专题03 一次函数（考题猜想，易错压轴必刷75题15种题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材青岛版

**基本信息** 聚焦一次函数从概念到综合应用的全链条训练，题型覆盖基础定义、核心技能及实际问题，知识逻辑递进，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|10题|判定函数类型、定义求参数|从定义本质出发，强化对一次函数概念的理解与辨析| |核心技能|20题|解析式求解、平移、增减性及参数问题|围绕函数性质，构建“定义-性质-应用”逻辑链，培养推理能力| |综合应用|35题|方程不等式综合、面积、行程、实际问题（阶梯收费、利润、方案）及几何综合|从代数到几何，从数学到生活，突出模型意识与应用意识，符合中考命题趋势|

扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03一次函数 题型归纳·内容导航 题型1判定是否是一次函数 题型9一次函数与不等式综合（常考点) 题型2利用一次函数定义求参数（重点) 题型10一次函数相关面积问题 题型3求一次函数解析式（重点） 题型11一次函数行程问题（重点） 题型4一次函数的平移 题型12一次函数与阶梯收费 题型5一次函数增减性 题型13一次函数最大利润问题 题型6利用一次函数增减性求参数 题型14一次函数方案问题 题型7一次函数相关规律性问题 题型15一次函数几何综合题（难点） 题型8一次函数与方程综合（常考点） 题型通关·靶向提分 题型一判定是否是一次函数（共5小题） 1.下列四个函数中，一次函数是() A.y=6 B.y=3x C.y= D.y=ax+l 3x 2.下列函数中，是一次函数的是() A.y=2 B.y=x2-2 C.y=-2x D.y=kx+b x 3.下列函数中，不是一次函数的是() A.y=3x B.y=2-3x C.y=- =x- D.y=1-3 22 4.下列函数中，是一次函数的是() 9 A.y=8x2 B.y=x+1 C.y= D.y=vx-1 5.下列四个函数中是一次函数的是() 1 A.y=x2+2 B.y=+ 4 C.y=2 D.y=1 -3 题型二利用一次函数定义求参数（共5小题） 1/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.己知函数y=(m-1)xm-2是关于x的一次函数，则m的值为 7.当k=时，一次函数y=(k-1x+k2-1的图象经过原点. 8.若函数y=(m-1)xm-3是一次函数，则m的值为 9.已知函数y=(m-2)xm-3+m+2是一次函数.则m的值为() A.2 B.4 C.2或4 D.±4 10.若y=(2m+6)xm2+9是一次函数，则m的值是 题型三求一次函数解析式（共5小题） 11.若直线4：y=+b与直线y=2x平行，且与y轴交于点(0,3)，则直线的函数解析式是 12.已知一次函数的图像经过点A(2,5)和点B(-1,-1),这个一次函数的解析式为 13.已知y与x-1成正比例，且x=-1时，y=4.则y关于x的函数表达式是· 14.请写出一个经过点(2，-3)的正比例函数解析式一 15.已知一次函数y=x+b的图象经过点(-1,2)和(2，-1)，则该函数的解析式为 题型四一次函数的平移（共5小题） 16.将一次函数y=3x-2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为 17.将直线y=-x向上平移2个单位长度得到的直线解析式为 18.直线y=-2x+1向下平移4个单位长度得到的直线的解析式为 19.将直线y=2x-1向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为 20.在平面直角坐标系中，如果将一次函数y=x+m的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象， 则m的值为 题型五一次函数增减性（共5小题） 21.已知点Ax,y),B(x2,y2)是一次函数y=-m2x+n(m≠0)图像上的两点，若y<y2,则下列关系正确的 是() A.X<X2 B.x>x2 C.X=X2 D.无法判断 22.己知一次函数y=2x+1,点(x,),(x,)在该函数图象上，且x<x2,则下列关系一定成立的是() A.>2 B.yi=y2 C.y<2 D.不确定 2/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23.一次函数y= 2+b的图象过点(x,y小，(：-山，，则片和与的大小关系是() 1 A.y<2 B.y1=y2 C.>y2 D.无法确定 24.直线y=2026x+b经过点Ax,y)和点B(x2,y2),已知x>x2,则片与2的大小关系是() A.y>y2 B.<y2 C.y1=y2 D.y2y2 25.已知A(x,y1),B(x2,y2)是一次函数y=kx+b(k≠0)图象上的两点，且x,<x2<0,y2>1>0,则该 函数的图象经过() A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 题型六利用一次函数增减性求参数（共5小题） 26.若一次函数y=(k-2)x+3,若y随x增大而减小，则k的取值范围是() A.k>2 B.k<2 C.k22 D.k≤2 27.已知函数y=(m-3引x-子(m是常数)的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（) A.m20 B.m>3 C.>3 D.m<3 28.已知点A(x,-1)和点B(x2,3在直线y=(k+4)x+2(k为常数，k≠-4)上，若x>x2,则k的值可能 是() A.0 B.-3 C.-5 D.2 29.已知一次函数y=(k-2)x+1,y随x的增大而减小，则k的取值范围是() A.k>2 B.k<2 C.k≥2 D.k≤2 30.点Ax),B(x22)是一次函数y=x+1-m图象上的两点，（y,-y2)x-x2<0,则m的取值范 围为() A.m<0 B.m>0 C.m≠1 D.不能确定 题型士一次函数相关规律性问题（共5小题） 31.如图，直线y=x+1与y轴相交于点A,以OA,为边作正方形OA,B,C,记作第一个正方形；然后延长 CB与直线y=x+1相交于点A,再以C4为边作正方形C1AB2C2'记作第二个正方形；同样延长C,B,与 3/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直线y=x+1相交于点A,再以C2A3为边作正方形C,4,B,C,记作第三个正方形，，依此类推，则第个 正方形的边长为() B B2 A B O C C A.2-2 B.2- C.2" D.2+利 32.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x-1的图象直线1与x轴交于点A,以OA,为一边作正方形 OAB,C,使得点C在y轴正半轴上，延长CB,交直线I于点A,按同样方法依次作正方形C,A,B,C2、正方 形C2AB,C3、、正方形Cm-1 A.B.C，使得点A,A,A,…An,均在直线l上，点G,C2,C3Cn在y 轴正半轴上，则点B226的横坐标是（) B3 B2 B C A 衣 A.42025 B.42026 C.22026 D.22025 33.如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线l,l2,过点1,0)作x轴的垂线交 于点A,过A点作y轴的垂线交马于点4，过点A作x轴的垂线交（于点A,过点A作y轴的垂线交于点 A4,…依次进行下去，则点A25的坐标为（) A2 A 4/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.(1012,-1013B.（-10122,10132) C.(21o12,2101） D.(2012,-2o13） 34.如图，直线y=x+1交x轴、y轴分别于P、A两点，直线y=2x+2交y轴于B点，过B作x轴的平行 线交直线PA于A,过A作y轴的平行线交直线PB于B,过B作x轴的平行线交直线PA于A,如此反复， 则A的坐标为() R A.(63,64 B.65,64 C.(31,32 D.(127,128 35.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，B在第一象限，且△OA,B,是等边三角形.在射 线OB,上取点B2,B,,分别以B,B2,B2B,…为边作等边三角形△BA,B2,△B2A,B,…使得A1,A2,A,…在同一 直线上，该直线交y轴于点C.若OA,=1,∠OA,C=30°，则点Bn的纵坐标是() B A.2-1 B.2" c.2°-1 D.(2”-5 2 2 题型八一次函数与方程综合（共5小题） 36.如图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P,则方程+b=1的解是() 2.5 5/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.x=1 B.x=2.5 C.x=3.5 D.无法确定 37.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b(m,b为常数，且m≠0)与正比例函数y=x(n为常数， 且n≠0)的图象如图所示，则关于x的方程mx=nx-b的解为() y-mx+b y-nx A.X=3 B.x=-3 C.x=1 D.x=-1 38.如图，一次函数y=cx+b(k<0)的图象经过点A,则方程kx+b=3的解是() 2 A.x=b B.x=2 C.x=3 D.x=-6 39.如图，直线l:y=kx+b,与直线l2:y=kx+b2交于点P(1,3),则关于x,y的方程组 y=k+的解是 y=kx+b, () x=3 x=1 A B D. y=1 y=3 y=3 y=-3x+b 40.如图，直线y=-3x+b与直线y=x-2相交于点A(2,),则方程组 y=a-2 的解是() 6/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 v=-3x+b /y=kx-2 A x=2 A. y=1 B. x=1 x=0 =2 D. y=1 题型九一次函数与不等式综合（共5小题） 5 如图，直线片=Q+与x+b相交于点M,已知点M的横坐标 则关于x的不等式 2 ax + ≥x+b的解集为 2 2=3+b O M y-ax+2 42.如图，在平面直角坐标系中，若直线y=-x+a与直线y2=bx-4相交于点P,则不等式-x+a>bx-4的 解集是 43.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-2x+2与直线y=x+b(k,b为常数，k≠0)的交点为 Am,4),则关于x的不等式-2x+2<x+b的解集为 VA A y=kx+b y= 2x+2 44.一次函数y=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则kx+b-(x+a≤0的解集是 7/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y1=kx+b y2=x+a 45.如图，正比例函数y=-2x和一次函数y=x+6交于点Am,4),不等式kx+6≥-2x的解集为 题型士一次函数相关面积问题（共5小题） 46.己知一次函数y=-x+m和y=2x+n的图象都经过A-4,0),且与y轴分别交于B,C两点，则ABC的 面积为 47.已知一次函数y=x+m和y=-3x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点，那么 ABC的面积是 48.若直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积为8，则b= 49.如图，直线y=- +4与)第交于点小、与直线)+号交于点B且直线y-+与：销交于点 4 44 5 5 C,则ABC的面积为 B 50.如图，直线y=-x+5与x轴交于点B,与直线y=4x交于点A. B y=-x+5 8/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)△A0B的面积是 (2)点M(3,m)在直线y=-x+5上，直线y=kx+b(k≠0)经过点M,且与x轴交于点C,若△MCB的面积 是△40B面积的？，则k的值为 题型十一一次函数行程问题（共5小题） 51.2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米 马拉松赛.比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发.下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s(千米) 与时间t(小时)的函数图象.下列说法正确的有() 个S(千米) 乙 13 158(小时) 55 ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③1=2时，甲、乙两队相遇；④t=}或 3 时，甲、乙两队相距千米 A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④ 52.某公司打算与出租车公司签订租车合同.每月行驶x千米时，甲出租车公司的月租费用是y元，乙出租 车公司的月租车费用是元，y2与x之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是() 400 y2=g(x) 300 -yi=fx) 200 100 0501500250 x(千米) A.x=1500千米时，两家公司的租车费用相同； B.x=750千米时，甲公司的租车费用为150元： C.x>1500千米时，甲公司的费用比乙公司低： D.x=3000千米时，两公司的租车费用相差150元. 53.甲乙两人在直线跑道上同起点、同终点，同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息，己知甲先出 发2秒.在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示，给 9/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出下列结论：①a=8;②b=90;③c=123,其中错误的是(） y/米 6 04 a 100c/秒 A.② B.①② C.②③ D.①②③ 54.一号探测气球从海拔10千米处出发，与此同时，二号探测气球从海拔30千米处出发.两只气球所在 位置的海拔y(千米)与上升时间x(分)的函数图象如图所示.在上升40分时，两只气球位于同一高度， 则这个高度是 千米 y(千米) 30 10 0 4070100x(分) 55.图中表示的是某汽车行驶的路程s(km)与时间t(min)的函数关系图，观察图由所提供的信息，解答下 列问题： s/km 40 916 30 i/min (1)汽车在前9分钟内的平均速度是 (2)求出当16≤t≤30时，s与t的函数关系式为 ； (3)汽车前25分钟走了千米. 题型十二一次函数与阶梯收费（共5小题） 56.己知N市出租车原收费标准如下：不超过3km的路程按起步价10元收费，超过3km以外的路程按2.4 元/k收费，为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶 的路程为xkm,当0<x≤20时，按原收费标准收费；超过20km以外的路程，按原单价2.4元/km的1.5倍 收费.若行驶路程x超过20km,则收费总额y(元)与x(km)的函数关系式为 10/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 57.为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用 水量不超过16m时，使用费为每立方米1.3元；超过16m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处 理费为每立方米1.2元.设一户每月用水量为m3,应缴水费y元，则y与x之间的函数表达式为 58.为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用.下表是家庭人口不超 过4人时户年用气量及分档计费标准.当x>600时，天然气费y(单位：元)与x之间的关系式是 计费档 户年用气量x/m3 单价/（元/m3) 第一档 0<x≤300 2.73 第二档 300<x≤600 3.28 第三档 x>600 3.82 59.为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某 市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米a元收费；超过6m3时，不超 过的部分每立方米仍按©元收费，超过的部分每立方米按b元收费.该市某户今年九、十月份的用水量和水 费如下表所示： 月份 用水量(m3) 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为xm)(x>6),应交水费为y(元)，写出y与x之间的关系式 60.为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过12m 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 设每户每月用水量为m3,，水费为y元，当12<x≤18时，则y关于x的函数关系式为 题型土三一次函数最大利润问题（共5小题） 11/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 61.某文具店计划购进甲、乙两种笔袋共100个进行销售.己知购进2个甲笔袋和1个乙笔袋需花费92元， 购进3个甲笔袋和2个乙笔袋需花费164元.甲笔袋售价为40元/个，乙笔袋售价为87元/个. (1)分别求出每个甲笔袋和乙笔袋的进价： (2)商店根据销售经验，决定购进甲笔袋的数量不少于乙笔袋数量的一半，如何进货才能使这批文具全部售 完时获利最大？最大利润是多少？ 62.为助力贵州乡村振兴，某村合作社依托当地生态优势，生产贵州刺梨汁和贵州绿茶两款特色农产品礼 盒.己知生产1件刺梨汁礼盒成本50元，利润30元；生产1件绿茶礼盒成本40元，利润20元.合作社计划 本月生产两种礼盒共220件，总成本恰好为10000元. (1)求本月刺梨汁礼盒和绿茶礼盒各生产多少件？ (2)若下个月两种礼盒仍生产共220件，要求总成本不超过10200元，求刺梨汁礼盒生产多少件时，总利润最 大，并计算此时的最大总利润。 63.中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱 猛兽以为阵，象，兽之雄也.故戏兵以象戏名之.”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝 时期.某商场花费4800元从厂家购买了A,B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售 价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 (1)商场购进两种材质的中国象棋各几件？ (2)若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的 2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 64.某服装公司在新春到来之际，新上市A型和B型两款童装，准备将80件A型童装和120件B型童装 分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售.A型童装成本价90元，B型童装成本价80元，其中140件给甲电 商平台专卖店，60件给乙电商平台专卖店，且都能卖完.两电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格（元） 如下表： A型（元） B型（元） 甲店 190 170 12/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 乙店 170 180 (1)设分配给甲电商专卖店A型产品x件，如果记这家服装公司卖出这200件童装的总利润为y(元)，求y 关于x的函数关系式： (2)如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？ 65.确山瓦岗红薯是河南驻马店确山县特产，中国国家地理标志产品，薯块均匀，口感绵软，营养丰富， 某商家在产销旺季购进板栗味红薯和玉米味红薯共600kg进行销售，已知购进3kg板栗味红薯和2kg玉米味 红薯共需23元，购进2kg板栗味红薯和3水g玉米味红薯共需22元. (1)求这两种红薯购进时的单价分别为多少元？ (2)若板栗味红薯的售价为6.5元kg,玉米味红薯的售价为5元kg,该商家计划购进板栗味红薯不超过玉 米味红薯的2倍，要使这批红薯全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最 大利润. 题型土四一次函数方案问题（共5小题） 66.为响应“绿色校园"建设，学校开展“旧物改造创意大赛”活动，需采购A、B两种环保改造材料(A为再 生纸板套装，B为可降解黏合剂套装)，已知采购1套A材料和2套B材料共需130元：采购3套A材料 和5套B材料共需340元. (1)求1套A材料和1套B材料的单价 (2)创意社团计划采购这两种材料共50套，用于12个参赛小组的创作，且B材料的采购数量不低于A材料 数量的2倍，设采购A材料x套，总费用为y元，求总费用最低的采购方案，并求出最低总费用. 67.河南农产品销售实际应用信阳毛尖茶店批发售卖一级、二级茶叶，已知： ①购进4斤一级茶、3斤二级茶共需290元； ②购进2斤一级茶、5斤二级茶共需250元. (1)求一级、二级茶叶每斤进价： (2)店铺计划购进两种茶叶共90斤，一级茶进货量不少于二级茶一半，设购进一级茶m斤，总费用为Q元， 求最低进货费用以及对应进货方案。 68.随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化 魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷.己知购买4个A型号的帐篷和2个B 型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元. (1)求A,B两种型号的帐篷的单价： (2)据统计，该景区需购买A,B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的 13/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用， 69.某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文 化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种.方案1：购买一张成人票赠送一张 学生票；方案2：按总价的90%付款 某校有4名老师与x名x24)学生去该展厅听音乐会 (1)设方案1中的付款总金额为y(元)，方案2中的付款总金额为（元），分别求出y、与x之间的 函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案， 70.为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于5月中旬举办“校园读书节”，现需采购 A,B两种图书.己知购买2本A种图书和3本B种图书共需180元，购买4本A种图书比购买5本B种图书多 30元. (1)求A,B两种图书的单价； (2)该校计划购买A,B两种图书共50本，且B种图书的数量不超过A种图书数量的一半，通过计算设计一种 购买方案，使所需费用最少。 题型土五一次函数几何综合题（共5小题） 71.如图，平面直角坐标系中，直线B:y=+b交y轴于点4，交维于点80。 D B (1)求直线AB的表达式和点A的坐标； (2)直线1垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线I上一动点，且在点D的上方，设点P的纵 坐标为n. ①用含的代数式表示△ABP的面积： ②当S。4p=16时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使得BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若 存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 14/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 72.在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标为(3，O),直线AB交y轴正半轴于点B,点C为射线AB上一 点 B A 图1 图2 (1)如图1,0A=0B,求直线AB的表达式 (2)在(1)的条件下，点D在x轴上，连接C0,CD,若C0=CD且∠0CD=45°，求点C的坐标； (3)如图2，点E是第一象限内一动点，且AE=1.若AB平分∠0AE,CO=CE,点M的坐标为(4，)，求 MC+AC的最小值. 73.在平面直角坐标系中，已知直线l:y=kx+b(k≠0)分别与x轴和y轴交于A、B两点，直线l2:y=-x+1 分别与x轴和y轴交于C、D两点，4与2交于点E,其中A点为(-6,0)且0B=20D. E B E B D D 备用图 (1)求直线的解析式： (2)将点D沿水平方向平移Q个单位至P,DP∥x轴，连接PA、PB，当SAP4B=8时，求平移的距离a的值： (3)已知点F为x轴上的一个动点，若∠AB0-∠FEC=45°，请求出F的坐标. 直笺AB经过点A-4,0,点B0,4.过点C2,0的直线y=x+1交直线AB于点D,交y轴于点 B D D O C若 A O (1)求D点坐标： 15/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)点M为y轴上一动点，CDM的面积为5，求点M的坐标： (3)连接BC,点G是直线AB上一点，且满足∠BCG=45°，直接写G的坐标 75.如图，已知直线y,=x+b经过点A(-6,0),B(-1,5),直线2=-2x+a与直线AB相交于点M,与x 轴交于点D,点M的横坐标为-3. y个 B M 6 D (1)根据图象，直接写出当y2>y>0时，x的取值范围是什么？ (2)求直线AB的表达式和a的值； (3)若点P在直线AB上，且S△4DP=4 SA ADM,求点P的坐标. 16/16专题03 一次函数 题型1 判定是否是一次函数 题型9 一次函数与不等式综合（常考点） 题型2 利用一次函数定义求参数（重点） 题型10 一次函数相关面积问题 题型3 求一次函数解析式（重点） 题型11 一次函数行程问题（重点） 题型4一次函数的平移 题型12 一次函数与阶梯收费 题型5 一次函数增减性 题型13 一次函数最大利润问题 题型6 利用一次函数增减性求参数 题型14 一次函数方案问题 题型7 一次函数相关规律性问题 题型15 一次函数几何综合题（难点） 题型8 一次函数与方程综合（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判定是否是一次函数（共5小题） 1．下列四个函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项，一次函数的定义为：形如（为常数，）的函数是一次函数，正比例函数是特殊的一次函数． 【详解】解：A． 是常数函数，不符合一次函数定义，错误； B．中，，属于特殊的一次函数，符合定义，正确； C．是反比例函数，不符合一次函数定义，错误； D．中未说明，当时该函数是常数函数，不符合定义，错误． 2．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的形式为（，为常数，且），正比例函数是特殊的一次函数． 【详解】解：A、不符合一次函数定义，排除； B、中的次数为，不符合一次函数定义，排除； C、中，，，满足一次函数定义，是一次函数； D、未规定，若则不是一次函数，不符合要求，排除． 3．下列函数中，不是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项即可得到答案，一次函数要求自变量为整式，且最高次数为1． 【详解】解：A、是正比例函数，属于一次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不符合题意； C、，是一次函数，不符合题意； D、中，是分式，不符合一次函数的定义，不是一次函数，符合题意． 4．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一次函数的定义判断各选项即可，一次函数的定义为：形如（是常数，）的函数是一次函数． 【详解】解：选项A中，的次数为，不符合一次函数定义； ∵选项C中等号右边不是整式，不符合一次函数形式； ∵选项D中等号右边不是整式，不符合定义； ∵选项B中符合形式，其中，，满足一次函数定义， 5．下列四个函数中是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数， 选项A中，自变量的次数为，不符合一次函数定义； 选项B中，符合的形式，其中，，满足一次函数定义； 选项C中不是整式函数，不符合一次函数定义； 选项D中不是整式函数，不符合一次函数定义 题型二 利用一次函数定义求参数（共5小题） 6．已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义可得的指数为1，且求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且 ∴． 7．当_____时，一次函数的图象经过原点． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，一次项系数不为，再结合函数图象经过原点，即原点坐标满足函数解析式，代入求解即可得到的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴将，代入函数解析式得， 解得：， ∵该函数为一次函数，一次项系数不能为， ， ∴， ． 8．若函数是一次函数，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义得到，，进而可知的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：且， ∴． 9．已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解，得或，即或， ∵，即， ∴． 10．若是一次函数，则的值是__________． 【答案】3 【详解】解：函数 是关于的一次函数， 且， 由得， 解得或， 由得， ， 题型三 求一次函数解析式（共5小题） 11．若直线：与直线平行，且与y轴交于点，则直线的函数解析式是__________． 【答案】 【分析】由直线：与直线平行，可设直线的函数解析式为，将代入，即可得出答案． 【详解】解：∵直线：与直线平行， ∴设直线的函数解析式为， ∵直线与轴交于点， ∴， ∴直线的函数解析式是． 12．已知一次函数的图像经过点和点，这个一次函数的解析式为______． 【答案】/ 【详解】解：一次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为 ． 13．已知与成正比例，且时，．则关于的函数表达式是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，设，然后把时，代入，求出k的值即可得到y与x的函数关系式． 【详解】解：设y与x的函数表达式为， 根据题意得：， 解得：， y与x的函数表达式为． 14．请写出一个经过点的正比例函数解析式______． 【答案】 【详解】解：设经过点的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴这个正比例函数解析式为． 15．已知一次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式．将已知两点坐标代入一次函数解析式，解方程组得到与的值，即可确定出函数解析式． 【详解】解：一次函数的图象经过点和， 将两点坐标代入解析式，得， 解得， 该一次函数的解析式为． 题型四 一次函数的平移（共5小题） 16．将一次函数的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 【答案】 【详解】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度， 根据平移规律可得所得图象的函数表达式为． 17．将直线向上平移2个单位长度得到的直线解析式为________． 【答案】 【分析】直接根据一次函数的平移规则：“上加下减，左加右减”求解即可. 【详解】解：∵直线向上平移2个单位长度， ∴根据平移规律可得得到的直线解析式为 18．直线向下平移4个单位长度得到的直线的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，掌握函数图象平移“上加下减，左加右减”的规则是解题关键．根据平移规则计算即可得到平移后直线的解析式． 【详解】解：由函数图象平移的“上加下减”规则可得，直线向下平移个单位长度后，所得直线解析式为，即． 19．将直线向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”平移规律，即可确定平移后直线的解析式． 【详解】解：直线向上平移个单位长度， 平移后直线的解析式为 ，即． 20．在平面直角坐标系中，如果将一次函数的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象，则m的值为________． 【答案】5 【分析】根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再根据正比例函数的定义，令常数项为，即可求解的值． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后的函数的解析式为， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴，解得． 题型五 一次函数增减性（共5小题） 21．已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】先判断一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴该一次函数y随x的增大而减小， ∵， ∴． 22．已知一次函数，点在该函数图象上，且，则下列关系一定成立的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据一次函数解析式中的符号判断随的变化规律，结合的大小关系即可得到的大小关系. 【详解】解：∵一次函数 中，， ∴随的增大而增大. ∵，且点在该一次函数图象上， ∴. 23．一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再比较两点横坐标大小，即可推出纵坐标的大小关系． 【详解】∵一次函数中，一次项系数， ∴y随x的增大而减小， ∵两点横坐标满足， ∴． 24．直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知， 随x的增大而增大， ， ． 25．已知，是一次函数图象上的两点，且，，则该函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质判断出，再结合一次函数的性质即可得出结论． 【详解】∵，， ∴对于一次函数，随的增大而增大， ∴， 故一次函数的图象经过第一、三象限； ∵，， 故，两点在第二象限， 故一次函数的图象经过第二象限； 综上，一次函数的图象经过第一、二、三象限． 题型六 利用一次函数增减性求参数（共5小题） 26．若一次函数，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是一次函数，且y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：B． 27．已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随着x的增大而增大． 【详解】解：当时，y的值随x的增大而增大， 解得：． 28．已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据已知x与y的大小关系判断函数增减性，进而得到k的取值范围，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为， ∴， 又∵ ，可知增大时减小， ∴ 直线中，随的增大而减小， 根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小， ∴ ， 解得 ， ∵ 选项中只有符合条件． 29．已知一次函数，随的增大而减小，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数()中，当时，随的增大而减小，据此列不等式求解即可． 【详解】解：一次函数中，随的增大而减小 一次项系数满足 解不等式得． 30．点是一次函数图象上的两点，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用乘积小于0的条件，判断一次函数的增减性，再利用一次函数的性质求解． 【详解】解： 与异号 根据一次函数性质，y随x增大而减小，一次项系数小于0， ． 题型七 一次函数相关规律性问题（共5小题） 31．如图，直线与轴相交于点，以为边作正方形，记作第一个正方形；然后延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第二个正方形；同样延长与直线相交于点，再以为边作正方形，记作第三个正方形，…，依此类推，则第个正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线解析式先求出，再求出第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长． 【详解】解：∵在上， 当时，， ∴， ∴第一个正方形的边长为1， ∴当时，第1个正方形的边长为； ∵在上，， 当时，， ∴， ∴第二个正方形的边长为2， ∴当时，第2个正方形的边长为； 同理，当时，第3个正方形的边长为； …… ∴第个正方形的边长为． 32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 33．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 34．如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点， ∴，， ∵过B作x轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作y轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作x轴的平行线交直线于， ∴ ∴的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为64， 点． 故选：A． 35．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，分别以为边作等边三角形使得在同一直线上，该直线交轴于点．若，则点的纵坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是等边三角形，， 的横坐标为，， 设，则， 解得：或， 点在第一象限， ， 的解析式为， ，，是等边三角形， ， ， ， ， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， 同理 ，，， ， ∴的纵坐标是． 故选：D． 题型八 一次函数与方程综合（共5小题） 36．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 37．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 38．如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 39．如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，运用数形结合的思想即可解答． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是：． 40．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知：方程组的解是． 题型九 一次函数与不等式综合（共5小题） 41．如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】利用交点的横坐标，数形结合思想求解即可； 【详解】解：因为直线与相交于点， 且点的横坐标为， 故关于的不等式的解集为； 42．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】根据函数图象找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：直线与直线相交于点， ∴不等式的解集是. 43．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为______ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，． 即关于的不等式的解集为． 44．一次函数与的图象如图所示，则的解集是______． 【答案】 【详解】解：由图象可知，的解集，即的解集为. 45．如图，正比例函数和一次函数交于点，不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用正比例函数解析式确定A点坐标，结合图形即可求解． 【详解】解：正比例函数和一次函数交于点， ，解得． ． 结合图形可知，当时，． 题型十 一次函数相关面积问题（共5小题） 46．已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 【答案】 24 【分析】先将点的坐标代入两个一次函数解析式，求出的值，再得到两个函数与轴交点的坐标，最后利用三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解： 一次函数和的图象都经过点 将代入两个解析式得 ， 解得：， 两个函数解析式分别为， 轴上点的横坐标为，分别令 得， 即 得， 即 都在轴上，因此 点到轴的距离为，即中边上的高为 ． 47．已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 【答案】 【分析】首先分别把代入两个函数解析式中，解得，，即得，，然后根据三点坐标求的面积． 【详解】解：把代入和两个函数解析式中， 得：，， ∴，， ∴，， ∴． 48．若直线与两坐标轴围成的三角形面积为8，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题．先求直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：当时，； 当时，，则； 故直线与坐标轴的交点为和 由题意可得： 化简得： 解得： 故答案为：． 49．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 【答案】4 【详解】解：记直线与轴交于点， 在中，当时，， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴， 解方程组，得， ∴， 过点B作轴，则， 在中，当，时，解得， ∴， ∴，, ∴ ． 故答案为:． 50．如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 题型十一 一次函数行程问题（共5小题） 51．2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（    ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． 对于①，根据图中甲乙两直线的倾斜角度，即可判断； 对于②，用路程差除以时间差，即可求出甲队的速度； 对于③，根据相遇时甲乙两对行驶的距离相等列方程求解即可； 对于④，分别求出甲乙两队行驶距离s（千米）与时间t（小时）的函数解析式，并针对和，分别列方程求解即可． 【详解】解：对于①， 由图可知， 当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢， 所以①错误； 对于②， 甲减速后的速度为（千米小时）， 所以②正确； 对于③， 乙的速度为（千米小时）， 根据题意，得 解得 所以当时，甲、乙两队相遇， 所以③正确； 对于④， 设减速前甲队的函数关系式为， 把代入，得， ， 减速前甲队的函数关系式为， 设减速后甲队的函数关系式为， 把，代入，得， 解得， 所以减速后甲队的函数关系式为， 设乙队的函数解析式为， 把代入，得， ， 所以乙队的函数解析式为， 当时，令 解得（舍去）； 当时，令， ， 或， 解得或， 所以④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故选：D． 52．某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（  ） A．千米时，两家公司的租车费用相同； B．千米时，甲公司的租车费用为元； C．千米时，甲公司的费用比乙公司低； D．千米时，两公司的租车费用相差150元． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象看两个函数的交点所对应的自变量的取值是多少即可解答，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【详解】解：根据图象可知：相交于，当时，的图象在的图象上方，当时，的图象在的图象上方， A、每月行驶1500千米时，两家公司的租车费用相同，正确，故选项不符合题意； B、设关于的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ， ∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为（元）， ∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为150元，正确，故选项不符合题意； C、每月行驶超过1500千米时，租用甲公司的费用比乙公司低，故选项不符合题意； D、设关于的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ， ∴每月行驶3000千米时， ， ， （元）， ∴租用乙公司的租车费用比甲公司多100元，故选项符合题意； 故选：D． 53．甲乙两人在直线跑道上同起点、同终点，同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的关系如图所示，给出下列结论：①；②；③，其中错误的是（   ）    A．② B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】先求出甲的速度和乙的速度，再根据函数图象中的数据求得、、的值，即可解答本题． 【详解】解：甲先出发秒，相距米， 甲的速度为（米秒）， 秒时乙开始休息， 乙的速度为（米秒）， ，故②错误； 秒后，甲乙相遇， ， 解得，故①正确； ，故③正确， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 54．一号探测气球从海拔10千米处出发，与此同时，二号探测气球从海拔30千米处出发．两只气球所在位置的海拔y（千米）与上升时间x（分）的函数图象如图所示．在上升40分时，两只气球位于同一高度，则这个高度是__________千米．    【答案】50 【分析】设上升40分时，两只气球位于同一高度千米，两只气球都不再上升的高度为千米，然后分别根据两个气球上升的速度列出方程组，消掉解方程即可． 【详解】解：设上升40分时，两只气球位于同一高度千米，两只气球都不再上升的高度为千米， 由题意得：， 由①得， 由②得， 消掉得， 解得． 故两只气球位于同一高度，这个高度是50千米． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，仔细观察图形，根据气球的速度列出方程组是解题的关键． 55．图中表示的是某汽车行驶的路程与时间的函数关系图，观察图由所提供的信息，解答下列问题： （1）汽车在前9分钟内的平均速度是______． （2）求出当时，s与t的函数关系式为______； （3）汽车前25分钟走了______千米． 【答案】 30 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，比较简单，准确识图并获取信息是解题的关键． （1）根据函数图象，得出前9分钟所走的路程，再根据速度公式即可解答； （2）设当时，s与t的函数关系式为，将代入，求出k和b的值即可解答； （3）将代入（2）中得出的关系式，即可解答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）设当时，s与t的函数关系式为， 将代入得： ， 解得：， ∴当时，s与t的函数关系式为， 故答案为：； （3）把代入得：， 故答案为：30． 题型十二 一次函数与阶梯收费（共5小题） 56．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，． 57．为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意正确列出函数表达式是解题的关键； 水费由使用费和污水处理费组成，污水处理费每立方米1.2元；使用费分段计费：用水量不超过16立方米时，每立方米1.3元，超过部分每立方米2.0元，因此分段写出函数表达式即可． 【详解】解：①当时，使用费为元，污水处理费为元， 故； ②当时，使用费为元，污水处理费为元， 故， ∴与之间的函数表达式为， 故答案为：． 58．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，天然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 59．为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为，应交水费为（元），写出与之间的关系式________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数应用． 根据九月份用水量与水费的关系可得的值，根据十月分用水量和水费的关系即可求得的值，根据题意写出与之间的关系式即可． 【详解】解：九月份的用水量为，水费为12元，未超过6， 则，解得， 十月份的用水量为，水费为元，超过6 ∴，解得， 设某户该月用水量为，应交水费为， 即 故答案为： ， 60．为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在到立方米时，水费由前立方米的固定费用和超出部分的费用组成． 【详解】解：当时，前立方米水费为元，超出部分为立方米，按元立方米计费， 因此． 故答案为：． 题型十三 一次函数最大利润问题（共5小题） 61．某文具店计划购进甲、乙两种笔袋共100个进行销售．已知购进2个甲笔袋和1个乙笔袋需花费92元，购进3个甲笔袋和2个乙笔袋需花费164元．甲笔袋售价为40元/个，乙笔袋售价为87元/个． (1)分别求出每个甲笔袋和乙笔袋的进价； (2)商店根据销售经验，决定购进甲笔袋的数量不少于乙笔袋数量的一半．如何进货才能使这批文具全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每个甲笔袋进价为20元，每个乙笔袋的进价为52元 (2)购进甲笔袋34个，购进乙笔袋66个，最大利润为元 【分析】（1）设每个甲笔袋进价为元，每个乙笔袋的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设购进甲笔袋个，则购进乙笔袋个，根据列出一元一次不等式求出，设利润为元，则，再结合一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个甲笔袋进价为元，每个乙笔袋的进价为元， 由题意可得， 解得：， ∴每个甲笔袋进价为20元，每个乙笔袋的进价为52元； （2）解：设购进甲笔袋个，则购进乙笔袋个， ∵决定购进甲笔袋的数量不少于乙笔袋数量的一半， ∴， 解得：， ∵文具店计划购进甲、乙两种笔袋共100个进行销售， ∴， 设利润为元， 则 ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，为整数， ∴当时，最大，为（元），此时， 故购进甲笔袋34个，购进乙笔袋66个，最大利润为元． 62．为助力贵州乡村振兴，某村合作社依托当地生态优势，生产贵州刺梨汁和贵州绿茶两款特色农产品礼盒．已知生产件刺梨汁礼盒成本元，利润元；生产件绿茶礼盒成本元，利润元．合作社计划本月生产两种礼盒共件，总成本恰好为元． (1)求本月刺梨汁礼盒和绿茶礼盒各生产多少件？ (2)若下个月两种礼盒仍生产共件，要求总成本不超过元，求刺梨汁礼盒生产多少件时，总利润最大，并计算此时的最大总利润． 【答案】(1)刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件 (2)刺梨汁礼盒生产件时，总利润最大，此时最大总利润为元 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用（销售、利润问题），一元一次不等式的实际应用，以及一次函数的实际应用． （1）设刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件，根据总件数和总成本列二元一次方程组，并解方程组即可得到答案． （2）设刺梨汁礼盒生产件，则绿茶礼盒生产件，总利润为元，根据总成本不超过元，列一元一次不等式解得的取值范围，列关于的一次函数，得到取最大值时最大，计算即可． 【详解】（1）解：设刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件， 由题意，得，解得， 答：刺梨汁礼盒生产件，绿茶礼盒生产件； （2）解：设刺梨汁礼盒生产件，则绿茶礼盒生产件，总利润为元， ∵总成本不超过元， ∴，解得， ∴总利润为：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最大值时，总利润最大，最大利润， 答：刺梨汁礼盒生产件时，总利润最大，此时最大总利润为元． 63．中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 (1)商场购进两种材质的中国象棋各几件？ (2)若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件 (2)商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元 【分析】（1）设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件，根据花费钱数和总件数列二元一次方程组，求出x、y的值； （2）设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元，列出一次函数，确定自变量a的取值范围，根据一次函数增减性确定a的值和最大利润． 【详解】（1）解：设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件， 依题意，得：， 解得：． 答：商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件； （2）设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元， 则， 由题意得， 解得， ，， w随a的增大而增大． 当时，利润最大，最大值为（元）． 故商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元． 64．某服装公司在新春到来之际，新上市A型和B型两款童装，准备将80件A型童装和120件B型童装分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售．A型童装成本价90元，B型童装成本价80元，其中140件给甲电商平台专卖店，60件给乙电商平台专卖店，且都能卖完．两电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格（元）如下表： A型（元） B型（元） 甲店 190 170 乙店 170 180 (1)设分配给甲电商专卖店A型产品x件，如果记这家服装公司卖出这200件童装的总利润为y（元），求y关于x的函数关系式； (2)如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？ 【答案】(1)y=30x+17000 (20≤x≤80) (2)分配方案为甲店分配A型童装80件，B型童装60件，乙店分配A型童装0件，B型童装60件，最大利润为19400元 【分析】（1）设分配给甲电商专卖店A型产品x件，再表示出分配给甲电商专卖店B型产品数量，以及分配给乙电商专卖店A、B型产品的数量，结合利润售价成本，即可求出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设分配给甲电商专卖店A型产品x件，则分配给甲电商专卖店B型产品件，分配给乙电商专卖店A型产品件，B型产品件， 由题意得： ， 又， ， y关于x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为， 此时（件），（件），（件）， 即分配方案为甲店分配A型童装80件，B型童装60件，乙店分配A型童装0件，B型童装60件，最大利润为19400元． 65．确山瓦岗红薯是河南驻马店确山县特产，中国国家地理标志产品，薯块均匀，口感绵软，营养丰富，某商家在产销旺季购进板栗味红薯和玉米味红薯共进行销售，已知购进板栗味红薯和玉米味红薯共需23元，购进板栗味红薯和玉米味红薯共需22元． (1)求这两种红薯购进时的单价分别为多少元？ (2)若板栗味红薯的售价为元，玉米味红薯的售价为5元．该商家计划购进板栗味红薯不超过玉米味红薯的2倍，要使这批红薯全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1) 板栗味红薯购进单价为元，玉米味红薯购进单价为元； (2) 购进板栗味红薯，玉米味红薯时获得最大利润，最大利润为元． 【详解】（1）解：设购进板栗味红薯的单价为元，玉米味红薯的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：板栗味红薯购进单价为元，玉米味红薯购进单价为元； （2）解：设购进板栗味红薯，则购进玉米味红薯， 根据题意，得， 解得， ∵， ∴， 设这批红薯的全部售完的利润为元， 则， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 此时，， 答：购进板栗味红薯，玉米味红薯时获得最大利润，最大利润为元． 题型十四 一次函数方案问题（共5小题） 66．为响应“绿色校园”建设，学校开展“旧物改造创意大赛”活动，需采购两种环保改造材料（A为再生纸板套装，B为可降解黏合剂套装），已知采购1套A材料和2套B材料共需130元；采购3套A材料和5套B材料共需340元． (1)求1套A材料和1套B材料的单价． (2)创意社团计划采购这两种材料共50套，用于12个参赛小组的创作，且B材料的采购数量不低于A材料数量的2倍，设采购A材料套，总费用为元，求总费用最低的采购方案，并求出最低总费用． 【答案】(1)30元，50元 (2)A材料16套，B材料34套时，费用最低为2180元 【分析】（1）设1套A材料的单价为元，1套B材料的单价为元．采购1套A材料和2套B材料共需130元；采购3套A材料和5套B材料共需340元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）根据总费用列出一次函数解析式，求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设1套A材料的单价为元，1套B材料的单价为元． 根据题意，得 解得 答：1套A材料的单价为30元．1套B材料的单价为50元． （2）解：∵采购A材料套， ∴采购B材料为套． ． B材料数量不低于A材料数量的2倍，即． 解得 ，故随的增大而减小， ∴要使最小，需取的最大值，即， 当时，， 最低总费用为：（元）． 答：A材料16套，B材料34套时，费用最低为2180元． 67．河南农产品销售实际应用信阳毛尖茶店批发售卖一级、二级茶叶，已知： ①购进4斤一级茶、3斤二级茶共需290元； ②购进2斤一级茶、5斤二级茶共需250元． (1)求一级、二级茶叶每斤进价； (2)店铺计划购进两种茶叶共90斤，一级茶进货量不少于二级茶一半，设购进一级茶m斤，总费用为Q元，求最低进货费用以及对应进货方案． 【答案】(1)一级茶叶每斤进价50元，二级茶叶每斤进价30元 (2)购进一级茶30斤，二级茶60斤，总费用最低，最低总费用3300元 【分析】（1）设一级、二级茶叶每斤进价分别为x元，y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进一级茶m斤，则购进二级茶斤，总费用为Q元，根据题意，列出函数关系式，再求出x的取值范围，然后利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设一级、二级茶叶每斤进价分别为x元，y元，根据题意得： ， 解得：， 答：一级茶叶每斤进价50元，二级茶叶每斤进价30元； （2）解：设购进一级茶m斤，则购进二级茶斤，总费用为Q元，根据题意得： ， ∵一级茶进货量不少于二级茶一半， ∴， 解得：， ∵， ∴Q随m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为3300元， 答：购进一级茶30斤，二级茶60斤，总费用最低，最低总费用3300元． 68．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元 【分析】（1）设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个，根据题意列出不等式求出的取值范围，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元，则，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元， 则， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，此时， 的最小值为， 答：购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元． 69．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)， (2)当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式，分别计算出、与x之间的函数关系式即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少． 70．为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于月中旬举办“校园读书节”，现需采购两种图书．已知购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元． (1)求两种图书的单价； (2)该校计划购买两种图书共本，且种图书的数量不超过种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1) 种图书单价为元，种图书单价为元 (2) 购买种图书本，种图书本 【分析】（）设种图书单价为元，种图书单价为元，根据购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元，可列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （）设购买种图书本，则购买种图书本，根据种图书的数量不超过种图书数量的一半，可列出一元一次不等式，解不等式得到的取值范围，再根据总费用单价数量，结合的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：设种图书单价为元，种图书单价为元， 根据题意，列方程组得：， 解得：， 答：种图书单价为元，种图书单价为元； （2）解：设购买种图书本，则购买种图书本，总费用为元， 根据题意，列不等式：， 解得， ∵是正整数， ∴， 总费用表达式为：， ∵， ∴随的增大而增大， 当取最小值时，总费用最小， 此时种图书数量为(本)， (元)， 答：购买种图书本，种图书本时所需费用最少． 题型十五 一次函数几何综合题（共5小题） 71．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为：；点的坐标为 (2)①；②点的坐标为；③存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （2）①由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③当点在点左边，当点在点右边，构造全等即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线 得， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：， 当时，， 则点的坐标为：， （2）解：①∵直线垂直平分，, 则, 当时，， ∴点的坐标为：， ∵点的坐标为：， ∴， ； ②当， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③存在． 当点在点左边，如图，过点作轴，过点作轴，交于点,过点作轴，交于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 当点在点右边，如图，过点作，交直线于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 综上，点的坐标为或． 72．在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线交y轴正半轴于点B，点C为射线上一点． (1)如图1，，求直线的表达式； (2)在（1）的条件下，点D在x轴上，连接，，若且，求点C的坐标； (3)如图2，点E是第一象限内一动点，且．若平分，，点M的坐标为，求的最小值． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点C的坐标为或 (3)的最小值为 【分析】（1）先求出点的坐标，设直线的表达式为，把，代入，即可求出直线的表达式； （2）设，当点在第一象限，点在轴正半轴上时，证明，得出，再利用等腰三角形的性质求出，即可求出此时点的坐标；当点在第二象限，点在轴负半轴上时，过点作轴，垂足为点，过点作轴，交直线于点，同样可证明，再利用、是等腰直角三角形，从而得出，，，，最后利用建立方程求出的值，即可求出此时点的坐标； （3）在线段上截取，连接，证明，可得点在线段的垂直平分线上，作点关于直线对称点，连接、，，当三点共线时，取最小值，最小值为的长度，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在x轴正半轴， ∴， 设直线的表达式为，把，代入可得： ，解得：， ∴直线的表达式为． （2）解：∵直线的表达式为， 设， 当点在第一象限，点在轴正半轴上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， 过点作轴，垂足为点， ∵， ∴为等腰直角三角形，即， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴； 当点在第二象限，点在轴负半轴上时，如图所示： 过点作轴，垂足为点，过点作轴，交直线于点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，且此时点在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 综上：点C的坐标或． （3）解：在线段上截取，连接， ∵平分， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由垂直平分线的判定可得：点在线段的垂直平分线上， 作点关于直线对称点，连接、，过点作轴， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：，当三点共线时，取最小值，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴中点的坐标为， 又∵， ∴的坐标为， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 73．在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于两点，直线分别与轴和轴交于两点，与交于点，其中点为且． (1)求直线的解析式； (2)将点沿水平方向平移个单位至轴，连接，当时，求平移的距离的值： (3)已知点为轴上的一个动点，若，请求出的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求得，根据得出，再待定系数法求解析式，即可； （2）分在的两侧分类讨论，当点在的右侧时，取点，连接，，根据，得出，得出直线的解析式为，进而令，求得点，即可求得平移距离；当点在的左侧时，同理取点，则，同理可得，即可求解； （3）联立直线解析式，得出，当在的左侧时，结合已知得出，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则，，求得直线的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴ ∵ ∴ 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为； （2）解：当点在的右侧时， 如图，取点，连接，， ∵，，，则 ∴ ∵ ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴， 当点在的左侧时，同理取点，则， 同理可得的解析式为， 当时，，则， ∴； 综上，或； （3）解：联立 解得： ∴ 设 如图，当在的左侧时， 由（1）可得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 即 又∵ ∴ ∵ ∴，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则， ∴，则 ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ 综上所述，或 74．直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求D点坐标； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连接，点G是直线上一点，且满足，直接写G的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 (3)点G的坐标为或 【详解】（1）解：设直线表达式为， 代入点，点得，， 解得， ∴直线表达式为， ∴联立得，， 解得， ∴； （2）解：如图， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，， ∴； 当点M在点E下方时，，此时点M位于y轴负半轴； ∴； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：如图，当点在y轴左边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 如图，当点在y轴右边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得，直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 综上所述，点G的坐标为或． 75．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． （3）解：∵， ∴． 设， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得或． ∴或 $