专题04 图形的平移与旋转（考题猜想，易错压轴必刷50题10种题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材青岛版

**基本信息** 聚焦图形变换核心，以10类题型系统覆盖平移与旋转全考点，从概念识别到综合证明形成递进训练链，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移|20题|含中心对称识别、坐标变换、平移方式判断及性质应用|从对称概念到坐标运算，再到性质推理，构建"概念-运算-应用"逻辑链| |旋转|30题|涵盖旋转中心/角确定、性质应用、规律探究、网格作图及几何证明|从旋转要素到动态规律，再到综合证明，形成"基础-进阶-创新"能力梯度|

专题04 图形的平移与旋转 题型1 中心对称图形（常考点） 题型6 求旋转角 题型2 平移与坐标变换（常考点） 题型7 利用旋转性质求解 题型3 判断平移方式 题型8 旋转相关规律性问题 题型4 利用平移性质求解（重点） 题型9 旋转相关网格作图 题型5 旋转中心（重点） 题型10 旋转相关几何证明（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 中心对称图形（共5小题） 1．以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A，中心对称图形，符合题意； B，不是中心对称图形，不符合题意； C，不是中心对称图形，不符合题意； D，不是中心对称图形，不符合题意． 2．为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动．现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处．下列图书馆标志的图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕某点旋转，若旋转后的图形能和原图形重合，这个图形就是中心对称图形，据此逐一判断． 【详解】解：选项A：旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形； 选项B：绕中心旋转后，旋转后的图形与原图形完全重合，是中心对称图形； 选项C：旋转后中间黑色横条位置改变，不能和原图形重合，不是中心对称图形； 选项D：旋转后上下图形方向改变，不能和原图形重合，不是中心对称图形． 3．下面是4个AI“神器”的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， B.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， C.不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 4．中国传统纹样蕴含着丰富的数学对称之美，某文化展馆展示的以下4种经典纹样中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意． 5．“汉服”又称“衣冠”、“衣裳”，是中国“衣冠上国”、“礼仪之邦”、“锦绣中华”的体现，以下四种汉服常用装饰纹样中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形； B、不是中心对称图形，是轴对称图形； C、是中心对称图形，不是轴对称图形； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形． 题型二 平移与坐标变换（共5小题） 6．在平面直角坐标系内，将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后所得点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平移中点的坐标变化规律是横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，直接利用规律计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，横坐标为，纵坐标为， 即平移后所得点的坐标为， 故选：C. 7．已知线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点 D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移过程中所有点的平移规律一致，先根据点及其对应点的坐标得到平移规律，再将点按相同规律平移得到对应点的坐标． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到，点的对应点为， ∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为． 8．在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 根据点的平移规律：向下平移时，纵坐标减少，横坐标不变计算新坐标． 【详解】解：∵点向下平移3个单位， ∴横坐标不变，纵坐标减少3， ∴新点坐标为： 故选：D． 9．将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了点的平移．根据坐标平移规则，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少进行解答即可． 【详解】解：∵向右平移3个单位，再向下平移2个单位， ∴点的坐标是， 即点的坐标是， 故选：A 10．在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的点坐标为，即， 故选：． 题型三 判断平移方式（共5小题） 11．把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 【答案】B 【详解】解：点平移到点， 表示点A向右平移3个单位，再向下平移2个单位． 故选：B． 12．点是由点经过什么变换得到的（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度 D．先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移．点的平移规律：向右（左）平移，横坐标加（减）平移单位长度，纵坐标不变；向上（下）平移，横坐标不变，纵坐标加（减）平移单位长度．根据点的平移规律即可求解． 【详解】解：∵，， ∴点是由点先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的． 故选：C． 13．将某图形的各点的纵坐标减去2，横坐标加上1，可将该图形（    ） A．横向向左平移2个单位，纵向向上平移2个单位 B．横向向左平移1个单位，纵向向下平移2个单位 C．横向向右平移1个单位，纵向向上平移2个单位 D．横向向右平移1个单位，纵向向下平移2个单位 【答案】D 【分析】利用平移变换的性质判断即可． 【详解】解：将某图形的各点的纵坐标减去2，横坐标加上1，可将该图形横向向右平移1个单位，纵向向下平移2个单位， 故选：D． 【点睛】本题考查平移变换的性质，解题的关键是理解平移变换的性质． 14．将某图形的各顶点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，则该图形（    ） A．沿x轴向右平移3个单位 B．沿x轴向左平移3个单位 C．沿y轴向上平移3个单位 D．沿y轴向下平移3个单位 【答案】B 【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：将某图形的各顶点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，则该图形沿轴向左平移3个单位 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 15．平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(–1，3)、(–4，1)，将AB沿一确定方向平移，得到点B的对应点B1的坐标是(1，2)，则点A的对应点A1的坐标是（  ） A．(4，4) B．(3，3) C．(4，3) D．(3，4) 【答案】A 【分析】根据点B（-4，1）的对应点B1的坐标是（1，2）知，需将AB向右移5个单位、上移1个单位，据此根据平移的定义和性质解答可得． 【详解】解：由点B（-4，1）的对应点B1坐标为（-4+5，1+1），即（1，2）， ∴点A（-1，3）对应的点A1的坐标为（-1+5，3+1），即（4，4）， 故选：A． 题型四 利用平移性质求解（共5小题） 16．如图，沿方向平移后的得到，已知，，则平移的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，理解的长就是平移的距离是解题关键．根据题意可知，平移的距离是的长，即可求解． 【详解】解：由题意可知，沿方向平移后的得到， 则平移的距离是的长， ，， ， 故选：C 17．如图，平移得到，已知点、之间的距离是，．则（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据平移的性质得到，又由即可得到答案 【详解】解：∵平移得到，已知点、之间的距离是， ∴， ∵， ∴， 故选：A 【点睛】此题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 18．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 【答案】B 【分析】根据平移的方向可得，平移到，则点与点重合，故的平移距离为的长． 【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到， 故平移后点与点重合，则的平移距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 19．如图，平移后得到，∠A＝55°，∠B＝45°，则∠DFG的度数是（　　　） A．55° B．45° C．110° D．100° 【答案】D 【分析】先根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得∠ACB＝∠DFE，然后根据三角形的内角和定理及邻补角定义列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，∠A＝55°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝180°-∠A-∠B＝80°． ∵平移后得到， ∴∠ACB＝∠DFE＝80°， ∴∠DFG＝180°-∠DFE＝180°-80°＝100°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟记平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键． 20．如图，在中，，把沿直线BC向右平移6个单位长度得到，则四边形的面积是（    ） A．40 B．56 C．60 D．64 【答案】C 【分析】根据平移的性质得到AA=CC=3，AA//BC，由勾股定理得到BC==8，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵把RtΔABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△ ABC， ∴AA = CC=3， AA//BC， 在Rt△ABC中， ∵AB=10，AC=6， BC =BC==8， ∵AA//BC'， ∴四边形ABCA是梯形， ∴四边形AB CA的面积 = (AA+ BC)× AC= (6+8+6) ×6=60． 故选：C． 题型五 旋转中心（共5小题） 21．如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，找出两组对应点M和，N和，连接，作出线段与的垂直平分线，交点即为所求旋转中心． 【详解】解：如图，找出两组对应点，和，连接, 分别作出的垂直平分线，交点即为旋转中心， 故旋转中心为点C， 故选：C． 【点睛】本题考查找旋转中心，解题关键是熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后图形全等． 22．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 23．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 24．如图，已知点，，线段可由线段绕点M逆时针旋转得到，点A与是对应点，则点M所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的定义作图分析是关键． 在平面内,将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转不改变图形的形状和大小． 【详解】解：如图所示，连接，分别作线段的垂直平分线交于点， ∴将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴点即为旋转中心，位于第四象限， 故选：D ． 25．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转某个角度后得到，其中点A，B，C的对应点是点，，，那么旋转中心是（　　） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转，可由旋转的性质确定旋转前后两个图形的旋转中心，灵活应用旋转的性质是解题的关键．由图形绕某点旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等）可知旋转中心．或根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上解答． 【详解】解：方法一：点A的对应点是点，由图像可得，根据旋转的性质可知点M、P、Q都不是旋转中心，只有，且，所以点N是旋转中心． 方法二：如图，N点为旋转中心． 故选：C． 题型六 求旋转角（共5小题） 26．如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正三角形的判定和性质，旋转的性质，识别图形，理解题意是解决问题的关键．根据可知是正三角形，则，由绕点逆时针旋转得到，所以，进而可得，即可得结论． 【详解】解：， 是正三角形， ， 绕点逆时针旋转得到，与是对应边， ， 即旋转角为， 故选：C． 27．如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点A顺时针旋转得到，下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转角，熟练掌握求一个旋转图形的旋转角是解题的关键． 根据“旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线，这两条线的夹角”，由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：旋转角为或， 故选：C． 28．如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的旋转问题，解题的关键是掌握旋转角的定义．根据旋转角的定义即可得到答案． 【详解】解：根据旋转角的定义，，，都可以表示旋转角，不是旋转角； 故选：D． 29．如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形旋转，旋转角，根据旋转角定义，对应点与旋转中心连线所夹的角是旋转角，可得旋转角为，即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴旋转角为，． 故选：A． 30．如图，菱形绕点D旋转后得到菱形，则下列角中不是旋转角的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两对应边所组成的角，可以作为旋转角，依此判断，即可求解，本题考查了旋转角的定义，解题的关键是：明确旋转角的定义． 【详解】、旋转后的对应边为，不可以作为旋转角，符合题意， 、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意， 、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意， 、旋转后的对应边为，可以作为旋转角，不符合题意， 故选：． 题型七 利用旋转性质求解（共5小题） 31．如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，若旋转角为，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：旋转角为， ， ， 故选：B． 32．如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据旋转角的定义可以直接求出的度数． 【详解】由题可知，是旋转角，也是旋转角， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题主要考查旋转变换时角度的变化关系，掌握旋转角的定义是解决本题的关键． 33．如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，若线段，则的长等于_______． 【答案】5 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可直接进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：； 故答案为5． 34．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点，若，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得出，由解题． 【详解】解：由绕点逆时针旋转一定的角度得到， ， ． 故答案为：． 35．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质．由旋转得，则．根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解∶由旋转得， ， ． ， 故答案为：． 题型八 旋转相关规律性问题（共5小题） 36．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第次后点坐标即可． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是平行四边形， 且， 点的坐标为， 点的坐标为， 由旋转的规律可知，第一次旋转后点的对应点的坐标为， 第二次旋转后点的对应点的坐标为， 第三次旋转后点的对应点的坐标为， 第四次旋转后点的对应点的坐标为， 循环周期为， ， 第次旋转是第个循环的第二次旋转， 第次旋转结束时，点的坐标为． 37．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用题目中的条件，找出点的坐标，然后按照题目要求多次绕点顺时针旋转，找出点旋转后的坐标，四次后，旋转后的点与原来的点重合，用得出与重合，求出答案． 【详解】解：在中， ， ∴， ∴， 如图所示， 绕点顺时针旋转第次，点; 绕点顺时针旋转第次，点； 绕点顺时针旋转第次，点； 绕点顺时针旋转第次，点与点重合； ∴点绕点旋转次一循环，； ∴点绕点顺时针旋转第2027次，与第3次重合， 故点． 【点睛】解题关键是先按照题目要求解出旋转后点的坐标，找到规律，从而解出答案． 38．鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案．如图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点的坐标为，点在第一象限，．将菱形绕原点顺时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转得到菱形花瓣．若持续旋转，第2026次旋转后，顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，如下图， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点在x轴上， ∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上， 连接，过点作轴于点E，如图，则， 由旋转可知，，， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 又∵， ∴第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同， ∴． 39．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，，则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得到旋转后的点的坐标，然后总结规律，每旋转四次，点的横坐标增加，纵坐标按，，，循环出现，据此可解决问题． 【详解】解：如图，记图位置的点为，连接和，过点和分别作轴的垂线，垂足分别为和， ，，， ， ． 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 点的坐标为． 同理可得： 第次旋转后，点的坐标为， 第次旋转后，点的坐标为， 第次旋转后，点的坐标为， 第次旋转后，点的坐标为， ， 每旋转四次，点的横坐标增加，纵坐标按，，，循环出现， 点的坐标为， ， 点的坐标为，即， 连续旋转次后，点的坐标为． 40．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据初始点和绕原点顺时针转的坐标变换规律，算出前次旋转后的坐标，发现周期为；再用除以，余数为，故第次旋转后坐标与第次相同，为． 【详解】解：由图可得，初始点的坐标为， 绕原点顺时针旋转的坐标，旋转后的对应点坐标： 第次旋转后：； 第次旋转后：； 第次旋转后：； 第次旋转后：，回到初始坐标， ∴每旋转次，坐标会循环一次（旋转，回到原位置），周期为， ∴，余数为， 说明第次旋转后坐标和第次旋转后坐标相同，为 题型九 旋转相关网格作图（共5小题） 41．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)平移，使点A的对应点的坐标为． ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程可描述为先向左平移 个单位长度，再 ． (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时与关于某一点中心对称，这一点的坐标为 ． 【答案】(1)①②2，向下平移4个单位长度 (2) 【分析】（1）①根据坐标的平移可进行求解；②由①中坐标系可进行求解； （2）根据点的坐标关于原点对称的特征得到点的坐标，然后问题可求解． 【详解】（1）解：①略 ②由坐标系可知：将平移到的过程可描述为先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度； （2）解：图略 则由坐标系可知：与关于某一点中心对称，这一点的坐标为． 42．如图，的顶点坐标分别为． (1)以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (2)将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质即可作图； （2）由点的对应点，得到平移方式，即可作图； （3）连接交于点，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：∵点的对应点，且， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴如图，即为所求， （3）解：如图，连接交于点， 则． 43．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． (1)将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． (2)将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． (3)若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如（1）中图，即为所求． (3) 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特征，找出点、的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质，结合网格特征，找出点、、的对应点，顺次连接即可； （3）由旋转的性质及中心对称的定义得出点与关于原点中心对称，根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数即可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵将绕原点旋转，点的对应点为，， ∴点与关于原点中心对称， ∴的坐标为． 44．如图所示的方格纸中，有一个和一点，的顶点和点均与小正方形的顶点重合． (1)在方格纸中，已知与关于点成中心对称，请画出； (2)在方格纸中，将绕点顺时针旋转得到，请画出； (3)若连接，试比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)= 【分析】（1）根据中心对称图形的画法画图即可； （2）根据旋转画图方法画出图形即可． （3）先求出，根据旋转可得，则，根据三角形内角和定理得出 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，取格点D，连接， 根据图象可得， ∴， 根据旋转可得， ∴， ∵， ∴． 45．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)将绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的； (3)在x轴上存在一点P，满足点到点与点距离之和最小，标出点P的位置，并直接写出的最小值为____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图形见解析， 【分析】（1）根据中心对称图形的定义画图即可； （2）根据旋转的定义画图即可； （3）如图所示，过点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据的最小值为，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图为所作图形： （2）解：如图为所作图形： （3）解：如图所示，过点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， 的最小值为． 题型十 旋转相关几何证明（共5小题） 46．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)，证明见详解 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． 47．如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 【答案】(1)依然成立，理由见解析 (2) (3)8 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出相等角和边，利用证明，即可得出结论； （2）同（1）证明，得出，，然后利用勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理求出斜边长度，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出，然后根据旋转的性质得出最值，最后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得； （3）解：如图，连接， ∵都是等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动， 当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可知，的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线定理，二次根式的运算，线段最值问题等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 48．综合与实践探究 【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系，因此，他和同学在一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且． 【初步探究】 （1）小鸣将绕点在平面内自由旋转，连接后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①，求证：，且； 【深入探究】 （2）若，点为的中点，旋转过程中，当点在一条直线上时，如图②，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【分析】（1）通过等腰直角三角形的边、角相等关系，利用“”证明三角形全等，再结合角度计算推出垂直关系； （2）通过作平行线构造全等三角形，利用“”证明全等得到边的等量关系，再结合（1）的全等结论及等腰直角三角形的性质，推导线段间的数量关系． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，且， ，，， ， ， ，， 如图①，延长交于点， ，， ， ． （2）证明：如图②，过点作， ， 为的中点， ， ， ， ，． 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理（、）及等腰直角三角形的角度、边长关系是解题关键． 49．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 50．如图，在中，将边绕点顺时针旋转得到，． (1)如图，当时，连接，，若，，，求线段的长； (2)如图，当时，过点作边上的高，在上截取，连接交于点，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)，，连接，若，当点与所在直线的距离最大时，作点关于的对称点，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据旋转的性质可得，，得到四边形是矩形，从而根据矩形的性质结合勾股定理解直角三角形即可得解； （2）过点作于点，通过旋转的性质先证明，得到，，再证明，通过线段的等量代换即可得证； （3）点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的半圆，当时，点与所在直线的距离最大，从而确定点的位置，作点关于的对称点，与相交于，过点作于，交于，过点作交延长线于，通过对称的性质，三角形内角和定理证明四边形是矩形，是等边三角形，得到，，通过勾股定理解直角三角形表示出，，，进而计算出的值，即可得到． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ， 将边绕点顺时针旋转得到，， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，； （2）解：， 证明：过点作于点， 是边上的高， ， ， 将边绕点顺时针旋转得到，， ，， ， ，，， ， ，， ， ，，即， ，，， ， ， ； （3）解：如图所示，点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的半圆，当时，点与所在直线的距离最大， 根据旋转可得，此时，是等腰直角三角形， ， 作点关于的对称点，与相交于，过点作于，交于，过点作交延长线于， ，， ，， ，， ， 根据对称可得，，， ，， ，， 四边形是矩形，是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04图形的平移与旋转 题型归纳·内容导航 题型1中心对称图形（常考点） 题型6求旋转角 题型2平移与坐标变换（常考点） 题型7利用旋转性质求解 题型3判断平移方式 题型8旋转相关规律性问题 题型4利用平移性质求解（重点） 题型9旋转相关网格作图 题型5旋转中心（重点) 题型10旋转相关几何证明（难点） 题型通关·靶向提分 题型一中心对称图形（共5小题） 1.以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是() 剪纸 琵琶 钢笔 乒乓球拍 2.为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动.现在的图书馆不单是人们 学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处.下列图书馆标志的图形中是中心对称图形的是() 叩·园圄 3.下面是4个A“神器”的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 4.中国传统纹样蕴含着丰富的数学对称之美，某文化展馆展示的以下4种经典纹样中既是轴对称图形，又 是中心对称图形的是() 1/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B C 如意纹 祥云纹 环带纹 唐草纹 5,“汉服”又称“衣冠”、“衣裳”，是中国“衣冠上国”、“礼仪之邦”、“锦绣中华"的体现，以下四种汉服常用装 饰纹样中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是() ®·版·多圆 题型二平移与坐标变换（共5小题） 6.在平面直角坐标系内，将A2,6先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得点 的坐标是() A.4,7 B.(0,7 c.(4,5) D.(0,5 7.已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1,4的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1)的对应点D的坐 标为() A.（-1,2 B.2,9 c.(5,3 D.(1,2 8.在平面直角坐标系中，将点(2,1向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是() A.（-1,1 B.5,1 C.（2,4 D.（2,-2 9.将点P(-2,3)向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点P的坐标是() A.(1,1 B.(1,5 c.（-5,1 D.（-5,5) 10.在平面直角坐标系内，点P(5,1)先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后的点坐标为() A.（2,-1 B.3,4 C.(8,3 D.(8,-1 题型三判断平移方式（共5小题） 11.把点A(-1,-3)平移到点A(2,-5),则下列平移路线正确的是() A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B.先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 12.点P(-1,2)是由点Q(0,-1)经过什么变换得到的() A.先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 B.先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C.先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度 D.先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度 13.将某图形的各点的纵坐标减去2，横坐标加上1，可将该图形() A.横向向左平移2个单位，纵向向上平移2个单位 B.横向向左平移1个单位，纵向向下平移2个单位 C.横向向右平移1个单位，纵向向上平移2个单位 D.横向向右平移1个单位，纵向向下平移2个单位 14.将某图形的各顶点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，则该图形() A.沿x轴向右平移3个单位 B.沿x轴向左平移3个单位 C.沿y轴向上平移3个单位 D.沿y轴向下平移3个单位 15.平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-1,3)、（-4,1)，将AB沿一确定方向平移，得到点B的对 应点B,的坐标是(1,2)，则点A的对应点A,的坐标是() A.(4,4) B.(3,3) C.(4,3) D.(3,4) 题型四利用平移性质求解（共5小题） 16.如图，ABC沿BC方向平移后的得到aDEF,己知BC=5,EC=2,则平移的距离是() A.1 B.2 C.3 D.5 17.如图，平移ABC得到aDEF,己知点A、D之间的距离是2cm,CE=3cm·则BC=()cm 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.4 C.3 D.2 18.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，若△ABE平移到△DCF，a=4,h=3,则 △ABE的平移距离为() a D B A.3 B.4 c.5 D.12 19.如图，ABC平移后得到aDEF,∠A=55°，∠B=45°，则∠DFG的度数是() A D B E A.55° B.45° C.110° D.100° 20,如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=I0,AC=6,把Rt△ABC沿直线BC向右平移6个单位长度 得到△A'B'C',则四边形ABC'A'的面积是() B'C A.40 B.56 C.60 D.64 题型五旋转中心（共5小题） 21.如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是() 4/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D (甲) (乙) A.点A B.点B C.点C D.点D 22.如图，在4×4的正方形网格中，△MPN绕某点旋转一定的角度，得到△MP'N',其旋转中心是() B A.点A B.点B C.点C D.点D 23.如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M,N,B,则旋转中心是() M P B A.点A B.点B C.点C D.点D 24.如图，已知点A,(-1,0),B-2,-2),线段AB,可由线段AB绕点M逆时针旋转得到，点A与A是对应 点，则点M所在象限为() 5/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 yh -3-2-1 1 23 B -2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 25.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将ABC绕旋转中心旋转某个角度后得到△A'B'C', 其中点A,B,C的对应点是点A,B,C,那么旋转中心是() B C A M N P O C B -- A.点Q B.点P C.点N D.点M 题型六求旋转角（共5小题） 26.如图，ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC,若AB=BC=AC,∠BCD=30°，则旋转角的度数是() C E A.30° B.60 C.90° D.120° 27.如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF,下列角中，是 旋转角的是() 6/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B A.∠DAE B.∠BAE C.∠EAF D.∠BAF 28.如图，三角形ABC绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形DEF,则下列选项中不能表示旋转角的是(） B E A.∠CPF B.∠APD C.∠BPE D.∠CPE 29.如图，将ABC绕点B顺时针旋转至△DBE.下列角中，是旋转角的是() A.∠ABD B.∠DBC C.∠ABC D.∠ABE 30,如图，菱形ABCD绕点D旋转后得到菱形DEFG,则下列角中不是旋转角的是()· B D A.∠EDC B.∠ADE C.∠BDF D.∠CDG 题型土利用旋转性质求解（共5小题） 31.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，将ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE,其中点A的对应点为点D ,若旋转角为20°，则∠DBC的大小是() 7/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.20° B.70° C.90° D.110° 32.如图，将矩形ABCD绕A点逆时针旋转得到矩形AEFG,已知∠BAE=53°，则∠GAD的度数为() G B A.47° B.50° C.53 D.55 33.如图，将ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△AED,若线段AB=5,则AE的长等于 B D 34.如图，将ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AB'C',此时边AC'经过点B,若AB=5,AC=9 ,则BC'的长是 C B C 35.如图，在ABC中，∠CAB=32°，将ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，连接CC'.若 CC'∥AB,则∠ACC的度数为 C B 题型八旋转相关规律性问题（共5小题） 36.如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A, 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C的坐标分别为(2,2)，（(0,4).将风车绕点0顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点B的 坐标为() B A.（-6,2 B.-6,-2】 C.(-2,-6) D.（-2,6 37.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，AB=1 ,∠A0B=30°，将△0AB绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2027次旋转结束时，点B的坐标为() A.(15 B.(1-5 c.(-5,- D.（-1,5 38.鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案.如图所示，在平面直角坐 标系中，初始菱形花瓣图案的顶点B的坐标为0,4)，点A在第一象限，LAOC=60°，将菱形OABC绕原点 0顺时针方向旋转，每次旋转60°，第一次旋转得到菱形花瓣04B,C1·若持续旋转，第2026次旋转后，顶 点B226的坐标是（） A(C) 7B1 0 A A.（-25,-2B.(0,-4) c.（-2,-25) D.(2V5,-2 39.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为0,4)，点P(2,3)在正方形铁片上， 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位 置，…，则正方形铁片连续旋转21次后，点P的坐标为() B AP. OC① ② A.(82,3) B.(87,2 C.(90,1 D.(2026,2 40.在平面直角坐标系中，△0AB的位置如图所示.将△04AB绕点0顺时针旋转90°得到△OAB;再将 △OA,B,绕点0顺时针旋转90°得到△OA,B2;再将△OA,B2绕点0顺时针旋转90°得到△OAB,…以此类推， 第2027次旋转得到△OA027B227,则顶点A的对应点A02,的坐标为(） yA 7 6 5 4 3 2 B -3-2-10 234567x 2 A.（-3,-1 B.（2,-6) C.（-6,-2 D.(6,2 题型九旋转相关网格作图（共5小题） 41.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A(-1,4),B(-3,3),C(0,1. (1)平移ABC,使点A的对应点A的坐标为-3,0). 10/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①请在图中画出平移后的△A,B,C; ②将ABC平移到△AB,C,的过程可描述为先向左平移_个单位长度，再_ (2)请在图中画出ABC关于原点中心对称的△A,B,C2,此时△AB,C,与△A,B,C2关于某一点中心对称，这一 点的坐标为- 42.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4,5),B2,2),C(5,2). B (1)以原点为对称中心，画出与△ABC成中心对称的图形△A,B,C; (2)将△ABC平移后得到△AB,C2,若点A的对应点A的坐标为(2，-1)，画出平移后的△A,B,C2: (3)△AB,C和△A,B,C2关于点P中心对称，请直接写出P点坐标一· 43.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为A-2,4),B(-4,2),C(-1,1(每个小 方格都是边长为1个单位长度的正方形)·请完成以下画图并填空. 4 3 5-4-3-2-10 1. 234.5 2 -4- -4 5 (1)将ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，画出旋转后得到的△A,B,C. (2)将ABC向上平移1个单位，再向右平移5个单位，画出平移后的△A,B,C· (3)若将ABC绕原点0旋转180°，A的对应点A的坐标是 44.如图所示的方格纸中，有一个ABC和一点0，ABC的顶点和点O均与小正方形的顶点重合， 11/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)在方格纸中，已知ABC与△A,B,C,关于点O成中心对称，请画出△AB,C; (2)在方格纸中，将ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A,B,C,请画出△A,B,C; (3)若连接AA,试比较大小：∠ACB, ∠AA,B2·(填“>”<"或“=”) 45.在平面直角坐标系中，ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） 3 5-4-3-2-11.2.3.4.5x ---2 3 -4 (1)若ABC和△A4,B,C关于原点O成中心对称图形，画出△A,B,C; (2)将ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB,C2; (3)在x轴上存在一点P,满足点P到点B与点C距离之和最小，标出点P的位置，并直接写出PB,+PC,的 最小值为一 题型土旋转相关几何证明（共5小题） 46.在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边ABC内部，且PA=3, PC=4,∠APC=150°，求PB的长. A D B A B B 图① 图② 图③ 12/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按 顺时针方向旋转60°，得到△AP'B,连接PP',寻找PA,PB,PC三边之间的数量关系，即可求得PB的长， 请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，P为ABC内一点，∠APC=135°，可判断 出AP2+2PC2=PB2,请说明理由： (3)如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接A0,BO, CO,且LA0C=∠C0B=∠B0A=120°，求0A+0B+0C的值. 47.如图①，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=LDAE=90°，当点B在线段AD上，点C在线 段AE上时，我们很容易得到BD=CE,不需证明. B B A D B D 图① 图② 图③ (1)如图②，将ADE绕点A逆时针旋转a(0<a<90),连接BD和CE,此时BD=CE是否依然成立？若成 立，写出证明过程；若不成立，说明理由： (2)如图③，当ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连接CE.若 AB=AC=2,CD=√2，求线段DE的长； (3)若P为DE中点，连接BP,AB=AC=22,AD=AE=4,当ADE绕点A逆时针旋转时，BP最大 值为m,最小值为n,则wm的值为 48.综合与实践探究 【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的 0g0,小鸣在设计1ogo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系，因此，他和 同学在一起对这个问题进行了数学探究.已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，且 ∠BAC=∠DAE=90°. 【初步探究】 (1)小鸣将ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①， 求证：BD=CE,且BD⊥CE; 13/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【深入探究】 (2)若∠ADB=90°，O点为BC的中点，旋转过程中，当点D、E、0在一条直线上时，如图②，求证： OE =OD+2BD B4 O 图① 图② 49.Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C,点A的对应点为A. B' 图① 图② 图③ (1)如图①，当∠ACB'=20°时，ABC绕点C顺时针旋转了」 (2)如图②，当点B在AB上时，若A'B'∥BC,求∠A的度数： (3)如图③，当点P为AB'的中点时，连接BP,若BC=2,AC=4,在ABC绕点C顺时针旋转一周的过程 中，直接写出线段BP的最大值和最小值 50.如图，在ABC中，将边CB绕点C顺时针旋转得到CM,∠BCM=a· M 图1 图2 备用图 (1)如图1，当=90°时，连接MA,MB,若AB=3,AC=5,∠ABC=90°，求线段AM的长： (2)如图2，当a=90°时，过点B作AC边上的高BD,在BD上截取DE=DC,连接ME交AC于点F,猜 想DF,BE之间的数量关系，并证明你的结论； (3)LACB=60°，∠BAC=45°，连接MB,若0<a<180°，当点M与BC所在直线的距离最大时，作点A关 于BM的对称点4，请直接写出匹的值， 14/14