 关于点对称，②， 由①②可得，即， ， ， 的一个周期为8，故B正确； 对于C：由B知关于点对称，时，单调递增， 在也单调递增，又关于直线对称， ∴在上单调递减，上单调递增，故C错误； 对于D：定义域为，关于对称，， 又关于直线对称，， 又在也单调递增，关于直线对称， 在内有2个零点，故D错误， 故选：AB. 11. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数n的取值可以是（ ） A. 10 B. 11 C. 14 D. 18 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题意可知的定义域为，值域为，而，所以的值域为．当时，单调递增，此时值域为；当时，，图象是开口向上的抛物线的一部分，对称轴为直线，故此时单调递增，值域为．因此解得． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 【答案】480 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解发. 【详解】依题意，甲、乙两人不相邻的排法数为. 故答案为：480 13. 的二项展开式中，第4项的系数是_________.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可求第4项的系数. 【详解】二项式的展开式的第4项为. 第4项的系数是. 故答案为：. 14. 某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过_____________小时（参考数据：） 【答案】52 【解析】 【分析】根据题意建立方程组，可求得，，即得，再结合对数的运算性质化简，代值估算即得. 【详解】经过12小时该药物分解率为，经过24小时该药物的分解率为， ，解得，，则， 当这种药物完全分解，即时，得，得， 即，两边取对数得 . 故答案为：52. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （1）已知，求的值； （2）化简； （3）． 【答案】（1）7；（2）5；（3）219 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）由指数和对数的运算性质即可求解； （3）由根式与分数指数幂的转换结合指数的运算性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以； （2）原式； （3） 16. 已知函数，． （1）单调性的定义证明在区间上是增函数； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【小问1详解】 任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 17. 2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． （1）若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； （2）为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 【答案】（1） （2）选择第二种抽奖方案，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意结合独立重复性实验的概率公式运算求解； （2）根据题意结合二项分布以及期望的性质分别求两种方案的期望值，比较大小分析判断. 【小问1详解】 若选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 每一次摸到白球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，所以. 【小问2详解】 因为每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为， 设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，则，可得， 若按方案一抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 若按方案二抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 因为，所以应选择第二种抽奖方案. 18. 某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成. （1）求回归系数； （2）从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； （3）现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2） （3）判断“检测结果”与“文本真实性”有差异 【解析】 【分析】（1）利用回归直线过样本中心可求回归系数； （2）利用全概率公式可求概率； （3）完善列联表，再根据公式计算卡方，结合临界值表判断即可. 【小问1详解】 因为，且，， 故，故. 【小问2详解】 记事件为 “由AI生成的文本”， 为“由人类撰写的文本”， 为“被检测系统识别为人类撰写的文本”， 由题意知，，，，， 由全概率公式知： ， 即该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为. 【小问3详解】 AI生成的篇数为，人类撰写的篇数为， 真实AI生成且被识别为AI生成的篇数， 真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数， 故列联表为： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 29 1 30 真实人类撰写（篇） 6 164 170 总计 35 165 200 零假设为：分类变量相互独立，即“检测结果”与“文本真实性”无差异. 由列联表数据计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本真实性”有差异. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先得到函数的解析式，然后根据不动点的概念列出方程求解方程的解即可. （2）首先根据不动点的概念列出方程，然后令判别式大于0，可得到关于的不等式，然后构造关于的新函数，令其最小值大于0，即可求得的取值范围. （3）根据韦达定理可得到关于的等式，然后化简用的表达式将表示出来，然后根据基本不等式的性质可求出的范围. 【小问1详解】 因为，所以. 设函数的不动点为，则. 化简得，解得，所以的不动点为-1. 【小问2详解】 令，则有两个相异的解. 所以，即：对于任意恒成立. 令，则， 解得. 【小问3详解】 因为为的两个不动点，且， 所以. 因为由（2）知，，所以， 所以. 由（2）得到，根据基本不等式的性质可得， 当且仅当时，即时等号成立， 所以. 又，所以. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $