专题02 二次根式（考题猜想，易错压轴必刷75题15种题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材青岛版

**基本信息** 以15类题型构建“概念-性质-运算-应用”四层训练体系，通过方法提炼（如复合根式配方法、分母有理化技巧）实现二次根式全考点突破，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|题型1-2（10题）|有意义条件的不等式解法、根式化简的符号规则|从二次根式定义出发，构建概念理解基础| |性质应用|题型3-7（25题）|参数求值的因数分解法、最简根式判定标准|通过性质应用深化对根号双重非负性的理解| |运算能力|题型8-14（35题）|混合运算的顺序法则、化简求值的整体代入法|遵循“加减-乘除-混合”递进逻辑，强化运算准确性| |综合拓展|题型15（5题）|阅读材料中的裂项相消、配方法求最值|链接实际问题，培养推理意识与应用能力|

专题02 二次根式 题型1 二次根式有意义的条件（常考点） 题型9 二次根式的估算 题型2 利用二次根式化简 题型10 整数部分与小数部分（难点） 题型3 利用二次根式性质求参数（重点） 题型11 二次根式比较大小 题型4复合二次根式化简（难点） 题型12 分母有理化（难点） 题型5 最简二次根式 题型13 二次根式混合运算（重点） 题型6 二次根式的乘除（重点） 题型14 二次根式化简求值（重点） 题型7 同类二次根式 题型15 二次根式相关阅读材料（难点） 题型8 二次根式的加减（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式有意义的条件（共5小题） 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数大于等于， ∴有意义需满足， 解不等式得． 2．二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负条件，即， 解不等式得． 3．使有意义的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 4．若有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 5．若二次根式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】∵二次根式有意义，要求被开方数为非负数， ∴可得不等式， 解得． 题型二 利用二次根式化简（共5小题） 6．如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 ． ∵，即， ∴， 解得． 7．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用数轴判断和的正负，再进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ． 8．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 9．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据进行化简，由，在数轴上的位置，，先判断，的符号，然后求解即可． 【详解】解： 由图可知，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以． 10．当时，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴. 题型三 利用二次根式性质求参数（共5小题） 11．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 12．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 13．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为先分解质因数化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，即被开方数需为完全平方数，即可求出最小正整数n，用到二次根式的化简性质 【详解】解：先对进行变形化简： ∵ ∴ ∵ 是整数，是正整数 ∴ 必须是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为 14．若二次根式有意义，则正整数的值是（   ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求的取值范围，再取正整数解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，解得， ∵为正整数， ∴． 15．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，结合为整数的要求，得出是非负完全平方数，列举所有符合条件的完全平方数，即可得到满足要求的自然数的个数． 【详解】∵是二次根式， ∴，可得， 又∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数， ∴满足条件的自然数共有个． 题型四 复合二次根式化简（共5小题） 16．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 17．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18．__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，将原式变形为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 19．化简的结果为____． 【答案】 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键． 20．化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 题型五 最简二次根式（共5小题） 21．下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确最简二次根式的判定条件，即被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再对各选项逐一判定即可． 【详解】解：最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 选项A中的被开方数含有分母，∴不是最简二次根式． 选项B中，被开方数16是能开得尽方的整数，∴不是最简二次根式． 选项C中满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式． 选项D中，被开方数8含有能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式． 22．下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：首先明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． ∵ 同时满足上述两个条件，∴A符合要求； ∵ ，被开方数16是能开得尽方的数，∴B不是最简二次根式； ∵ ，被开方数20含能开得尽方的因数4，∴C不是最简二次根式； ∵ ，被开方数含分母，∴D不是最简二次根式． 23．下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可得到答案. 【详解】解：∵选项A中的被开方数含分母，不满足条件， ∴A不是最简二次根式； ∵选项B中，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件， ∴ B不是最简二次根式； ∵ 选项C中同时满足两个条件， ∴ C是最简二次根式； ∵选项D中，被开方数是能开得尽方的数，不满足条件， ∴D不是最简二次根式. 24．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可得到答案． 【详解】解：A、，被开方数含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意． 25．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，1 被开方数不含分母，2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项B：的被开方数11不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 对选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项D：的被开方数含分母，不是最简二次根式． 题型六 二次根式的乘除（共5小题） 26．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 27．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．∵二次根式中被开方数必须为非负数，与无意义，∴A错误； B．∵，∴ B错误； C．∵，∴C错误； D．∵，∴D正确． 28．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则和算术平方根的非负性，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、 ，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、 ，故选项错误，不符合题意；     D、 ，故选项正确，符合题意． 29．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 30．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质、乘除运算法则逐一计算即可判断正误． 【详解】解：A、，此选项正确，符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项错误，不符合题意； D、此选项错误，不符合题意． 题型七 同类二次根式（共5小题） 31．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并 ∴， 解得． 32．最简二次根式与可以合并，则（    ） A．48 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，即可求出的值. 【详解】∵ ， 又∵ 最简二次根式与可以合并， ∴ 两个最简二次根式的被开方数相同， ∴ ． 33．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再对比被开方数是否和相同，即可得出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，被开方数为. 对各选项化简：A选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； B选项，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式； C选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； D选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式． 34．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 35．如果最简二次根式和能合并，则的值为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可. 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得. 题型八 二次根式的加减（共5小题） 36．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的合并，合并方法与合并同类项的方法一致，只需将同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变即可得到结果． 【详解】解：． 37．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只有同类二次根式可以合并，合并时系数相加减，被开方数不变． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，因此A计算错误； B选项：，B计算正确； C选项：5是有理数，与不是同类二次根式，不能合并，因此C计算错误； D选项：，D计算错误． 38．计算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各项化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 39．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的合并规则与二次根式乘法法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：只有同类二次根式才可以合并，与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误； 与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误； 同类二次根式合并时，系数相加，被开方数不变，，故C选项错误； 根据二次根式乘法法则，，故D选项正确． 40．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果． 【详解】解：原式 ． 题型九 二次根式的估算（共5小题） 41．估算的值（   ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 【答案】D 【分析】先把转化为，再运用无理数估算方法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴，即， ∴的值在8和9之间． 42．估算的值在（    ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算的取值范围，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， 即． 43．估算的值在（） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算的取值范围，即可得到原式的范围． 【详解】解：∵， 又∵，，且， ∴ ， ∴ ， 即原式的值在和之间． 故选：C． 44．估算应在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【分析】先根据二次根式的乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，进而得到原式的取值范围． 【详解】解：， ∵ ，，且， ∴ ， 不等式三边同时加2，得， 即原式的值在5到6之间． 45．估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 题型十 整数部分与小数部分（共5小题） 46．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据的大小，可估算的整数部分为，小数部分为，可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，根据的大小，可估算的关键． 47．已知实数，则的整数部分为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘法进行计算得出，再估算的大小，即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴的整数部分为． 48．若的整数部分为a，小数部分为b，则___________． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数整数部分与小数部分的计算，先估算得到的取值范围，进而推得的取值范围，求出，的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：， ， 不等式各项同时减1，得， 的整数部分，小数部分 ， ∴． 49．的值的整数部分是______． 【答案】5 【分析】先化简计算得出原式，再根据即可得出结论． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式的值介于5和6之间，整数部分是5． 50．实数的整数部分______，小数部分______． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了分母有理化、估算无理数的大小等知识点，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 先进行分母有理化，然后再估算，从而确定其整数部分和小数部分． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为6，即实数的整数部分， ∴小数部分． 故答案为：6，． 题型十一 二次根式比较大小（共5小题） 51．比较大小：_____． 【答案】 【详解】解：∵ ，， ， ∴． 52．比较大小：______5．（填“”“”“”） 【答案】 【分析】二次根式比较大小，可通过比较平方后结果的大小，得到原数的大小关系. 【详解】解：，，由于，且和均为正数， ． 53．比较大小：_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】两个正数比较大小，可先将两数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小，平方结果大的原数更大． 【详解】解：和都是正数， 分别平方得，， ， ． 54．比较大小：________． 【答案】＞ 【分析】因为 ，，所以，，从而得到． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 55．比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小得到两个数的大小关系． 【详解】解：， ∵ ∴． 题型十二 分母有理化（共5小题） 56．化简：______． 【答案】 【详解】解：原式. 57．化简：_______． 【答案】 【分析】直接进行分母有理化运算即可． 【详解】解：． 58．若（其中，为有理数），______． 【答案】 【分析】先对等式左边的分式进行分母有理化，整理等式后分离有理数部分与无理数部分，根据对应系数相等得到关系，计算得出的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 59．化简： _____． 【答案】 【详解】解： ． 60．化简__________． 【答案】 【详解】解：． 题型十三 二次根式混合运算（共5小题） 61．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 62．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 63．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 64．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 65．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的运用，，当，时，即可解答． 【详解】解： ． 题型十四 二次根式化简求值（共5小题） 66．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】把直接代入，利用二次根式的混合运算法则，结合完全平方公式及平方差公式计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 67．已知，，求的值． 【答案】 【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 68．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当时，原式． 69．化简求值： ，其中． 【答案】，108 【分析】先对式子进行化简，再将代入化简后的式子计算即可解答本题． 【详解】解： ， 当时， 原式． 70．化简求值：，其中． 【答案】，值为4 【详解】解：原式 当时 原式 题型十五 二次根式相关阅读材料（共5小题） 71．阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即时，取等号，的最小值为4． 任务： (1)当时，的最小值为________． (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）首先化简得到，运用公式计算即可． 【详解】（1）解：当时， ∴的最小值为2； （2）解：， ，， ， 当且仅当，即时，取等号， 的最小值为， 的最小值为， 的最小值为． 72．按要求进行二次根式的有关计算： (1)阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于，，即：，， 所以：， 应用：__________，__________． (2)阅读：； 应用：①若，求的值； ②解方程． (3)阅读：已知，，试比较，的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且，都是正数，故． 应用：比较大小：__________，__________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)， 【分析】（）根据小芳同学的计算方法解答即可； （）①先对进行分母有理化得，即得，进而得到，再代入代数式计算即可求解；②先化简方程，再解方程求出的值即可； （）根据阅读材料的方法解答即可； 本题考查了二次根式的化简及求值，解一元一次方程，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：，， ∵， ∴； ， ∵， ∴， 故答案为：，． 73．按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 【答案】（1）；（2）；（3）<，> 【分析】本题考查二次根式的运用，熟练掌握二次根式的计算和完全平方公式是解题的关键， （1）利用完全平方公式展开，再利用二次根式计算即可得到答案： （2）利用分母有理化计算即可得到答案； （3）先计算各个数的平方，再利用平方比较大小即可得到答案． 【详解】解：（1）由题可得：， 故答案为：； （2）由题可得：， 整理得：， 移项得：， 解得：， 故答案为：； （3）由题可得：令，， ∴，， ∴， ∴； 令，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：<，>． 74．阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应任务． 关于二次根式的化简概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”． 例如：；． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)化简______． (2)直接写出计算结果． ______． (3)结合典例1和典例2归纳猜想． ______（n为正整数）． (4)计算： ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理化因式和分母有理化的概念，熟练掌握有理化因式和分母有理化的概念是解决本题的关键． （1）进行分母有理化即可． （2）先进行分母有理化，结合裂项相消求和，再使用平方差公式求解即可． （3）将分母变为，再结合分母有理化的概念，求解即可． （4）先化简各式，然后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， ， ∴ ， ∴ ． （3）解： ； 故答案为：． （4）解： ； 75．阅读材料：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ∵，∴，即， ∴的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则______； (2)若，且均为正整数，求的值； (3)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，代数式有最大值，最大值为 【详解】（1）解：∵，且是完全平方式， ∴， ∴； （2）解：∵，且x，y均为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为25． ∴当时，有最大值为5． $专题02 二次根式 题型1 二次根式有意义的条件（常考点） 题型9 二次根式的估算 题型2 利用二次根式化简 题型10 整数部分与小数部分（难点） 题型3 利用二次根式性质求参数（重点） 题型11 二次根式比较大小 题型4复合二次根式化简（难点） 题型12 分母有理化（难点） 题型5 最简二次根式 题型13 二次根式混合运算（重点） 题型6 二次根式的乘除（重点） 题型14 二次根式化简求值（重点） 题型7 同类二次根式 题型15 二次根式相关阅读材料（难点） 题型8 二次根式的加减（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式有意义的条件（共5小题） 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．使有意义的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若有意义，则的取值范围是________． 5．若二次根式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型二 利用二次根式化简（共5小题） 6．如果，那么（   ） A． B． C． D． 7．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 8．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 9．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 10．当时，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 题型三 利用二次根式性质求参数（共5小题） 11．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 13．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．若二次根式有意义，则正整数的值是（   ） A．1 B．0 C．2 D．3 15．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四 复合二次根式化简（共5小题） 16．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 17．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 18．__________． 19．化简的结果为____． 20．化简的结果为______． 题型五 最简二次根式（共5小题） 21．下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 22．下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 23．下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 24．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 25．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型六 二次根式的乘除（共5小题） 26．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 27．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 28．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 29．计算：（    ） A． B． C． D． 30．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 同类二次根式（共5小题） 31．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 32．最简二次根式与可以合并，则（    ） A．48 B．12 C．6 D．3 33．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 34．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 35．如果最简二次根式和能合并，则的值为（    ） A．5 B． C． D．2 题型八 二次根式的加减（共5小题） 36．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 37．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 38．计算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 39．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 40．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型九 二次根式的估算（共5小题） 41．估算的值（   ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 42．估算的值在（    ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 43．估算的值在（） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 44．估算应在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 45．估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 题型十 整数部分与小数部分（共5小题） 46．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为_______． 47．已知实数，则的整数部分为________． 48．若的整数部分为a，小数部分为b，则___________． 49．的值的整数部分是______． 50．实数的整数部分______，小数部分______． 题型十一 二次根式比较大小（共5小题） 51．比较大小：_____． 52．比较大小：______5．（填“”“”“”） 53．比较大小：_____（填“>”“<”或“=”）． 54．比较大小：________． 55．比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 题型十二 分母有理化（共5小题） 56．化简：______． 57．化简：_______． 58．若（其中，为有理数），______． 59．化简： _____． 60．化简__________． 题型十三 二次根式混合运算（共5小题） 61．计算：． 62．计算：． 63．计算：． 64．计算：． 65．计算：． 题型十四 二次根式化简求值（共5小题） 66．已知，求代数式的值． 67．已知，，求的值． 68．先化简，再求值：，其中． 69．化简求值： ，其中． 70．化简求值：，其中． 题型十五 二次根式相关阅读材料（共5小题） 71．阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即时，取等号，的最小值为4． 任务： (1)当时，的最小值为________． (2)当时，求的最小值． 72．按要求进行二次根式的有关计算： (1)阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于，，即：，， 所以：， 应用：__________，__________． (2)阅读：； 应用：①若，求的值； ②解方程． (3)阅读：已知，，试比较，的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且，都是正数，故． 应用：比较大小：__________，__________． 73．按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 74．阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应任务． 关于二次根式的化简概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”． 例如：；． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)化简______． (2)直接写出计算结果． ______． (3)结合典例1和典例2归纳猜想． ______（n为正整数）． (4)计算： ． 75．阅读材料：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ∵，∴，即， ∴的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则______； (2)若，且均为正整数，求的值； (3)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． $