江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高一数学周练14

**基本信息** 高一数学周练聚焦向量、三角函数、立体几何等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查空间观念、运算能力及问题解决能力，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量夹角、三角函数求值、外接圆半径、正方体截面|基础概念与空间想象结合，如第4题正方体截面面积计算| |多选题|3/18|复数性质、仿射坐标、正方体线面关系|多选项辨析，如第10题仿射坐标的向量运算| |填空题|3/15|二面角中线段长、三角形面积与边长、面积最值|空间与平面几何综合，如第12题二面角中AB长计算| |解答题|5/77|复数运算、菱形向量问题、立体几何证明与计算、三角函数化简与应用、三角形中线与角平分线|分层设问，如第17题立体几何交线作图与线面垂直证明，第19题结合面积求中线长及角平分线最大值|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练14 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知非零向量满足，且，则的夹角为 （ ） A． B． C． D． 2．已知，则 （ ） A． B． C． D． 3．在的对边分别是，且满足，则外接圆的半径为 （ ） A． B． C． D． 4．已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且，现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为 （ ） A． B． C． D． 5．已知菱形的边长为1，是菱形所在平面内的动点，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．如图，在正方体中分别为的中点，的中点，沿将正方体折起，使重合于点，构成四面体，则在四面体中，下列说法中正确的是 （ ） A． B． C． D． 7．如图，两点都在河的对岸（不可到达），某测量队在处测得 米，，，则 （ ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则 （ ） A．若，则 B．是纯虚数，则也是纯虚数 C．若，则是实数 D．若，则 10．设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在惟一有序实数对，使得，我们称有序数对为下列的“仿射坐标”，若向量的“仿射坐标”分别为，则下列说法正确的是 （ ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若 则 11．正方体中，下列结论正确的是 （ ） A．直线与直线所成角为 B．二面角的大小为 C．直线与平面所成角为 D．平面 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，则的长为 . 13．已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________. 14．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为_ _ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知复数，其中为虚数单位，. （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围. 16．如图，在菱形中，，. （1）若，求的值； （2）若菱形的边长为6，，求； （3）若菱形的边长为6，求的取值范围. 17． 如图，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，，M是CD的中点. （1）在图中作出并指明平面PAM和平面PBC的交线l； （2）求证：； （3）当时，求PC与平面ABCD所成角的正切值. 18．已知函数. （1）将函数化简为的形式； （2）求函数的最小正周期及在区间上的最大值； （3）若，，求的值. 19．已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练14 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知非零向量满足，且，则的夹角为 （ B ） A． B． C． D． 2．已知，则 （ C ） A． B． C． D． 3．在的对边分别是，且满足，则外接圆的半径为 （ A ） A． B． C． D． 4．已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且，现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为 （ A ） A． B． C． D． 5．已知菱形的边长为1，是菱形所在平面内的动点，则的取值范围是 （ A ） A． B． C． D． 6．如图，在正方体中分别为的中点，的中点，沿将正方体折起，使重合于点，构成四面体，则在四面体中，下列说法中正确的是 （ B ） A． B． C． D． 7．如图，两点都在河的对岸（不可到达），某测量队在处测得 米，，，则 （ C ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是 （ A ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则 （ AC ） A．若，则 B．是纯虚数，则也是纯虚数 C．若，则是实数 D．若，则 10．设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在惟一有序实数对，使得，我们称有序数对为下列的“仿射坐标”，若向量的“仿射坐标”分别为，则下列说法正确的是 （ ABD ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若 则 11．正方体中，下列结论正确的是 （ AB ） A．直线与直线所成角为 B．二面角的大小为 C．直线与平面所成角为 D．平面 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，则的长为 . 13．已知的内角A､B､C的对边分别为a，b，c，，且的面积为，，则___________. 【详解】由及正弦定理可得，即， ∴∵，∴由的面积为，得 又∵，∴，整理得， ∴.故答案为： 14．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为__ _ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知复数，其中为虚数单位，. （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围. 15．解：（1）由题意，根据复数的运算，可得, 由，则， 解得. （2）由在复平面内对应的点位于第一象限，则且，解得， 即的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的分类与表示，其中解答中根据复数的运算，求得复数，再根据复数的分类和复数的表示列出相应的条件是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16．如图，在菱形中，，. （1）若，求的值； （2）若菱形的边长为6，，求； （3）若菱形的边长为6，求的取值范围. 16．解：（1）因为，， 所以，所以，， 故． （2）∵，∴ ∵ABCD为菱形∴， ∴，即． （3）因为， 所以 ， ， ∴的取值范围：． 17． 如图，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，，M是CD的中点. （1）在图中作出并指明平面PAM和平面PBC的交线l； （2）求证：； （3）当时，求PC与平面ABCD所成角的正切值. 17．解：（1）如图，延长AM与BC交于点Q， 连接PQ，直线PQ即为所求交线l． 平面，，则平面， 同理平面， 而平面，同理平面， 因此平面平面， 所以直线即为所求直线. （2）由四边形ABCD是正方形，得， 又平面平面ABCD， 平面平面，平面ABCD， 则平面PAB，又平面PAB， 所以. （3）在平面PAB内过点P作于点H，连接CH，如图， 由平面平面ABCD，平面平面，得平面ABCD， 则即为PC与平面ABCD所成的角， 在中，，，，所以，， 从而，，在中，，因此， 所以PC与平面ABCD所成角的正切值为． 18．已知函数. （1）将函数化简为的形式； （2）求函数的最小正周期及在区间上的最大值； （3）若，，求的值. 18．解：（1）由题意得，. （2）所以函数的最小正周期为.由可知， 则当，即时，取得最大值为. （3）∵，∴.又， ∴，∴ ∴ . 19．已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 19．解：（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 5 学科网（北京）股份有限公司 $